中考总复习：二次函数--知识讲解(基础)

第1页 共12页 中考总复习：二次函数—知识讲解（基础） 【考纲要求】 1．二次函数的概念常为中档题．主要考查点的坐标、确定解析式、自变量的取值范围等； 2．二次函数的解析式、开口方向、对称轴、顶点坐标等是中考命题的热点； 3．抛物线的性质、平移、最值等在选择题、填空题中都出现过，覆盖面较广，而且这些内容的综合题一般较难，在解答题中出现．

【知识网络】

【考点梳理】 考点一、二次函数的定义

一般地，如果2yaxbxc（a、b、c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数． 要点诠释： 二次函数2yaxbxc(a≠0)的结构特征是：(1)等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．(2)二次项系数a≠0．

考点二、二次函数的图象及性质 1.二次函数2yaxbxc(a≠0)的图象是一条抛物线，顶点为24,24bacbaa． 2.当a＞0时，抛物线的开口向上；当a＜0时，抛物线的开口向下． 3.①|a|的大小决定抛物线的开口大小．|a|越大，抛物线的开口越小，|a|越小，抛物线的开口越大． ②c的大小决定抛物线与y轴的交点位置．c＝0时，抛物线过原点；c＞0时，抛物线与y轴交于正半轴；c＜0时，抛物线与y轴交于负半轴． ③ab的符号决定抛物线的对称轴的位置．当ab＝0时，对称轴为y轴；当ab＞0时，对称轴在y轴 第2页 共12页

左侧；当ab＜0时，对称轴在y轴的右侧． 4.抛物线2()yaxhk的图象，可以由2yax的图象移动而得到．

将2yax向上移动k个单位得：2yaxk． 将2yax向左移动h个单位得：2()yaxh． 将2yax先向上移动k(k＞0)个单位，再向右移动h(h＞0)个单位，即得函数2()yaxhk的图象． 要点诠释：

求抛物线2yaxbxc（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．

考点三、二次函数的解析式 1.一般式：2+yaxbxc(a≠0)．

若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为2yaxbxc，将已知条件代入，求出a、b、c的值． 2.交点式（双根式）：12()()(0)yaxxxxa． 若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)，设所求二次函数为12()()yaxxxx，将第三点(m，n)的坐标(其中m、n为已知数)或其他已知条件代入，求出待定系

数，最后将解析式化为一般形式． 3.顶点式：2()(0)yaxhka． 若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，设所求二次函数为2()yaxhk，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式．

4.对称点式：12()()(0)yaxxxxma． 若已知二次函数图象上两对称点(x1，m)，(x2，m)，则可设所求二次函数为 12()()(0)yaxxxxma，将已知条件代入，求得待定系数，最后将解析式化为一般形式．

要点诠释： 已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

(可以看成的图象平移后所对应的函数).已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：

（a≠0）.(由此得根与系数的关系：). 第3页 共12页

考点四、二次函数2yaxbxc(a≠0) 的图象的位置与系数a、b、c的关系 1.开口方向：a＞0时，开口向上，否则开口向下． 2.对称轴：02ba时，对称轴在y轴的右侧；当02ba时，对称轴在y轴的左侧．

3.与x轴交点：240bac时，有两个交点；240bac时，有一个交点；240bac时，没有交点． 要点诠释： 当x＝1时，函数y＝a+b+c； 当x＝-1时，函数y＝a-b+c； 当a+b+c＞0时，x＝1与函数图象的交点在x轴上方，否则在下方； 当a-b+c＞0时，x＝-1与函数图象的交点在x轴的上方，否则在下方．

考点五、二次函数的最值 1.当a＞0时，抛物线2yaxbxc有最低点，函数有最小值，当2bxa时，244acbya最小．

2.当a＜0时，抛物线2yaxbxc有最高点，函数有最大值，当2bxa时，244acbya最大． 要点诠释： 在求应用问题的最值时，除求二次函数2yaxbxc的最值，还应考虑实际问题的自变量的取值范围．

【典型例题】 类型一、应用二次函数的定义求值

1．二次函数y=x2-2（k+1）x+k+3有最小值-4，且图象的对称轴在y轴的右侧，则k的值是 ． 【思路点拨】 因为图象的对称轴在y轴的右侧，所以对称轴x=k+1＞0，即k＞-1；又因为二次函数y=x2-2（k+1）x+k+3

