(安徽专版)九年级数学下册小专题(二)与圆的基本性质有关的解答题习题沪科版

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(安徽专版)九年级数学下册复习自测9圆B习题(新版)沪科版

复习自测9 圆(B)(总分：100分)一、选择题(每小题4分，共32分)1.如图，在半径为5 cm 的⊙O 中，弦AB ＝6 cm ，OC⊥AB 于点C ，则OC ＝(B)A.3 cmB.4 cmC.5 cmD.6 cm2.如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上位于AB 异侧的两点，下列四个角中，一定与∠ACD 互余的角是(D)A.∠ADCB.∠ABDC.∠BACD.∠BAD3.如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BCD 的度数为(D)A.50°B.80°C.100°D.130°4.如图，半径为3的⊙A 经过原点O 和点C(0，2)，点B 是y 轴左侧⊙A 优弧上一点，则tan∠OBC 为(C)A.13B.2 2C.24D.2 235.已知一块圆心角为300°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽(接缝忽略不计)，圆锥的底面圆的直径是80 cm ，则这块扇形铁皮的半径是(B)A.24 cmB.48 cmC.96 cmD.192 cm6.如图，PA 和PB 是⊙O 的切线，点A ，B 是切点，AC 是⊙O 的直径，已知∠P＝40°，则∠ACB 的大小是(C)A.60°B.65°C.70°D.75° 7.如图，⊙O 的半径为3，四边形ABCD 内接于⊙O，连接OB ，OD.若∠BOD＝∠BCD，则劣弧BD ︵的长为(C)A.πB.32π C.2π D.3π8.如图，将矩形ABCD 绕点A 逆时针旋转90°至矩形AEFG ，点D 的旋转路径为DG ︵.若AB ＝1，BC ＝2，则阴影部分的面积为(A)A.π3＋32B.1＋32C.π2D.π3＋1二、填空题(每小题4分，共24分)9.如图，一块含有45°角的直角三角板，它的一个锐角顶点A 在⊙O 上，边AB ，AC 分别与⊙O 交于点D ，E ，则∠DOE 的度数为90°.10.已知△ABC 在网格中的位置如图，那么△ABC 对应的外接圆的圆心坐标是(2，0).11.如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD＝4，∠ABC＝∠DAC，则AC长为2__12.如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接正三角形EFG的边长为13.如图，直线AB与半径为2的⊙O相切于点C，点D是⊙O上一点，且∠EDC＝30°，弦EF∥AB，则EF的长度为2__14.在半径为1的⊙O中，弦AB，AC的长分别为1和2，则∠BAC的度数为105°或15°.三、解答题(共44分)15.(8分)如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD.求∠D的度数.解：∵在⊙O中，D为圆上一点，∴∠AOC＝2∠D.∴∠EOF＝∠AOC＝2∠D.∵在四边形FOED中，∠CFD＋∠D＋∠DEO＋∠EOF＝360°，∴90°＋∠D＋90°＋2∠D＝360°.∴∠D＝60°.16.(10分)如图，在△ABC 中，以AC 为直径的⊙O 分别交AB ，BC 于点D ，E ，连接DE ，AD ＝BD ，∠ADE＝120°.(1)试判断△ABC 的形状，并说明理由； (2)若AC ＝2，求图中阴影部分的面积.解：(1)△ABC 是等边三角形. 理由：连接CD.∵AC 为⊙O 的直径， ∴CD⊥AB.∵AD＝BD ，∴AC＝BC.∵四边形ADEC 为内接四边形， ∴∠ADE＋∠ACE＝180°.∵∠ADE＝120°，∴∠ACE＝60°. ∴△ABC 是等边三角形. (2)∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A＝∠ACB＝∠B＝60°.∵∠ADE＝120°，∴∠BDE＝60°. ∴∠BED＝∠BDE＝∠B＝60°. ∴△BDE 是等边三角形. ∴BD＝ED.∵AD＝BD ，∴DE＝AD.∴DE ︵＝AD ︵. ∴S 弓形DE ＝S 弓形AD .∴S 阴影＝S △DEB . ∵AC＝2，∴BD＝1.∴S 阴影＝S △DEB ＝12×1×32＝34.17.(12分)如图，已知A ，B ，C 是⊙O 上的三个点，四边形OABC 是平行四边形，过点C 作⊙O 的切线，交AB 的延长线于点D. (1)求∠ADC 的大小；(2)经过点O 作CD 的平行线，与AB 交于点E ，与AB ︵交于点F ，连接AF ，求∠FAB 的大小.解：(1)∵CD 是⊙O 的切线， ∴∠OCD＝90°，即∠BCD＋∠OCB＝90°.∵四边形OABC 是平行四边形，∴OC∥AD. ∴∠OCB＝∠CBD.∴∠BCD ＋∠CBD＝90°.∴∠ADC＝180°－90°＝90°. (2)连接OB.由圆的性质，知OA ＝OB ＝OC. ∵四边形OABC 是平行四边形， ∴OC＝AB.∴OA＝OB ＝AB.∴△OAB 是等边三角形.∴∠AOB＝60°. ∵OF∥CD，∠ADC＝90°，∴OF⊥AB. ∴OF 平分∠AOB.∴∠FAB＝12∠BOF＝14∠AOB＝15°.18.(14分)如图，四边形ABCD 内接于⊙O，对角线AC 为⊙O 的直径，过点C 作AC 的垂线交AD 的延长线于点E ，点F 为CE 的中点，连接DB ，DC ，DF. (1)求∠CDE 的度数；(2)求证：DF 是⊙O 的切线；(3)若AC ＝2 5DE ，求tan∠ABD 的值.解：(1)∵AC 为⊙O 的直径， ∴∠ADC＝90°. ∴∠CDE＝90°. (2)证明：连接OD.∵∠CDE＝90°，点F 为CE 中点， ∴DF＝12CE ＝CF.∴∠FDC＝∠FCD.又∵OD＝OC ，∴∠ODC＝∠OCD. ∴∠ODC＋∠FDC＝∠OCD＋∠FCD. ∴∠ODF＝∠OCF.∵EC⊥AC，∴∠OCF＝90°. ∴∠ODF＝90°.又∵OD 是⊙O 的半径， ∴DF 为⊙O 的切线.(3)在△ACD 与△ACE 中，∠ADC＝∠ACE＝90°，∠EAC＝∠CAD， ∴△ACD∽△AEC.∴AC AE ＝AD AC ，即AC 2＝AD·AE. 又∵AC＝2 5DE ，∴20DE 2＝(AE －DE)·AE. ∴(AE－5DE)(AE ＋4DE)＝0. ∴AE＝5DE.∴AD＝4DE.∵在Rt△ACD 中，AC 2＝AD 2＋CD 2， ∴CD＝2DE.又在⊙O 中，∠ABD＝∠ACD， ∴tan∠ABD＝tan∠ACD＝ADCD＝2.。

2022年精品解析沪科版九年级数学下册第24章圆专题训练试题(含答案解析)

沪科版九年级数学下册第24章圆专题训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）∠的度数为（）1、如图，四边形ABCD内接于O，如果它的一个外角64DCE︒∠=，那么BODA．20︒B．64︒C．116︒D．128︒⊥于点E，2、如图，AB是O的直径，O的弦DC的延长线与AB的延长线相交于点P，OD ACOA=，则阴影部分的面积为（）∠=︒，2CAB153612243、如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC ＝30°，BC ＝6，则⊙O 的直径等于（）A ．10B ．C ．D ．124、计算半径为1，圆心角为60︒的扇形面积为（） A ．3π B ．6πC ．2π D ．π5、在△ABC 中，CA CB =，点O 为AB 中点．以点C 为圆心，CO 长为半径作⊙C ，则⊙C 与AB 的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定6、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝2．将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转到点D 落在AB 边上，此时得到△EDC ，斜边DE 交AC 边于点F ，则图中阴影部分的面积为（）7、某村东西向的废弃小路/两侧分别有一块与l距离都为20 m的宋代碑刻A，B，在小路l上有一座亭子P．A，P分别位于B的西北方向和东北方向，如图所示．该村启动“建设幸福新农村”项目，计划挖一个圆形人工湖，综合考虑景观的人文性、保护文物的要求、经费条件等因素，需将碑刻A，B原址保留在湖岸（近似看成圆周）上，且人工湖的面积尽可能小．人工湖建成后，亭子P到湖岸的最短距离是（）A．20 m B．mC．（ - 20）m D．（mOA=，则点A在（）8、已知⊙O的半径为4，5A．⊙O内B．⊙O上C．⊙O外D．无法确定9、如图图案中，不是中心对称图形的是（）A．∽B．C．>D．=10、如图，△ABC外接于⊙O，∠A＝30°，BC＝3，则⊙O的半径长为（）A ．3BCD ．第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、在平面直角坐标系中，点()3,4--关于原点对称的点的坐标是______．2、一条弧所对的圆心角为120︒，弧长等于6cm π，则这条弧的半径为________．3、如果一个扇形的弧长等于它所在圆的半径，那么此扇形叫做“完美扇形”．已知某个“完美扇形”的周长等于6，那么这个扇形的面积等于_____．4、龙湖实验中学的操场有4条等宽的跑道，每条跑道是由两条直跑道和两个半圆形弧道连接而成，请根据小泓与瞿老师的对话计算每条跑道的宽度是______米．5、如图，在ABC 中，6AB =，BC =，AC =ABC 绕点B 顺时针方向旋转45°得到BA C ''△，点A 经过的路径为弧AA '，点C 经过的路径为弧CC '，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留π）三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、已知：Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°，将△ABC 绕点B 按顺时针方向旋转．（1）当C 转到AB 边上点C ′位置时，A 转到A ′，（如图1所示）直线CC ′和AA ′相交于点D ，试判断线段AD 和线段A ′D 之间的数量关系，并证明你的结论．（2）将Rt △ABC 继续旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）将Rt △ABC 旅转至A 、C ′、A ′三点在一条直线上时，请直接写出此时旋转角α的度数． 2、如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，CA CB =，点D ，E 分别在边CA ，CB 上，CD CE =，连接DE ，AE ，BD ．点F 在线段BD 上，连接CF 交AE 于点H ．（1）①比较CAE ∠与CBD ∠的大小，并证明； ②若CF AE ⊥，求证：2AE CF =；（2）将图1中的CDE △绕点C 逆时针旋转()090αα︒<<︒，如图2．若F 是BD 的中点，判断2AE CF =是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由.3、如图1，图2，图3的网格均由边长为1的小正方形组成，图1是三国时期吴国的数学家赵爽所绘制的“弦图”，它由四个形状、大小完全相同的直角三角形组成，赵爽利用这个“弦图”对勾股定理作出了证明，是中国古代数学的一项重要成就，请根据下列要求解答问题．（1）图1中的“弦图”的四个直角三角形组成的图形是对称图形（填“轴”或“中心”）．（2）请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换，在图2，3的方格纸中设计另外两个不同的图案，画图要求：①每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形互不重叠，不必涂阴影；②图2中所设计的图案（不含方格纸）必须是轴对称图形而不是中心对称图形；图3中所设计的图案（不含方格纸）必须既是轴对称图形，又是中心对称图形．4、如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为A （﹣1，0），B （﹣4，1），C （﹣2，2）．（1）直接写出点B 关于原点对称的点B ′的坐标：；（2）平移△ABC ，使平移后点A 的对应点A 1的坐标为（2，1），请画出平移后的△A 1B 1C 1；（3）画出△ABC 绕原点O 逆时针旋转90°后得到的△A 2B 2C 2．5、如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，AD CD =，33ABD ︒∠=，44ACB ︒∠=．（1）求BAC ∠的度数．（2）求BAD ∠的度数．-参考答案-一、单选题 1、D 【分析】由平角的性质得出∠BCD =116°，再由内接四边形对角互补得出∠A =64°，再由圆周角定理即可求得∠BOD =2∠A =128°．【详解】 ∵64DCE ∠=︒∴18064116BCD ∠=︒-︒=︒ ∵四边形ABCD 内接于O∴180********A BCD ∠=︒-∠=︒-︒=︒ 又∵2BOD A ∠=∠ ∴264128A ∠=⨯︒=︒．故选：D ．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角；在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 2、B 【分析】由垂径定理可知，AE =CE ，则阴影部分的面积等于扇形AOD 的面积，求出75AOD ∠=︒，然后利用扇形面积公式，即可求出答案．【详解】解：根据题意，如图：∵AB 是O 的直径，OD 是半径，OD AC ⊥， ∴AE =CE ，∴阴影CED 的面积等于AED 的面积， ∴ΔCED AOE AOD S S S +=扇， ∵90AEO ∠=︒，15CAB ∠=︒， ∴901575AOE ∠=︒-︒=︒， ∴275253606AODS ππ︒⨯⨯==︒扇；故选：B 【点睛】本题考查了求扇形的面积，垂径定理，解题的关键是掌握所学的知识，正确利用扇形的面积公式进行计算． 3、D连接OB ，OC ，根据圆周角定理求出∠BOC 的度数，再由OB =OC 判断出△OBC 是等边三角形，由此可得出结论．【详解】解：连接OB ，OC ，∵∠BAC =30°， ∴∠BOC =60°． ∵OB =OC ，BC =6， ∴△OBC 是等边三角形， ∴OB =BC =6．∴⊙O 的直径等于12．故选：D ．【点睛】本题考查的圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出等边三角形是解答此题的关键． 4、B 【分析】直接根据扇形的面积公式计算即可．【详解】2260113603606n r S πππ︒⨯⨯===︒︒扇形【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，熟记扇形的面积公式2360n rSπ=︒扇形是解题的关键．5、B【分析】根据等腰三角形的性质，三线合一即可得CO AB⊥，根据三角形切线的判定即可判断AB是C的切线，进而可得⊙C与AB的位置关系【详解】解：连接CO,CA CB=，点O为AB中点．CO AB∴⊥CO为⊙C的半径，AB∴是C的切线，∴⊙C与AB的位置关系是相切故选B【点睛】本题考查了三线合一，切线的判定，直线与圆的位置关系，掌握切线判定定理是解题的关键．6、D根据题意及旋转的性质可得DBC △是等边三角形，则30DCF ∠=︒，90DFC ∠=︒，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求得DF ，由勾股定理即可求得CF ，进而求得阴影部分的面积．【详解】解：如图，设AC 与DE 相交于点F ，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，60B ∴∠=︒，旋转，∴,60BC CD FDC B =∠=∠=︒，∴DBC △是等边三角形，2CD BC ∴==，60DCB ∠=︒，90,60ACB DCB ∠=︒∠=︒，30DCF ∴∠=︒，18090DFC DCF FDC ∴∠=-∠-∠=︒，112DF CD ∴==，FC ∴=∴阴影部分的面积为11122DF FC ⨯=⨯故选D本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质，利用含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．7、D【分析】根据人工湖面积尽量小，故圆以AB为直径构造，设圆心为O，当O，P共线时，距离最短，计算即可．【详解】∵人工湖面积尽量小，∴圆以AB为直径构造，设圆心为O，过点B作BC⊥l，垂足为C，∵A，P分别位于B的西北方向和东北方向，∴∠ABC=∠PBC=∠BOC=∠BPC=45°，∴OC=CB=CP=20，∴OP=40，OB∴最小的距离PE=PO-OE m），故选D．【点睛】本题考查了圆的基本性质，方位角的意义，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握圆中点圆的最小距离是解题的关键．8、C【分析】根据⊙O的半径r=4，且点A到圆心O的距离d=5知d>r，据此可得答案．【详解】解：∵⊙O的半径r=4，且点A到圆心O的距离d=5，∴d>r，∴点A在⊙O外，故选：C．【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d=r；③点P在圆内⇔d＜r．9、C【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心求解．【详解】解：A、是中心对称图形，故A选项不合题意；B、是中心对称图形，故B选项不合题意；C、不是中心对称图形，故C选项符合题意；D、是中心对称图形，故D选项不合题意；故选：C．【点睛】本题考查了中心对称图形的知识，解题的关键是掌握中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后重合．10、A【分析】分析：连接OA、OB，根据圆周角定理，易知∠AOB=60°；因此△ABO是等边三角形，即可求出⊙O的半径．【详解】解：连接BO，并延长交⊙O于D，连结DC，∵∠A=30°，∴∠D=∠A=30°，∵BD为直径，∴∠BCD=90°，在Rt△BCD中，BC=3，∠D=30°，∴BD=2BC=6，∴OB=3．故选A．【点睛】本题考查了圆周角性质，利用同弧所对圆周角性质与直径所对圆周角性质，30°角所对直角三角形性质，掌握圆周角性质，利用同弧所对圆周角性质与直径所对圆周角性质，30°角所对直角三角形性质是解题的关键．二、填空题1、（3，4）【分析】关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．【详解】：由题意，得点（-3，-4）关于原点对称的点的坐标是（3，4），故答案为：（3，4）．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．2、9cm【分析】由弧长公式180n r l π=即可求得弧的半径．【详解】 ∵180n r l π= ∴18018069(cm)120l r n πππ⨯=== 故答案为：9cm【点睛】本题考查了扇形的弧长公式，善于对弧长公式变形是关键．3、2【分析】根据扇形的面积公式S ＝12lr ，代入计算即可．【详解】解：∵“完美扇形”的周长等于6，∴半径r 为163⨯＝2，弧长l 为2，这个扇形的面积为：12lr ＝1222⨯⨯＝2．答案为：2．【点睛】本题考查了扇形的面积公式，扇形面积公式12S lR =与三角形面积公式十分类似，为了便于记忆，只要把扇形看成一个曲边三角形，把弧长l 看成底，R 看成底边上的高即可．4、3π 【分析】设跑道的宽为x 米，根据直道长度一样，外圈与内圈的差是两个圆周长的差，列出式子求解即可．【详解】解：设跑道的宽为x 米，由对称性设内圈两个半圆形弧道拼成的圆的半径为r ，根据题意可得：1981802(3)2r x r ππ-=+-，解得：3x π=，故答案是：3π．【点睛】本题考查了圆的基本概念，一元一次方程，解题的关键是根据题意列出等式求解．5、27π65-## 【分析】设’BA 与AC 相交于点D ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为点E ，根据勾股定理逆定理可得ABC 为直角三角形，根据三边关系可得1tan 2CAB ∠=，根据题意及等角对等边得出DE EB =，在Rt AED 中，利用正弦函数可得2BE DE ==，结合图形，利用扇形面积公式及三角形面积公式求解即可得．【详解】解：设’BA 与AC 相交于点D ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为点E ，∵6AB =，BC =，AC = ∴222AB BC AC =+，∴ABC 为直角三角形， ∴1tan 2BC CAB AC ∠==， ∵ABC 绕点B 顺时针方向旋转45°得到''BA C ，∴45ABA ∠='︒，∴45ABA EDB ∠=∠='︒，∴DE EB =，在Rt AED 中，1tan 2DE CAB AE ∠==， ∴2AE EB =，∴36AE BE BE +==，∴2BE DE ==，162ABDS AB DE =⨯⨯=， 245693602ABA S ππ'︒⨯==︒扇形，245936010CBC S ππ'︒⨯⎝⎭==︒扇形， 9927662105ABDABA CBC S S S S πππ''=-+=-+=-阴影扇形扇形，故答案为：2765π-．【点睛】题目主要考查勾股定理逆定理，旋转的性质，等角对等边的性质，正切函数，扇形面积等，理解题意，结合图形，综合运用这些知识点是解题关键．三、解答题1、（1）AD A D '=，证明见解析（2）成立，证明见解析（3）120︒【分析】（1）设(0)BC a a =>，先根据直角三角形的性质可得2AB a =，再根据旋转的性质可得,2,60BC BC a A B AB a ABA ABC '''====∠=∠=︒，然后根据等边三角形的判定与性质可得BCC '，ABA '△，AC D '都是等边三角形，从而可得12AD AC a AA ''===，由此即可得出结论；（2）在CD 上截取CE C D '=，连接AE ，先根据旋转的性质可得,,90BC BC A C AC A C B ACB '''''==∠=∠=︒，从而可得A C D ACE ''∠=∠，再根据三角形全等的判定定理证出A C D ACE ''≅，根据全等三角形的性质可得A D AE '=，DA C EAC ''∠=∠，然后根据三角形的外角性质可得AED ADE ∠=∠，最后根据等腰三角形的判定可得AD AE =，由此即可得出结论；（3）如图（见解析），先根据旋转的性质可得,90BC BC A C B ACB '''=∠=∠=︒，再根据直角三角形全等的判定定理证出Rt ABC Rt ABC '≅，然后根据全等三角形的性质可得60ABC ABC '∠=∠=︒，最后根据旋转角CBC ABC ABC α''=∠=∠+∠即可得．（1）解：AD A D '=，证明如下：设(0)BC a a =>，在Rt ABC 中，90,60ACB ABC ∠=︒∠=︒，22AB BC a ∴==，由旋转的性质得：,2,60BC BC a A B AB a ABA ABC '''====∠=∠=︒，AC a '∴=，BCC '和ABA '△都是等边三角形，60,60,2BC C BAA AA AB a '''∴∠=︒∠=︒==，60AC D BC C ''∴∠=∠=︒，AC D '∴是等边三角形，12AD AC a AA ''∴===， AD A D '∴=；（2）解：成立，证明如下：如图，在CD 上截取CE C D '=，连接AE ，由旋转的性质得：,,90BC BC A C AC A C B ACB '''''==∠=∠=︒， 90A C D BC C ACE BCC BC C BCC ''''∠+∠=︒=∠+∠⎧∴⎨∠='∠'⎩， A C D ACE ''∴∠=∠，在AC D ''和ACE 中，A C AC A C D ACE C D CE =⎧⎪∠=∠'''''⎨⎪=⎩， ()A C D ACE SAS ''∴≅，,A D AE DA C EAC '''∴=∠=∠，AED ACE EAC A C D DA C ADE ''''∴∠=∠+∠=∠+∠=∠， AD AE ∴=，AD A D '∴=；（3）解：如图，当点,,A C A ''三点在一条直线上时，由旋转的性质得：,90BC BC A C B ACB '''=∠=∠=︒，90AC B ∴'∠=︒，在Rt ABC '△和Rt ABC 中，BC BC AB AB='⎧⎨=⎩， ()Rt ABC Rt ABC HL '∴≅，60ABC ABC '∴∠=∠=︒，则旋转角120CBC ABC ABC α''=∠=∠+∠=︒．【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．2、（1）①∠CAE =∠CBD ，理由见解析；②证明见解析；（2）AE =2CF 仍然成立，理由见解析【分析】（1）①只需要证明△CAE ≌△CBD 即可得到∠CAE =∠CBD ；②先证明∠CAH =∠BCF ，然后推出∠BDC =∠FCD ，∠CAE =∠CBD =∠BCF ，得到CF =DF ，CF =BF ，则BD =2CF ，再由△CAE ≌△CBD ，即可得到AE =2BD =2CF ；（2）如图所示延长DC 到G 使得，DC =CG ，连接BG ，只需要证明△ACE ≌△BCG 得到AE =BG ，再由CF 是△BDG 的中位线，得到BG =2CF ，即可证明AE =2CF ．【详解】解：（1）①∠CAE =∠CBD ，理由如下：在△CAE 和△ CBD 中，=CE CD ACE BCD AC BC =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩， ∴△CAE ≌△CBD （SAS ），∴∠CAE =∠CBD ；②∵CF ⊥AE ，∴∠AHC =∠ACB =90°，∴∠CAH +∠ACH =∠ACH +∠BCF =90°，∴∠CAH =∠BCF ，∵∠DCF +∠BCF =90°，∠CDB +∠CBD =90°，∠CAE =∠CBD ，∴∠BDC =∠FCD ，∠CAE =∠CBD =∠BCF ，∴CF =DF ，CF =BF ，∴BD =2CF ，又∵△CAE ≌△CBD ，∴AE =2BD =2CF ；（2）AE =2CF 仍然成立，理由如下：如图所示延长DC 到G 使得，DC =CG ，连接BG ，由旋转的性质可得，∠DCE =∠ACB =90°，∴∠ACD +∠BCD =∠BCE +∠BCD ，∠ECG =90°，∴∠ACD =∠BCE ，∴∠ACD +∠DCE =∠BCE +∠ECG ，即∠ACE =∠BCG ，又∵CE =CD =CG ，AC =BC ，∴△ACE≌△BCG（SAS），∴AE=BG，∵F是BD的中点，CD=CG，∴CF是△BDG的中位线，∴BG=2CF，∴AE=2CF．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，三角形中位线定理，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．3、（1）中心（2）见解析【分析】（1）利用中心对称图形的意义得到答案即可；（2）①每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形不重叠，是轴对称图形；②所设计的图案（不含方格纸）必须是中心对称图形或轴对称图形．（1）图1中的“弦图”的四个直角三角形组成的图形是中心对称图形，故答案为：中心；（2）如图2是轴对称图形而不是中心对称图形；图3既是轴对称图形，又是中心对称图形．【点睛】本题考查利用旋转或轴对称设计方案，关键是理解旋转和轴对称的概念，按要求作图即可．4、（1）（4，﹣1）；（2）见解析；（3）见解析．【分析】（1）根据关于原点对称的两点的横纵坐标均与原来点的横纵坐标互为相反数，据此可得答案；（2）将三个点分别向右平移3个单位、再向上平移1个单位，继而首尾顺次连接即可；（3）将三个点分别绕原点O逆时针旋转90°后得到对应点，再首尾顺次连接即可．【详解】（1）点B关于原点对称的点B′的坐标为（4，﹣1），故答案为：（4，﹣1）；（2）如图所示，△A1B1C1即为所求．（3）如图所示，△A 2B 2C 2即为所求．【点睛】本题主要考查作图—平移变换、旋转变换，解题的关键是掌握平移变换和旋转变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．5、（1）70°；（2）103°【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等可得33︒∠=∠=CBD ABD ，得出66ABC ︒∠=，在三角形中利用三角形内角和定理求解即可得；（2）由圆周角定理可得33DAC DBC ︒∠=∠=，结合（1）中结论及图形可得：BAD BAC DAC ∠=∠+∠，代入求解即可．【详解】解：（1）AD CD =，33CBD ABD ︒∴∠=∠=，66ABC ︒∠=，在ABC ∆中，180180664470BAC ABC ACB ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=．（2）由圆周角定理，得33DAC DBC ︒∠=∠=．103BAD BAC DAC ︒∴∠=∠+∠=．【点睛】题目主要考查圆周角定理，三角形内角和定理，熟练掌握运用圆周角定理是解题关键．。

