2016高中数学人教B版必修四3.2.2《半角公式》word学案
数学人教B版必修4作业：3.2.2 半角的正弦、余弦和正切 Word版含解析(数理化网)
一、选择题1．下列各式与tan α相等的是()A. 1－cos 2α1＋cos 2αB.sin α1＋cos αC.sin α1－cos 2αD.1－cos 2αsin 2α【解析】1－cos 2αsin 2α＝2sin2α2sin αcos α＝sin αcos α＝tan α.【答案】 D2．若函数f(x)＝sin 2x－12(x∈R)，则f(x)是()A．最小正周期为π2的奇函数B．最小正周期为π的奇函数C．最小正周期为2π的偶函数D．最小正周期为π的偶函数【解析】y＝sin 2x－1 2＝1－cos 2x2－12＝－12cos 2x ，∴函数是最小正周期为π的偶函数． 【答案】 D3．如果|cos θ|＝15，5π2<θ<3π，那么sin θ2的值等于( ) A ．－105 B.105 C ．－155D.155【解析】 |cos θ|＝15，5π2<θ<3π，θ为第二象限的角，则cos θ＝－15，又5π4<θ2<3π2，θ2为第三象限的角，则sin θ2＝－1－cos θ2＝－1＋152＝－155.【答案】 C4．已知sin θ＝－35，3π＜θ＜72π，则tan θ2的值为( ) A ．3 B ．－3 C.13D ．－13 【解析】 ∵3π＜θ＜72π，sin θ＝－35， ∴cos θ＝－1－(－35)2＝－45，∴tan θ＝34.∵3π＜θ＜72π，∴32π＜θ2＜74π， 又tan θ＝2tan θ21－tan 2θ2＝34，∴tan θ2＝－3或13(舍去)． 【答案】 B5．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2sin 13°cos 13°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A ．c <b <a B ．a <b <c C ．a <c <bD ．b <c <a【解析】 a ＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin(30°－6°)＝sin 24°， b ＝2sin 13° ·cos 13°＝sin 26°， c ＝sin 25°，y ＝sin x 在[0，π2]上是递增的． ∴a <c <b . 【答案】 C 二、填空题6.2＋2cos 8＋21－sin 8的化简结果是________． 【解析】 原式＝2|cos 4|＋2|sin 4－cos 4|. ∵54π＜4，∴cos 4＜0，sin 4＜cos 4.∴原式＝－2cos 4＋2cos 4－2sin 4＝－2sin 4. 【答案】 －2sin 47．5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则sin θ4＝________. 【解析】 ∵5π<θ<6π，∴5π4<θ4<3π2，∴sin θ4<0. sin θ4＝－ 1－cos θ22＝－1－a 2.【答案】 －1－a 28．(2013·常熟高一检测)函数y ＝cos 2(x －π12)＋sin 2(x ＋π12)－1的最小正周期为________．【解析】 y ＝cos 2(x －π12)＋sin 2(x ＋π12)－1＝1＋cos (2x －π6)2＋1－cos (2x ＋π6)2－1＝32cos 2x ＋12sin 2x －32cos 2x ＋12sin 2x 2＝12sin 2x ， ∴T ＝2π2＝π. 【答案】 π 三、解答题9．设π＜θ＜2π，cos θ2＝a ，求(1)sin θ的值；(2)cos θ的值；(3)sin 2θ4的值． 【解】 (1)∵π＜θ＜2π，∴π2＜θ2＜π， 又cos θ2＝a ，∴sin θ2＝1－cos 2θ2＝1－a 2，∴sin θ＝2sin θ2cos θ2＝2a1－a 2.(2)cos θ＝2cos 2θ2－1＝2a 2－1.(3)sin 2θ4＝1－cos θ22＝1－a 2.10．已知向量a ＝(cos 3x 2，sin 3x 2)，b ＝(cos x 2，－sin x 2)，且x ∈[0，π2]，求：a ·b 及|a ＋b |.【解】 a ·b ＝cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x2＝cos 2x ；|a ＋b |＝(cos 3x 2＋cos x 2)2＋(sin 3x 2－sin x 2)2＝2＋2cos 2x ＝4×1＋cos 2x 2＝21＋cos 2x2＝2|cos x |.∵x ∈[0，π2]，∴cos x ≥0，∴|a ＋b |＝2cos x . 11．若π＜α＜3π2，化简1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α.【解】 ∵π＜α＜3π2，∴π2＜α2＜3π4， ∴cos α2＜0，sin α2＞0.∴原式＝(sin α2＋cos α2)22|cos α2|－2|sin α2|＋(sin α2－cos α2)22|cos α2|＋2|sin α2|＝(sin α2＋cos α2)2－2(sin α2＋cos α2)＋(sin α2－cos α2)22(sin α2－cos α2)＝－sin α2＋cos α22＋sin α2－cos α22＝－2cos α2.。
高中数学第三章三角恒等变换3-2倍角公式和半角公式3-2-1倍角公式预习导航学案新人教B版必修4
2sinαcosα＝sin 2α；sinαcosα＝sin 2α；
cosα＝；cos2α－sin2α＝cos 2α；
＝tan 2α．
(2)公式的逆向变换及有关变形．
1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝(sinα±cosα)2；
1＋cos 2α＝2cos2α；1－cos 2α＝2sin2α；
高中数学第三章三角恒等变换3-2倍角公式和半角公式3-2-1倍角公式预习导航学案新人教B版必修4
预习导航
课程目标
学习脉络
1．掌握二倍角的正弦、余弦和正切公式，并能推导．
2．会用倍角公式进行三角函数的求值，化简和证明．
倍角公式
记法
公式
推导
S2α
sin 2α＝2sin_αcos_α
Sα＋β S2α
C2α
cos 2α＝cos2α－sin2α
Cα＋β C2α
cos 2α＝2cos2α－1
