中考数学专项讲练二次函数与根的分布
二次函数根的分布
二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表〔每种情况对应的均是充要条件〕表一：〔两根与0的大小比较即根的正负情况〕分布情况两个负根即两根都小于0()120,0x x << 两个正根即两根都大于0()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象〔>a 〕得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()00<f大致图象〔<a 〕得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f综合结论〔不讨论a〕()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00<⋅f a分布情况两根都小于k 即 k x k x <<21,两根都大于k 即 k x k x >>21,一个根小于k ，一个大于k 即21x k x <<大致图象〔>a 〕得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()0<k f大致图象〔<a 〕得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()0>k f综合结论〔不讨论a〕()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()0<⋅k f akkk分布情况两根都在()nm,内两根有且仅有一根在()nm,内〔图象有两种情况，只画了一种〕一根在()nm,内，另一根在()qp,内，qpnm<<<大致图象〔0 > a〕得出的结论()()2f mf nbm na∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅nfmf()()()()f mf nf pf q⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或()()()()f m f nf p f q<⎧⎪⎨<⎪⎩大致图象〔0 < a〕得出的结论()()2f mf nbm na∆>⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅nfmf()()()()f mf nf pf q⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩或()()()()f m f nf p f q<⎧⎪⎨<⎪⎩综合结论〔不讨论a 〕——————()()0<⋅nfmf()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<qfpfnfmf根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()外，即在区间两侧12，〔图形分别如下〕需满足的条件是〔1〕0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； 〔2〕0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：〔1〕两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：1︒ 假设()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。
二次函数根的分布
二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）k k k根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，； （2）0a <时，对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：1︒ 如方程()2220mx m x -++=在区间()1,3上有一根2︒ 如方程24260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围。
根的分布练习题例1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。
例2、已知方程()2210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围。
例3、已知二次函数()()()222433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围。
例4、已知二次方程()22340mx m x +-+=只有一个正根且这个根小于1，求实数m 的取值范围。
2、二次函数在闭区间[]n m ,上的最大、最小值问题探讨设()()002>=++=a c bx ax x f ，则二次函数在闭区间[]n m ,上的最大、最小值有如下的分布情况：对于开口向下的情况，讨论类似。
其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论：（1）若[]n m a b ,2∈-，则()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n f a b f m f x f ,2,max max ，()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫⎝⎛-=n f a b f m f x f ,2,min min ； （2）若[]n m ab,2∉-，则()()(){}n f m f x f ,max max =，()()(){}n f m f x f ,min min = 另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开x 轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开x 轴越远，则对应的函数值越小。
【经典例题】二次函数根的分布