2022年精品解析沪科版九年级数学下册第24章圆综合练习试题(含答案解析)

沪科版九年级数学下册第24章圆综合练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）AC=．将ABC绕点A按逆时针方向旋转90︒后1、如图，在ABC中，90ABC︒∠=，8BAC︒∠=，30△，则图中阴影部分面积为（）得到AB C''A．4πB．8π-C．4π-D．2、ABC的边BC经过圆心O，AC与圆相切于点A，若20∠=︒，则CB∠的大小等于（）A．50︒B．25︒C．40︒D．20︒3、已知⊙O的半径为4，点P在⊙O外部，则OP需要满足的条件是（）A．OP>4 B．0≤OP<4 C．OP>2 D．0≤OP<24、在圆内接四边形ABCD 中，∠A 、∠B 、∠C 的度数之比为2：4：7，则∠B 的度数为（）A ．140°B ．100°C ．80°D ．40°5、利用定理“同弧所对圆心角是圆周角的两倍”，可以直接推导出的命题是（）A ．直径所对圆周角为90︒B ．如果点A 在圆上，那么点A 到圆心的距离等于半径C ．直径是最长的弦D ．垂直于弦的直径平分这条弦6、计算半径为1，圆心角为60︒的扇形面积为（）A ．3πB ．6πC ．2πD ．π7、如图，在Rt△ABC 中，90BAC ∠=︒，30B ∠=︒，3AB =，以AB 边上一点O 为圆心作O ，恰与边AC ，BC 分别相切于点A ，D ，则阴影部分的面积为（）A 3πB 3π-C 23π- D ．23π 8、如图，在Rt ABC 中，390,4,tan 4ACB AC A ∠===．以点C 为圆心，CB 长为半径的圆交AB 于点D ，则AD 的长是（）A ．1B ．75 C ．32 D ．29、下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．10、下列判断正确的个数有（）①直径是圆中最大的弦；②长度相等的两条弧一定是等弧；③半径相等的两个圆是等圆；④弧分优弧和劣弧；⑤同一条弦所对的两条弧一定是等弧．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、数学兴趣活动课上，小方将等腰ABC 的底边BC 与直线l 重合，问：（1）如图（1）已知20AB AC ==，120BAC ∠=︒，点P 在BC 边所在的直线l 上移动，小方发现AP 的最小值是______；（2）如图（2）在直角ABC 中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，10AC =，点D 是CB 边上的动点，连接AD ，将线段AD 顺时针旋转60°，得到线段AP ，连接CP ，线段CP 的最小值是______．2、如图，P 是正方形ABCD 内一点，将ABP △绕点B 顺时针方向旋转,能与1CBP 重合，若5PB =，则PP ______．13、已知O、I分别是△ABC的外心和内心，∠BIC＝125°，则∠BOC的大小是 ___度．4、如图，在⊙O中，弦AB⊥OC于E点，C在圆上，AB＝8，CE＝2，则⊙O的半径AO＝___________．5、为了落实“双减”政策，朝阳区一些学校在课后服务时段开设了与冬奥会项目冰壶有关的选修课．如图，在冰壶比赛场地的一端画有一些同心圆作为营垒，其中有两个圆的半径分别约为60cm和180 cm，小明掷出一球恰好沿着小圆的切线滑行出界，则该球在大圆内滑行的路径MN的长度为______cm．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，半径OD∥弦BC．（1）求证：弧AD=弧CD；（2）连接AC、BD相交于点F，AC与OD相交于点E，连接CD，若⊙O的半径为5，BC=6，求CD和EF 的长．2、阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：从正方形的一个顶点引出夹角为45︒的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如：如下图1，在正方形ABCD中，以A为顶点的45∠=，AE、AF与BC、CD边分别交EAF︒于E、F两点．易证得EF BE FD=+．大致证明思路：如图2，将ADF绕点A顺时针旋转90︒，得到ABH，由180∠=可HBE︒得H、B、E三点共线，45≌，故∠=∠=，进而可证明AEH AEFHAE EAF︒=+．EF BE DF任务：如图3，在四边形ABCD中，AB AD=，90EAF︒∠=，∠=，以A为顶点的60BAD︒∠=∠=，120B D︒AE、AF与BC、CD边分别交于E、F两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论EF BE DF =+是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．3、如图，在等边三角形ABC 中，点P 为△ABC 内一点，连接AP ，BP ，CP ，将线段AP 绕点A 顺时针旋转60°得到'AP ，连接PP BP ''，．（1）用等式表示BP ' 与CP 的数量关系，并证明；（2）当∠BPC ＝120°时，①直接写出P BP '∠ 的度数为；②若M 为BC 的中点，连接PM ，请用等式表示PM 与AP 的数量关系，并证明．4、综合与实践“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具——三分角器．图1是它的示意图，其中AB 与半圆O 的直径BC 在同一直线上，且AB 的长度与半圆的半径相等；DB 与AC 垂直于点B ，DB 足够长．使用方法如图2所示，若要把MEN ∠三等分，只需适当放置三分角器，使DB 经过MEN ∠的顶点E ，点A 落在边EM 上，半圆O 与另一边EN 恰好相切，切点为F ，则EB ，EO 就把MEN ∠三等分了．为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．独立思考：（1）如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整．已知：如图2，点A ，B ，O ，C 在同一直线上，EB AC ⊥，垂足为点B ，________，EN 切半圆O 于F ．求证：________________．探究解决：（2）请完成证明过程．应用实践：（3）若半圆O 的直径为12cm ，45MEN ︒∠=，求BE 的长度．5、如图，抛物线223y ax ax a =--（a 为常数，0a <）与x 轴分别交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且OB ＝OC ．（1）求a 的值；（2）点D 是该抛物线的顶点，点P （m ，n ）是第三象限内抛物线上的一个点，分别连接BD 、BC 、CD 、BP ，当∠PBA ＝∠CBD 时，求m 的值；（3）点K 为坐标平面内一点，DK ＝2，点M 为线段BK 的中点，连接AM ，当AM 最大时，求点K 的坐标．-参考答案-一、单选题1、B【分析】阴影部分的面积=扇形'ACC -扇形'ADB -''ABC S ，根据旋转性质以及直角三角形的性质，分别求出对应扇形的面积以及''ABC ∆的面积，最后即可求出阴影部分的面积．【详解】解：由图可知：阴影部分的面积=扇形'ACC -扇形'ADB -''ABC S ，由旋转性质可知：''90CAC BAB ∠=∠=︒，''ABC ABC ∆∆≌，'AB AB ∴=，'8AC AC ==，在ABC 中，90ABC ︒∠=，30BAC ︒∠=，8AC =，142BC AC ∴==，''60DAB BAB BAC ∠=∠-∠=︒，有勾股定理可知：AB∴阴影部分的面积=扇形'ACC -扇形'ADB -''ABC S2908143602π⨯=--⨯8π=-故选：B ．本题主要是考查了旋转性质以及扇形面积公式，熟练利用旋转性质，得到对应扇形的半径和圆心角度数，利用扇形公式求解面积，这是解决本题的关键．2、A【分析】连接OA ，根据圆周角定理求出AOC ∠，根据切线的性质得到90OAC ∠=︒，根据直角三角形的性质计算，得到答案．【详解】解：连接OA ，20B ︒∠=，240AOC B ∴∠=∠=︒， AC 与圆相切于点A ，90OAC ∴∠=︒，904050C ∴∠=︒-︒=︒，故选：A ．【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．3、A【分析】点在圆外，则点与圆心的距离大于半径，根据点与圆的位置关系解答．解：∵⊙O 的半径为4，点P 在⊙O 外部，∴OP 需要满足的条件是OP >4，故选：A ．【点睛】此题考查了点与圆的位置关系，熟记点在圆内、圆上、圆外的判断方法是解题的关键．4、C【分析】180A C ∠+∠=︒，::2:4:7A B C ∠∠∠=，40A ∠=︒，进而求解B 的值．【详解】解：由题意知180A C ∠+∠=︒∵::2:4:7A B C ∠∠∠=∴():1802:7A A ∠-∠=∴40A ∠=︒∵:2:4A B ∠∠=∴80B ∠=︒故选C ．【点睛】本题考查了圆内接四边形中对角互补．解题的关键在于根据角度之间的数量关系求解．5、A【分析】定理“同弧所对圆心角是圆周角的两倍”是圆周角定理，分析各个选项即可.【详解】A 选项，直径所在的圆心角是180°，直接可以由圆周角定理推导出：直径所对的圆周角为90︒，A 选项符合要求；B 、C 选项，根据圆的定义可以得到；D 选项，是垂径定理；故选：A【点睛】本题考查圆的基本性质，熟悉圆周角定理及其推论是解题的关键.6、B【分析】直接根据扇形的面积公式计算即可．【详解】2260113603606n r S πππ︒⨯⨯===︒︒扇形故选：B ．【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，熟记扇形的面积公式2360n r S π=︒扇形是解题的关键． 7、A【分析】连结OC ，根据切线长性质DC =AC ，OC 平分∠ACD ，求出∠OCD =∠OCA =12ACD ∠=30°，利用在Rt△ABC中，AC =AB tan B =Rt△AOC 中，∠ACO =30°，AO =AC 1=，利用三角形面积公式求出12AOC S OA AC ∆=⋅=，12DOC S OD DC ∆=⋅=212011==3603OAD S ππ⨯扇形，利用割补法求即可．【详解】解：连结OC ，∵以AB 边上一点O 为圆心作O ，恰与边AC ，BC 分别相切于点A , D ，∴DC =AC ，OC 平分∠ACD ，∵90BAC ∠=︒，30B ∠=︒，∴∠ACD =90°-∠B =60°，∴∠OCD =∠OCA =12ACD ∠=30°，在Rt△ABC 中，AC =AB tan B =在Rt△AOC 中，∠ACO =30°，AO =AC 1=，∴OD =OA =1，DC =AC∴11122AOC S OA AC ∆=⋅=⨯=11122DOC S OD DC ∆=⋅=⨯= ∵∠DOC =360°-∠OAC -∠ACD -∠ODC =360°-90°-90°-60°=120°， ∴212011==3603OAD S ππ⨯扇形，S 阴影=1133AOC DOC OAD S S S ππ∆∆+-扇形．故选择A ．【点睛】本题考查切线长性质，锐角三角形函数，扇形面积，三角形面积，角的和差计算，割补法求阴影面积，掌握切线长性质，锐角三角形函数，扇形面积，三角形面积，角的和差计算，割补法求阴影面积是解题关键．8、B【分析】利用三角函数及勾股定理求出BC、AB，连接CD，过点C作CE⊥AB于E，利用cosBC BEBAB BC==，求出BE，根据垂径定理求出BD即可得到答案．【详解】解：在Rt ABC中，390,4,tan4 ACB AC A∠===，∴BC=3，5AB=，连接CD，过点C作CE⊥AB于E，∵cosBC BEBAB BC==，∴353BE =，解得95 BE=，∵CB=CD，CE⊥AB，∴1825 BD BE==，∴187555 AD AB BD=-=-=，故选：B．【点睛】此题考查了锐角三角函数，勾股定理，垂径定理，熟记各定理并熟练应用是解题的关键．9、B【分析】根据“把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”及“如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形”，由此问题可求解．【详解】解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；B、是中心对称图形但不是轴对称图形，故符合题意；C、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；D、是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意；故选B．【点睛】本题主要考查中心对称图形及轴对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形及轴对称图形的定义是解题的关键．10、B【详解】①直径是圆中最大的弦；故①正确，②同圆或等圆中长度相等的两条弧一定是等弧；故②不正确③半径相等的两个圆是等圆；故③正确④弧分优弧、劣弧和半圆，故④不正确⑤同一条弦所对的两条弧可位于弦的两侧，故不一定相等，则⑤不正确．综上所述，正确的有①③故选B【点睛】本题考查了圆相关概念，掌握弦与弧的关系以及相关概念是解题的关键．二、填空题1、10 5【分析】（1）如图，作AH ⊥BC 于H ．根据垂线段最短，求出AH 即可解决问题．（2）如图，在AB 上取一点K ，使得AK ＝AC ，连接CK ，DK ．由△PAC ≌△DAK （SAS ），推出PC ＝DK ，易知KD ⊥BC 时，KD 的值最小，求出KD 的最小值即可解决问题．【详解】解：如图作AH ⊥BC 于H ，∵AB ＝AC ＝20，120BAC ∠=︒，∴180120302C ︒-︒∠==︒ ， ∵90AHC ∠=︒ ， ∴1102AH AC == ，根据垂线段最短可知，当AP 与AH 重合时，PA 的值最小，最小值为10．∴AP 的最小值是10；（2）如图，在AB 上取一点K ，使得AK ＝AC ，连接CK ，DK ．∵∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，∴∠CAK ＝60°，∴∠PAD ＝∠CAK ，∴∠PAC ＝∠DAK ，∵PA ＝DA ，CA ＝KA ，∴△PAC ≌△DAK （SAS ），∴PC ＝DK ，∵KD ⊥BC 时，KD 的值最小，∵10,,90AK AC KD BC ACB ==⊥∠=︒ ，60,CAKACK 是等边三角形，,AK CK 30,KCB B,KC KB∴152KD AC == ， ∴PC 的最小值为5．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，垂线段最短，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．2、【分析】根据旋转角相等可得1PBP ∠90ABC =∠=︒，进而勾股定理求解即可【详解】解：四边形ABCD 是正方形90ABC ∴∠=︒将ABP △绕点B 顺时针方向旋转,能与1CBP 重合，∴1PBP ∠90ABC =∠=︒，15PB PB==1PP ∴==故答案为：【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，求得旋转角相等且等于90°是解题的关键．3、140【分析】作ABC ∆的外接圆，根据三角形内心的性质可得：12IBC ABC ∠=∠，12ICB ACB ∠=∠，再由三角形内角和定理得出：70A ∠=︒，最后根据三角形外心的性质及圆周角定理即可得．解：如图所示，作ABC ∆的外接圆，∵点I 是ABC ∆的内心，∴BI ，CI 分别平分ABC ∠和ACB ∠， ∴12IBC ABC ∠=∠，12ICB ACB ∠=∠，∵125BIC ∠=︒，∴18012555IBC ICB ∠+∠=︒-︒=︒，∴()2110ABC ACB IBC ICB ∠+∠=∠+∠=︒，∴70A ∠=︒，∵点O 是ABC ∆的外心，∴2140BOC A ∠=∠=︒，故答案为：140．【点睛】题目主要考查三角形内心与外心的性质，三角形内角和定理等，理解题意，熟练掌握三角形内心与外心的性质是解题关键．4、5设⊙O的半径为r，则OA=r，OD=r-2，先由垂径定理得到AD=BD=12AB=4，再由勾股定理得到42+（r-2）2=r2，然后解方程即可．【详解】解：设⊙O的半径为r，则OC=OA=r，OE=OC-CE=r-2，∵OC⊥AB，AB=8，∴AE=BE=12AB=4，在Rt△OAE中，由勾股定理得：42+（r-2）2=r2，解得：r=5，即⊙O的半径长为5，故答案为：5．【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．5、【分析】如图，设小圆的切线MN与小圆相切于点D，与大圆交于M、N，连接OD、OM，根据切线的性质定理和垂径定理求解即可．【详解】解：如图，设小圆的切线MN与小圆相切于点D，与大圆交于M、N，连接OD、OM，则OD⊥MN，∴MD=DN，在Rt△ODM中，OM=180cm，OD=60cm，∴MD=，∴2==，MN MD即该球在大圆内滑行的路径MN的长度为，故答案为：【点睛】本题考查切线的性质定理、垂径定理、勾股定理，熟练掌握切线的性质和垂径定理是解答的关键．三、解答题1、（1）见解析；（2）CD=EF=1．【分析】∠=∠；根据平行线的（1）连接OC，根据圆的性质，得到OB=OC；根据等腰三角形的性质，得到B C性质，得到1B∠=∠；在同圆和等圆中，根据相等的圆心解所对的弧等即得证．（2）根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB=90°，根据平行线的性质求得∠AEO=∠ACB=90°，利用勾股定理求出AC=8，根据垂径定理求得EC=AE=4，根据中位线定理求出OE，在Rt△CDE中，根据OD BC，所以△EDF∽△BCF，最后根据似的性质，列方程求解即可．勾股定理求出CD，因为∥【详解】（1）解：连结OC．∵∥OD BC∴∠1=∠B∠2=∠C∵OB =OC∴∠B=∠C∴∠1=∠2∴弧AD=弧CD（2）∵AB是O的直径∴∠ACB=90°∵∥OD BC∴∠AEO=∠ACB=90°Rt△ABC中，∠ACB=90°，∵BC=6，AB=10∴AC=8∵半径OD⊥AC于E∴EC=AE=4OE=13 2BC∴ED =2由勾股定理得，CD =∵∥OD BC∴△EDF ∽△CBF ∴EF ED FC BC= 设EF =x ，则FC =4-x246x x =- ∴EF =1，经检验符合题意.【点睛】本题考查了圆的综合题，圆的有关性质：圆的半径相等；同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧等；直径所对的圆周角是直角；垂径定理；平行线的性质，勾股定理，三角形中位线定理，三角形相似的判定和性质等知识，正确理解圆的相关性质是解题的关键．2、成立，证明见解析【分析】根据阅读材料将△ADF 旋转120°再证全等即可求得EF = BE +DF ．【详解】解：成立．证明：将ADF ∆绕点A 顺时针旋转120︒，得到ABM ∆，ABM ADF ∴∆∆≌，90ABM D ︒=∠=∠，MAB FAD ∠=∠，AM AF =，MB DF =，180MBE ABM ABE ︒∠=∠+∠=∴，M 、B 、E 三点共线，60MAE MAB BAE FAD BAE BAD EAF ︒∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠=．AM AF =，MAE FAE ∠=∠，AE AE =，()MAE FAE SAS ∴∆∆≌，EF ME MB BE DF BE ∴==+=+．【点睛】本题考查旋转中的三角形全等，读懂材料并运用所学的全等知识是本题关键．3、（1）BP CP '=，理由见解析；（2）①60°；②PM ＝12AP ，见解析【分析】（1）根据等边三角形的性质，可得AB ＝AC ，∠BAC ＝60°，再由由旋转可知：60AP AP PAP ''=∠=︒，，从而得到BAP CAP '∠=∠，可证得ABP ACP '≌，即可求解；（2）①由∠BPC ＝120°，可得∠PBC ＋∠PCB ＝60°．根据等边三角形的性质，可得∠BAC ＝60°，从而得到∠ABC ＋∠ACB ＝120°，进而得到∠ABP ＋∠ACP ＝60°．再由ABP ACP '≌，可得ABP ACP '∠=∠ ，即可求解；②延长PM 到N ，使得NM ＝PM ，连接BN ．可先证得△PCM ≌△NBM ．从而得到CP ＝BN ，∠PCM ＝∠NBM ．进而得到BN BP '= ．根据①可得60P BP '∠︒＝，可证得PNB PP B '≌，从而得到PN PP '= ．再由PAP ' 为等边三角形，可得P P AP '= ．从而得到PN AP = ，即可求解．【详解】解：（1）BP CP '= ．理由如下：在等边三角形ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝60°，由旋转可知：60AP AP PAP ''=∠=︒，，∴PAP BAP BAC BAP '∠-∠=∠-∠即BAP CAP '∠=∠在ABP '△和△ACP 中AB AC BAP CAP AP AP =⎧⎪∠=''=∠⎨⎪⎩∴ABP ACP SAS '≌（）．∴BP CP '= ．（2）①∵∠BPC ＝120°，∴∠PBC ＋∠PCB ＝60°．∵在等边三角形ABC 中，∠BAC ＝60°，∴∠ABC ＋∠ACB ＝120°，∴∠ABP ＋∠ACP ＝60°．∵ABP ACP '≌ ．∴ABP ACP '∠=∠ ，∴∠ABP ＋∠ABP ＇＝60°．即60P BP '∠︒＝；②PM ＝12AP ．理由如下：如图，延长PM 到N ，使得NM ＝PM ，连接BN ．∵M 为BC 的中点，∴BM ＝CM ．在△PCM 和△NBM 中PM NM PMC NMB CM BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△PCM ≌△NBM （SAS ）．∴CP ＝BN ，∠PCM ＝∠NBM ．∴BN BP '= ．∵∠BPC ＝120°，∴∠PBC ＋∠PCB ＝60°．∴∠PBC ＋∠NBM ＝60°．即∠NBP ＝60°．∵∠ABC ＋∠ACB ＝120°，∴∠ABP ＋∠ACP ＝60°．∴∠ABP ＋∠ABP ＇＝60°．即60P BP '∠︒＝．∴P BP NBP '∠∠＝．在△PNB 和P B P ' 中BN BP NBP P BP BP BP ''=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴PNB PP B '≌ （SAS ）．∴PN PP '= ．∵60AP AP PAP ''=∠=︒，，∴PAP ' 为等边三角形，∴P P AP '= ．∴PN AP = ，∴PM ＝12AP ．【点睛】本题主要考查了等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握等边三角形判定和性质定理，全等三角形的判定和性质定理，图形的旋转的性质是解题的关键．4、（1）AB BO =，EB ，EO 将MEN ∠三等分；（2）见解析；（3）(12+【分析】（1）根据题意即可得；（2）先证明ABE ∆与OBE ∆全等，然后根据全等的性质可得12∠=∠，再由圆的切线的性质可得23∠∠=，可得三个角相等，即可证明结论；（3）连OF ，延长BC 与EN 相交于点H ，由（2）结论可得12315︒∠=∠=∠=，再由切线的性质60︒∠=DHO ，30FOH ︒∠=，然后利用勾股定理及线段间的数量关系可得(6cm =+BH ，最后利用相似三角形的判定和性质求解即可得．【详解】解：（1）AB BO =，EB ，EO 将MEN ∠三等分，故答案为：AB BO =；EB ，EO 将MEN ∠三等分，（2）证明：在ABE ∆与OBE ∆中，90AB OB BE BE ABE OBE =⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ()ABE OBE SAS ∴∆∆≌，12∠∠∴=．BE OB ⊥，BE ∴是O 的切线． BE 、EN 都是O 的切线，23∴∠=∠，123∴∠=∠=∠，EB ∴，EO 将MEN ∠三等分．（3）如图，连OF ，延长BC 与EN 相交于点H ，由（2），知12315︒∠=∠=∠=． EH 是O 的切线，90HFO ︒∴∠=，60DHO ︒=∴∠，30FOH ︒∠=．∵半径6cm OF =，∴由勾股定理得，在Rt FOH ∆中，FH =，OH =，(6cm BH BO OH ∴=+=+． ∵BHE FHO ∠=∠，90EBH HFO ∠=∠=︒，∴∆∆∽BEH FOH ，BE BH FO FH ∴=，即6BE =(12BE ∴=+．【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆的切线的性质，勾股定理等，理解题意，结合图形综合运用这些知识点是解题关键．5、（1）1-（2）43-（3）K 【分析】（1）先求得,A B ,C 点的坐标，进而根据OB OC =即可求得a 的值；（2）过点P 作PE x ⊥轴于点E ，证明BCD △是直角三角形，进而BCD BEP ∽，根据相似的性质列出比例式进而代入点P 的坐标解方程即可；（3）接BD ，取BD 的中点Q ，连接QM ,根据题意，点K 在以D 为圆心，2为半径的圆上，则M 在以Q 为圆心，1为半径的圆上运动，根据点与圆的距离求最值，进而求得AD 的解析式为2233y x =+，根据AM DK ∥,设直线DK 的解析式为23y x b =+，将点D 代入求得b ，进而设210(,)33K m m +，根据2DK =，进而根据勾股定理列出方程解方程求解即可．（1）223y ax ax a =--()()2(23)31a x x a x x =--=-+令0y =，解得121,3x x =-=令0x =，3y a =-抛物线223y ax ax a =--（a 为常数，0a <）与x 轴分别交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，∴抛物线与x 轴的交点为(1,0),(3,0)A B -(0,3)C a -3OB ∴=OB OC =3OC ∴=(0,3)C ∴33a ∴-=解得1a =-（2）如图，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，2223(1)4y x x x =-++=--+(1,4)D ∴()()3,0,3,0B CCD BC BD ∴====22220,20CD BC BD ∴+==222CD BC BD ∴+=BCD ∴△是直角三角形，且90BCD ∠=︒PE AB ⊥90PEB PCD ∴∠=∠=︒ 又PBA CBD ∠=∠BCD BEP ∴∽CD BC PE BE ∴=()P m n ,在抛物线2y x 2x 3=-++上，223n m m =-++∴223,3PE n m m BE m ∴=-=--=-=整理得()()3430m m +-= 解得124,33m m =-=（舍）()P m n ,在第三象限，0m ∴<43m ∴=- （3）如图，连接BD ，取BD 的中点Q ，连接QM ,QM ∴是BDK 的中位线112QM DK ∴== 根据题意点K 在以D 为圆心，2为半径的圆上，则M 在以Q 为圆心，1为半径的圆上运动，当,,A Q M 三点共线，且M 在AQ 的延长线上时，AM 最大，如图，(3,0),(1,4)B D1340(,)22Q ++∴即()2,2Q (1,0),(2,2)A Q -设直线AM 的解析式为y kx d =+，代入点(1,0),(2,2)A Q -，即022k d k d=-+⎧⎨=+⎩ 解得2323k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线AM 的解析式为2233y x =+ DK QM ∥设直线DK 的解析式为23y x b =+ (1,4)D243b ∴=+ 解得103b = 则DK 的解析式为21033y x =+ 设点210(,)33K m m +()0m >， (1,4)D ，2DK =()22221014233m m ⎛⎫∴-++-= ⎪⎝⎭解得12m m ==m ∴=21033m ∴+=21033+=K ∴ 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，点与圆的距离求最值问题，相似三角形的性质与判定，正确的添加辅助线并熟练掌握以上知识是解题的关键．。

2022年最新沪科版九年级数学下册第24章圆专题练习试题(含答案及详细解析)

