人教A版高中数学必修3 算法案例课件_4
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提取公因式
人教A版高中数学必修3第一章1.3 算法案例课件_4
算法一：把5代入，计算各项的值，然后把它们 加起来。
ｆ(x) =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１ ｆ(5) = 5５＋5４＋5３＋5２＋5＋1
=5x5x5x5x5＋5x5x5x5＋5x5x5＋5x5＋5+1 =3125＋625＋125＋25＋5＋１ =3906
所以,当x=5时,多项式的值是2677. 多项式的值.
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人教A版高中数学必修3第一章1.3 算法案例课件_4
《数书九章》——秦九韶算法
设f (x) 是一个n 次的一元多项式
f ( x ) a n x n a n 1 x n 1 a 1 x a 0
列表 2 -5 0 -4 3 -6 0
x=5
10 25 125 605 3040 15170
V= 2 5 25 121 608 3034 15170
所以,当x=5时,多项式的值是15170.
人教A版高中数学必修3第一章1.3 算法案例课件_4
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总结：
10次的乘法运ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ,5次的加法运算
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算法二：先计算x2的值，然后依次计算 x2·x、（ x2·x）·x、（ （ x2·x）·x）·x 的值
ｆ（5）=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１ =5×(5４＋5３＋5２＋5＋１) ＋１ =5×(5×(5３＋5２＋5 ＋１ )＋１ )＋１ =5×(5×(5×(5２+5 +１)+１)+１) ＋１ =5×(5×( 5×(5×(5+1 )+1) +1)+1)+１
对该多项式按下面的方式进行改写
f ( x ) a n x n a n 1 x n 1 a 1 x a 0 ( a n x n 1 a n 1 x n 2 a 1 ) x a 0 ( ( a n x n 2 a n 1 x n 3 a 2 ) x a 1 ) x a 0 ( ( a n x a n 1 ) x a n 2 ) x a 1 ) x a 0
《三斜求积术》，《数书九章》
----------秦九韶
《相关算法》，《剩余定理》
问 题
人教A版高中数学必修3第一章1.3 算法案例课件_4
秦九韶算法是求一元多项式的值的一种方 法。
怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时 的值呢？ 算法一：把5代入，计算各项的值，然后把它 们加起来。 算法二：先计算x2的值，然后依次计算x2·x、 （ x2·x）·x、（ （ x2·x）·x）·x的值。
人教A版高中数学必修3第一章1.3 算法案例课件_4
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例1:求当x = 5时多项式 f (x) = 2x5 – 5x4 – 4x3 + 3x2 – 6x + 7的值.
解法一:首先将原多项式改写成如下形式 : f(x)=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7
人教A版高中数学必修3第一章1.3 算法案例课件_4
开始 输入n,an,x的值
v=an i=n-1
程序语言
i=i-1 v=vx+ai
i≥0？ Y
N
输出v
输入ai
结束
INPUT “n=”；n INPUT “an=”；a INPUT “x=”；x v=a
i=n-1
WHILE i>=0 INPUT“ai=”;a
v2=v1x+an-2, v3=v2x+an-3, ……, vn=vn-1x+a0. 这样,求n次多项式f(x)的值就转化为求n个
一次多项式的值.这种算法称为秦九韶算法.
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练一练:求当x = 5时多项式 f(x)=2x6-5x5-4x3+3x2-6x的值.
所以,当x=5时, 多项式的值是15170
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练一练:用秦九韶算法求多项式 f(x)=2x6-5x5-4x3+3x2-6x当x=5时的值.
解:原多项式先化为:
f(x)=2x6-5x5 +0×x4-4x3+3x2-6x+0
解法一:首先将原多项式改写成如下形式 : f(x)=(((((2x-5)x-0)x-4)x+3)x-6）x+0
然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即
v0=2 v1=v0x-5=2×5-5=5 v2=v1x-0=5×5-0=25 v3=v2x-4=25×5-4=121 v4=v3x+3=121×5+3=608 v5=v4x-6=608×5-6=3034 V6=v5x+0=3034×5+0=15170
4次的乘法运算,5次的加法运算
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计算多项式
ｆ(ｘ)=ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ+１当x=5的值 法一：10次的乘法运算,5次的加法运算
法二：4次的乘法运算,5次的加法运算
显然，采用第二种算法，计算能够更快地得到结果。
• 程序计算
1.3.2 算 法 案 例 （案例2） 秦 九 韶 算 法
秦九韶
（1208年－1261年）
南宋官员、数学家， 与李冶、杨辉、朱世杰 并称宋元数学四大家。
字道古，汉族，自称 鲁郡(山东曲阜)人，生于 普州安岳（今属四川）。
数学贡献:
《划时代巨著》，《大衍求一术》，
《任意次方程》，《一次方程组解法》
秦九韶算法的程序设计
v0 an
v
k
vk1 x
ank
(k 1, 2, , n)
f(x )a nxna n 1xn 1a 1xa 0
( (a nxa n 1)xa n 2)xa 1)xa 0 v1anxan1 v2v1xan2
v 3 v2xan3
vnvn1xa0
第一步：输入多项式次数n、最高次项的系数an和x的值 第二步：将v的值初始化为an,将i的值初始化为n-1 第三步：输入i次项的系数ai 第四步：v=vx+ai,i=i-1. 第五步：判断i是否大于或等于0,若是, 则返回第三步;否则,输出多项式的值v.