二次函数根的分布一、知识点二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0()120,0x x << 两个正根即两根都大于0()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象（0>a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()00<f大致图象（<a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f综合结论（不讨论a）()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00<⋅f a表二：（两根与k 的大小比较）分布情况两根都小于k 即k x k x <<21, 两根都大于k 即k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即21x k x <<大致图象（>a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()0<k f大致图象（<a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()0>k f综合结论（不讨论a）()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()0<⋅k f akkk表三：（根在区间上的分布）二、经典例题分布情况两根都在()n m ,内两根有且仅有一根在()n m ,内（图象有两种情况，只画了一种）一根在()n m ,内，另一根在()q p ,内，q p n m <<<大致图象（>a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000f m f n f p f q ⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩ 大致图象（<a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000fm f n f p f q ⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩或()()()()0f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩综合结论（不讨论a ）——————()()0<⋅n f m f()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<00q f p f n f m f例1：（实根与分布条件）已知βα, 是方程024)12(2=-+-+m x m x 的两个根，且βα<<2 ，求实数m 的取值范围。
二次函数根的分布
二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）分布情况两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0 ()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象（>a ）得出的结论 ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()00<f大致图象（<a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f综合结论（不讨论a ）()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00<⋅f a分布情况两根都小于k 即 k x k x <<21,两根都大于k 即 k x k x >>21,一个根小于k ，一个大于k 即21x k x <<大致图象（0>a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()0<k f大致图象（0<a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()0>k f综合结论（不讨论a ） ()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()0<⋅k f akkk分布情况两根都在()n m ,内两根有且仅有一根在()n m ,内（图象有两种情况，只画了一种） 一根在()n m ,内，另一根在()q p ,内，q p n m <<<大致图象（>a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000f m f n f p f q ⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩ 大致图象（0<a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000fm f n f p f q ⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩或()()()()0f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩综合结论（不讨论a ） ——————()()0<⋅n f m f()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<00q f p f n f m f ()n m ,12，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：（1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：1︒ 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <g 不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。
二次函数与根的分布答案.docx
二次函数与函数的零点一、知识要点1. 二次函数的解析式(1) 一 般式：f(x) = + bx + c(a H 0)；(2) 顶点式：若二次函数的顶点坐标为(方，k),则其解析式为心)=Q (X —/?)2+£(Q H0)；⑶两根式：若相应一元二次方程的两根为兀1，兀2,则其解析式为心)=d(x —心心―功(。