沪科版九年级数学下册第24章圆专题练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠ADC=130°，则∠AOC的度数为（）A．25°B．80°C．130°D．100°2、下列各曲线是在平面直角坐标系xOy中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（）A．B．C ．D ．3、如图，在AOB 中，4OA =，6OB =，AB =AOB 绕原点O 逆时针旋转90°，则旋转后点A 的对应点A '的坐标是（）A ．()4,2-B ．()-C ．()-D ．(-4、如图，在ABC 中，90ABC ︒∠=，30BAC ︒∠=，8AC =．将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90︒后得到AB C ''△，则图中阴影部分面积为（）A ．4πB ．8π-C ．4π-D ．5、如图，直线334y x =--交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，点P 是x 轴上一动点，以点P 为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P ，当⊙P 与直线AB 相切时，点P 的坐标是（）A．7(,0)3-B．17(,0)3-C．7(,0)3-或17(,0)3-D．（﹣2，0）或（﹣5，0）6、随着2022年北京冬奥会日渐临近，我国冰雪运动发展进入快车道，取得了长足进步．在此之前，北京冬奥组委曾面向全球征集2022年冬奥会会徵和冬残奥会会徽设计方案，共收到设计方案4506件，以下是部分参选作品，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．7、下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．8、如图，AB为O的直径，C为D外一点，过C作O的切线，切点为B，连接AC交O于D，38C∠=︒，点E在AB右侧的半圆周上运动（不与A，B重合），则AED∠的大小是（）A．19°B．38°C．52°D．76°9、下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．10、如图，边长为5的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM 绕点B逆时针旋转60 得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（）A．54B．1 C．2 D．52第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、龙湖实验中学的操场有4条等宽的跑道，每条跑道是由两条直跑道和两个半圆形弧道连接而成，请根据小泓与瞿老师的对话计算每条跑道的宽度是______米．2、如图，在平行四边形ABCD 中，7AB =，3AD =，120A ︒∠=，以点B 为圆心，BC 为半径的圆弧交AB 于点E ，连接DE ，则图中黑色阴影部分的面积为________．（结果保留π）3、如图，PA ，PB 分别与⊙O 相切于A ，B 两点，C 是优弧AB 上的一个动点，若∠P = 50°，则∠ACB ＝_____________°4、如图，在平面直角坐标系内，∠OA 0A 1＝90°，∠A 1OA 0＝60°，以OA 1为直角边向外作Rt △OA 1A 2，使∠A 2A 1O ＝90°，∠A 2OA 1＝60°，按此方法进行下去，得到 Rt △OA 2A 3，Rt △OA 3A 4…，若点A 0的坐标是（1，0），则点A 2021的横坐标是___________．5、已知圆O 的圆心到直线l 的距离为2，且圆的半径是方程x 2﹣5x +6＝0的根，则直线l 与圆O 的的位置关系是______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分） 1、请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．阿拉伯Al-Binmi （973-1050 年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Binmi 详本出版了俄文版《阿基米德全集》．第一题就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：如图1，AB 和BC 是O 的两条弦（即折线ABC 是圆的一条折弦），BC AB >， M 是ABC 的中点，则从M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD AB BD =+．下面是运用“截长法”证明CD AB BD =+的部分证明过程．证明：如图2，在CB 上截取CG AB =，连接,,MA MB MC 和MG ． M 是ABC 的中点，MA MC ∴=…任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明部分；（2）填空：如图3，已知等边ABC 内接于O ，2AB =，D 为AC 上一点，45ABD ︒∠=，AE BD ⊥于点E ，则BDC 的周长是_________．2、已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC求作：一点P，使得∠APC＝∠BAC作法：①以点A为圆心，AB长为半径画圆；②以点B为圆心，BC长为半径画弧，交⊙A于点C，D两点；③连接DA并延长交⊙A于点P点P即为所求（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明证明：连接PC，BD∵AB＝AC，∴点C在⊙A上∵BC＝BD，∴∠_________＝∠_________ ∴∠BAC ＝12∠CAD ∵点D ，P 在⊙A 上，∴∠CPD ＝12∠CAD （______________________）（填推理的依据） ∴∠APC ＝∠BAC3、如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为A （﹣1，0），B （﹣4，1），C （﹣2，2）．（1）直接写出点B 关于原点对称的点B ′的坐标：；（2）平移△ABC ，使平移后点A 的对应点A 1的坐标为（2，1），请画出平移后的△A 1B 1C 1；（3）画出△ABC 绕原点O 逆时针旋转90°后得到的△A 2B 2C 2．4、如图，在平面直角坐标系中，有抛物线23y ax bx =++，已知OA =OC =3OB ，动点P 在过A ，B ，C 三点的抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）求过A ，B ，C 三点的圆的半径；（3）是否存在点P ，使得△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标，若不存在，说明理由；5、在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为2．点P ，Q 为O 外两点，给出如下定义：若O 上存在点M ，N ，使得P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形为矩形，则称点P ，Q 是O 的“成对关联点”．（1）如图，点A ，B ，C ，D 横、纵坐标都是整数．在点B ，C ，D 中，与点A 组成O 的“成对关联点”的点是______；（2）点)(,E t t 在第一象限，点F 与点E 关于x 轴对称．若点E ，F 是O 的“成对关联点”，直接写出t 的取值范围；（3）点G 在y 轴上．若直线4y =上存在点H ，使得点G ，H 是O 的“成对关联点”，直接写出点G 的纵坐标G y 的取值范围．-参考答案-一、单选题1、D【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠B的度数，根据圆周角定理计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠ADC=180°，∵∠ADC=130°，∴∠B=50°，由圆周角定理得，∠AOC=2∠B=100°，故选：D．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．2、C【分析】利用中心对称图形的定义：旋转180 能与自身重合的图形即为中心对称图形，即可判断出答案．【详解】解：A、不是中心对称图形，故A错误．B、不是中心对称图形，故B错误．C、是中心对称图形，故C正确．D 、不是中心对称图形，故D 错误．故选：C ．【点睛】本题主要是考查了中心对称图形的定义，熟练掌握中心对图形的定义，是解决该题的关键．3、C【分析】过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，设OC a = ，则6BC a =- ，根据勾股定理，可得2222AB BC OA OC -=-，从而得到2OC = ，进而得到∴AC =，可得到点(2,A ，再根据旋转的性质，即可求解．【详解】解：如图，过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，设OC a = ，则6BC a =- ，∵222AC OA OC =- ，222AC AB BC =-，∴2222AB BC OA OC -=-，∵4OA =， AB =∴(()222264a a --=- ，解得：2a = ，∴2OC = ，∴AC ，∴点(2,A ，∴将AOB 绕原点O 顺时针旋转90°，则旋转后点A 的对应点A ''的坐标是()2-，∴将AOB 绕原点O 逆时针旋转90°，则旋转后点A 的对应点A '的坐标是()-．故选：C【点睛】本题考查坐标与图形变化一旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是求出点A 的坐标，属于中考常考题型．4、B【分析】阴影部分的面积=扇形'ACC -扇形'ADB -''ABC S ，根据旋转性质以及直角三角形的性质，分别求出对应扇形的面积以及''ABC ∆的面积，最后即可求出阴影部分的面积．【详解】解：由图可知：阴影部分的面积=扇形'ACC -扇形'ADB -''ABC S ，由旋转性质可知：''90CAC BAB ∠=∠=︒，''ABC ABC ∆∆≌，'AB AB ∴=，'8AC AC ==，在ABC 中，90ABC ︒∠=，30BAC ︒∠=，8AC =，142BC AC ∴==，''60DAB BAB BAC ∠=∠-∠=︒，有勾股定理可知：AB∴阴影部分的面积=扇形'ACC -扇形'ADB -''ABC S2908143602π⨯=--⨯8π=-故选：B ．【点睛】本题主要是考查了旋转性质以及扇形面积公式，熟练利用旋转性质，得到对应扇形的半径和圆心角度数，利用扇形公式求解面积，这是解决本题的关键．5、C【分析】由题意根据函数解析式求得A （-4，0），B （0．-3），得到OA =4，OB =3，根据勾股定理得到AB =5，设⊙P 与直线AB 相切于D ，连接PD ，则PD ⊥AB ，PD =1，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵直线334y x =--交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，∴令x =0，得y =-3，令y =0，得x =-4，∴A （-4，0），B （0，-3），∴OA =4，OB =3，∴AB =5，设⊙P 与直线AB 相切于D ，连接PD，则PD⊥AB，PD=1，∵∠ADP=∠AOB=90°，∠PAD=∠BAO，∴△APD∽△ABO，∴PD AP OB AB=，∴135AP =，∴AP= 53，∴OP= 73或OP=173，∴P7(,0)3-或P17(,0)3-，故选：C．【点睛】本题考查切线的判定和性质，一次函数图形上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意并运用数形结合思维分析是解题的关键．6、C【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】A ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B ．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；C ．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项合题意；D ．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．7、C【详解】解：选项A 是轴对称图形，不是中心对称图形，故A 不符合题意；选项B 不是轴对称图形，是中心对称图形，故B 不符合题意；选项C 既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C 符合题意；选项D 是轴对称图形，不是中心对称图形，故D 不符合题意；故选C【点睛】本题考查的是轴对称图形的识别，中心对称图形的识别，掌握“轴对称图形与中心对称图形的定义”是解本题的关键，轴对称图形：把一个图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合；中心对称图形：把一个图形绕某点旋转180︒后能与自身重合.8、B【分析】连接,BD 由AB 为O 的直径，求解903852,CBD ∠=︒-︒=︒ 结合CB 为O 的切线，求解905238,ABD ABC DBC ∠=∠-∠=︒-︒=︒ 再利用圆周角定理可得答案.【详解】解：连接,BD AB 为O 的直径，90,90,ADB BDC ∴∠=︒∠=︒38,C ∠=︒903852,CBD ∴∠=︒-︒=︒ CB 为O 的切线，90,905238,ABC ABD ABC DBC ∴∠=︒∠=∠-∠=︒-︒=︒38,AED ABD ∴∠=∠=︒故选B【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，切线的性质定理，熟练运用以上知识逐一求解相关联的角的大小是解本题的关键.9、C【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C 、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；D 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．10、A【分析】取CB的中点G，连接MG，根据等边三角形的性质可得BH=BG，再求出∠HBN=∠MBG，根据旋转的性质可得MB=NB，然后利用“边角边”证明△MBG≌△NBH，再根据全等三角形对应边相等可得HN=MG，然后根据垂线段最短可得MG⊥CH时最短，再根据∠BCH=30°求解即可．【详解】解：如图，取BC的中点G，连接MG，∵旋转角为60°，∴∠MBH+∠HBN=60°，又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，∴∠HBN=∠GBM，∵CH是等边△ABC的对称轴，AB，∴HB=12∴HB=BG，又∵MB旋转到BN，在△MBG 和△NBH 中，BG BH MBG NBH MB NB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△MBG ≌△NBH （SAS ），∴MG =NH ，根据垂线段最短，MG ⊥CH 时，MG 最短，即HN 最短，此时∵∠BCH =12×60°=30°，CG =12AB =12×5=2.5，∴MG =12CG =54，∴HN =54，故选A ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．二、填空题1、3π 【分析】设跑道的宽为x 米，根据直道长度一样，外圈与内圈的差是两个圆周长的差，列出式子求解即可．【详解】解：设跑道的宽为x 米，由对称性设内圈两个半圆形弧道拼成的圆的半径为r ，根据题意可得：1981802(3)2r x r ππ-=+-，解得：3x π=，故答案是：3π．【点睛】本题考查了圆的基本概念，一元一次方程，解题的关键是根据题意列出等式求解．232π 【分析】过点C 作CH AB ⊥于点H ，根据正弦定义解得CH 的长，再由扇形面积公式、三角形的面积公式解题即可．【详解】解：过点C 作CH AB ⊥于点H ，在平行四边形ABCD 中，120A ∠=︒18012060B ∴∠=︒-︒=︒=sin sin 603CH BC B AD ∴⋅=⨯︒=平行四边形ABCD 的面积为：7AB CH ⨯= 图中黑色阴影部分的面积为：()2216016037323602360BC AE CH ππ⋅⨯⋅⋅-=⨯-=32π，32π．【点睛】本题考查平行四边形的性质、扇形面积等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 3、65【分析】连接,OA OB ，根据切线的性质以及四边形内角和定理求得130AOB ∠=︒，进而根据圆周角定理即可求得∠ACB【详解】解：连接,OA OB ，如图，PA ，PB 分别与⊙O 相切90OAP OBP ∴∠=∠=︒360130AOB OAP OBP P ∴∠=︒-∠-∠-∠=︒AB AB =1652ACB AOB ∴∠=∠=︒ 故答案为：65【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，四边形的内角和，掌握切线的性质是解题的关键． 4、22020【分析】根据0190OA A ∠=︒，1060AOA ∠=︒，点0A 的坐标是()1,0，得01OA =，点1A 的横坐标是012=，点2A 的横坐标是-12，同理可得点3A 的横坐标是32-，点4A 的横坐标是32-，点5A 的横坐标是42，点6A 的横坐标是62，点7A 的横坐标是62，依次进行下去，可得点n A 的横坐标，进而求得2021A 的横坐标．【详解】解：∵∠OA 0A 1＝90°，∠A 1OA 0＝60°，点A 0的坐标是（1，0），∴OA 0＝1，∴点A 1 的横坐标是 1＝20，∴OA 1＝2OA 0＝2，∵∠A 2A 1O ＝90°，∠A 2OA 1＝60°，∴OA 2＝2OA 1＝4，∴点A 2 的横坐标是- 12OA 2＝-2＝-21，依次进行下去，Rt△OA 2A 3，Rt△OA 3A 4…，同理可得：点A 3 的横坐标是﹣2OA 2＝﹣8＝﹣23，点A 4 的横坐标是﹣8＝﹣23，点A 5 的横坐标是 12OA 5＝12×2OA 4＝2OA 3＝4OA 2＝16＝24，点A 6 的横坐标是2OA 5＝2×2OA 4＝23OA 3＝64＝26，点A 7 的横坐标是64＝26，…发现规律，6次一循环，即()16112n n A --+= ()16122n n A --+=-()6132n n A -+=-，()16142n n A --+=-，()16152n n A --+=2021÷6=336 (5)则点A 2021的横坐标与()615n A -+的坐标规律一致是 22020．故答案为：22020．【点睛】本题考查了规律型——点的坐标，解决本题的关键是理解动点的运动过程，总结规律，发现规律，点A 3n 在x 轴上，且坐标为()312nn -⋅．5、相切或相交【详解】首先求出方程的根，再利用半径长度，由点O 到直线l 的距离为d ，若d ＜r ，则直线与圆相交；若d ＝r ，则直线于圆相切；若d ＞r ，则直线与圆相离，从而得出答案．【分析】解：∵x 2﹣5x +6＝0，（x ﹣2）（x ﹣3）＝0，解得：x 1＝2，x 2＝3，∵圆的半径是方程x 2﹣5x +6＝0的根，即圆的半径为2或3，∴当半径为2时，直线l 与圆O 的的位置关系是相切，当半径为3时，直线l 与圆O 的的位置关系是相交，综上所述，直线l 与圆O 的的位置关系是相切或相交．故答案为：相切或相交．【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，因式分解法解一元二次方程，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d 与圆的半径大小关系完成判定．三、解答题1、（1）证明见解析；（2）2+【分析】（1）首先证明()MBA MGC SAS ≅，进而得出MB MG =，再利用等腰三角形的性质得出BD GD =，即可得出答案；（2）首先证明()ABF ACD SAS ≅，进而得出AF AD =，以及CD DE BE +=，进而求出DE 的长即可得出答案．（1）证明：如图2，在CB 上截取CG AB =，连接MA ，MB ，MC 和MG ．M是ABC的中点，MA MC∴=．在MBA△和MGC中BA GCA CMA MC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()MBA MGC SAS∴≅，MB MG∴=，又MD BC⊥，BD GD∴=，DC GC GD AB BD∴=+=+；（2）解：如图3，截取BF CD=，连接AF，AD，CD，由题意可得：AB AC=，∵AD AD=∴ABF ACD∠=∠，在ABF和ACD△中AB ACABF ACDBF DC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABF ACD SAS∴≅，AF AD∴=，AE BD⊥，FE DE∴=，则CD DE BE+=，45ABD∠=︒，AB∴=，∵2AB BC∴==，∴BE则22BDCl BC CD BD BC BE=++=+=+故答案为：2+【点睛】此题主要考查了圆与三角形综合，涉及了圆周角定理、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形以及等边三角形的性质，正确作出辅助线利用全等三角形的判定与性质解题是解题关键．2、（1）见解析；（2）BAC=BAD，圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半【分析】（1）根据按步骤作图即可；（2）根据圆周角定理进行证明即可【详解】解：（1）如图所示，（2）证明：连接PC，BD∵AB＝AC，∴点C在⊙A上∵BC＝BD，∴∠BAC=∠BAD∠CAD∴∠BAC＝12∵点D，P在⊙A上，∠CAD（圆周角定理）（填推理的依据）∴∠CPD＝12∴∠APC＝∠BAC故答案为：BAC=BAD，圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半【点睛】本题考查了尺规作图作圆，圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．3、（1）（4，﹣1）；（2）见解析；（3）见解析．【分析】（1）根据关于原点对称的两点的横纵坐标均与原来点的横纵坐标互为相反数，据此可得答案；（2）将三个点分别向右平移3个单位、再向上平移1个单位，继而首尾顺次连接即可；（3）将三个点分别绕原点O逆时针旋转90°后得到对应点，再首尾顺次连接即可．【详解】（1）点B关于原点对称的点B′的坐标为（4，﹣1），故答案为：（4，﹣1）；（2）如图所示，△A1B1C1即为所求．（3）如图所示，△A2B2C2即为所求．【点睛】本题主要考查作图—平移变换、旋转变换，解题的关键是掌握平移变换和旋转变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．4、（1）y=-x2+2x+3；（2（3）点P（1，4）或（-2，-5）．【分析】（1）3=OC=OA=3OB，故点A、B、C的坐标分别为：（0，3）、（-1，0）、（3，0），即可求解；（2）圆的圆心在BC的中垂线上，故设圆心R（1，m），则RA=RC，即：1+（m-3）2=4+m2，解得：m=1，故点R（1，1），即可求解；（3）分两种情况讨论，利用等腰直角三角形的性质，即可求解．【详解】解：（1）令x=0，则y=3，则点A的坐标为（3，0），根据题意得：OC=3=OA=3OB，故点B、C的坐标分别为：（-1，0）、（3，0），则抛物线的表达式为：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3），把（3，0）代入得-3a=3，解得：a=-1，故抛物线的表达式为：y=-x2+2x+3；（2）圆的圆心在BC的中垂线上，故设圆心R（1，m），则RA=RC，即：1+（m-3）2=4+m2，解得：m=1，故点R（1，1），=（3）过点A、C分别作直线AC的垂线，交抛物线分别为P、P1，设点P (x ，-x 2+2x +3)，过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q ，∵OA =OC ，∠PAC =90°，∴∠ACO =∠OAC =45°，∵∠PAC =90°，∴∠PAQ =45°，∴△PAQ 是等腰直角三角形，∴PQ =AQ =x ，∴AQ +AO =x +3=-x 2+2x +3，解得：1210x x ==，(舍去)，∴点P (1，4)；设点P 1(m ，-m 2+2m +3)，过点P 1作P 1D ⊥x 轴于点D ，同理得△P 1CD 是等腰直角三角形，且点P 1在第三象限，即m <0，∴P 1D =CD =m 2-2m -3，DO =-m ，∴DO +OC = P 1D ，即-m +3= m 2-2m -3，解得：1223m m =-=，(舍去)，∴点P (-2，-5)；综上，点P （1，4）或（-2，-5）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，圆的基本知识等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．5、（1）B 和C ；（22t ≤≤；（3）42G y <≤+【分析】（1）根据图形可确定与点A 组成O 的“成对关联点”的点；（2）如图，点E 在直线y x =上，点F 在直线y x =-上，当点E 在线段01E E 上，点F 在线段01F F 上时，有O 的“成对关联点”，求出即可得出t 的取值范围；（3）分类讨论：点G 在4y =上，点G 在4y =的下方和点G 在4y =的上方，构造O 的“成对关联点”，即可求出G y 的取值范围．【详解】（1）如图所示：在点B ，C ，D 中，与点A 组成O 的“成对关联点”的点是B 和C ，故答案为：B 和C ；（2）∵(,)E t t∴(,)E t t 在直线y x =上，∵点F 与点E 关于x 轴对称，∴(,)F t t -在直线y x =-，如下图所示：直线y x =和y x =-与O 分别交于点0E ，0F ，与直线2x =分别交于1E ，1F ，由题可得：0E ，当点E 在线段01E E 上时，有O 的“成对关联点”2t ≤≤；（3）如图，当点G 在4y =上时，GH x ∥轴，在O 上不存在这样的矩形；如图，当点G 在4y =下方时，也不存在这样的矩形；如图，当点G 在4y =上方时，存在这样的矩形GMNH ，当恰好只能构成一个矩形时，设(0,)G m ，直线4y =与y 轴相交于点K ，则GHK OGM ∠=∠，2OM =，OG m =，4GH MN ==，4GK m =-，∴sin sin GHK OGM ∠=∠，即GK OM GH OG =， ∴424m m -=，解得：2m =+2m =-，综上：当42G y <≤+G ，H 是O 的“成对关联点”．【点睛】本题考查几何图形综合问题，属于中考压轴题，掌握“成对关联点”的定义是解题的关键．。

精品试题沪科版九年级数学下册第24章圆专项训练试题(含答案解析)