cos 2α＝1－2sin2α
利用sin2α＋cos2α＝1
消去sin2α或cos2α
T2α
tan 2α＝
Tα＋β T2α
名师点拨在运用公式时，不仅要善于观察题目的结构特点，直接运用公式，还要善于逆用公式，以及变形用．
cos2α＝；sin2α＝．
(3)研究三角函数的性式．
(4)注意熟练掌握“弦化切”的二倍角公式sin 2α＝，cos 2α＝．
3.2.2半角的正弦、余弦和正切课件人教新课标B版
二.课堂探究 半角公式
cos2α＝ 1－2sin2α
cos2α＝2cos2 1
sin2
1
cos2
2
降幂扩角公式 cos2 1 cos2
(以 代替 )
2
sin 2 1 cos
2
cos2 1 cos
2
2
2
2
sin 1 cos
2
2
cos 1 cos
2
2
tan 1 cos
5.化简 2sin 2 • cos2 等于（） 1 cos 2 cos 2
A. tan
B.tan 2 C.1
6.函数y 2sin2 ( x) 1是（）
D. 1 2
4
A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的偶函数
C.最小正周期为 的奇函数 D.最小正周期为 的偶函数
2
2
7.若A为三角形的一个内角， 则 1 cos A 1 cos A可化简为（）
2
3 sin 2x 5
2 3 sin 2x 2 cos 2x 3
4sin(2x ) 3
(1)令2x
6
2k
(k Z)
x k (k Z )
6
2
f (x)取得最大值时 x的集合为 x
x
3
k
,
3
k
z
(2)
f
( x)单调递增区间是
k
6
, k
3
,
k
z
三.课堂小结
1．理清倍角与半角的相对关系，相互转化， 熟记半角公式．
2
1－a D.－ 2
2.已知 cos θ＝79，且 270°＜θ＜360°，则 cosθ2的值为(
数学人教B版必修4教材习题点拨：3.2倍角公式和半角公式 Word版含解析
教材习题点拨练习A 1．(1)22；(2)22；(3)32；(4)－32； (5)1；(6)14.2．由cos α＝－1213，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，解得sin α＝513，则cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝⎛⎭⎫－12132－1＝119169.(由cos 2α＝1－2sin 2α也可以求得)sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝⎛⎭⎫－1213×513＝－120169. 3．因为tan α＝12，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43，cot 2α＝1tan 2α＝34.4．y ＝cos 2x －sin 2x ＝cos 2x ，则该函数的周期是π，最大值是1，最小值是－1. 练习B1．(1)(sin α－cos α)2＝sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＝1－sin 2α； (2)sin θ2cos θ2＝12sin θ；(3)cos 4φ－sin 4φ＝(cos 2φ－sin 2φ)(cos 2φ＋sin 2φ)＝cos 2φ； (4)11－tan θ－11＋tan θ＝2tan θ1－tan 2θ＝tan 2θ. 2．因为cos(α－β)＝－45，而且α－β＝⎝⎛⎭⎫π2，π，所以sin(α－β)＝35. 因为cos(α＋β)＝45，而且α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，所以sin(α＋β)＝－35. 所以cos 2α＝cos(α＋β＋α－β)＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)·sin(α－β)＝－725.3．原式＝2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°2sin 20°＝2sin 40°cos 40°cos 80°4sin 20°＝2sin 80°cos 80°8sin 20°＝sin 160°8sin 20°＝18.4．设∠AOC ＝θ，θ∈(0°，60°)．OC ＝1，OF ＝cos θ，CF ＝sin θ，OE ＝DE tan 60°＝CF 3＝sin θ3，EF ＝OF －OE ＝cos θ－sin θ3.矩形CDEF 的面积S ＝EF ·CF ＝⎝⎛⎭⎫cos θ－sin θ3sin θ＝sin θcos θ－sin 2θ3 ＝12sin 2θ＋36cos 2θ－36 ＝33⎝⎛⎭⎫32sin 2θ＋12cos 2θ－36＝33(cos 30°sin 2θ＋sin 30°cos 2θ)－36 ＝33sin(2θ＋30°)－36≤36. 因为θ∈(0°，60°)，所以2θ＋30°∈(30°，150°)．当且仅当θ＝30°时S 取得最大值36，所以当C 点在AB 弧的中点时，矩形CDEF 的面积最大，此时∠AOC ＝30°.练习A1．(1)sin 22°30′＝1－cos 45°2＝2－22； (2)cos 67°30′＝1＋cos 135°2 ＝1－222＝2－22； (3)cos 13π12＝－cos π12＝－1＋cosπ62＝－1＋322＝－6＋24； (4)cot 5π8＝－tan π8＝－1－cosπ41＋cosπ4＝－1－221＋22＝1－ 2.2．因为cos 2α＝－0.5,45°＜α＜90°，所以cos α＝1＋cos 2α2＝1＋(－0.5)2＝12，sin α＝1－cos 2α2＝1－(－0.5)2＝32，tan α＝1－cos 2α1＋cos 2α＝1－(－0.5)1＋(－0.5)＝3或tan α＝sin αcos α＝3212＝ 3. 3．设顶角是θ，底角是α，则cos θ＝720，α＝π－θ2＝π2－θ2∈(0°，90°)．所以sin α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ2＝cos θ2＝1＋cos θ2＝1＋7202＝33020，cos α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ2＝sin θ2＝1－cos θ2 ＝1－7202＝13020. 