3.1生存模型与生命表PPT

第二节 死亡力（或死亡效力）
寿命X的瞬时死亡率（或死亡力（度）） x
定义为
x
f0(x) , 1F0(x)
x(0,)
当 f ( x ) 为连续函数时，有下面关系式成立，即 0
lim P (x T 0 x t|T 0 x ) lim P (x T 0 x t)
t 0
t
t 0 P ( T 0 x ) t
（3）生命个体可从“生存状态”转化到“死亡状态”， 但不能相反；
（4）任何个体的未来生存时间是未知的，所以只能从 生存与死亡的概率探讨并着手去研究生存状态；
（5）生存模型就是对这一过程所建立起来的数学模型， 用数学公式作清晰地描述，从而对死亡率的问题做出 部分解释。
1
□下面就是生存模型可给出回答的一些问题：
Tx的分布函数：
Fx(t)P(Tx t)
生存函数（生存分布）：S x(t) P (T x t) 1 F x(t)
密度函数： fx(t)F x(t)Sx (t)
1
F0(t)与 Fx(t)的 关 系 ：
Fx(t) P(Tx t) P(x T0 x t T0 x) P(x T0 x t) P(T0 x) F0(x t) F0(x) 1 F0(x)
二、新生婴儿的生存分布
T0：一个刚出生的个体的寿命 假定T0的分布函数和密度函数
F0(t), f0(t)(t0), F 0(t)P [T 0t], f0(t)F 0 (t). 下面引入生存分布概念。
1
□ 生存函数（或生存分布）
定义：寿命X的生存函数（或分布）为
S 0 ( t) P ( T 0 t) , t [0 , ) 与分布函数的关系： S0(t)1F0(t)
(2)由 t q x 的定义可知
tq x P ( T x t ) 1 P ( T x t ) 1 tp x ;
又由条件概率公式，有
u|tqxP(uTxtu) P(Txu)P(Txtu|Txu)
P ( T x u ) P ( T x u t) u p x tq x u ;
1
u|t qx P(Tx t u,Tx u)
3）u |t q x : 个体(x)在年龄段（x+u,x+u+t]死亡的概率， 即(x)活过x+u岁，但在接下来的t年内死亡的概率。
特别地， u| qx = u|1 qx .
◆ 注明 从定义中可以看出： tp x S x ( t ) P ( T x t ) ; t q x F x ( t ) P ( T x t )
计算 17 p19, q 15 36 和 1 5 |1 3 q 3 6 。
□解:
17
p19
S0(1719) S0(19)
S0(36) S0(19)
8 9
q 15 36
115
p36
1
S0(51) S0(36)
17 8
1 8
1 5 |1 3 q 3 6 1 5p 3 61 3 q 5 1 (1 1 5 q 3 6 )(1 S S 0 0 ( (6 5 4 1 ) )) 8 1
1
证明：(1)
Fx(t)
1Sx
(t)
1
S0(xt) S0(x)
fx(t)
Fx(t)
S0(x t) S0(x)
f0(x t) ; S0(x)
xt
t
(2)Sx(t)S0S(0x(x)t)exsds
xsds e0 .
(3)Qf0(x)S0(x)x,S0(xt)S0(x)Sx(t), fx(t)f0 S(0x(x )t)Sx(t)xt tpx xt
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■ 例如：（1）一个0岁的人在50岁之后死亡的
概率是 P(T050)S0(50) ；（2）而在60
岁之前死亡的概率可表示成
P(X060)F 0(60)
（3）而在50岁到60岁之间死亡的概率可表示为
P ( 5 0 X 0 6 0 ) F 0 ( 6 0 ) F 0 ( 5 0 )
1
三、 x岁个体的生存分布
1
□例3已知18岁的小王，再生存10年的概率为 0.95，再生存30年的概率为0.75.则其现年28岁 在48岁之前的死亡概率为。
□解:已知 1 0p 1 8 0 .9 5 ， 3 0p 1 8 0 .7 5 30p1810p1820p28
0.75 20q281-20p2810.950.2105
1
1
S0(t)与 Sx(t)的 关 系 ：
Sx(t)P(Tx t)P(T0 xtT0 x) P(T0 xt)S0(xt) P(T0 x) S0(x)
所以有，
S0(xt)S0(x)Sx(t) S x ( t u ) S x ( t ) S x t( u ) S x ( u ) S x u ( t )
1
■例1 设生存分布函数为
S0(t)et,t0
其中 0 为参数，求 Fx(t)和fx(t) 。
解：Fx
(t)
1
S0(x t) S0 ( x)
1
et
fx (t) Fx(t) 1 et
et .
