量子力学中的对称性和角动量

量子力学中的对称性和角动量

§3.1 引言

从经典物理知道，自然界存在各种守恒定律如能量守恒、动量守恒、角动量守恒等。为什么会这样？ 从形式上看，守恒定律是运动方程的结果，因为它可以从运动方程导出。但是，从本质上看，守恒定律也许比运动方程更为基本，因为它表达了自然界的一些普遍法则，支配着自然界的所有过程。反过来，也可以认为运动方程实际上受着守恒定律的限制。

为什么会有守恒定律？守恒定律存在的深刻根源在于自然界存在着普适的对称性。

运动过程的所有特征，实际上都已经隐含在运动方程之中，对称与守恒的研究，只是使运动过程本来就具有的那些特征更加显现出来，但它并不能给出超出运动方程的结果。

经典力学中，Hamiltonian 决定了体系的运动规律，看H 是否对于某一种变换不变，则体系在变换前后的运动规律也保持不变。----守恒量。

{}

{}0

,H u ,=+∂∂=H u H u t

u dt du 不显含时间，则和如--表示u 是一个运动常数。 量子力学中， 运动方程为[]H F dt

dF

i ,=

，其中力学量为算符[]0,=H F --二者具有共同的本征函数。 Wigner-Weyl 实现：态的对称性直接反映了H 的对称性。

§3.2 转动态的定义和转动算符 §3.2A 转动态的定义

在经典物理中，转动后坐标的变化为

()()p R p r R r ϕθϕθ,',,'==

如果n 为z 轴，转动角为θ，则

z z y x y y x x p p z z p p p y x y p p p y x x ==+=+=-=-=',',cos sin ',cos sin ',

sin cos ',sin cos 'θθθθθθθθ-------⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z y x z y x 10

0cos sin 0sin cos '''θθ

θθ 在量子力学中，一自旋为0的标量粒子波函数()r ψ，将它绕空间n 轴（z 轴）转动一个角

度θ，此操作为作用在波函数上的算符()θ,n R ，则()

()()r r n R ',ψψθ=。 转动态的定义：

.

'',ψψψψψR r right R r r R left ====所以，---转动态。

物理上对转动态的要求：如果转动前后中所测得的物理量的关系和经典物理中一致（在下面

举几个例子说明），则可称之为转动态。 在坐标系中，()r ψ为标量函数，存在()()

r r ψψ=''

和()()

r R r Rr r 1

','-==ψψ。

现在，证明上式满足转动态的要求。

转动前，平均位置()()r x r dr x x ψψψψ⎰==*

转动后，平均位置

()()()()()()()θ

θψθθψψψψψψψsin cos sin cos ''''''''ˆ''*

**y x r y x r dr r x r dr r x r dr x

x -=-====⎰⎰⎰

3.2B 算符的转动

令()θ,n R 为转动算符。()

()()()

r R r r n R 1

',-==ψψψθ， 转动前后，物理上要求几率守恒，即保持态归一化：

ψψψψψψψψR R R R

+====ˆˆ''1，则1ˆˆ=+R R 。 即转动算符R 为幺正算符，转动变换是一个幺正变换。

物理过程：转动前后平均值不变。 任一算符F 的平均值为：

.ˆ'ˆ''ˆ''ˆ'ˆˆˆ+++++======R F R F

F R F R R R F R R R R F R R F

F 转动后，新算符ψψψψψψψψψψ

量子力学中，可观察量的转动。

θθsin ˆcos ˆ'ˆy x x

+=即变换使坐标转过角度θ，同时使体系的可观察量转过角度为θ-。

3.2C 态的无限小转动---求转动算符的具体形式 态的无限小转动，绕z 周的转角δθ为无限小，则

y x y y x x +=-=δθδθ','

（1）自旋为0的粒子波函数，

()()()()()()()⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛

∂∂-∂∂+=-+==-y x x y i L z y x L i z y x y x x y i i z y x y x x y

z y x z x y y x r R r z z ˆz ,,ˆ1,,1,,,,,,'1，方向的轨道角动量算符定义ψδθψδθψδθψδθδθψψψ

推广到任意轴n 的微小转动，有

()()().ˆ1,ˆˆ1'n L i n R

r n L

i r ⋅-=⎪⎭

⎫ ⎝

⎛⋅-=δθθψδθψ

无穷小转动算符为，

2009-10-14上课内容

（2）自旋为1/2的粒子的波函数。此时，波函数为二分量，记⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-10,01212

1χχ，则体

系波函数为，()()()()()()()2

1221121211001-+=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛+⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ψχψχψψψψψr r r r r r r 。 绕z 轴转动，证明波函数为()()

r R i r z 121'-ψ⎪⎭

⎫

⎝⎛-

=ψδθσ。 物理过程：在转动态下自旋、位置、动量与原来态满足经典关系，即

ψψ-ψψ=ψψy x x

δθ'ˆ' ()()()2

1

22

11'

''''-+=ψχψχψr r r ，

当转动角度无限小时，把自旋的变化等同于位置的变化规律，则自旋的三个方向的分量为

χδθχδθχχδθδθχχχχδθδθχχχχ⎪⎭⎫

⎝⎛-=⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛-+=⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= z z y x z y x S i i i 10000010100000000

10001

01

''''

此处，定义⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛-=0000000i i S z

从上面的讨论可知，轨道部分波函数变为，()()r n L

i r ψδθψ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⋅-= ˆ1'， 则总波函数为

()()()()()()丢掉二阶项。

---ψ⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-=ψ⎪⎭⎫

⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=ψ-r S L i r S i L i r r r z z z z δθδθδθχψχψ111'''''212211

则任意轴无限小角度转动算符，()()

n

S L i n R ⋅+-=δθδθ1,，

其中粒子的总角动量算符可以写为S L J +=

3.2D 态的有限角度转动

绕n 轴无限小角度转动算符为()

n

J i n R ⋅-

=δθδθ1,，