练习B1．因为sin θ＝0.64，且θ在第二象限，所以cos θ＝－1－sin 2θ≈－0.77. 又因为θ2为第一或第三象限角，所以sin θ2＝±1－cos θ2＝±1＋0.772≈±0.94， cos θ2＝±1＋cos θ2±1－0.772≈±0.34， tan θ2＝1－cos θ1＋cos θ＝1＋0.771－0.77≈2.78.2．(1)y ＝cos 2x 2＝1＋cos x2.所以周期为2π.(2)y ＝2sin 2x ＝1－cos 2x .所以周期为π. 3．(1)因为2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α2－1 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α， 所以1＋sin α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α2. (2)因为1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α2 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α，所以1－sin α＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α2. 习题3－2A1．因为sin θ＝0.28＝725，90°＜θ＜180°，则cos θ＝－2425.θ2∈(45°，90°)，即θ2为第一象限角，所以sin θ2＝1－cos θ2＝1－⎝⎛⎭⎫－24252＝7210，cos θ2＝1＋cos θ2＝1＋⎝⎛⎭⎫－24252＝210，tan θ2＝1－cos θ1＋cos θ＝1－⎝⎛⎭⎫－24251＋⎝⎛⎭⎫－2425＝7或tan θ2＝sinθ2cos θ2＝7210210＝7. 2．由tan α＝2tanα21－tan 2α2得tan α2＝－1±1＋tan 2αtan α.3．(1)左边＝2(－sin α)(－cos α) ＝2sin α·cos α＝sin 2α＝右边； (2)左边＝⎝⎛⎭⎫cos 2x 2＋sin 2x 2⎝⎛⎭⎫cos 2x 2－sin 2x2 ＝cos 2x 2－sin 2x2＝cos x ＝右边；(3)左边＝1＋2cos 2θ－(2cos 2θ－1)＝2＝右边；(4)左边＝sin(2θ＋θ)＝sin 2θcos θ ＋cos 2θsin θ＝2sin θcos 2θ＋(1－2sin 2θ)sin θ＝2sin θ(1－sin 2θ)＋sin θ－2sin 3θ＝3sin θ－4sin 3θ＝右边；(5)左边＝cos(2θ＋θ)＝cos 2θcos θ－sin 2θsin θ＝(2cos 2θ－1)cos θ－2sin θcos θ·sin θ＝2cos 3θ－cos θ－2(1－cos 2 θ)cos θ＝4cos 3θ－3cos θ＝右边．4．(1)因为y ＝1＋cos x －sin x ＝1＋2⎝⎛⎭⎫cos x sin π4－sin x cos π4 ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， 所以函数的最大值是1＋2，最小值是1－2，周期是2π.(2)因为y ＝(sin x －cos x )2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ＝1－sin 2x ，所以函数的最大值是2，最小值是0，周期是π.5．原式＝sin 50°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝2sin 50cos 10°·⎝⎛⎭⎫12cos 10°＋32sin 10°＝2sin 50°cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝1.习题3－2B1．设顶角是θ，底角是α，由sin α＝513，α∈(0°，90°)，可求cos α＝1213.又θ＝180°－2α，所以sin θ＝sin(180°－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝2×513×1213＝120169；cos θ＝cos(180°－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin 2α)＝－1＋2×⎝⎛⎭⎫5132＝－119169；tan θ＝sin θcos θ＝120169－119169＝－120119. 2．设顶角是θ，底角是α，则cos θ＝725，α＝180°－θ2＝90°－θ2∈(0°，90°)．所以sin α＝sin ⎝⎛⎭⎫90°－θ2＝cos θ2＝1＋cos θ2＝1＋7252＝45，cos α＝cos ⎝⎛⎭⎫90°－θ2＝sin θ2＝1－cos θ2＝1－7252＝35，tan α＝sin αcos α＝4535＝43. 3．(1)左边＝sin 2φ＋cos 2φ＋2sin φcos φsin φ＋cos φ＝(sin φ＋cos φ)2sin φ＋cos φ＝sin φ＋cos φ＝右边； (2)左边＝sin θ(1＋2cos 2θ－1) ＝2sin θcos 2θ＝sin 2θcos θ＝右边； (3)左边＝1－tan 2α21＋tan 2α2＝cos 2α2－sin 2α2cos 2α2＋sin 2α2＝cos α1＝cos α＝右边；(4)左边＝2sin θ(1＋cos θ)＝2sin θ＋2sin θcos θ＝2sin θ＋sin 2θ ＝右边；(5)左边＝2sin α(1－cos α)2sin α(1＋cos α)＝1－cos α1＋cos α＝2sin 2α22cos 2α2＝tan 2α2＝右边；(6)左边＝cos 2α－cos αcos β＋sin 2α－sin αsin β＝1－cos(α－β)＝1－( 1－2sin 2⎭⎫α－β2＝2sin 2α－β2＝右边． 4．(1)y ＝sin x cos x ＝12sin 2x ，函数的最大值是12，最小值是－12，周期是π；(2)y ＝3cos 2x ＋12sin 2x ＝32(1＋cos 2x )＋12sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋32.所以函数的最大值为1＋32，最小值为－1＋32，周期是π.。