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一共n-1个小括号
省略了若干 项
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一般地,对于一个n次多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+……+a1x+a0. 我们可以改写成如下形式:
f(x)=((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0. 求多项式的值时,首先计算最内层括号内一 次多项式的值,即 v1=anx+an-1, 然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即
然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即
v0=2
v1=v0x-5=2×5-5=5 所以,当x=5时,
v2=v1x-4=5×5-4=21 多项式的值是2677.
v3=v2x+3=21×5+3=108 v4=v3x-6=108×5-6=534
5次乘法，5次加法
v5=v4x+7=534×5+7=2677
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v=v*x+a
i=i-1
WEND
PRINT v
END
• 程序计算
课堂小结：
1、秦九韶算法的方法和步骤 2、秦九韶算法的流程图及程序
作业：
1.书本45页 课后练习2 2.( 思考题） f(x)=2x6-5x5+ax3+3x2-6x
当x = 5时v4=608,求a的值
谢 谢 指 导!
再
见！
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例1：求当x = 5时多项式 f (x) = 2x5 – 5x4 – 4x3 + 3x2 – 6x + 7的值.
解法二:列表
原多项式的系 数
2 -5 -4 3 -6 7
x=5
10 25 105 540 2670
V= 2 5 21 108 534 2677
秦九韶算法是求一元多项式的值的一 种方法.
它的特点是:把求一个n次多项式的值 转化为求n个一次多项式的值,通过这种转 化,把运算的次数由至多n(n+1)/2次乘法运 算和n次加法运算,减少为n次乘法运算和n 次加法运算,大大提高了运算效率.
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算法一：把5代入，计算各项的值，然后把它们 加起来。
ｆ(x) =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１ ｆ(5) = 5５＋5４＋5３＋5２＋5＋1
=5x5x5x5x5＋5x5x5x5＋5x5x5＋5x5＋5+1 =3125＋625＋125＋25＋5＋１ =3906
所以,当x=5时,多项式的值是2677. 多项式的值.
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《数书九章》——秦九韶算法
设f (x) 是一个n 次的一元多项式
f ( x ) a n x n a n 1 x n 1 a 1 x a 0
列表 2 -5 0 -4 3 -6 0
x=5
10 25 125 605 3040 15170
V= 2 5 25 121 608 3034 15170
所以,当x=5时,多项式的值是15170.
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总结：
10次的乘法运ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ,5次的加法运算
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算法二：先计算x2的值，然后依次计算 x2·x、（ x2·x）·x、（ （ x2·x）·x）·x 的值
ｆ（5）=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１ =5×(5４＋5３＋5２＋5＋１) ＋１ =5×(5×(5３＋5２＋5 ＋１ )＋１ )＋１ =5×(5×(5×(5２+5 +１)+１)+１) ＋１ =5×(5×( 5×(5×(5+1 )+1) +1)+1)+１
对该多项式按下面的方式进行改写
f ( x ) a n x n a n 1 x n 1 a 1 x a 0 ( a n x n 1 a n 1 x n 2 a 1 ) x a 0 ( ( a n x n 2 a n 1 x n 3 a 2 ) x a 1 ) x a 0 ( ( a n x a n 1 ) x a n 2 ) x a 1 ) x a 0
《三斜求积术》，《数书九章》
----------秦九韶
《相关算法》，《剩余定理》
问 题
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秦九韶算法是求一元多项式的值的一种方 法。
怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时 的值呢？ 算法一：把5代入，计算各项的值，然后把它 们加起来。 算法二：先计算x2的值，然后依次计算x2·x、 （ x2·x）·x、（ （ x2·x）·x）·x的值。
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例1:求当x = 5时多项式 f (x) = 2x5 – 5x4 – 4x3 + 3x2 – 6x + 7的值.