沪科版九年级数学下册第24章圆专项训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于M，则下列结论不一定成立的是（）A．AM=BM B．CM=DM C．AC BC=D．AD BD=2、下列各点中，关于原点对称的两个点是（）A．（﹣5，0）与（0，5）B．（0，2）与（2，0）C．（﹣2，﹣1）与（﹣2，1）D．（2，﹣1）与（﹣2，1）3、如图图案中，不是中心对称图形的是（）A．∽B．C．>D．=4、如图，直线334y x=--交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P ，当⊙P 与直线AB 相切时，点P 的坐标是（）A ．7(,0)3- B ．17(,0)3- C ．7(,0)3-或17(,0)3- D ．（﹣2，0）或（﹣5，0）5、如图，在ABC 中，90ABC ︒∠=，30BAC ︒∠=，8AC =．将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90︒后得到AB C ''△，则图中阴影部分面积为（）A ．4πB ．8π-C ．4π-D ．6、如图，AB 为O 的直径，4AB =，CD =BC 的长是劣弧BD 长的2倍，则AC 的长为（）A ．B ．C ．3D ．7、如图，AB ，CD 是⊙O 的弦，且AB CD ∥，若80AOC ∠=︒，则BAD ∠的度数为（）A．30°B．40°C．45°D．60°8、如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，若∠A的度数为110°，∠D的度数为40°，则∠AOD的度数是（）A．50°B．60°C．40°D．30°9、下列图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．10、下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、点（2，-3）关于原点的对称点的坐标为_____．2、“化圆为方”是古希腊尺规作图难题之一，即：求作一个正方形，使其面积等于给定圆的面积．这个问题困扰了人类上千年，直到19世纪，该问题被证明仅用直尺和圆规是无法完成的．如果借用一个圆形纸片，我们就可以化圆为方，方法如下：已知：⊙O（纸片），其半径为r．求作：一个正方形，使其面积等于⊙O的面积．作法：①如图1，取⊙O的直径AB，作射线BA，过点A作AB的垂线l；②如图2，以点A为圆心，OA为半径画弧交直线l于点C；③将纸片⊙O沿着直线l向右无滑动地滚动半周，使点A，B分别落在对应的A'，B'处；④取CB'的中点M，以点M为圆心，MC为半径画半圆，交射线BA于点E；⑤以AE为边作正方形AEFG．正方形AEFG即为所求．根据上述作图步骤，完成下列填空：（1）由①可知，直线l 为⊙O 的切线，其依据是________________________________．（2）由②③可知，AC r =，AB r π'=，则MC =_____________，MA =____________（用含r 的代数式表示）．（3）连接ME ，在Rt AME △中，根据222AM AE EM +=，可计算得2AE =_________（用含r 的代数式表示）．由此可得正方形o AEFG S S =．3、如图，在⊙O 中，A ，B ，C 是⊙O 上三点，如果∠AOB =70º，那么∠C 的度数为_______．4、小明烘焙了几款不同口味的饼干，分别装在同款的圆柱形盒子中．为区别口味，他打算制作“** 饼干”字样的矩形标签粘贴在盒子侧面．为了获得较好的视觉效果，粘贴后标签上边缘所在弧所对的圆心角为90°（如图）．已知该款圆柱形盒子底面半径为6 cm ，则标签长度l 应为_______ cm ．（π取3.1）5、如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为1的半圆O 上有一动点B ，点()3,0A ，ABC 为等腰直角三角形，A 为直角顶点，且C 在第一象限，则线段OC 长度的最大值为______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，点E 在AC 上，以AE 为直径的⊙O 经过点D ．（1）求证：①BC 是⊙O 的切线；②2CD CE CA =⋅；（2）若点F是劣弧AD的中点，且CE＝3，试求阴影部分的面积．⊥，并经过圆心O）．2、如图，已知弓形的长12AB=，弓高2CD=，（CD AB（1）请利用尺规作图的方法找到圆心O；（2）求弓形所在O的半径的长．∥，直线CD交BA的延长线于点E，连接3、如图，AB为O的直径，BC为O的切线，弦AD OCBD．求证：（1）EDA EBD△△；（2）ED BC AO BE⋅=⋅．4、如图，⊙O的半径为10cm，弦AB垂直平分半径OC，垂足为点D．（1）弦AB的长为．（2）求劣弧AB的长．5、如图，在⊙O中，点E是弦CD的中点，过点O，E作直径AB（AE＞BE），连接BD，过点C作CF∥BD交AB于点G，交⊙O于点F，连接AF．求证：AG＝AF．-参考答案-一、单选题1、B【分析】根据垂径定理“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”进行判断即可得．【详解】解：∵弦AB⊥CD，CD过圆心O，∴AM=BM，AC BC=，AD BD=，即选项A、C、D选项说法正确，不符合题意，当根据已知条件得CM和DM不一定相等，故选B．【点睛】本题考查了垂径定理，解题的关键是掌握垂径定理．2、D【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．【详解】解：A、（﹣5，0）与（0，5）横、纵坐标不满足关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数的特征，故A错误；B、（0，2）与（2，0）横、纵坐标不满足关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数的特征，故B错误；C、（﹣2，﹣1）与（﹣2，1）关于x轴对称，故C错误；D、关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，故D正确；故选：D．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．3、C【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心求解．【详解】解：A、是中心对称图形，故A选项不合题意；B、是中心对称图形，故B选项不合题意；C、不是中心对称图形，故C选项符合题意；D、是中心对称图形，故D选项不合题意；故选：C．【点睛】本题考查了中心对称图形的知识，解题的关键是掌握中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后重合．4、C【分析】由题意根据函数解析式求得A（-4，0），B（0．-3），得到OA=4，OB=3，根据勾股定理得到AB=5，设⊙P与直线AB相切于D，连接PD，则PD⊥AB，PD=1，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵直线334y x=--交x轴于点A，交y轴于点B，∴令x=0，得y=-3，令y=0，得x=-4，∴A（-4，0），B（0，-3），∴OA=4，OB=3，∴AB=5，设⊙P与直线AB相切于D，连接PD，则PD⊥AB，PD=1，∵∠ADP=∠AOB=90°，∠PAD=∠BAO，∴△APD∽△ABO，∴PD AP OB AB=，∴135AP =，∴AP= 53，∴OP= 73或OP=173，∴P7(,0)3-或P17(,0)3-，故选：C．【点睛】本题考查切线的判定和性质，一次函数图形上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意并运用数形结合思维分析是解题的关键．5、B【分析】阴影部分的面积=扇形'ACC-扇形'ADB-''ABCS，根据旋转性质以及直角三角形的性质，分别求出对应扇形的面积以及''ABC∆的面积，最后即可求出阴影部分的面积．【详解】解：由图可知：阴影部分的面积=扇形'ACC -扇形'ADB -''ABC S ，由旋转性质可知：''90CAC BAB ∠=∠=︒，''ABC ABC ∆∆≌，'AB AB ∴=，'8AC AC ==，在ABC 中，90ABC ︒∠=，30BAC ︒∠=，8AC =，142BC AC ∴==，''60DAB BAB BAC ∠=∠-∠=︒，有勾股定理可知：AB∴阴影部分的面积=扇形'ACC -扇形'ADB -''ABC S2290860143603602π⨯⨯=--⨯8π=-故选：B ．【点睛】本题主要是考查了旋转性质以及扇形面积公式，熟练利用旋转性质，得到对应扇形的半径和圆心角度数，利用扇形公式求解面积，这是解决本题的关键．6、D【分析】连接,,OC OD BC ，根据AB 求得半径,OC OD ，进而根据CD 的长，勾股定理的逆定理证明90COD ∠=︒，根据弧长关系可得60COB ∠=︒，即可证明COB △是等边三角形，求得2BC =，进而由勾股定理即可求得AC【详解】如图，连接,,OC OD BC ，4AB =2OC OD ∴==228OC OD +=，28CD =∴222OC OD CD +=OCD ∴是直角三角形，且90COD ∠=︒2CB DB ∴=23BC CD ∴= 2603BOC COD ∴∠=⨯∠=︒ OC OB =OBC ∴是等边三角形2BC OC ∴== AB 是直径，4AB =90ACB ∴∠=︒AC ∴=故选D【点睛】本题考查了弧与圆心角的关系，直径所对的圆周角是90度，勾股定理，等边三角形的判定，求得BC 的长是解题的关键．7、B【分析】由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得40ADC ∠=︒，利用平行线的性质：两直线平行，内错角相等即可得．【详解】解：∵80AOC ∠=︒， ∴1402ADC AOC ∠=∠=︒，∵AB CD ∥，∴40BAD ADC ∠=∠=︒，故选：B ．【点睛】题目主要考查圆周角定理，平行线的性质等，理解题意，找出相关的角度是解题关键．8、A【分析】根据旋转的性质求解80,BOD AOC 110,C A 再利用三角形的内角和定理求解1801104030,COD 再利用角的和差关系可得答案.【详解】解：将△OAB 绕点O 逆时针旋转80°得到△OCD ，80,BOD AOC∠A 的度数为110°，∠D 的度数为40°，110,1801104030,C A CODAOD803050,故选A【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，旋转的性质，掌握“旋转前后的对应角相等”是解本题的关键.9、B【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念逐项分析【详解】解：A. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；B. 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项正确，符合题意；C. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；D. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；故选B【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键．10、C【分析】根据中心对称图形的概念：一个平面图形绕某一点旋转180,如果旋转后的图形能够和原图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是对称中心. 根据中心对称图形的概念对各选项进行一一分析判定即可求解．【详解】A 、不是中心对称图形，不符合题意；B 、不是中心对称图形，不符合题意；C 、是中心对称图形，符合题意；D 、不是中心对称图形，不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了中心对称图形，掌握好中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后能够与原来的图形重合．二、填空题1、 (-2，3)【分析】根据“关于原点对称的点的坐标关系，横坐标与纵坐标都互为相反数”，即可求解．【详解】点(2，-3)关于原点的对称点的坐标是(-2，3)．故答案为: （-2，3）．【点睛】本题主要考查点关于原点对称，解决本题的关键是要熟练掌握关于原点对称点的坐标的关系．2、（1）经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；（2）()12r π+，()12r π-；（3） 2r π【分析】（1）根据切线的定义判断即可．（2）由CB '=AC +AB '，2CB MC '=计算即可；根据MA MC AC =-计算即可．（3）根据勾股定理，得2AE 即为正方形的面积，比较与圆的面积的大小关机即可．解：（1）∵⊙O 的直径AB ，作射线BA ，过点A 作AB 的垂线l ，∴经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；故答案为：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；（2）根据题意，得AC =r ，AB '=22πr =πr ， ∴CB '=AC +AB '=r +πr ， ∴2CB MC '==()12r π+； ∵MA MC AC =-，∴MA =()12rπ+-r =()12rπ-，故答案为：()12rπ+，()12rπ-；（3）如图，连接ME ，根据勾股定理，得22222AE ME MA MC MA =-=-=()()2211[][]22rrπ+π--=2r π；故答案为：2r π．本题考查了圆的切线的定义，勾股定理，圆的周长，正方形的面积和性质，熟练掌握圆的切线的定义，勾股定理，正方形的性质是解题的关键．3、35°【分析】利用圆周角定理求出所求角度数即可．【详解】解：AOB ∠与ACB ∠都对AB ，且70AOB ∠=︒，1352C AOB ∴∠=∠=︒，故答案为：35︒．【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理．4、9.3【分析】根据弧长公式进行计算即可，180n r l π=【详解】解：粘贴后标签上边缘所在弧所对的圆心角为90°，底面半径为6 cm ，906==39.3180180n r l πππ⨯∴==cm ，故答案为：9.3【点睛】本题考查了弧长公式，牢记弧长公式是解题的关键．5、1+【分析】过点C 作CD ⊥x 轴于D ，过B 作BE ⊥x 轴于E ，连结OB ，设OD =x ，根据点A （3，0）可求AD =x -3，根据ABC 为等腰直角三角形，得出AB =AC ，∠BAC =90°，再证△BAE ≌△ACD （AAS ），得出BE =AD =x -3,EA =DC ，在Rt△EBO中，根据勾股定理OE == 得出CD =AE3，根据勾股定理COOD =CD时OC 最大，OC=此时3x =解方程即可．【详解】解：过点C 作CD ⊥x 轴于D ，过B 作BE ⊥x 轴于E ，连结OB ，设OD =x ，∵点A （3，0）∴AD =x -3，∵ABC 为等腰直角三角形，∴AB =AC ，∠BAC =90°，∴∠BAE +∠CAD =180°-∠BAC =180°-90°=90°，∵CD ⊥x 轴， BE ⊥x 轴，∴∠BEA =∠ADC =90°，∴∠ACD +∠CAD =90°，∴∠ACD =∠BAE ，在△BAE 和△ACD 中，BEA ADC BAE ACD BA AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAE ≌△ACD （AAS ）， ∴BE =AD =x -3,EA =DC ，在Rt△EBO 中，OB =1，BE = x -3，根据勾股定理OE ==∴EA =OE +OA 3，∴CD =AE 3，∴CO当OD =CD 时OC 最大，OC ，此时3x =，∴()()22313x x -=--，∴()2132x -=，∴3x -=∴13x =，23x =-，∴线段OC 31⎛=+=+ ⎝⎭故答案为：1+【点睛】本题考查等腰直角三角形性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，掌握等腰直角三角形性质，三角形全等判定与性质，勾股定理是解题关键．三、解答题1、（1）①见解析；②见解析；（2）32π．【分析】（1）①连接OD ，由角平分线的性质解得DAB DAO ∠=∠，再根据内错角相等，两直线平行，证明//DO AB ，继而由两直线平行，同旁内角互补证明90ODB ∠=︒即可解题； ②连接DE ，由弦切角定理得到CDE DAC ∠=∠，再证明CDE CAD ，由相似三角形对应边成比例解题；（2）证明,OFD OFA 是等边三角形，四边形DOAF 是菱形，=DFO S S 阴影扇形，结合扇形面积公式解题．【详解】解：（1）①连接OD ，AD是∠BAC的平分线∴∠=∠DAB DAO=OD OA∴∠=∠DAO ODA∴∠=∠DAB ODA∴//DO ABB ODB∴∠+∠=︒180B∠=︒90∴∠=︒ODB90∴⊥OD BC∴是⊙O的切线；BC②连接DE，BC是⊙O的切线，∴∠=︒CDO90∵是直径AE∴∠=︒ADE90∴∠=∠CDE ODA=OD OA∴∠=∠ODA DAC∴∠=∠CDE DAC∠∠C C=∴CDE CADCD CE∴=AC CD2∴=⋅CD CE CA（2）连接DE、OD、DF、OF,设圆的半径为R，点F是劣弧AD的中点，∴OF是DA中垂线∴DF=AF，∴∠=∠FDA FAD//DO ABODA DAF ∴∠=∠ODA DAO FDA FAD ∴∠=∠=∠=∠AF DF OA OD ∴===,OFD OFA ∴是等边三角形，四边形DOAF 是菱形，60ODF DOF FOA ∴∠=∠=∠=︒=DFO S S ∴阴影扇形60,90DOC ODC ∠=︒∠=︒30C ∴∠=︒11()22OD OC OE EC ∴==+ ,3OE OD CE ==3CE OE R ∴===26033===3602DFO S S ππ⋅∴阴影扇形．【点睛】本题考查圆的综合题，涉及切线的判定与性质、平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、扇形面积等知识，综合性较强，有难度，掌握相关知识是解题关键． 2、（1）见解析（2）10【分析】（1）作BC 的垂直平分线，与直线CD 的交点即为圆心；（2）连接OA ，根据勾股定理列出方程即可求解．（1）解：如图所示，点O 即是圆心；（2）解：连接OA ，∵CD AB ⊥，并经过圆心O ，12AB =，∴162AD BD AB ===，∵2CD =，∴2226(2)OA OA +-=解得，10OA =，答：半径为10．【点睛】本题考查了垂径定理和确定圆心，解题关键是熟练作图确定圆心，利用垂径定理和勾股定理求半径．3、（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连接DO ，根据AD OC ∥，可证COD COB ∠=∠．从而可得()COD COB SAS ≅，90CDO CBO ∠=∠=︒，即可证明EDA DBE ∠=∠，故EDA EBD △△；（2）证明EOD ECB △△，可得ED OD BE BC=，即可证明ED BC AO BE ⋅=⋅．【详解】证明：（1）连接DO ，如图：∵AB 为O 的直径，BC 为O 的切线，∴90CBO ∠=︒，∵AD OC ∥，∴DAO COB ∠=∠，ADO COD ∠=∠．∵OA OD =，∴DAO ADO ∠=∠，∴COD COB ∠=∠．在COD △和COB △中，CO CO COD COB OD OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()COD COB SAS ≅，∴90CDO CBO ∠=∠=︒，∵AB 为O 的直径，∴90EDO ADB ∠=∠=︒，即90EDA ADO BDO ADO ∠+∠=∠+∠=︒，∴EDA BDO ∠=∠，∵OD OB =，∴BDO DBO ∠=∠，∴EDA DBO ∠=∠，即EDA DBE ∠=∠，∵E E ∠=∠，∴~EDA EBD ；（2）由（1）知：90EDO EBC ∠=∠=︒，又∵E E ∠=∠，∴EOD ECB △△， ∴ED OD BE BC=， ∴ED BC OD BE ⋅=⋅，∵OD AO =，∴ED BC AO BE ⋅=⋅．【点睛】本题考查圆中的相似三角形判定与性质，涉及三角形全等的判定与性质，解题的关键是证明COD COB ≅，从而得到90EDO ∠=︒．4、（1）（2）203π．【分析】（1）根据弦AB 垂直平分半径OC ，OC =OB =10cm ，得出OD =CD =152OC =，∠ODB =90°，根据勾股定理BD =AB =2BD =2×（2）根据锐角三角函数定义求出cos∠DOB =51102OD OB ==，得出∠DOB =60°，利用弧长公式求出12010201803l ππ⨯==即可．【详解】解：（1）∵弦AB 垂直平分半径OC ，OC =OB =10cm ，∴OD =CD =152OC =，∠ODB =90°，∴BD ===∴AB =2BD =2×=故答案为（2）cos∠DOB =51102OD OB ==， ∴∠DOB =60°，∴AB 的度数为2×60°=120°， ∴12010201803l ππ⨯==．【点睛】本题考查垂直平分线性质，勾股定理，锐角三角函数，弧长，掌握垂直平分线性质，勾股定理，锐角三角函数，弧长是解题关键．5、见解析【分析】由题意易得AB ⊥CD ，AD AC =，则有B F ∠=∠，由平行线的性质可得AGF B ∠=∠，然后可得AGF F ∠=∠，进而问题可求证．【详解】证明：∵AB 为⊙O 的直径，点E 是弦CD 的中点，∴AB ⊥CD ，∴AD AC =，∴B F ∠=∠，∵CF ∥BD ，∴AGF B ∠=∠，∴AGF F ∠=∠，∴AG AF =．【点睛】本题主要考查垂径定理、平行线的性质及圆周角定理，熟练掌握垂径定理、平行线的性质及圆周角定理是解题的关键．。