辽宁省新宾满族自治县高级中学高中数学人教B版必修4导学案：3.2.2半角的正弦、余弦、正切
一、自学目标：1、理解半角公式的推导过程2、会运用半角公式进行相关的运算. 二、自学过程：1.在C 2α中令 得cos α=2cos 22α—1=1—2sin22α,将公式变形可得2αC ＝；2αS ＝ .2。
2αT 的推导方法是2αS 与2αC 两式相除,其公式为 ,另外还有2tan α＝ ＝ 。
3.升降序公式主要用于化简、求值和证明，其形式为：升幂公式：1+cos α= ,1—cos α= ;降序公式：cos22α＝2sin 2α＝三、例题解析： 例1：已知,53cos =θ且πθπ325<<，求2tan 2cos 2sin θθθ、、的值.例2：化简).32(cos )32(cos cos222A A A -+++ππ练习：1设a ∈(π,2π）,则2)cos(1απ+-等于（ ）A 。
2sin α B 。
cos 2αC 。
—sin 2α D.—cos 2α四、课堂检测：(约10分钟)1．=⋅+αααα2cos cos 2cos 12sin 22（ ）A 。
αtan B.α2tan C 。
1 D.212．若54sin )cos(cos )sin(=⋅--⋅-αβααβα，且β在第三象限，则=2cos β( ） A 。
55-B.55±C.552±D 552-.3．已知等腰三角形顶角正弦为2524，则底角余弦为（ ）A 。
54B 。
53-C.5354或 D 。
5354或- 4．设1312cos )sin(sin )cos(=+-+x y x x y x ，且y 是第四象限角，则2tan y的值是（ )A 。
32±B 。
23± C 。
23-D.32-5．=+)28(tan 8tan ππ___________6．已知3322cos 2sin =+θθ，那么θsin 的值为_______，θ2cos 的值为___________7．ABC ∆的三个内角为A,B,C ，当A 为_______时，2cos 2cos C B A ++取得最大值，且这个最大值为______________ 8．已知310tan 1tan ,43-=+<<ααπαπ（1）求αtan 的值; （2）求)2sin(282cos 112cos2sin82sin 522πααααα--++的值.。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 倍角公式和半角公
3.2.1 倍角公式课堂导学三点剖析一、运用倍角公式求值对于给值求值问题,即由给出的某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,关键在于“变角”,使“目标角”变换成“已知角”.若角所在的象限没有确定,则应分情况讨论.【例1】 已知cosα=-1312,α∈(π,23π),求sin2α,cos2α和tan2α的值. 思路分析:本题旨在考查二倍角公式的应用,做题时应注意已知角与所求角间的倍数关系和角的取值范围.解：∵cosα=-1312,α∈(π,23π), ∴sinα=135cos 12-=--α. ∴sin2α=2sinα·cosα=2×(135-)×(-1312)=169120, cos2α=1-2sin 2α=1-2×(135-)2=169119, tan α=1191202cos 2sin =αα. 温馨提示在解题过程中,要注意根据问题的具体特点,适当地加以变形,同时要注意挖掘题中的隐含条件,特别是利用这些条件来确定某些三角函数值的符号,化简问题.各个击破类题演练 1已知sinα=54,求sin2α,cos2α,tan2α的值. 思路分析:∵sinα=54>0且α∈R ,∴α为第一、二象限角,解题时应分象限讨论. 解:∵α∈R 且sinα=54>0,∴α为第一象限或第二象限角. ①当α为第一象限角时,sin2α=2524,cos2α=257-,tan2α=724-. ②当α为第二象限角时,sin2α=2524-,cos2α=257-,tan2α=724-. 变式提升 1 求︒+︒50cos 350sin 1的值. 思路分析:仔细观察原式的结构,将原式通分后将有惊喜的发现.解:原式=︒︒=︒︒=︒•︒•︒+︒=︒︒︒+︒80sin 2180sin 2100sin 2180sin 250cos 50sin 221)50sin 2350cos 21(250cos 50sin 50sin 350cos =4. 二、给值求角问题给值求角问题,其方法步骤是:(1)先求该角的某一个三角函数值;(2)确定该角的范围;(3)依据角的范围写出所求的角.在求该角的某一个三角函数值时,往往有一定规律:一般已知正切函数值,选正切函数;已知正,余弦函数值,选正弦函数或余弦函数.若角的范围是(0,2π),选正弦,余弦函数均可以;若角的范围是(-2π,2π),选正弦函数比选余弦函数好;若角的范围是(0,π),选余弦函数比正弦函数好. 【例2】 已知α,β是锐角,且sinα=102,sinβ=1010,求α+2β的值. 思路分析:因为β∈(0,2π),所以2β∈(0,π).所以先求cos2β的值,然后再选用适当的三角函数求α+2β的值. 解：∵sinβ=1010,∴cos2β=1-2sin 2β=54. 由β∈(0,2π)且cos2β=54>0,可推得2β∈(0,2π), ∴α+2β∈(0,π).∴cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β. ∵α∈(0,2π)且sinα=102, 得cosα=1027sin 12=-α, 又2β∈(0,2π)且cos2β=54, ∴sin2β=532cos 12=-β. ∴cos(α+2β)=2253102541027=⨯-⨯. ∴α+2β=4π. 类题演练 2 已知tan(α-β)=21,tanβ=71-,α,β∈(0,π),求2α-β的值.解：∵tanα=tan［(α-β)+β］=31)71(211)71(21=-⨯--+, ∴tan2α=43tan 1tan 22=-αα. ∵tanα=31>0且α∈(0,π),可推得α∈(0,2π). 又tan2α=43>0,可推得2α∈(0,2π), 同理,得β∈(2π,π). ∴2α-β∈(-π,0).又tan(2α-β)=)71()43(1)71(43-⨯+--=1,∴2α-β=43-π. 变式提升 2已知tanα=43,cos(α+β)=1411-,α,β均为锐角，求β的值. 