分析力学第四章

而这种组合一定是符合分子所属的对称性群的一个对称类的。
画出一个分子可能的结构，就能够根据这个结构求算出分子的 可以预测分子在红外光谱和拉曼光谱中的特征吸收峰。 http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_mode
简正坐标，通过考查分子的简正坐标可以了解分子内部运动的能量，
假定了两个振子以同一频率振动（集体振动模式）Fra Baidu bibliotek
02 运动方程
C1 C 2 1 2 0 C2 C2
2
2 (0 2 ) 非零解条件： 0 2 2 (0 ) 本征方程
非0解条件对应
矩阵K (k ) 的本征值方程 2 的s次代数方程 是关于
k22 k s2
0
k ss
k 0, 且k＝k 方程有 的s个正实根
i
(i 1, 2, s)
——系统有s个本征频率(集体振动模式) 对应的本征矢记为 V (i )
非0解的条件 本征值方程
11 21 31
12 13 22 23 0 32 33
3个本征值 a (a 1, 2,3) 每个本征值对应一个本征矢U。
§1.4.3 多自由度的耦合振动
系统的自由度数：s 广义坐标
P：退耦合有什么好处？
m
1
s
k

C 2C ( 1,, s) k C C
1 s
k 令k＝ , 2 m
( 1,, s)
k C C
1
s
( 1,, s)
k11 k21 k s1 k12 k1s k2 s
解法1：运用
解法2： 由例1
结果一致!
例3：周期性外场 解：
求振子的运动。
选初始条件使
，则积分下限为零。
——按本征频率
的振动和按强迫力频率
的振动的叠加
§1.4.2 阻尼振动
共振
一、无阻尼的共振
出发点：
改写为：
共振：
,振动的振幅将随时间的增长而增大
为什么振幅无穷大没有被观测到？
1.振幅增到一定程度，微振动的假设已不再成立；
1 s 1 s 2 L m x k x x 2 1 2 1
一般性思路： 拉格朗日方程 m x
k x 0
1
s
( 1, 2, s)
设 x Re[C eit ] ( 1, 2, s) 代入运动方程得：
退耦合的思路：
定义简正坐标： Q1 Re[ Aei1 t ] 则
x1 1 1 1 1 Q1 Q2 2 1 2 1 x2
Q2 Re[ Bei2 t ]
拉格朗日函数耦合项消失(退耦)：
1 2 1 2 1 2 1 2 L mQ1 kQ1 mQ2 (k 2 )Q2 2 2 2 2
一、弱耦合的二振子系统
一般性思路： 由拉格朗日方程 求 x1和x2
2 1 0 x1 x2 x 2 2 0 x2 x1 x 2 0 (k ) m m
x1 Re[C1ei t ] 设
x2 Re[C2ei t ]
三维空间中的矢量
u u1e1 u2e2 u2e2
u1 U u2 u 3
11 SU U 即 21 31
12 13 u1 22 23 u2 0 32 33 u3
Phonons are a quantum mechanical version of a special type of vibrational motion, known as normal modes in classical mechanics, in which each part of a lattice oscillates with the same frequency. These normal modes are important because, according to a well-known result in classical mechanics, any arbitrary vibrational motion of a lattice can be considered as a superposition of normal modes with various frequencies (compare Fourier transform); In this sense, the normal modes are the elementary vibrations of the lattice. Although normal modes are wave-like phenomena in classical mechanics, they acquire certain particle-like properties when the lattice is analysed using quantum mechanics (see wave-particle duality.)
2 k / m 1 0 系统的两个集体振动模式： 2 2 0 (k 2 ) / m （简正频率）
C1 相应的本征矢 有 C2
1 1 和 2 1
1 1 2 1
C1eit x1 1 1 i1t 1 1 i2t Re Re[ e e ] it 2 1 2 1 x2 C2e
设
是系统的平衡位置，在
附近展开L ，则
注：a(q)展开到零阶小量
略去 m: 等效质量 k: 等效倔强系数
代入拉格朗日方程，得
二、自由振动方程的解
振动方程
解 积分常数：A—振幅； —初相位
由初始条件确定。
保守系能量守恒
解的复数形式（指数形式）
运用指数解的进行运算： 如果 那么
能量
？
条件：线性运算才可以先用指数解运算，最后再取实部。
第四章 微振动
简谐振动：弹簧振子在平衡位置附近的往复运动。
微振动：系统在平衡位形(势能极小值)附近的微小振动。 只要系统存在平衡位置（位形），就会发生微振动。 系统的势能U(q)在平衡位置 具有最小值，则
势能在
附近作泰勒展开，只保留到二阶小量：
§1.4.1 无阻尼的微振动
一、自由振动方程
考虑一个最简单的情况：一维系统，忽略阻尼。 设q为广义坐标。系统的拉格朗日函数：
施以恒力f , 求t 以后的振动情况。
解： 将F 0 t [0, ] 代入 f t [0, ]
且t＝0时，x 0, x 0 X 0 0
X e
取实部:
it