(典型题)沪科版九年级下册数学第24章圆含答案

沪科版九年级下册数学第24章圆含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，△ABC以点O为旋转中心，旋转180°后得到△A′B′C′．ED是△ABC的中位线，经旋转后为线段E′D′．已知BC=4，则E′D′=（）A.2B.3C.4D.1.52、下列命题是假命题的是（）A.三角形的内心到这个三角形三边的距离相等B.有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形C.直角坐标系中，点（a，b）关于原点成中心对称的点的坐标为（-b，-a）D.有三个角是直角且一组邻边相等的四边形是正方形3、如图，C，D分别是线段AB，AC的中点，分别以点C，D为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点M，测量∠AMB的度数，结果为（）A.80°B.90°C.100°D.105°4、在中，，，，M是的中点，以点C 为圆心，1为半径作，则（）A.点M在上B.点M在内C.点M在外D.点M 与的位置关系不能确定5、已知⊙O的直径为10，点P到点O的距离大于8，那么点P的位置（）A.一定在⊙O的内部B.一定在⊙O的外部C.一定在⊙O上D.不能确定6、一个扇形的弧长为4π，半径长为4，则该扇形的面积为（）A.4πB.6πC.8πD.12π7、下列命题：①长度相等的弧是等弧②半圆既包括圆弧又包括直径③相等的圆心角所对的弦相等④外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形其中正确的命题共有（）A.0个B.1个C.2个D.3个8、已知⊙O的直径为5，若PO=5，则点P与⊙O的位置关系是（）A.点P在⊙O内B.点P在⊙O上C.点P在⊙O外D.无法判断9、如图，AB是⊙O的直径，TA切⊙O于点A，连结TB交⊙O于点C，∠BTA=40°，点M是圆上异于B，C的一个动点，则∠BMC的度数等于（）A.50°B.50°或130°C.40°D.40°或140°10、在平面直角坐标系中，把点P（﹣5，4）向右平移9个单位得到点P1，再将点P1绕原点逆时针旋转90°得到点P2，则点P2的坐标是（）A.（4，﹣4）B.（4，4）C.（﹣4，﹣4）D.（﹣4，4）11、如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是（）A.6πB.5πC.4πD.3π12、如图，已知△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则BC的长为（）A. B.6 C. D.13、△ABC绕点A按顺时针方向旋转了60°得△AEF，则下列结论错误的是（）A.∠BAE=60°B.AC=AFC.EF=BCD.∠BAF=60°14、如图，螺丝母的截面是正六边形，则的度数为（）A.30°B.45°C.60°D.75°15、若圆柱的底面半径为3cm，母线长为4cm，则这个圆柱的侧面积为（）A.12cm 2B.24cm 2C.12πcm 2D.24πcm 2二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，点A，B，C在⊙O上，∠OBC=18°，则∠A=________．17、如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD、BE、CE，若∠CBD=32°，则∠BEC的度数为________．18、如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠B+∠E=222°，则∠CAD=________°．19、如图，将矩形纸片ABCD裁剪出扇形ABE和⊙O，其中⊙O与，BC，CD 都相切．若扇形ABE与⊙O恰好制作成一个圆锥，已知AB=8cm，则AD的长为________．20、一个正多边形的内角度数为，则这个正多边形的边数为________.21、在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2＋AC2＝2AO2＋2BO2成立.依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE＝4，EF＝3，点P 在以DE为直径的半圆上运动，则的最小值为________.22、如图，CD是⊙O直径，AB是弦，若CD⊥AB，∠BCD=25°，则∠AOD=________°．23、如图，在平面直角坐标系中，已知点A(-1.5，0)，B(0，2)，将△ABO顺着x轴的正半轴无滑动的滚动，第一次滚动到①的位置，点B的对应点记作B1；第二次滚动到②的位置，点B1的对应点记作B2；第三次滚动到③的位置，点B2的对应点记作B3；；依次进行下去，则点B2020的坐标为________.24、在⊙O中，已知=2，那么线段AB与2AC的大小关系是________ ．（从“＜”或“=”或“＞”中选择）25、如图，一个长为4，宽为3的长方形木板斜靠在水平桌面上的一个小方块上，其长边与水平桌面成30°夹角，将长方形木板按逆时针方向做两次无滑动的翻滚，使其长边恰好落在水平桌面l上，则木板上点A滚动所经过的路径长为________.三、解答题(共5题，共计25分)26、已知：如图，在⊙O中，弦AB,CD交于点E，AD=CB．求证：AE=CE．27、阅读资料：我们把顶点在圆上，并且一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角，如图1∠ABC所示．同学们研究发现：P为圆上任意一点，当弦AC 经过圆心O时，且AB切⊙O于点A，此时弦切角∠CAB=∠P（图2）证明：∵AB切⊙O于点A，∴∠CAB=90°，又∵AC是直径，∴∠P=90°∴∠CAB=∠P问题拓展：若AC不经过圆心O（如图3），该结论：弦切角∠CAB=∠P还成立吗？请说明理由．知识运用：如图4，AD是△ABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB、AC分别相交于E、F．求证：EF∥BC．28、如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4 ，BC=3 .求以直角边所在直线为轴，把△ABC旋转一周得到的圆锥的侧面积.29、已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AE=BF，AC与BD相等吗？为什么？30、如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°后得到△DBE（点A对应点为D），线段AC交线段DE于点F，求∠EFC的度数．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、A2、C3、B4、C5、B6、C7、B8、C9、D10、D11、A12、B13、D14、C15、D二、填空题(共10题，共计30分)17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、29、。

沪科版九年级数学下第24章圆24

九年级数学下册沪科版
24．2.3 圆的确定
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1．经过两点能作_无_无数数__个圆；经过不在同一直线上的三点只可以作 _一_一__个圆． 2．经过三角形三个顶点的圆叫做_三_三角角形形的的外外接接圆圆__，外接圆的圆心叫做三角形的_外_外心心__，三角形的_外_外心心__到三角形的三个顶点距离相等． 3．用反证法证明的三个主要步骤是_反_反设设__、_推_推理理__、_结_结论论__．
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2．如图，点 A，B，C 在同一直线上，点 M 在 AC 外，经过图中的三个点作圆，可以作__3__个．
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知识点 2：三角形的外接圆
3．三角形的外心是三角形
A．三个内角平分线的交点 B．三边垂直平分线的交点
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解：(1)如图，分别作出两边 BC，AC 的垂直平分线，交点为 O.以 O 为圆心，OA 为半径作出⊙O，即为所求作的花坛的位置． (2)∵∠BAC＝90°，AB＝8 m，AC＝6 m， ∴BC＝10 m．∴△ABC 外接圆的半径为 5 m. ∴小明家圆形花坛的面积为 25π m2.
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5．如图，一只猫观察到一个老鼠洞的三个洞口 A，B，C，这三个洞口不在同一条直线上，请问这只猫应该在什么地方才能最省力地同时顾及三个洞口？作出这个位置．

精品试题沪科版九年级数学下册第24章圆必考点解析试题(名师精选)

沪科版九年级数学下册第24章圆必考点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在Rt△ABC 中，90BAC ∠=︒，30B ∠=︒，3AB =，以AB 边上一点O 为圆心作O ，恰与边AC ，BC 分别相切于点A ，D ，则阴影部分的面积为（）A 3πB 3π-C 23π-D ．23π 2、如图，点P 是等边三角形ABC 内一点，且PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5，则∠APB 的度数是（）．A ．90°B ．100°C ．120°D ．150°3、某村东西向的废弃小路/两侧分别有一块与l距离都为20 m的宋代碑刻A，B，在小路l上有一座亭子P．A，P分别位于B的西北方向和东北方向，如图所示．该村启动“建设幸福新农村”项目，计划挖一个圆形人工湖，综合考虑景观的人文性、保护文物的要求、经费条件等因素，需将碑刻A，B原址保留在湖岸（近似看成圆周）上，且人工湖的面积尽可能小．人工湖建成后，亭子P到湖岸的最短距离是（）A．20 m B．mC．（ - 20）m D．（m4、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5、如图是一个含有3个正方形的相框，其中∠BCD＝∠DEF＝90°，AB＝2，CD＝3，EF＝5，将它镶嵌在一个圆形的金属框上，使A，G，H三点刚好在金属框上，则该金属框的半径是（）A B C ．D 6、下面的图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．7、如图，PA 是O 的切线，切点为A ，PO 的延长线交O 于点B ，若40P ∠=︒，则B 的度数为（）．A ．20°B ．25°C ．30°D ．40°8、等边三角形、等腰三角形、矩形、菱形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数是（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个9、下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．10、如图图案中，不是中心对称图形的是（）A ．∽B ．C ．>D ．=第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，点D 为边长是ABC 边AB 左侧一动点，不与点A ，B 重合的动点D 在运动过程中始终保持∠ADB ＝120°不变，则四边形ADBC 的面积S 的最大值是 ____．2、已知如图，AB =8，AC =4，∠BAC =60°，BC 所在圆的圆心是点O ，∠BOC =60°，分别在BC 、线段AB 和AC 上选取点P 、E 、F ，则PE +EF +FP 的最小值为____________．3、如图，半圆O 中，直径AB ＝30，弦CD ∥AB ，CD 长为6π，则由CD 与AC ，AD 围成的阴影部分面积为_______．4、如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转到矩形AB C D '''的位置，旋转角为()090αα︒<<︒．若1110∠=︒，则α的大小为________（度）．5、如图，已知扇形的圆心角为60°，半径为2，则图中弓形（阴影部分）的面积为______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，半径OD∥弦BC．（1）求证：弧AD=弧CD；（2）连接AC、BD相交于点F，AC与OD相交于点E，连接CD，若⊙O的半径为5，BC=6，求CD和EF 的长．2、综合与实践“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具——三分角器．图1是它的示意图，其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上，且AB的长度与半圆的半径相等；DB与AC垂直于点B，DB足够长．使用方法如图2所示，若要把MEN ∠三等分，只需适当放置三分角器，使DB 经过MEN ∠的顶点E ，点A 落在边EM 上，半圆O 与另一边EN 恰好相切，切点为F ，则EB ，EO 就把MEN ∠三等分了．为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．独立思考：（1）如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整．已知：如图2，点A ，B ，O ，C 在同一直线上，EB AC ⊥，垂足为点B ，________，EN 切半圆O 于F ．求证：________________．探究解决：（2）请完成证明过程．应用实践：（3）若半圆O 的直径为12cm ，45MEN ︒∠=，求BE 的长度．3、如图，已知弓形的长12AB =，弓高2CD =，（CD AB ⊥，并经过圆心O ）．（1）请利用尺规作图的方法找到圆心O ；（2）求弓形所在O 的半径的长．4、如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，D 是AB 边上一点（与A 、B 不重合），连接CD ，将线段CD 绕点C 按逆时针方向旋转90°得到线段CE ，连接DE 、BE（1）求证：△ACD ≌△BCE ；（2）若BE =5，DE =13，求AB 的长5、如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的一条弦，且CD AB ⊥于点E ．（1）求证：BCO D ∠=∠；（2）若CD =，1OE =，求O 的半径．-参考答案-一、单选题1、A【分析】连结OC ，根据切线长性质DC =AC ，OC 平分∠ACD ，求出∠OCD =∠OCA =12ACD ∠=30°，利用在Rt△ABC中，AC =AB tan B =Rt△AOC 中，∠ACO =30°，AO =AC 1=，利用三角形面积公式求出12AOC S OA AC ∆=⋅=，12DOC S OD DC ∆=⋅=212011==3603OAD S ππ⨯扇形，利用割补法求即可．【详解】解：连结OC ，∵以AB 边上一点O 为圆心作O ，恰与边AC ，BC 分别相切于点A , D ，∴DC =AC ，OC 平分∠ACD ，∵90BAC ∠=︒，30B ∠=︒，∴∠ACD =90°-∠B =60°，∴∠OCD =∠OCA =12ACD ∠=30°，在Rt△ABC 中，AC =AB tan B =在Rt△AOC 中，∠ACO =30°，AO =AC 1=，∴OD =OA =1，DC =AC∴11122AOC S OA AC ∆=⋅=⨯=11122DOC S OD DC ∆=⋅=⨯= ∵∠DOC =360°-∠OAC -∠ACD -∠ODC =360°-90°-90°-60°=120°， ∴212011==3603OAD S ππ⨯扇形，S 阴影=1133AOC DOC OAD S S S ππ∆∆+-扇形．故选择A ．【点睛】本题考查切线长性质，锐角三角形函数，扇形面积，三角形面积，角的和差计算，割补法求阴影面积，掌握切线长性质，锐角三角形函数，扇形面积，三角形面积，角的和差计算，割补法求阴影面积是解题关键．2、D【分析】将BPC ∆绕点B 逆时针旋转60︒得BEA ∆，根据旋转的性质得4BE BP ==，5AE PC ==，60PBE ∠=︒，则BPE ∆为等边三角形，得到4PE PB ==，60BPE ∠=︒，在AEP ∆中，5AE =，3AP =，4PE =，根据勾股定理的逆定理可得到APE ∆为直角三角形，且90APE ∠=︒，即可得到APB ∠的度数．【详解】解：ABC ∆为等边三角形，BA BC ∴=，可将BPC ∆绕点B 逆时针旋转60︒得BEA ∆，如图，连接EP ，4BE BP ∴==，5AE PC ==，60PBE ∠=︒，BPE ∴∆为等边三角形，4PE PB ∴==，60BPE ∠=︒，在AEP ∆中，5AE =，3AP =，4PE =，222AE PE PA ∴=+，APE ∴∆为直角三角形，且90APE ∠=︒，9060150∴∠=︒+︒=︒．APB故选：D．【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形，解题的关键是掌握旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．