解：∵α,β均为锐角，∴0<α+β<π.又cos(α+β)=1411-, ∴2π<α+β<π,则sin(α+β)=1435. ∵tanα=43,∴sinα=734,cosα=71. ∴cosβ=cos［(α+β)-α］=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=21. ∴β=3π. 三、三角函数式的化简与证明三角函数式的化简,一般从减少角的种类,减少函数的种类,改变函数式的运算结构入手,对于根式形式的化简常以化去根号为目标,为此常使被开方的式子配成完全平方,化简时要注意角的范围.证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异,有目的地化繁为简,左右归一或变更论证.对恒等式的证明,应遵循化繁为简的原则,从左边推到右边或从右边推到左边,也可以用左右归一、变更论证等方法.常用定义法,化弦法,化切法,拆项拆角法,“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式,善于从中选择巧妙简捷的方法.【例3】 化简（1）cos72°cos36°;(2)cos20°cos40°cos60°cos80°.思路分析：利用二倍角正弦、余弦公式及诱导公式，将角度不同的三角函数转化为同一个角或互补、互余角的三角函数，再通过约分求出式子的值.解：（1）cos72°cos36°=4136sin 4144sin 36sin 472cos 72sin 236sin 272cos 36cos 36sin 2=︒︒=︒︒︒=︒︒︒︒. (2)原式=21cos20°cos40°cos80°=︒︒︒︒=︒︒︒︒︒20sin 480cos 40cos 40sin 20sin 280cos 40cos 20cos 20sin 16120sin 16160sin 20sin 880cos 80sin =︒︒=︒︒︒=. 温馨提示对于分式化简问题，通常要将分子、分母均化为积的形式，如果分子、分母有公因式，通过约分把分式化简，这是解这类问题的常规思路.类题演练 3 化简αααα4cos 4sin 14cos 4sin 1-+++. 解法一：原式=ααααααααααααα2tan 1)2cos 2(sin 2sin 2)2cos 2(sin 2cos 22sin 212cos 2sin 2112cos 22cos 2sin 2122=++=+-+-++. 解法二：原式=αααααααααα2cos 2sin 2sin 22cos 2sin 22cos 24sin )4cos 1(4sin )4cos 1(22++=+-++ ααααααα2tan 1)2sin 2(cos 2sin 2)2sin 2(cos 2cos 2=++=. 变式提升 3求证：［sinθ(1+sinθ)+cosθ(1+cosθ)］［sinθ(1-sinθ)+cosθ(1-cosθ)］=sin2θ.证明：左=（sinθ+sin 2θ+cosθ+cos 2θ)·（sinθ-sin 2θ+cosθ-cos 2θ）=(sinθ+cosθ+1)(sinθ+cosθ-1)=(sinθ+cosθ)2-1=1+2sinθcosθ-1=2sinθcosθ=sin2θ=右.∴原式成立.温馨提示证明条件三角恒等式,首先应观察条件与结论之间的差异(三角函数名及结构),从解决某一差异入手,采用条件转化法或条件代入法,条件转化法就是从已知条件出发,经过恰当的变换,推出被证式;条件代入法就是从已知条件出发,求出被证式中的某一个式子,然后代入被证式,化简证明.。
3.3.2半角公式学案解析版
第2课时半角的正弦、余弦和正切学习目标：1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法．(重点)2.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．(难点)[自主预习·探新知]半角公式(1)sin α2＝(2)cos α2＝(3)tan α2＝＝1－cos αsin α.思考：利用tan α＝sin αcos α和倍角公式能得到tan α2与sin α，cos α有怎样的关系？提示：tan α2＝sinα2cosα2＝sinα2·2cosα2cosα2·2cosα2＝sin α1＋cos α，tan α2＝sinα2cosα2＝sinα2·2sinα2cosα2·2sinα2＝1－cos αsin α.[基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)半角公式对任意角都适用．()(2)tan α2＝sin α1＋cos α，只需满足α≠2kπ＋π(k∈Z)．()(3)sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.( ) (4)sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√2．若cos α＝13，且α∈(0，π)，则sin α2的值为( ) A ．－33 B ．33 C ．63 D ．－63B3．已知cos α＝23，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则cos α2的值为( )A ．66 B ．306 C ．－66 D ．－306 B4．tan 15°等于( ) A ．2＋ 3 B ．2－ 3 C.3＋1D.3－1 B [由tan α2＝sin α1＋cos α，得tan 15°＝sin 30°1＋cos 30°＝2－ 3.][合 作 探 究·攻 重 难]已知cos α＝13，α为第四象限角，求sin α2、cosα2、tanα2.[解]sin α2＝±1－cos α2＝±1－132＝±33，cos α2＝±1＋cos α2＝±1＋132＝±63，tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝±1－131＋13＝±22.∵α为第四象限角，∴α2为第二、四象限角． 当α2为第二象限角时，sin α2＝33，cos α2＝－63，tan α2＝－22； 当α2为第四象限角时，sin α2＝－33，cos α2＝63，tan α2＝－22.已知sin θ＝45，且5π2<θ<3π，求cos θ2和tan θ2. [解] ∵sin θ＝45，5π2<θ<3π， ∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－35.