1
四、未来生存时间的密度函数 （一些国际通用精算表示法）
（一）未来一年的生存与死亡概率
1）pxSx(1)P (T x1)个体(x)在x+1岁仍然生存
1
死亡概率、生存概率与死亡力的关系
结论：(1) tqx
Fx(t)
t 0
fx(s)ds
t
0 s pxxsds
特别地，qx
1
0 s pxxsds
(2)
d dt
(t
px)
t
px xt,即t
px
exp(
xt x
sds)
t
x sd s 证 明 ： (2 )由 Sx(t)e0 ， 对 t 求 导 可 得 ，
P(Tx u)P(Tx t u)
u px tu px
（3）对 0ht，
QP(Tx
t)|Tx
h)
P(Tx t,Tx h) P(Tx h)
P(Tx t) P(Tx h)
tpxP (T xt)P (T xh )P (T xt|T xh ) hpxt hp x h
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□例2 已知生存函数 S0(x)(110 x0)1/2,0x100
与密度函数的关系： f0(t)S0(t) 新生儿将在m岁至n岁之间死亡的概率：
n
Pr(mXn)F 0(n)F 0(m ) f0(t)dt
m
1
注：生存函数 S 0 ( t ) 的性质
1o S0(0)1
2 o S 0 (x )单 调 下 降 ， 右 连 续
3 o S 0(x) 0 ,x 时 。
一个刚出生的个体生存至x岁，记此时的个体用符号 (x)表示，假设x为整数。个体(x)的未来生存时间为 一随机变量，记为 T x ，则 Tx T0 x 。
又记 T x 的整数部分为 K x ，小数部分为 S x 则
Tx Kx Sx
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同时， T x 的分布函数、生存函数及密度函数分别用 Fx(t),Sx(t)和fx(t) 表示。
的概率；被称为生存概率。
2）qxF x(1)P(Tx1)个体(x)在未来一年内死亡
的概率； 称为死亡概率。
◆ 注明 从定义中可以看出： px 1qx
1
（二）未来任意期限内的生存与死亡概率
1） t p x : 个体(x)活过年龄x+t岁的概率，即(x)至少再
活t年的概率；
2）t q x : 个体(x)未来t年内死亡的概率；
2 |2 q 2 2 2p 2 22 q 2 4 S S 0 0 ( (2 2 4 2 ) )(1 S S 0 0 ( (2 2 6 4 ) )) 0 .0 1 9 6
5p20
S0(25) S0(20)
0.9512
1
例8 设(x)的未来寿命的密度函数为
fx(t)
1
，0t
95
95
0,
其他
利息力=0.06， 保额为一个单位的终身寿险的现值
d
dt
(t
px)t
px
xt，即t pxexp(xxtsds)。
1
□ 三个函数之间转换的例子
■例4 设密度函数为
1 f0(t)w, t(0,w)
求生存分布和死亡力。
解：
F0(t)
t 0
f0 (u)du
t 0
1 du w
t w
S0
(t)
1
F0
(t)
w w
t
1
根据死亡力函数的定义，对 t (0, w)，
t
f0(t) 1 F0(t)
1 wt
■例5 设生存分布为如下形式，即服从指数分 布（其中 0 为参数）
S0(t)et, t0
求出相应的死亡力。
解：
t
S0(t) S0(t)
et et
1
■例6 设密度函数为
f0(t)w 1, t(0,w)
下面求x岁个体的分布函数和密度函数。
解：对t(0,wx),由例1的结果有
（1） 一个50岁的人下一年死亡的概率是多少？
（2）假如有1000名50岁的人中，下一年可能死去多 少人？
（3）如果某50岁的人，投保了一个10年定期的某种 人寿保险，那么应该向他收取多少保费？（即定 价问题！）
（4）一些特定因素（如一天吸60根烟卷）对50岁男 性公民未来的生存时间有怎样的影响？
1
1
1 F0 (x)
f0 ( x)
1
注：
（1）从以上关系式可以把 x 解释为一个活到x岁
的个体恰好在此年龄时死亡的可能性（概率）。
（2） x 应满足的条件：
x 0， x 0,
0 xdx
.