3、D【分析】根据人工湖面积尽量小，故圆以AB为直径构造，设圆心为O，当O，P共线时，距离最短，计算即可．【详解】∵人工湖面积尽量小，∴圆以AB为直径构造，设圆心为O，过点B作BC⊥l，垂足为C，∵A，P分别位于B的西北方向和东北方向，∴∠ABC=∠PBC=∠BOC=∠BPC=45°，∴OC=CB=CP=20，∴OP=40，OB∴最小的距离PE=PO-OE m），故选D ．【点睛】本题考查了圆的基本性质，方位角的意义，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握圆中点圆的最小距离是解题的关键．4、B【详解】解：A ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；B ．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；C ．不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；D ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．5、A【分析】如图，记过A ，G ， H 三点的圆为,Q 则Q 是HG ，AG 的垂直平分线的交点，,QH QG QA 记,PM EF 的交点为,N ,HG PM 的交点为,M 延长AB 交QM 于,P PM 为HG 的垂直平分线，结合正方形的性质可得：,AP PM 再设,PQ x 利用勾股定理建立方程，再解方程即可得到答案.【详解】解：如图，记过A ，G ， H 三点的圆为,Q 则Q 是HG ，AG 的垂直平分线的交点，,QH QG QA 记,PM EF 的交点为,N ,HG PM 的交点为,M 延长AB 交QM 于,P PM 为HG 的垂直平分线，结合正方形的性质可得：,AP PM四边形HGFE 为正方形，则,HG EF ∥,,QM HG QM EF设,PQ x 而AB ＝2，CD ＝3，EF ＝5，结合正方形的性质可得：5,NQ x而222,HM MQ HQ 115,5,5510,222HM HG EF MN EF MQ x x 222510,4HQ x 又222,AQ PQ AP 而51523,22AP 22215,2AQ x222522510,44x x 解得：5,2x 25225250510.4442AQ 故选A【点睛】本题考查的是正方形的性质，三角形外接圆圆心的确定，圆的基本性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，确定过A，G，H三点的圆的圆心是解本题的关键.6、A【详解】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，此项符合题意；B、是中心对称图形，不是轴对称图形，此项不符题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，此项不符题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，此项不符题意；故选：A．【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，熟记中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转180 ，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）和轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）是解题关键．7、B【分析】连接OA，如图，根据切线的性质得∠PAO=90°，再利用互余计算出∠AOP=50°，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质计算∠B的度数．【详解】解：连接OA，如图，∵PA是⊙O的切线，∴OA⊥AP，∴∠PAO=90°，∵∠P=40°，∴∠AOP=50°，∵OA=OB，∴∠B=∠OAB，∵∠AOP=∠B+∠OAB，∴∠B=12∠AOP=12×50°=25°．故选：B．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．8、A【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断．【详解】解：矩形，菱形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；等边三角形、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；共2个既是轴对称图形又是中心对称图形．故选：A．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．（1）如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．（2）如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．9、B【分析】根据“把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”及“如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形”，由此问题可求解．【详解】解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；B、是中心对称图形但不是轴对称图形，故符合题意；C、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；D、是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意；故选B．【点睛】本题主要考查中心对称图形及轴对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形及轴对称图形的定义是解题的关键．10、C【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心求解．【详解】解：A、是中心对称图形，故A选项不合题意；B、是中心对称图形，故B选项不合题意；C、不是中心对称图形，故C选项符合题意；D、是中心对称图形，故D选项不合题意；故选：C．【点睛】本题考查了中心对称图形的知识，解题的关键是掌握中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后重合．二、填空题1、【分析】根据题意作等边三角形ABC的外接圆，当点D运动到AB的中点时，四边形ADBC的面积S的最大值，分别求出两个三角形的面积，相加即可．【详解】解：根据题意作等边三角形ABC的外接圆，D在运动过程中始终保持∠ADB＝120°不变，D∴在圆上运动，当点D运动到AB的中点时，四边形ADBC的面积S的最大值，过点D作AB的垂线交于点E，如图：4120AB ADB =∠=︒，30,DBE BE ∴∠=︒=12DE BD ∴=，在Rt BDE 中，222BD DE BE =+，解得：2DE =，12ABDS AB DE ∴=⋅= 过点A 作BC 的垂线交于F ，12BF BC ∴==6AF ∴=， 162ABC S ∴=⨯⨯==4ABC ABD ADBC S S S ∴+=四边形故答案是：【点睛】本题考查了等边三角形，外接圆、勾股定理、动点问题，解题的关键是，作出图象及掌握圆的相关性质．2、1212-+【分析】如图，连接BC ，AO ，作点P 关于AB 的对称点M ，作点P 关于AC 的对称点N ，连接MN 交AB 于E ，交AC 于F ，此时△PEF 的周长=PE +PF +EF =EM +EF +FM =MN ，想办法求出MN 的最小值即可解决问题．【详解】解：如图，连接BC ，AO ，作点P 关于AB 的对称点M ，作点P 关于AC 的对称点N ，连接MN 交AB 于E ，交AC 于F ，此时△PEF 的周长=PE +PF +EF =EM +EF +FM =MN ，∴当MN 的值最小时，△PEF 的值最小，∵AP =AM =AN ，∠BAM =∠BAP ，∠CAP =∠CAN ，∠BAC =60°，∴∠MAN =120°，∴MN ，∴当PA 的值最小时，MN 的值最小，取AB 的中点J ，连接CJ ．∵AB =8，AC =4，∴AJ =JB =AC =4，∵∠JAC =60°，∴△JAC 是等边三角形，∴JC =JA =JB ，∴∠ACB =90°，∴BC=∵∠BOC =60°，OB =OC ，∴△OBC 是等边三角形，∴OB =OC =BC BCO =60°，∴∠ACH =30°，∵AH ⊥OH ，AH =12AC =2，CH∴OH∴OA∵当点P 在直线OA 上时，PA 的值最小，最小值为∴MN =．故答案：．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，轴对称-最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考填空题中的压轴题．3、45π【分析】连接OC，OD，根据同底等高可知S△ACD=S△OCD，把阴影部分的面积转化为扇形OCD的面积，利用扇形的面积公式S=12lr来求解．【详解】解：连接OC，OD，∵直径AB=30，∴OC=OD=130152⨯=，∴CD∥AB，∴S△ACD=S△OCD，∵CD长为6π，∴阴影部分的面积为S阴影=S扇形OCD=1615452ππ⨯⨯=，故答案为：45π．【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，正确理解阴影部分的面积=扇形COD的面积是解题的关键．4、20【分析】先利用旋转的性质得到∠ADC =∠D =90°，∠DAD ′=α，再利用四边形内角和计算出∠BAD‘=70°，然后利用互余计算出∠DAD ′，从而得到α的值．【详解】∵矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转到矩形A ′B ′C ′D ′的位置，∴∠ADC =∠D =90°，∠DAD ′=α，∵∠ABC =90°，∴∠BAD’=180°-∠1=180°-110°=70°，∴∠DAD ′=90°-70°=20°，即α=20°．故答案为20．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．5、2π3【分析】根据弓形的面积=扇形的面积-三角形的面积求解即可．【详解】解：如图，AC ⊥OB ，∵圆心角为60°，OA =OB ，∴△OAB 是等边三角形，∴OC =12OB =1，∴AC =，∴S △OAB =12OB ×AC =12∵S 扇形OAB =2602360π⨯=2π3，∴弓形（阴影部分）的面积= S 扇形OAB - S △OAB =2π3故答案为：2π3【点睛】本题考查扇形面积、等边三角形的面积计算方法，掌握扇形面积、等边三角形的面积的计算方法以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键．三、解答题1、（1）见解析；（2）CD =EF =1．【分析】∠=∠；根据平行线的（1）连接OC，根据圆的性质，得到OB=OC；根据等腰三角形的性质，得到B C性质，得到1B∠=∠；在同圆和等圆中，根据相等的圆心解所对的弧等即得证．（2）根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB=90°，根据平行线的性质求得∠AEO=∠ACB=90°，利用勾股定理求出AC=8，根据垂径定理求得EC=AE=4，根据中位线定理求出OE，在Rt△CDE中，根据OD BC，所以△EDF∽△BCF，最后根据似的性质，列方程求解即可．勾股定理求出CD，因为∥【详解】（1）解：连结OC．OD BC∵∥∴∠1=∠B∠2=∠C∵OB =OC∴∠B=∠C∴∠1=∠2∴弧AD=弧CD（2）∵AB是O的直径∴∠ACB=90°OD BC∵∥∴∠AEO=∠ACB=90°Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∵BC =6，AB =10∴AC =8∵半径OD ⊥AC 于E∴EC =AE =4OE =132BC =∴ED =2由勾股定理得，CD =∵∥OD BC∴△EDF ∽△CBF ∴EF ED FC BC = 设EF =x ，则FC =4-x246x x =- ∴EF =1，经检验符合题意.【点睛】本题考查了圆的综合题，圆的有关性质：圆的半径相等；同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧等；直径所对的圆周角是直角；垂径定理；平行线的性质，勾股定理，三角形中位线定理，三角形相似的判定和性质等知识，正确理解圆的相关性质是解题的关键．2、（1）AB BO =，EB ，EO 将MEN ∠三等分；（2）见解析；（3）(12+【分析】（1）根据题意即可得；（2）先证明ABE ∆与OBE ∆全等，然后根据全等的性质可得12∠=∠，再由圆的切线的性质可得23∠∠=，可得三个角相等，即可证明结论；（3）连OF ，延长BC 与EN 相交于点H ，由（2）结论可得12315︒∠=∠=∠=，再由切线的性质60︒∠=DHO ，30FOH ︒∠=，然后利用勾股定理及线段间的数量关系可得(6cm =+BH ，最后利用相似三角形的判定和性质求解即可得．【详解】解：（1）AB BO =，EB ，EO 将MEN ∠三等分，故答案为：AB BO =；EB ，EO 将MEN ∠三等分，（2）证明：在ABE ∆与OBE ∆中，90AB OB BE BE ABE OBE =⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ()ABE OBE SAS ∴∆∆≌，12∠∠∴=．BE OB ⊥，BE ∴是O 的切线． BE 、EN 都是O 的切线，23∴∠=∠，123∴∠=∠=∠，EB ∴，EO 将MEN ∠三等分．（3）如图，连OF ，延长BC 与EN 相交于点H ，由（2），知12315︒∠=∠=∠=． EH 是O 的切线，90HFO ︒∴∠=，60DHO ︒=∴∠，30FOH ︒∠=．∵半径6cm OF =，∴由勾股定理得，在Rt FOH ∆中，FH =，OH =，(6cm BH BO OH ∴=+=+． ∵BHE FHO ∠=∠，90EBH HFO ∠=∠=︒，∴∆∆∽BEH FOH ，BE BH FO FH ∴=，即6BE =(12BE ∴=+．【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆的切线的性质，勾股定理等，理解题意，结合图形综合运用这些知识点是解题关键．3、（1）见解析（2）10【分析】（1）作BC 的垂直平分线，与直线CD 的交点即为圆心；（2）连接OA ，根据勾股定理列出方程即可求解．（1）解：如图所示，点O 即是圆心；（2）解：连接OA ，∵CD AB ⊥，并经过圆心O ，12AB =， ∴162AD BD AB ===， ∵2CD =，∴2226(2)OA OA +-=解得，10OA =，答：半径为10．【点睛】本题考查了垂径定理和确定圆心，解题关键是熟练作图确定圆心，利用垂径定理和勾股定理求半径．4、（1）见解析；（2）17【分析】（1）由旋转的性质可得CD ＝CE ，∠DCE ＝90°＝∠ACB ，由“SAS ”可证△ACD ≌△BCE ；（2）由∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，可得∠CAB ＝∠CBA ＝45°，再由△ACD ≌△BCE ，得到BE ＝AD =5，∠CBE ＝∠CAD ＝45°，则∠ABE ＝∠ABC +∠CBE ＝90°，然后利用勾股定理求出BD 的长即可得到答案．【详解】解：（1）证明：∵将线段CD 绕点C 按逆时针方向旋转90°得到线段CE ，∴CD ＝CE ，∠DCE ＝90°＝∠ACB ，∴∠ACD +∠BCD =∠BCE +∠BCD ，即∠ACD ＝∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD≌△BCE（SAS）；（2）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∵△ACD≌△BCE，∴BE＝AD=5，∠CBE＝∠CAD＝45°，∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°，∴12BD==，∴AB=AD+BD=17．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．5、（1）见解析；（2）3【分析】（1）根据∠D=∠B，∠BCO=∠B，代换证明；（2）根据垂径定理，得CE=1OE=，利用勾股定理计算即可．【详解】（1）证明：∵OC＝OB，∴∠BCO ＝∠B ；∵AC AC =，∴∠B ＝∠D ；∴∠BCO ＝∠D ；（2）解：∵AB 是⊙O 的直径，且CD ⊥AB 于点E ，∴CE ＝12CD ，∵CD ＝∴CE ＝12⨯= 在Rt △OCE 中，222OC CE OE =+，∵OE ＝1，∴2221OC =+，∴3OC =；∴⊙O 的半径为3．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，结合图形，熟练运用三个定理是解题的关键．。