由cos θ＝2cos 2 θ2－1 得cos 2θ2＝1＋cos θ2＝15.∵5π4<θ2<32π. ∴cos θ2＝－1＋cos θ2＝－55.tan θ2＝sin θ1＋cos θ＝2.化简：⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2(1＋cos α＋sin α)2＋2cos α⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2<α<2π. [思路探究] 利用半角公式将角进一步统一为α2，注意角的取值范围． [解] ∵3π2<α<2π，∴3π4<α2<π，∴原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α24cos 2 α2＝2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2－2cos α2＝cos 2α2－sin 2α2＝cos α.1．半角公式适用的条件是什么？ 提示：cos α2＝±1＋cos α2，sin α2＝±1－cos α2，α∈R .tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α中，α≠2k π＋π，k ∈Z ，tan α2＝1－cos αsin α中，α≠k π，k ∈Z .2．如何理解倍角公式与半角公式中的倍角与半角？ 提示：例如α可以看成α2的倍角，也可以看成2α的半角． 3．怎样把a sin x ＋b cos x 化成A sin(ωx ＋φ)形式？ 提示：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫aa 2＋b 2sin x ＋ba 2＋b 2cos x ＝a 2＋b 2(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝a 2＋b 2sin (x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝ba 2＋b 2，cos φ＝aa 2＋b 2. 已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的最大值及相应的x 值.[思路探究] 把f (x )化成A sin(ωx ＋φ)的形式，再研究其性质．[解] f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(1)令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，可得π6≤2x ＋π6≤7π6.所以，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时， f (x )取最大值，最大值为2.1．若cos α＝13，α∈(0，π)，则cos α2的值为( ) A ．63B ．－63C ．±63D ．±33A [由题意知α2∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α2>0，cos α2＝1＋cos α2＝63.]2．函数f (x )＝2sin x 2 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2的最大值等于( )A ．12 B ．32 C ．1D ．2A [∵f (x )＝2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3cos x 2－cos π3sin x 2 ＝32sin x －sin 2x 2＝32sin x －1－cos x 2＝32sin x ＋12cos x －12 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－12.∴f (x )max ＝12.]3．计算：tan 12°－3(4cos 212°－2)sin 12°＝________.[解析] 原式＝sin 12°－3cos 12°2sin 12°cos 12°cos 24°＝2sin (12°－60°)12sin 48°＝－4.[答案] －44．设5π<θ<6π，cos θ2＝13，则sin θ4＝________. [解析] ∵5π4<θ4<3π2，∴sin θ4<0. ∴sin θ4＝－ 1－cos θ22＝－1－132＝－33.[答案] －33 5．已知π<α<3π2，化简1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α.[解] 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α222⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2－2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2 22⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＋2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2，∵π<α<3π2，∴π2<α2<3π4， ∴cos α2<0，sin α2>0. ∴原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α222⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2 ＝－sin α2＋cos α22＋sin α2－cos α22＝－2cos α2.。
人教B版高中数学必修四§3.2 倍角公式和半角公式