工0).二次函数的图象和性质2.函数的零点 ⑴定义：使函数y=/lx)的值为0的实数x 称为函数y=f{x)的零点.(2) 函数的零点与相应方程的根、函数的图象与兀轴交点间的关系：方程./(x)=0有实数根0函数y=/(x)的图象与個有交点O 函数尸心)有零点.(3) 函数零点的判定(零点存在性定理)：如果函数y=fix)在区间［a,切上的图彖是一条 不间断的曲线，且心MbXO,则函数y=/(x)在区间(Q ，历上有零点.3. 函数零点具有哪些性质？提示：对于任意函数，只要它的图象是连续不间断的，其函数零点具有以下性质： (1) 当它通过零点且穿过x 轴时，函数值变号； (2) 相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.4. 二次函数y=ax 2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系 .二分法的定义 在区间［a, b ］上连续不断且/(a)•仙)<0的函数>'=/(x),通过不断地把函数/(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 二、例题分析［例1］已知二次函数./U)同时满足以下条件：(1)/(1+x)=Al-x);⑵/⑴的最大值为15； (3)/(x)=0的两根的立方和等于17. 求./(x)的解析式.［自主解答］依条件，设/(x)=t7(x —1)2+15(«<0),即f(x)=ax 2—2ax+a+ 15.令 /(JV )=0,即 ox?—2ax+a+15=0,则 X ］+X 2=2, X ］X 2= 1 +-y. 而 xf +x? =(X| +^2)3 — 3X]X2(X| +-V2)= 2彳一3 X 2 X (1 + 亍) 即 2—乎=17,则 a=—6.故/(x)= — 6x 2 + 12x+9.[例 2] (201 牛盐城模拟)己知函数_A X )=X 24-2^X +3, X E[-4,6J.(1) 当a=—2时，求/(x)的最值；(2) 求实数。
二次函数根的分布
二次函数根的分布二次函数是二次多项式的函数，其一般形式为y=ax^2+bx+c（其中a≠0）。
首先，我们需要了解二次函数的图像特点。
对于二次函数y=ax^2+bx+c，a决定了二次函数的开口方向和开口大小，a>0时开口向上，a<0时开口向下；b决定了二次函数的对称轴位置，对称轴的方程为x=-b/2a；c决定了二次函数与y轴的交点。
其次，我们来探讨二次函数的根的分布。
二次函数的根即方程的解，即使二次方程的解的个数以及位置。
对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，我们可以利用判别式来判断解的情况：判别式Δ=b^2-4ac。
1.当Δ>0时，方程有两个不相等的实根。
实根的个数与开口方向无关，只与判别式Δ有关。
-当Δ>0时，方程有两个不相等的实根。
-当Δ=0时，方程有一个实根，这个实根称为方程的重根。
-当Δ<0时，方程无实根，但可以有两个共轭虚根。
值得注意的是，只有在a≠0时，方程为一元二次方程，才能求解二次函数的根。
接下来，我们来分析二次函数根的分布。
1.当Δ>0时，方程有两个不相等的实根。
此时，二次函数与x轴交于两个不同的点，也就是有两个实根。
这两个实根的位置由二次函数的对称轴决定，对称轴的方程为x=-b/2a。
假设根的位置为x1和x2，那么有以下三种情况：-当x1和x2均小于对称轴的x坐标时，二次函数开口向上，根的位置为x1>x2-当x1和x2均大于对称轴的x坐标时，二次函数开口向下，根的位置为x1<x2-当x1小于对称轴的x坐标，x2大于对称轴的x坐标时，一个根位于对称轴的左侧，一个根位于对称轴的右侧。
2.当Δ=0时，方程有一个实根，这个实根称为方程的重根。
此时，二次函数与x轴有且仅有一个交点，也就是有一个实根。
这个实根的位置正好位于二次函数的对称轴上，对称轴的方程为x=-b/2a。
3. 当Δ<0时，方程无实根，但可以有两个共轭虚根。
此时，二次函数与x轴没有交点，也就是无实根。
二次函数性质及根的分布
要点二
题目2解析
由于函数$f(x) = x^2 - 2x + m$在区间$[-1,3]$上的最大值 为$4$，可以得出函数的对称轴为直线$x = 1$，且函数在区 间$[-1,3]$上单调递增。因此，当$x = 3$时，函数取得最大 值，即$9 - 6 + m = 4$，解得$m = 1$。
THANKS FOR WATCHING
若 $a > 0$，则对称轴是 $x = -frac{b}{2a}$；若 $a < 0$，则 对称轴是 $x = -frac{b}{2a}$。
二次函数的开口方向和顶点
二次函数的开口方向由系数 $a$ 决定。当 $a > 0$ 时，抛 物线开口向上；当 $a < 0$ 时，抛物线开口向下。
二次函数的顶点坐标为 $left(-frac{b}{2a}, fleft(frac{b}{2a}right)right)$。顶点的纵坐标即为函数的最大 值或最小值。
二次函数是定义在实数域上的函数， 其定义域为全体实数。
二次函数的图像
01
二次函数的图像是一个抛物线， 其形状由系数 $a$ 决定。
02
当 $a > 0$ 时，抛物线开口向上 ；当 $a < 0$ 时，抛物线开口向 下。
二次函数的对称性
二次函数的图像关于其对称轴对称。对称轴的方程是 $x = frac{b}{2a}$。
题目2
若函数$f(x) = x^2 - 2x + m$在区 间$[-1,3]$上的最大值为$4$，则 $m$的值为多少？
进阶练习题
题目3
已知函数$f(x) = x^2 - 2x + a$在区 间$[0,3]$上有且只有一个零点，求 实数$a$的取值范围。
二次函数根的分布和最值
二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况设方程()200axbx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：1︒ 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。
如方程()2220mx m x -++=在区间()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()22212mx m x x mx -++=--，另一根为2m，由213m <<得223m <<即为所求； 2︒ 60m +=有且一根)()00f <即)0<得出3m -<<32m =，当m ()3,0-，即1m =-或1m =-例1解：由()()00f <例2(221x m -+解：由0m <例31，求实数m 解：由2例4、已知二次方程()22340mxm x +-+=只有一个正根且这个根小于1，求实数m 的取值范围。
解：由题意有方程在区间()0,1上只有一个正根，则()()010f f < ⇒ ()4310m +< ⇒ 13m <-即为所求范围。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
中考数学专项讲练二次函数与根的分布(解析版)
一．二次函数与x轴交点 1．抛物线与x轴的交点：二次函数2yaxbxc的图像与x轴的两个交点的横坐标1x、2x，是对应一元二次方程20axbxc的两个实数根.抛物线与x
轴的交点情形能够由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点0抛物线与x轴相交； ②有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切； ③没有交点0抛物线与x轴相离. 2．平行于x轴的直线与抛物线的交点：可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是2axbxck的两个实数根. 3．抛物线与x轴两交点之间的距离．若抛物线2yaxbxc与x轴两交点为10Ax，，20Bx，，由于1x、2x是方程20axbxc的两个根，故