沪科版数学九年级下册圆有关计算经典题型汇编二选择、填空题

沪科版数学九年级下册圆有关计算经典题型汇编二一、选择题1. 半径为 R 的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c的大小关系是 ( )A. a ＜b ＜cB. b ＜a ＜cC. a ＜c ＜bD. c ＜b ＜a2. 如图，等边三角形ABC 和正方形ADEF 都内接于⊙O ，则AD ∶AB 等于( )A. 2√2∶√3B. √2∶√3C. √3∶√2D. √3∶2√23. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝√3，BC ＝2，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交边BC于点E ，连接AE ，则DÊ的长为 ( ) A. 4π3 B. π C. 2π3 D. π3 第2题图第3题图第4题图5题图4、如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，点C ，D 在直径AB 的两侧.若 ∠AOC ∶∠AOD ∶∠DOB＝2∶7∶11，CD ＝4，则CD̂的长为 ( ) A. 2π B. 4π C. √2π2 D. √2π5.如图，在半径为5的⊙O 中，将劣弧AB 沿弦AB 翻折，使折叠后的AB̂恰好与OA ，OB 相切，则劣弧AB 的长为 ( )A. 53πB. 52πC. 54πD. 56π 6、如图，在扇形OAB 中，已知∠AOB ＝90°，OA ＝√2，过AB̂的中点C 作CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，则图中阴影部分的面积为 ( )A. π－1B. π2－1C. π－12D. π2－127. 如图，在半径为10的扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，C 为AB̂上一点，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，垂足分别为D ，E.若∠CDE ＝36°，则图中阴影部分的面积为 ( )A. 10πB. 9πC. 8πD. 6π第6题图第7题图8、如图，在⊙O 中，OA ＝2，∠C ＝45°，则图中涂色部分的面积为 ( )A. π2－√2B. π－√2C. π2－2D. π－2 9. 如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝ √2，以点C 为圆心画弧，与斜边AB 相切于点D ，交AC 于点E ，交BC 于点F ，则图中涂色部分的面积是 ( )A. 1－π4B. π−14C. 2－π4D. 1＋π4 第8题图第9题图第10题图10、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，点O 在AB 上，经过点A 的⊙O 与BC 相切于点D ，交AB 于点E.若CD ＝√2，则图中涂色部分面积为 ( )A. 4－π2B. 2－π2C. 2－πD. 1－π4 11.如图，在 Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝4，以BC 为直径的半圆O 交斜边AB 于点D ，则图中涂色部分的面积为 ( )A. 43π－√3B. 23π－√32C. 13π－√32D. 13π－√3 第11题图第12题图第13题图12、如图，AB 为半圆O 的直径，C 为半圆上的一点，OD ⊥AC ，垂足为D ，延长OD 与半圆O 交于点E.若AB ＝8，∠CAB ＝30°，则图中涂色部分的面积为( )A. 43π－√3B. 43π－2√3C. 83π－√3D. 83π－2√313.如图，正方形ABCD 的边长为2，O 为对角线的交点，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，以点C 为圆心，2为半径作圆弧BD̂，再分别以点E ，F 为圆心，1为半径作圆弧BO ̂，OD ̂，则图中涂色部分的面积为 ( )A. π－1B. π－2C. π－3D. 4－π14、如图，直径AB ＝6的半圆，绕点B 顺时针旋转30°，此时点A 到了点A ′，则图中涂色部分的面积是 ( )A. π2B. 3π4C. πD. 3π15. 在△ABC 中，已知∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1.如图，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°后得到△AB ′C ′，则图中涂色部分的面积为 ( )A. π4B. π−√32C. π−√34D. √32π 第14题图第15题图16、如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中涂色部分的面积为 ( )A. 24√3－4πB. 12√3＋4πC. 24√3＋8πD. 24√3＋4π17. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，连接OC ，DB.如果OC ∥DB ，OC＝2√3，那么图中涂色部分的面积是 ( )A. πB. 2πC. 3πD. 4π第16题图第17题图第18题图18、如图，C ，D 是以AB 为直径的半圆的三等分点，CD ̂的长为13π，则图中涂色部分的面积为 ( )A. 16πB. 316πC. 124πD. 112π＋√3419.一个圆锥的底面半径r ＝10，高h ＝20，则这个圆锥的侧面积是 ( )A. 100√3πB. 200√3πC. 100√5πD. 200√5π20.用一个半径为3，面积为3π的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥(不计损耗)，则圆锥的底面半径为 ( )A. πB. 2πC. 2D. 121、如图，正方形ABCD 的边长为4，以点A 为圆心，AD 长为半径，画圆弧DE 得到扇形DAE(涂色部分，点E 在对角线AC 上). 若扇形DAE 正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是 ( )A. √2B. 1C. √22D. 12 22.一个圆锥的底面半径是4 cm ，其侧面展开图的圆心角是120°，则圆锥的母线长是( )A. 8 cmB. 12 cmC. 16 cmD. 24 cm23.如图，有一块半径为1 m ，圆心角为90°的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器(接缝忽略不计)，那么这个圆锥形容器的高为 ( )A. 14 mB. 34 mC. √154 mD. √32 m第21题图第23题图二、填空题 24.一个蜘蛛网如图所示，若多边形ABCDEFGHI 为正九边形，其中心点为O ，点M ，N分别在射线OA ，OC 上，则∠MON ＝________°.第24题第25题第26题第27题25.如图，以AB为边，在AB的同侧分别作正五边形ABCDE和等边三角形ABF，连接FE，FC，则∠EFA的度数是________．26. 如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为DÊ上一点(不与点D，E重合)，连接PC，PD，DG⊥PC，垂足为G，∠PDG的度数为________°.27. (1) 若扇形的圆心角为45°，半径为3，则该扇形的弧长为________；(2) 如图，折扇的骨柄长为27 cm，折扇张开的角度为120°，图中AB̂的长为________cm.28.如图，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.筝形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.以点B为圆心，BO长为半径画弧，̂的长为________．分别交AB，BC于点E，F.若∠ABD＝∠ACD＝30°，AD＝1，则EF第28题第29题第30题̂的长为29. 小明家有一个如图所示的闹钟，他观察发现圆心角∠AOB＝90°，测得ACD̂的长为________cm.36 cm，则ADB30.如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC，交BĈ于点D，E为半径OB 上一动点．若OB＝2，则涂色部分的周长的最小值为________．31. (1)一个扇形的圆心角是90°，半径为4，则这个扇形的面积为________；(2) 若一个扇形的弧长是2πcm，面积是6πcm2，则扇形的圆心角是________°；cm2，则这个扇形的弧长为________cm；(3)若一个扇形的圆心角为60°，面积为π6(4)一个扇形的面积是13πcm2，半径是6 cm，则此扇形的圆心角是________°.32. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠BCD＝30°，CD＝2√3，则涂色部分的面积为________．第32题图33.如图，在△ABC中，D为BC的中点，以点D为圆心，BD长为半径画弧，交AC于点E，若∠A＝60°，∠ABC＝100°，BC＝4，则扇形BDE的面积为________．第33题第34题第35题第36题34.如图，在菱形OABC中，OB是对角线，OA＝OB＝2，⊙O与边AB相切于点D，则图中涂色部分的面积为___________．35. 如图，A，B，C是⊙O上的点，连接AB，AC，BC，且∠ACB＝15°，过点O作OD ∥AB交⊙O于点D，连接AD，BD，已知⊙O半径为2，则图中涂色部分面积为________．π，则半圆的半36. 如图，C，D分别是半圆AOB上的三等分点，若涂色部分的面积是32径OA的长为________．。

初三数学专题02 圆的证明与计算题研究(含答案)

专题二：圆的证明与计算题研究【题型导引】题型一：与圆的性质有关的证明与计算（1）与圆内三角形、四边形为背景研究形状及其线段、周长面积等问题；（2）圆内多边形关于角的问题；（3）已知圆内特殊三角形背景下线段的长度计算等。

题型二：与圆的切线有关的证明与计算（1）已知圆的切线与特殊三角形的关系，计算半径、线段等问题；（2）已知圆与特殊三角形相关条件判定圆的切线及其线段计算等问题；（3）已知圆与特殊四边形相关条件判定圆的切线及其线段计算等问题。