有最小值-4，所以y最小值= 442（k+3）-(2k+2)=-4，可以求出k的值． 【答案与解析】 解：∵图象的对称轴在y轴的右侧， ∴对称轴x=k+1＞0， 解得k＞-1， ∵二次函数y=x2-2（k+1）x+k+3有最小值-4， 第4页 共12页

∴y最小值= 442（k+3）-(2k+2)=k+3-（k+1）2=-k2-k+2=-4， 整理得k2+k-6=0， 解得k=2或k=-3， ∵k=-3＜-1，不合题意舍去， ∴k=2．

【总结升华】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，

第三种是公式法． 举一反三： 【变式】已知24(3)kkykx是二次函数，求k的值．

【答案】∵24(3)kkykx是二次函数，则242,30kkk， 由242kk得260kk， 即(3)(2)0kk，得13k，22k．显然，当k＝-3时， 原函数为y＝0，不是二次函数． ∴ k＝2即为所求．

类型二、二次函数的图象及性质的应用 2．把抛物线2yx向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为( )． A．2(1)3yx B．2(1)3yx

C．2(1)3yx D．2(1)3yx 【思路点拨】 抛物线的平移问题，实质上是顶点的平移，原抛物线y=-x2顶点坐标为（0，0），向左平移1个单位，然后向上平移3个单位后，顶点坐标为（-1，3），根据抛物线的顶点式可求平移后抛物线的解析式． 【答案】 D；

【解析】根据抛物线的平移规律可知：2yx向左平移1个单位可变成2(1)yx，

再向上平移3个单位后可变成2(1)3yx． 【总结升华】(1)2yax图象向左或向右平移|h|个单位，可得2()yaxh的图象(h＜0时向左，h＞0 第5页 共12页

时向右)． (2)2yax的图象向上或向下平移|k|个单位，可得2yaxk的图象(k＞0时向上，k＜0时向下)． 举一反三：

【变式】将二次函数2yx的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得图象的函 数表达式是( ) A．2(1)2yx B．2(1)2yx

C．2(1)2yx D．2(1)2yx 【答案】按照平移规律“上加下减，左加右减”得2(1)2yx．故选A.

类型三、求二次函数的解析式 3．已知二次函数2yaxbxc的图象经过点(1，0)，(-5，0)，顶点纵坐标为92，求这个二次函数的解析式． 【思路点拨】

将点（1，0），（-5，0）代入二次函数y=ax2+bx+c，再由 4942aca2-b，从而求得a，b，c的值，即得这个二次函数的解析式． 【答案与解析】

解法一：由题意得0,2550,942,2abcabcabc 解得1,22,5.2abc 所以二次函数的解析式为215222yxx． 解法二：由题意得 (1)(5)yaxx． 把2x92y代入，得9(21)(25)2a，解得12a． 所以二次函数的解析式为1(1)(5)2yxx， 即 215222yxx． 解法三：因为二次函数的图象与x轴的两交点为(1，0)，(-5，0)，由其对称性知， 第6页 共12页

对称轴是直线2x．所以，抛物线的顶点是92,2． 可设函数解析式为29(2)2yax．即215222yxx． 【总结升华】根据题目的条件，有多种方法求二次函数的解析式．

举一反三： 【变式】已知：抛物线2(1)yxbxc经过点(12)Pb，． （1）求bc的值； （2）若3b，求这条抛物线的顶点坐标；

（3）若3b，过点P作直线PAy轴，交y轴于点A，交抛物线于另一点B，且2BPPA，求这条抛物线所对应的二次函数关系式．（提示：请画示意图思考） 【答案】

解：（1）依题意得：2(1)(1)(1)2bcb， 2bc．

（2）当3b时，5c，

2225(1)6yxxx

抛物线的顶点坐标是(16)，．

（3）解法1：当3b时，抛物线对称轴112bx， 对称轴在点P的左侧．

因为抛物线是轴对称图形，(12)Pb，且2BPPA．

(32)Bb，

122b．

y x O

B P A