解法一:首先将原多项式改写成如下形式 : f(x)=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7
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开始 输入n,an,x的值
v=an i=n-1
程序语言
i=i-1 v=vx+ai
i≥0？ Y
N
输出v
输入ai
结束
INPUT “n=”；n INPUT “an=”；a INPUT “x=”；x v=a
i=n-1
WHILE i>=0 INPUT“ai=”;a
v2=v1x+an-2, v3=v2x+an-3, ……, vn=vn-1x+a0. 这样,求n次多项式f(x)的值就转化为求n个
一次多项式的值.这种算法称为秦九韶算法.
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练一练:求当x = 5时多项式 f(x)=2x6-5x5-4x3+3x2-6x的值.
所以,当x=5时, 多项式的值是15170
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练一练:用秦九韶算法求多项式 f(x)=2x6-5x5-4x3+3x2-6x当x=5时的值.
解:原多项式先化为:
f(x)=2x6-5x5 +0×x4-4x3+3x2-6x+0
解法一:首先将原多项式改写成如下形式 : f(x)=(((((2x-5)x-0)x-4)x+3)x-6）x+0
然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即
v0=2 v1=v0x-5=2×5-5=5 v2=v1x-0=5×5-0=25 v3=v2x-4=25×5-4=121 v4=v3x+3=121×5+3=608 v5=v4x-6=608×5-6=3034 V6=v5x+0=3034×5+0=15170
4次的乘法运算,5次的加法运算
人教A版高中数学必修3第一章1.3 算法案例课件_4
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计算多项式
ｆ(ｘ)=ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ+１当x=5的值 法一：10次的乘法运算,5次的加法运算
法二：4次的乘法运算,5次的加法运算
显然，采用第二种算法，计算能够更快地得到结果。
• 程序计算
1.3.2 算 法 案 例 （案例2） 秦 九 韶 算 法
秦九韶
（1208年－1261年）
南宋官员、数学家， 与李冶、杨辉、朱世杰 并称宋元数学四大家。
字道古，汉族，自称 鲁郡(山东曲阜)人，生于 普州安岳（今属四川）。
数学贡献:
《划时代巨著》，《大衍求一术》，
《任意次方程》，《一次方程组解法》
秦九韶算法的程序设计
v0 an
v
k
vk1 x
ank
(k 1, 2, , n)
f(x )a nxna n 1xn 1a 1xa 0
( (a nxa n 1)xa n 2)xa 1)xa 0 v1anxan1 v2v1xan2
v 3 v2xan3
vnvn1xa0
第一步：输入多项式次数n、最高次项的系数an和x的值 第二步：将v的值初始化为an,将i的值初始化为n-1 第三步：输入i次项的系数ai 第四步：v=vx+ai,i=i-1. 第五步：判断i是否大于或等于0,若是, 则返回第三步;否则,输出多项式的值v.
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一共n-1个小括号
省略了若干 项
人教A版高中数学必修3第一章1.3 算法案例课件_4
一般地,对于一个n次多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+……+a1x+a0. 我们可以改写成如下形式:
f(x)=((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0. 求多项式的值时,首先计算最内层括号内一 次多项式的值,即 v1=anx+an-1, 然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即
然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即
v0=2
v1=v0x-5=2×5-5=5 所以,当x=5时,
v2=v1x-4=5×5-4=21 多项式的值是2677.
v3=v2x+3=21×5+3=108 v4=v3x-6=108×5-6=534
5次乘法，5次加法
v5=v4x+7=534×5+7=2677
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v=v*x+a
i=i-1
WEND
PRINT v
END
• 程序计算
课堂小结：
1、秦九韶算法的方法和步骤 2、秦九韶算法的流程图及程序
作业：
1.书本45页 课后练习2 2.( 思考题） f(x)=2x6-5x5+ax3+3x2-6x
当x = 5时v4=608,求a的值
谢 谢 指 导!
再
见！
人教A版高中数学必修3第一章1.3 算法案例课件_4
例1：求当x = 5时多项式 f (x) = 2x5 – 5x4 – 4x3 + 3x2 – 6x + 7的值.
解法二:列表
原多项式的系 数
2 -5 -4 3 -6 7
x=5
10 25 105 540 2670
V= 2 5 21 108 534 2677
秦九韶算法是求一元多项式的值的一 种方法.
它的特点是:把求一个n次多项式的值 转化为求n个一次多项式的值,通过这种转 化,把运算的次数由至多n(n+1)/2次乘法运 算和n次加法运算,减少为n次乘法运算和n 次加法运算,大大提高了运算效率.
人教A版高中数学必修3第一章1.3 算法案例课件_4
人教A版高中数学必修3第一章1.3 算法案例课件_4