题型三：与扇形、弧长等有关的计算（1）根据圆的性质及其相关条件进行计算弧长、扇形面积等问题；（2）根据圆的性质及其相关条件进行计算圆锥等问题；【典例解析】类型一：与圆的性质有关的证明与计算例题1：（2019•湖北省荆门市•10分）已知锐角△ABC 的外接圆圆心为O ，半径为R ．（1）求证：sin ACB＝2R ；（2）若△ABC 中∠A ＝45°，∠B ＝60°，AC ＝3，求BC 的长及sin C 的值．【解答】解：（1）如图1，连接AO 并延长交⊙O 于D ，连接CD ，则∠CD ＝90°，∠ABC ＝∠ADC ， ∵sin ∠ABC ＝sin ∠ADC ＝AC AD ＝2ACR∴sin ACB＝2R ；（2）∵sin ACB＝2R ，同理可得：sin AC B －sin AB C ＝sin BCA＝2R ，∴2R ＝3sin 60︒＝2，∴BC ＝2R •sin A ＝2sin45°＝2，如图2，过C 作CE ⊥AB 于E ， ∴BE ＝BC •cos B ＝2cos60°＝22，AE ＝AC •cos45°＝62， ∴AB ＝AE ＋BE ＝622+， ∵AB ＝AR •sin C ，∴sin C ＝＝624+．技法归纳：圆的性质综合运用题中，经常用到的重要性质及技法：①运用圆是轴对称图形也是中心对称图形可以对相关结论作合理的猜测；②利用垂径定理，通过在由半弦、半径、弦心距组成的直角三角形，运用勾股定理或锐角三角函数进行计算；③在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距等量对等量关系，可以转化相等关系；④由直径所对的圆周角是直角构造直角三角形；⑤相似三角形、锐角三角函数、勾股定理是计算线段长度及其线段数量关系的重要手段．类型二：与圆的位置关系有关的证明与计算例题2：(2018·娄底中考)如图，C ，D 是以AB 为直径的⊙O 上的点，AC ︵＝BC ︵，弦CD 交AB 于点E . (1)当PB 是⊙O 的切线时，求证：∠PBD ＝∠DAB ； (2)求证：BC 2－CE 2＝CE ·DE ；(3)已知OA ＝4，E 是半径OA 的中点，求线段DE 的长．【解析】 (1)∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°，∴∠BAD ＋∠ABD ＝90°. ∵PB 是⊙O 的切线，∴∠ABP ＝90°，∴∠PBD ＋∠ABD ＝90°， ∴∠BAD ＝∠PBD .(2)∵∠A ＝∠DCB ，∠AED ＝∠CEB ， ∴△ADE ∽△CBE ， ∴DE BE ＝AECE，即DE ·CE ＝AE ·BE . 如图，连接OC .设圆的半径为r ，则OA ＝OB ＝OC ＝r ，则DE ·CE ＝AE ·BE ＝(OA －OE )(OB ＋OE )＝r 2－OE 2. ∵AC ︵＝BC ︵，∴∠AOC ＝∠BOC ＝90°， ∴CE 2＝OE 2＋OC 2＝OE 2＋r 2， BC 2＝BO 2＋CO 2＝2r 2，则BC 2－CE 2＝2r 2－(OE 2＋r 2)＝r 2－OE 2， ∴BC 2－CE 2＝DE ·CE .(3)∵OA ＝4，∴OB ＝OC ＝OA ＝4， ∴BC ＝OB 2＋OC 2＝4 2. 又∵E 是半径OA 的中点， ∴AE ＝OE ＝2，则CE ＝OC 2＋OE 2＝42＋22＝2 5. ∵BC 2－CE 2＝DE ·CE ， ∴(42)2－(25)2＝DE ·25，解得DE ＝655.技法归纳：与切线有关的证明与计算，最常用的辅助线是连接经过切点的半径，利用直径构造直角三角形，利用圆周角相等转移角的位置等．运用三角形全等、三角形相似、勾股定理、锐角三角函数等知识进行证明与计算．类型三：与扇形面积有关的证明与计算例题3：（2019•湖北武汉•8分）已知AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 是⊙O 的两条切线，DC 与⊙O 相切于点E ，分别交AM 、BN 于D .C 两点．（1）如图1，求证：AB 2＝4AD •BC ；（2）如图2，连接OE 并延长交AM 于点F ，连接CF ．若∠ADE ＝2∠OFC ，AD ＝1，求图中阴影部分的面积．【解答】（1）证明：连接OC .OD ，如图1所示： ∵AM 和BN 是它的两条切线， ∴AM ⊥AB ，BN ⊥AB ， ∴AM ∥BN ，∴∠ADE ＋∠BCE ＝180° ∵DC 切⊙O 于E ， ∴∠ODE ＝12∠ADE ，∠OCE ＝12∠BCE ， ∴∠ODE ＋∠OCE ＝90°， ∴∠DOC ＝90°， ∴∠AOD ＋∠COB ＝90°， ∵∠AOD ＋∠ADO ＝90°， ∴∠AOD ＝∠OCB ， ∵∠OAD ＝∠OBC ＝90°， ∴△AOD ∽△BCO ，∴AD OA BO BC=,∴OA2＝AD•BC，∴（12AB）2＝AD•BC，∴AB2＝4AD•BC；（2）解：连接OD，OC，如图2所示：∵∠ADE＝2∠OFC，∴∠ADO＝∠OFC，∵∠ADO＝∠BOC，∠BOC＝∠FOC，∴∠OFC＝∠FOC，∴CF＝OC，∴CD垂直平分OF，∴OD＝DF，在△COD和△CFD中，，∴△COD≌△CFD（SSS），∴∠CDO＝∠CDF，∵∠ODA＋∠CDO＋∠CDF＝180°，∴∠ODA＝60°＝∠BOC，∴∠BOE＝120°，在Rt△DAO，AD 3 OA，Rt△BOC中，BC3OB，∴AD：BC＝1：3，∵AD＝1，∴BC＝3，OB3∴图中阴影部分的面积＝2S△OBC﹣S扇形OBE＝2×12×332120(3)π⨯3π．技法归纳：求与圆有关的阴影部分的面积时，常常是通过把不规则图形的面积，用扇形的面积和三角形的面积的和差来解决．特别地，对于旋转图形，要利用旋转的性质，确定旋转的中心(扇形的圆心)和旋转半径(相应的线段)的位置的变化，常常运用三角形全等进行面积的割补．【变式训练】1. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，其内切圆⊙O与边BC，AC，AB分别切于点D，E，F.(1)求证：BF＝CE；(2)若∠ACB＝30°，CE＝2 3，求AC的长．【解析】：(1)证明：连结AO并延长，∵AB＝AC，∴AO的延长线交BC于切点D，则BD＝CD.又由切线长定理，得BF＝BD，CD＝CE，∴BF＝CE.(2)∵CE＝2 3，∴CD＝2 3.又∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°.又∵∠ACB＝30°，∴AC＝CDcos∠ACB＝2 3cos30°＝2 332＝4.2. （2019•黑龙江省齐齐哈尔市•8分）如图，以△ABC的边BC为直径作⊙O，点A在⊙O上，点D在线段BC的延长线上，AD＝AB，∠D＝30°．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若直径BC＝4，求图中阴影部分的面积．【解答】（1）证明：连接OA，则∠COA＝2∠B，∵AD＝AB，∴∠B＝∠D＝30°，∴∠COA＝60°，∴∠OAD＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴OA⊥AD，即CD是⊙O的切线；（2）解：∵BC＝4，∴OA＝OC＝2，在Rt△OAD中，OA＝2，∠D＝30°，∴OD＝2OA＝4，AD＝2，所以S△OAD＝OA•AD＝×2×2＝2，因为∠COA＝60°，所以S扇形COA＝＝π，所以S阴影＝S△OAD﹣S扇形COA＝2﹣．3. （2018辽宁抚顺）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD ＝CB、连接DO并延长交CB的延长线于点E．（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BE＝4，DE＝8，求AC的长．【解答】（1）证明：连接O C．∵CB ＝CD ，CO ＝CO ，OB ＝OD ， ∴△OCB ≌△OCD ， ∴∠ODC ＝∠OBC ＝90°， ∴OD ⊥DC ， ∴DC 是⊙O 的切线．（2）解：设⊙O 的半径为r ．在Rt △OBE 中，∵OE 2＝EB 2＋OB 2， ∴（8﹣r ）2＝r 2＋42， ∴r ＝3， ∵tan ∠E ＝＝，∴＝，∴CD ＝BC ＝6，在Rt △ABC 中，AC ＝22AB BC +＝ 2266+＝62．4. （2019•甘肃庆阳•8分）已知：在△ABC 中，AB ＝A C ．（1）求作：△ABC 的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若△ABC 的外接圆的圆心O 到BC 边的距离为4，BC ＝6，则S ⊙O ＝．【解答】解：（1）如图⊙O 即为所求．（2）设线段BC 的垂直平分线交BC 于点E ．由题意OE ＝4，BE ＝EC ＝3，在Rt △OBE 中，OB ＝2234 ＝5， ∴S 圆O ＝π•52＝25π．故答案为25π．5. （2018云南昆明）如图，AB 是⊙O 的直径，ED 切⊙O 于点C ，AD 交⊙O 于点F ，∠AC 平分∠BAD ，连接BF ．（1）求证：AD ⊥ED ；（2）若CD ＝4，AF ＝2，求⊙O 的半径．【解答】（1）证明：连接OC ，如图， ∵AC 平分∠BAD ， ∴∠1＝∠2， ∵OA ＝OC ， ∴∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3， ∴OC ∥AD ，∵ED 切⊙O 于点C ， ∴OC ⊥DE ， ∴AD ⊥ED ；（2）解：OC 交BF 于H ，如图， ∵AB 为直径， ∴∠AFB ＝90°，易得四边形CDFH 为矩形， ∴FH ＝CD ＝4，∠CHF ＝90°， ∴OH ⊥BF ， ∴BH ＝FH ＝4， ∴BF ＝8，在Rt △ABF 中，AB ＝ 22AF BF +＝ 2228+＝217，∴⊙O 的半径为17．6. （2019•四川省凉山州•8分）如图，点D 是以AB 为直径的⊙O 上一点，过点B 作⊙O 的切线，交AD 的延长线于点C ，E 是BC 的中点，连接DE 并延长与AB 的延长线交于点F ．（1）求证：DF 是⊙O 的切线；（2）若OB ＝BF ，EF ＝4，求AD 的长．【解答】解：（1）如图，连接OD ，BD ， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝∠BDC ＝90°，在Rt△BDC中，∵BE＝EC，∴DE＝EC＝BE，∴∠1＝∠3，∵BC是⊙O的切线，∴∠3＋∠4＝90°，∴∠1＋∠4＝90°，又∵∠2＝∠4，∴∠1＋∠2＝90°，∴DF为⊙O的切线；（2）∵OB＝BF，∴OF＝2OD，∴∠F＝30°，∵∠FBE＝90°，∴BE＝EF＝2，∴DE＝BE＝2，∴DF＝6，∵∠F＝30°，∠ODF＝90°，∴∠FOD＝60°，∵OD＝OA，∴∠A＝∠ADO＝BOD＝30°，∴∠A＝∠F，∴AD＝DF＝6．7. （2019•山东省德州市•12分）如图，∠BPD＝120°，点A.C分别在射线PB.PD上，∠P AC＝30°，AC ＝3．（1）用尺规在图中作一段劣弧，使得它在A.C两点分别与射线PB和PD相切．要求：写出作法，并保留作图痕迹；（2）根据（1）的作法，结合已有条件，请写出已知和求证，并证明；（3）求所得的劣弧与线段P A .PC 围成的封闭图形的面积．【解答】解：（1）如图，（2）已知：如图，∠BPD ＝120°，点A .C 分别在射线PB .PD 上，∠P AC ＝30°，AC ＝3过A .C 分别作PB .PD 的垂线，它们相交于O ，以OA 为半径作⊙O ，OA ⊥PB ，求证：PB .PC 为⊙O 的切线；证明：∵∠BPD ＝120°，P AC ＝30°，∴∠PCA ＝30°，∴P A ＝PC ，连接OP ，∵OA ⊥P A ，PC ⊥OC ，∴∠P AO ＝∠PCO ＝90°，∵OP ＝OP ，∴Rt △P AO ≌Rt △PCO （HL ）∴OA ＝OC ，∴PB .PC 为⊙O 的切线；（3）∵∠OAP ＝∠OCP ＝90°﹣30°＝60°，∴△OAC 为等边三角形，∴OA ＝AC ＝3AOC ＝60°，∵OP 平分∠APC ，∴∠APO ＝60°，∴AP 33＝2，∴劣弧AC 与线段P A .PC 围成的封闭图形的面积＝S 四边形APCO ﹣S 形AOC ＝2×12×3×2260(23)360＝3﹣2π．8. （2019湖北省鄂州市）（10分）如图，P A是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O 于E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，P B．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）求证：E为△P AB的内心；（3）若cos∠P AB＝1010，BC＝1，求PO的长．【解答】（1）证明：连结OB，∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵AB⊥PO，∴PO∥BC∴∠AOP＝∠C，∠POB＝∠OBC，OB＝OC，∴∠OBC＝∠C，∴∠AOP＝∠POB，在△AOP和△BOP中，，∴△AOP≌△BOP（SAS），∴∠OBP ＝∠OAP ，∵P A 为⊙O 的切线，∴∠OAP ＝90°，∴∠OBP ＝90°，∴PB 是⊙O 的切线；（2）证明：连结AE ，∵P A 为⊙O 的切线，∴∠P AE ＋∠OAE ＝90°，∵AD ⊥ED ，∴∠EAD ＋∠AED ＝90°，∵OE ＝OA ，∴∠OAE ＝∠AED ，∴∠P AE ＝∠DAE ，即EA 平分∠P AD ，∵P A 、PD 为⊙O 的切线，∴PD 平分∠APB∴E 为△P AB 的内心；（3）解：∵∠P AB ＋∠BAC ＝90°，∠C ＋∠BAC ＝90°，∴∠P AB ＝∠C ，∴cos ∠C ＝cos ∠P AB在Rt △ABC 中，cos ∠C ＝BC AC ＝1AC ，∴AC AO ∵△P AO ∽△ABC ， ∴PO AO AC BC，∴PO ＝AO AC BC 5．9. 已知△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若＝，如图1，．（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；（2）设AE与DF相交于点M，如图2，AF＝2FC＝4，求AM的长．【解答】解：（1）△ABC为等腰三角形，∵△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，∴∠CFE＝∠CEF＝∠BDO＝∠BEO＝90°，∵四边形内角和为360°，∴∠EOF＋∠C＝180°，∠DOE＋∠B＝180°，∵＝，∴∠EOF＝∠DOE，∴∠B＝∠C，AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形；（2）连接OB、OC、OD、OF，如图，∵等腰三角形ABC中，AE⊥BC，∴E是BC中点，BE＝CE，∵在Rt△AOF和Rt△AOD中，，∴Rt△AOF≌Rt△AOD，∴AF＝AD，同理Rt△COF≌Rt△COE，CF＝CE＝2，Rt△BOD≌Rt△BOE，BD＝BE，∴AD＝AF，BD＝CF，∴DF∥BC，∴＝，∵AE＝＝4，∴AM＝4×＝．10. （2019•山东威海•12分）（1）方法选择如图①，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，AB＝BC＝A C．求证：BD＝AD＋C D．小颖认为可用截长法证明：在DB上截取DM＝AD，连接AM…小军认为可用补短法证明：延长CD至点N，使得DN＝AD…请你选择一种方法证明．（2）类比探究【探究1】如图②，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，BC是⊙O的直径，AB＝A C．试用等式表示线段AD，BD，CD之间的数量关系，井证明你的结论．【探究2】如图③，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，B D．若BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是．（3）拓展猜想如图④，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，B D．若BC是⊙O的直径，BC：AC：AB＝a：b：c，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是．【解答】解：（1）方法选择：∵AB＝BC＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，如图①，在BD上截取DEMAD，连接AM，∵∠ADB＝∠ACB＝60°，∴△ADM是等边三角形，∴AM＝AD，∵∠ABM＝∠ACD，∵∠AMB＝∠ADC＝120°，∴△ABM≌△ACD（AAS），∴BM＝CD，∴BD＝BM＋DM＝CD＋AD；（2）类比探究：如图②，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，过A作AM⊥AD交BD于M，∵∠ADB＝∠ACB＝45°，∴△ADM是等腰直角三角形，∴AM＝AD，∠AMD＝45°，∴DM2AD，∴∠AMB＝∠ADC＝135°，∵∠ABM＝∠ACD，∴△ABM≌△ACD（AAS），∴BM＝CD，∴BD ＝BM ＋DM ＝CD AD ；【探究2】如图③，∵若BC 是⊙O 的直径，∠ABC ＝30°， ∴∠BAC ＝90°，∠ACB ＝60°，过A 作AM ⊥AD 交BD 于M ，∵∠ADB ＝∠ACB ＝60°，∴∠AMD ＝30°，∴MD ＝2AD ，∵∠ABD ＝∠ACD ，∠AMB ＝∠ADC ＝150°，∴△ABM ∽△ACD ，∴BM CD ＝AB AC ，∴BM ，∴BD ＝BM ＋DM ＋2AD ；故答案为：BD CD ＋2AD ；（3）拓展猜想：BD ＝BM ＋DM ＝b c CD ＋ba AD ；理由：如图④，∵若BC 是⊙O 的直径，∴∠BAC ＝90°，过A 作AM ⊥AD 交BD 于M ，∴∠MAD ＝90°，∴∠BAM ＝∠DAC ，∴△ABM ∽△ACD ， ∴BM CD ＝AB AC ＝bc ， ∴BM ＝b c CD ， ∵∠ADB ＝∠ACB ，∠BAC ＝∠NAD ＝90°，∴△ADM ∽△ACB ， ∴AD DM ＝AC BC ＝b a， ∴DM ＝b a AD ，∴BD ＝BM ＋DM ＝b c CD ＋v A D ．故答案为：BD ＝b c CD ＋b a AD。

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精品
小专题（二）与圆的基本性质有关的解答题
（中考中常出现与圆的基本性质相关的解答题，难度中等，有时会与动点结合．）
1．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，连接BD，∠BAD＝105°，∠DBC＝75°.
（1）求证：BD＝CD；

（2）若⊙O的半径为3，求BC︵的长．
解：（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠DCB＋∠BAD＝180°.
∵∠BAD＝105°，
∴∠DCB＝180°－105°＝75°.
∵∠DBC＝75°，
∴∠DCB＝∠DBC.
∴BD＝CD.
（2）∵∠DCB＝∠DBC＝75°，
∴∠BDC＝30°.

由圆周角定理，得BC︵的度数为60°，

故BC︵的长为60π×3180＝π.

2．如图，AB是半圆O的直径，点C，D是半圆上两点，且OD∥AC，OD与BC交于点
E.
（1）求证：E为BC的中点；
（2）若BC＝8，DE＝3，求AB的长度．
解：（1）证明：∵AB是半圆O的直径，
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精品
∴∠C＝90°.
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精品
∵OD∥AC，
∴∠OEB＝∠C＝90°.
∴OD⊥BC.
∴BE＝CE.
∴E为BC的中点．
（2）设圆的半径为x，则OB＝OD＝x，OE＝x－3，
在Rt△BOE中，OB2＝BE2＋OE2，

∵BE＝12BC＝4，

∴x2＝42＋（x－3）2，解得x＝256.
∴AB＝2x＝253.

3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点N，点M在⊙O上，C为BM︵的中点．
（1）求证：CB∥MD；
（2）若BC＝4，AB＝6，求BN的长．

解：（1）证明：∵CD⊥AB，
∴BC︵＝BD︵.
∵C为BM︵的中点，
∴BC︵＝CM︵.
∴BD︵＝CM︵.
∴∠CBM＝∠M.
∴CB∥MD.
（2）连接AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
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精品
∵CD⊥AB，
∴∠BNC＝90°，BD︵＝BC︵.
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精品
∴∠BCD＝∠BAC.
∴△BCN∽△BAC.

∴BNBC＝BCAB，即BN4＝46.

∴BN＝83.
4．（xx·安徽）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠B＝∠D，AD不平行于BC，过点
C作CE∥AD交△ABC的外接圆⊙O于点E，连接AE.
（1）求证：四边形AECD为平行四边形；
（2）连接CO，求证：CO平分∠BCE.

证明：（1）由圆周角定理得
∠B＝∠E，又∵∠B＝∠D，
∴∠E＝∠D.
∵CE∥AD，
∴∠D＋∠ECD＝180°.
∴∠E＋∠ECD＝180°.
∴AE∥CD.
∴四边形AECD为平行四边形．
（2）过点O作OM⊥BC于点M，ON⊥CE于点N，
∵四边形AECD为平行四边形，
∴AD＝CE.又∵AD＝BC，
∴CE＝CB.
∴OM＝ON.又∵OM⊥BC，ON⊥CE，
∴CO平分∠BCE.
5．（xx·宜昌）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆交AC于点D，交BC
于点E.延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC.
（1）求证：四边形ABFC是菱形；
（2）若AD＝7，BE＝2，求半圆和菱形ABFC的面积．
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精品
解：（1）证明：∵AB为半圆的直径，
∴∠AEB＝90°，
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精品
∵AB＝AC.
∴CE＝BE.
又∵EF＝AE，
∴四边形ABFC是平行四边形．
又∵AB＝AC，
∴四边形ABFC是菱形．
（2）∵AD＝7，BE＝CE＝2，
∴设CD＝x，则AB＝AC＝7＋x，BC＝4.
连接BD，
∵AB为半圆的直径，
∴∠ADB＝90°.
∴AB2－AD2＝CB2－CD2，
即（7＋x）2－72＝42－x2.
解得x1＝1，x2＝－8（舍去）．

∴BD＝15.

∴S半圆＝12×π×42＝8π，
S菱形＝8×15＝815.

6．（xx·安徽中考变式）已知⊙O的直径AB＝12，点C是圆上一点，且∠ABC＝30°，点
P是弦BC上一动点，过点P作PD⊥OP交⊙O于点D.
（1）如图1，当PD∥AB时，求PD的长；
（2）如图2，当BP平分∠OPD时，求PC的长．

解：（1）连接OD.
∵直径AB＝12，∴OB＝OD＝6.
∵PD⊥OP，∴∠DPO＝90°.
∵PD∥AB，∴∠DPO＋∠POB＝180°.
∴∠POB＝90°.
又∵∠ABC＝30°，OB＝6，

∴OP＝OB·tan30°＝23.
∵在Rt△POD中，PO2＋PD2＝OD2，
∴（23）2＋PD2＝62.
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精品
∴PD＝26.
（2）过点O作OH⊥BC，垂足为H.
∵OH⊥BC，
∴∠OHB＝∠OHP＝90°.
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精品
∵∠ABC＝30°，OB＝6，
∴OH＝12OB＝3，BH＝OB·cos30°＝33.
∵在⊙O中，OH⊥BC，
∴CH＝BH＝33.
∵BP平分∠OPD，

∴∠BPO＝12∠DPO＝45°.
∴PH＝OH＝3.
∴PC＝CH－PH＝33－3.

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