0
f it f e dt [e i ( t ) e it ] im m 2
xi : 第i 个振子对自己平衡位置的偏离。
s
1 1 2 1 s 拉格朗日函数： L ( mi xi2 ki xi ) ij xi x j 2 2 i j 1 i 1 2
振子之间的耦合 目标：定义新的广义坐标（简正坐标）使L 退耦合为 s ) 1 (m ' Q 2 k ' Q 2 ) L L(Q , Q a 2 a 1 新广义坐标 Q 描述系统的第 种集体振动模式： （多振子系统的协调运动） 2 k ' / m 'a
两个集体振动的频率： 1 k / m 2 (k 2 ) / m
可以直接读出。
三、多自由度耦合振子的集体振动模式
一般的，对于有s个自由度的振动系统，拉格朗日函数为：
1 s 1 s 2 L m x k x x 2 1 2 1
k 0, 且k＝k 二次型势能存在极小值
能量
三、受迫振动方程的解
系统处在随时间变化的外场中：
在平衡位置附近展开外场： 忽略
运动方程
运动方程
则运动方程降阶为 齐次方程 的通解
(1)
dC F (t ) e it 找特解：令 C＝C(t) 代入（1），得 dt im
通解 特解
补充例题
例1：初始时刻振子停在平衡位置不动。在 t [0, ]时间内
2.实际运动存在阻尼，振幅不会随时间无限增大。
二、阻尼振动方程的解
阻尼的作用：使机械运动的能量耗散，转化为热能，使
机械运动停止(无外力时)。 1.振动系统，不再是保守系，不能引入势能函数； 2.办法：在运动方程中加进阻力项： 振子的弹力 受力 分析： 周期性策动力 介质阻尼 运动方程
求通解 齐次方程：
四、受迫振动方程的能量转移
X 0 Ae i
假定在初始时刻振子不振动,外力作用在有限时间间隔里, 则作用后振子获得的总能量可计算为:
A 0, t0 , t
例2：初始时刻振子停在平衡位置不动。在 t [0, ]时间内
施以恒力f , 求t 以后外力转移给振子的能量。
(i )
s
( )
叠加系数（振幅比例）决定于 本征矢 V (i )
1
采用简正坐标，拉格朗日退耦合成为s个独立振动：
1 s 1 s 2 L a Q ( a )2 aa Q ( a )2 2 a 1 2 a 1
集体振动的频率可以直接读出。
简正坐标在原子分子物理中的应用： 简正坐标是分子内所有原子质量加权坐标的线性组合， 表征的是一套分子内部运动的组合
策动力＝0 阻尼存在
解得：
通解： ：初始条件决定 阻尼使频率下降 且振幅按指数衰减
三、有阻尼情况下的共振
运动方程 找特解
复数形式的方程: X 的两个可能频率:本征频率 (阻尼, 衰减) 和迫动频率,
总结 阻尼振动
运动方程
解
1. 足够长时间后，完全按强迫力的频率振动，振动的相位 落后于强迫力的相位( 2. 当 )； 时：振幅并不随时间t无限增长。
四、通过共振时能量吸收和相位变化
接近共振时：
足够长t,忽略第一项 P63图1(a) 相位变化对迫动率的依赖:
单位时间从迫动力所吸收的能量为克服阻尼所做的功:
时间平均:
P63图1(b) 共振吸收
数学补充：本征值方程、本征值、本征矢量
11 12 13 3 3 的矩阵 S 21 22 23 32 33 31
退耦合的思路：
1 s 1 s 2 L m x k x x 2 1 2 1
i t 简正坐标 Q ( ) Re[ A e ]
表示第 个集体振动模式
s个质点 xi (i 1, ,s) 都是这s个简正模式的线性叠加：
xi V Q
http://en.wikipedia.org/wiki/Phonon