§3．2 倍角公式和半角公式3．2．1 倍角公式课时目标1．会用两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式．2．能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用．1．倍角公式(1)S 2α：sin2α＝2sin αcos α，sin α2cos α2＝12sin α；(2)C 2α：cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；(3)T 2α：tan2α＝2tan α1－tan 2α． 2．倍角公式常用变形 (1)sin 2α2sin α＝__________，sin 2α2cos α＝__________； (2)(sin α±cos α)2＝__________；(3)sin 2α＝__________，cos 2α＝______________．一、选择题1．计算1－2sin 222．5°的结果等于( ) A ．12B ．22C ．33D ．322．函数y ＝2cos 2(x －π4)－1是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π2的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数3．若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)的值为( )A ．－13B ．－79C ．13D ．794．若1－tan θ2＋tan θ＝1，则cos 2θ1＋sin 2θ的值为( )A ．3B ．－3C ．－2D ．－125．如果|cos θ|＝15，5π2<θ<3π，则sin θ2的值是( )A ．－105B ．105C ．－155D ．1556．已知角α在第一象限且cos α＝35，则1＋2cos (2α－π4)sin (α＋π2)等于( )A ．25B ．75C ．145D ．－25二、填空题7．3－sin 70°2－cos 210°的值是________． 8．函数f (x )＝cos x －sin 2x －cos2x ＋74的最大值是______．9．已知tan θ2＝3，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝______．10．已知sin 22α＋sin2αcos α－cos2α＝1，α∈(0，π2)，则α＝________．三、解答题11．求证：3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4A ．12．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－45，5π4<x <7π4， 求sin 2x －2sin 2x 1＋tan x 的值．能力提升13．求值：cos20°cos40°cos80°．14．求值：tan70°·cos10°·(3tan20°－1)．1．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是32α的二倍；α2是α4的二倍；α3是α6的二倍；α2n ＝2·α2n ＋1(n ∈N *)．2．二倍角余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛，二倍角的常用形式：①1＋cos2α＝2cos 2α，②cos 2α＝1＋cos 2α2，③1－cos2α＝2sin 2α，④sin 2α＝1－cos 2α2．§3．2 倍角公式和半角公式3．2．1 倍角公式答案知识梳理2．(1)cos α sin α (2)1±sin2α (3)1－cos 2α2 1＋cos 2α2作业设计 1．B 2．A3．B [cos(2π3＋2α)＝－cos(π3－2α)＝－cos[2(π6－α)]＝－[1－2sin 2(π6－α)]＝2sin 2(π6－α)－1＝－79．]4．A [∵1－tan θ2＋tan θ＝1，∴tan θ＝－12．∴cos 2θ1＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θ(sin θ＋cos θ)2＝cos θ－sin θcos θ＋sin θ＝1－tan θ1＋tan θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3．] 5．C [∵5π2<θ<3π，|cos θ|＝15，∴cos θ<0，cos θ＝－15．∵5π4<θ2<32π，∴sin θ2<0． 由sin 2θ2＝1－cos θ2＝35， ∴sin θ2＝－155．]6．C [∵cos α＝35且α在第一象限，∴sin α＝45．∴cos2α＝cos 2α－sin 2α＝－725，sin2α＝2sin αcos α＝2425，原式＝1＋2(cos 2αcos π4＋sin 2αsin π4)cos α＝1＋cos 2α＋sin 2αcos α＝145．]7．2解析 3－sin 70°2－cos 210°＝3－sin 70°2－1＋cos 20°2＝2(3－cos 20°)3－cos 20°＝2．8．2解析 f (x )＝cos x －(1－cos 2x )－(2cos 2x －1)＋74＝－cos 2x ＋cos x ＋74＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos x －122＋2． ∴当cos x ＝12时，f (x )max ＝2．9．3解析 1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝2sin 2θ2＋2sin θ2cosθ22cos 2θ2＋2sin θ2cosθ2＝2sin θ2⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ22cos θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ2＋sin θ2＝tan θ2＝3．10．π6解析 ∵sin 22α＋sin2αcos α－(cos2α＋1)＝0．∴4sin 2αcos 2α＋2sin αcos 2α－2cos 2α＝0．∵α∈(0，π2)．∴2cos 2α>0．∴2sin 2α＋sin α－1＝0．∴sin α＝12(sin α＝－1舍)．∴α＝π6．11．证明 ∵左边＝3－4cos 2A ＋2cos 22A －13＋4cos 2A ＋2cos 22A －1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos 2A 1＋cos 2A 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin 2A 2cos 2 A 2＝(tan 2A )2 ＝tan 4A ＝右边．