1
死亡力、密度函数及生存函数三者关系：
f0(x)xS0(x)
□定理
S 0 ( x ) 和 f 0 ( x ) 可由死亡力函数表示，即
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□定理1 （1）生存概率
t
px
源自文库
S0 (x t) S0 (x)
（2）对t 0,u0, 生存概率与死亡概率有如下 的关系：
tqx1tpx, t uP xtpxupx tupxtpx u u|tqxupxtqx u, u|tqxupxu tpx
（3）对 0ht，有 tpxhpxthpxh
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■定理证明: (1) tp x P r(T x t) P r(X x tX x ) s( s x (x )t)
随机变量为Z，求满足P(Z0.9)=0.9的分位数0.9.
例 9设 S(x)是 生 存 函 数 ， 函 数 (x)2x1 3且 (x)+ s(x)0,
75
则 生 存 函 数 S(x)的 极 限 年 龄 为 多 少 ？
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几种常见的死亡力函数
提出者
De Moivre （1729）
Gompertz （1825）
1
所以当x=0时，C=0，由此可知
x
udu S0 (x) e 0
将这个关系式代入到 f0(x)xS0(x) ，可得
x
udu
f0(x) xe 0 .
1
死亡力与生存函数、密度函数的关系
结论（1）
fx(t)
f0(x t) ; S0(x)
t
xs ds （2） Sx (t) e 0 .
（3） fx (t) S x (t)x t tp xx t
第三章 生存模型与生命表
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一、关于生存模型
（1）通常，我们把寿险公司出售的合同称为寿 险保单，按照寿险保单的约定，保险人（即保险 公司）根据被保险人在约定时间内的生存或死亡 决定是否给付保险金；
（2） 这种只有在特定事件发生时才给付的保险 金称为条件支付，其重要特征是它发生的不确定 性，一个人的未来生存时间是不确定的（事先不 可预知）；
w(xt)
Fx(t)
1
S0(xt) S0(x)
1
w
wx
w
1
Fx(t)1ww t xxw t x
fx (t)
Fx(t )
w
t
x
1 wx
1
□例7 已知当 20x30时，
x 0.01
计算 q 2 |2 2 2 和 5 p 2 0 。
解 ： S 0 (x ) e 0 xtd t e 0 .0 1 x (2 0 x 3 0 ）
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（3）被保险人在未来某个时期的生死是不确 定事件，对这个不确定事件的研究是寿险精算 的主要工作之一，他决定着保险金的给付与否， 他的研究把数学和生存与死亡概率联系在了一 起。
1
从数学的角度看，生存与死亡状态是一个简单的过 程，这个过程有以下特征：
（1）存在两个状态：生存和死亡；
（2）对单个个体可描述出它们所处的状态：即可划分 为生存者和死亡者；
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xt
f0(u)du
lim x t0[1F0(x)]t
f0(x) 1F0(x)
x
◆Remark：
x t
x t
f0 (u)du
lim x
1
f0 (u)du lim x
t0 [1 Fo (x)]t 1 F0 (x) t0 t
1 lim tf0 ( ) , x x t 1 F0 (x) t0 t
x
tdt S0(x)e0 ,
x
tdt
f0(x)xe0
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定理证明：由死亡力的定义可知
x
S0(x), S0(x)
(Qf0(x)F0(x))
[lnSx] x
解这个微分方程可知，存在常数C，使得满足
取x=0,则
x
lnS0(x) uduC 0
S 0 ( 0 ) 1 , ( Q S 0 ( 0 ) P ( t 0 ) P ( ) 1 )