1212bcxxxxaa，：
22
22
12121212
444bcbacABxxxxxxxxaaaa
.
二．二次函数与一元二次方程根的分布问题如下表（以0a为例）：
判别式:24bac 0 0 0
二次函数2yaxbxc (0)a的图象
x2x1O
yx x1=x2Oyx Ox
y
一元二次方程:20axbxc (0)a的根
有两相异实根 12,xx 242bbaca
12()xx
有两相等实根
122bxxa
没有实根
知识精讲 一．考点：二次函数与x轴交点问题，利用二次函数解决一元二次方程根的分布问题． 二．重难点： 1．二次函数与x轴交点问题即当0y时，转化为一元二次方程20axbxc
；
2．在利用二次函数分析一元二次方程根的分布问题时要结合函数图像的性质来分析． 三．易错点：利用二次函数分析一元二次方程根的分布问题时第一确定开口方向，然后再结合函数的增减性，对称轴的位置，函数值等因素最终确定一元二次方程根的分布情形．
题模一：根的分布问题 例1.1.1 求实数a的取值范畴，使关于x的方程221260xaxa＋＋＋． （1）有两个实根12xx、，且满足1204xx； （2）至少有一个正根； （3）方程一个根大于0而小于2，另一个根大于4而小于6． 【答案】 （1）715a；（2）1a；（3）1517a． 【解析】 （1）设2()2(1)26fxxaxa＋＋＋；则有：0042(0)0(4)0baff，解得：715a
（2）能够利用韦达定理来解决此题 ①由图1、图2，可得：1212000xxxx；解得：31a
②由图3，可得：1212000xxxx；解得：3a；③由图4，可得：1200xx；解得：3a
综上可得1a． （3）设2()2(1)26fxxaxa；则有：(0)0(2)0(4)0(6)0ffff，解得1517a． 例1.1.2 抛物线y=-x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
从上表可知，下列说法正确的个数是（ ）
三点剖析 题模精讲
x -2 -1 0 1 2 y 0 4 6 6 4 ①抛物线与x轴的一个交点为（-2，0）；②抛物线与y轴的交点为（0，6）；③抛物线的对称轴是x=1；④在对称轴左侧y随x增大而增大． A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 【答案】C
【解析】 从表中明白： 当x=-2时，y=0， 当x=0时，y=6， ∴抛物线与x轴的一个交点为（-2，0），抛物线与y轴的交点为（0，6）， 从表中还明白： 当x=-1和x=2时，y=4， ∴抛物线的对称轴方程为x=12（-1+2）=0.5， 同时也能够得到在对称轴左侧y随x增大而增大． 因此①②④正确． 故选C． 例1.1.3 二次函数y=x2+px+q中，由于二次项系数为1＞0，因此在对称轴左侧，y随x增大而减小，从而得到y越大则x越小，在对称轴右侧，y随x增大而减大，从而得到y越大则x也越大，请依照你对这句话的明白得，解决下面问题：若关于x的方程x2+px+q+1=0的两个实数根是m、n（m＜n），关于x的方程x2+px+q﹣5=0的两个实数根是d、e（d＜e），则m、n、d、e的大小关系是（ ） A． m＜d＜e＜n B． d＜m＜n＜e C． d＜m＜e＜n D． m＜d＜n＜e
【答案】B
【解析】 二次函数y=x2+px+q+1图象如图所示： 结合图象可知方程x2+px+q﹣5=0的两个实数根即为函数y=x2+px+q+1和y=6的交点， 即d＜m＜n＜e 例1.1.4 已知二次函数2yaxbxc（a≠0）的图象过点2,0A，2,4B，对称轴为直线1x－． （1）求那个二次函数的解析式； （2）若33x，直截了当写出y的取值范畴； （3）若一元二次方程20axbxcm－（0a，m为实数）在33x的范畴内有实数根，直截了当写出m的取值范畴． 【答案】 （1）2142yxx（2）9722y（3）9722m
【解析】 该题考查的是二次函数的差不多性质． （1）∵对称轴为直线1x，图象过点2,0A ∴图象过点4,0 ………………………………………..1分 设二次函数解析式为42yaxx …………………………….2分 ∵图象过点2,4B 解得12a ∴1422yxx即2142yxx （2）当1x时，2114422yxx， 当3x时，2
11
4222yxx
当3x，2114322yxx …………………………3分 ∴9722y ……………………..4分 （3）将一元二次方程20axbxcm－看作二次函数2maxbxc，可知my，由（2）可知m的取值范畴为9722m …………………6分 题模二：函数交点问题 例1.2.1 已知函数244yxxm的图像与x轴的交点坐标为（1x，0），（2x，0），且212112458xxxxx，则该函数的最小值为（ ） A． 2 B． -2 C． 10 D． -10 【答案】D
【解析】 函数244yxxm的图象与x轴的交点坐标为（1x，0），（2x，0），1x与2x是2440xxm的两根，211440xxm，121xx，124mxx 21144xxm
2
12112458xxxxx
，12112458xxxmxx即
12128xxmxx 118m
，解得9m，抛物线解析式为2214494102yxxx，故
最小值为10． 例1.2.2 已知关于x的函数212ymxxm图象与坐标轴只有2个交点，则m=__________． 【答案】 1或0或152． 【解析】 解：（1）当m-1=0时，m=1，函数为一次函数，解析式为21yx，与x轴交点坐标为 （12，0）；与y轴交点坐标（0,1），符合题意； （2）当10m时，1m，函数为二次函数，与坐标轴有两个交点，则过原点，且与x轴有两个不同的交点，因此4410mm，解得，21524m，解得152m或152m． 将0,0代入解析式得，0m符合题意； （3）函数为二次函数时，还有另外一种情形是：与x轴只有一个交点，与y轴交于另一点，现在4410mm，解得152m． 例1.2.3 若关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）=m有实数根x1、x2，且x1＜x2，有下列结论： ①x1=1，x2=2； ②m＞﹣； ③二次函数y=（x﹣1）（x﹣2）﹣m的图象对称轴为直线x=1.5； ④二次函数y=（x﹣1）（x﹣2）+m的图象与y轴交点的一定在（0，2）的上方． 其中一定正确的有 （只填正确答案的序号）． 【答案】 ②③． 【解析】 当m=0时，x1=1，x2=2，因此①错误； 方程整理为x2﹣3x+2﹣m=0，△=（﹣3）2﹣4（2﹣m）0，解得m＞﹣，因此②正确； 二次函数为y=x2﹣3x+2﹣m，所抛物线的对称轴为直线x=﹣﹣1.5，因此③正确；