∴3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4A ． 12．解 sin 2x －2sin 2x 1＋tan x ＝2sin x (cos x －sin x )cos xcos x ＋sin x＝sin 2x (cos x －sin x )cos x ＋sin x＝sin2x 1－tan x 1＋tan x ＝sin2x tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ， ∵5π4<x <7π4，∴－3π2<π4－x <－π． 又∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－45， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－34．∴原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2×1625－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－21100． 13．解 原式＝2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°2sin 20°＝2sin 40°·cos 40°·cos 80°4sin 20°＝2sin 80°·cos 80°8sin 20°＝sin 160°8sin 20°＝18． 14．解 原式＝sin 70°cos 70°·cos10°⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin 20°cos 20°－1＝sin 70°cos 70°·cos10°·⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin 20°－cos 20°cos 20° ＝cos 20°sin 20°·cos10°·2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32sin 20°－12cos 20°cos 20° ＝2cos 10°·sin (－10°)sin 20°＝－sin 20°sin 20°＝－1．。
新人教B版高中数学(必修4)3.2.2《半角的正弦、余弦和正切》
余弦和正切
凌海市第三高级中学 李桂艳
课题引入 ：
同学们听说过“蝴蝶效应”吗? 是说南 美洲热带雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几 下翅膀，可能会引起北美洲德克萨斯的一 场龙卷风。看起来毫不相干事物都会有这 cos 与 cos 样的联系，那么象 这样的“半角 8 4 与倍角”的三角函数一定会有非常密切的 关系！
已 知 是 讲评 : 第 三 (1).运用了分类讨论思想； 象 限 (2). 解题关键是定号。 角, 求
变式2：已知
求
均与角
值。
分析：
（1）已知角 关系； （2）由 和所求角 求
具有“倍、半”
值；
（3）再由 值。
求“
”的
讲评：
由角的变换 相对性。 体会“半、倍”关系的
例3求证： 证明:
或 讲评：
课后思考题：
1.求 的值域、单调 性、周期性并 作业： P152 2. 3. 判断其奇偶性 。
P153 2.
3.公式（3）成立的条件: α 2k 1π,k Z.
4.半角之间的相对性。
公式的应用：
因为 是第一象限角
例1 求 讲评：解题关键是定号。
值。
例2：已知
求
讲评：
值。
（1）欲求 的三角函数值，只需已知角 的余弦值
（2）由角 的范围求角 的范围，再根据 所在象限确定符号。
角的
变式1：
温故知新：
请大家回忆二倍角的正弦、余弦、 正切的公式 。
公式的推导：
(1)你能从中求出 sin , cos ,tan 吗? (2)我们发现 是2 是谁的半角呢?代入后会有什么结论 呢?
数学人教b版必修4课件3.2.2半角的正弦余弦和正切
课 时 作 业
课 堂 互 动 探 究
菜 单
教 师 备 课 资 源
RB ·数学
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学
必修4
易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标
●教学建议 关于半角公式的教学 教学时， 建议教师从让学生回忆二倍角的三个公式出发， θ 提出问题“如何用角 θ 的三角函数值，表示角 的三角函数 2 值”．在此基础上，让学生自主归纳探究，并总结出半角公 式，然后结合半角公式的特点，师生共同总结出公式记忆方 法，最后通过典型例题及题组训练熟悉并掌握半角公式．整 个教学立足于体现一种“以思导学”的知识生成过程．
应用半角公式求值
4 5π θ θ 已知 sin θ＝5，且 2 <θ<3π，求 cos2和 tan2.
θ 【思路探究】 解答本题先求 cos θ，而后确定2的范围， 最后应用半角公式化简．
课 时 作 业
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RB ·数学
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学
必修4
易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标
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3．2．2半角公式
一。学习要点：半角公式及其简单应用。
二。学习过程：复习：
升幂公式：
降幂公式：
新课学习：
1．半角公式
2．万能公式
例1 已知(3,4)，4cos5，求sin,cos,tan222
例2 已知sin:sin6:5,(4,5)2，求sin,cos22及sin,cos4
例3已知5cos3sincossin2，求3cos 2 + 4sin 2 的值
例4已知sin cos = 21，2，求2tan和tan的值
例5 求证：1sin2cos2tan1sin2cos2
例6已知函数f (x)=tanx，x∈(0，2)．若x1，x2∈(0，2)，且x1≠x2，证明
2
1
[f(x1)+f(x2)]>f(221xx)
课堂练习：教材146页练习
作业：见作业（30）