数学 极限 信息化大赛获奖作品

2
证
函数在点x=1处没有定义.
任给 0,
x2 1 f ( x) A 2 x 1 x 1
要使 f ( x ) A ,
只要取 ,
x 1 lim 2. x 1 x 1
2
x2 1 当0 x x0 时, 就有 2 , x 1
2 . x 情形 : lim f ( x ) A
0
x
0, X 0, 使当x X时, 恒有 f ( x ) A .
lim f ( x ) A且 x lim f ( x ) A. 定理 : lim f ( x) A x x
3、几何解释:
y
A
sin x x
X

X
当x X或x X时, 函数 y f ( x )图形完全落在以 直线y A为中心线, 宽为2的带形区域内.
sin x 0. 例1 证明 lim x x
1 sin x sin x 1 证 , 0 x X x x
播放
问题: 函数 y f ( x ) 在 x 的过程中, 对应 函数值 f ( x ) 无限趋近于确定值 A.
通过上面演示实验的观察: sin x 当 x 无限增大时, f ( x ) 无限接近于 0. x 问题: 如何用数学语言刻划函数“无限接近”.
f ( x ) A 表示 f ( x ) A 任意小; x X 表示x 的过程.
3, 3 3 ,, 3 3 3 ,
注意： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一 动点在数轴上依次取 x1 , x2 ,, xn ,.
x3
x1
x 2 x4
xn
2.数列是整标函数 xn f ( n).
三、数列的极限
( 1) 观察数列{1 n
n 1
} 当 n 时的变化趋势.
则当n N时有 a b ( x n b) ( x n a )
x n b x n a 2.
上式仅当a b时才能成立. 故收敛数列极限唯一.
函数的极限
一、自变量趋向无穷大时函数的极限
sin x 观察函数 当 x 时的变化趋势. x
n
证 任给 0 , 对于一切自然数n ,
xn C C C 0 成立,
所以,
lim xn C .
n
说明:常数列的极限等于同一常数.
小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给 定 0,寻找N,但不必要求最小的N.
四、数列极限的性质
例4 设x n 0, 且 lim x n a 0,
n
求证 lim x n a .
n
xn a, 证 任给 0, lim n
N使得当n N时恒有 x n a 1 ,
从而有 x n a xn a xn a 1 xn a a a
故 lim x n a .
n
例如
2,4,8,,2 n ,;
1 1 1 1 , , ,, n ,; 2 4 8 2
{2 } 1 { n} 2
n
1,1,1, , ( 1) n 1 ,;
{( 1)
n 1
}
1 4 n ( 1) n 1 2, , , , ,; 2 3 n
n ( 1) n 1 { } n
A
A
y
y f ( x)
A
o
x0

x0

x0
x
显然, 找到一个后, 越小越好.
例2 证明 lim C C , (C为常数).
x x0
证 任给 0, 任取 0, 当0 x x0 时,
f ( x ) A C C 0 成立, lim C C . x x
第二节 极限的概念
一、概念的引入
1、割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” ——刘徽
播放
正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2
R


正 6 2 n 1 形的面积 An
A1 , A2 , A3 ,, An ,
S
设 木 棰 长 度 为 1
; : 至少有一个或存在. 其中 : 每一个或任给的
几何解释:
a
x2 x1 x N 1
2
a
x N 2 x3
a
x
当n N时, 所有的点 x n都落在 (a , a )内, 只有有限个 (至多只有N个) 落在其外.
数列极限的定义未给出求极限的方法. 注意：
n ( 1) n 1 1. 例1 证明 lim n n 1 n ( 1) n 1 1 证 xn 1 n n
定理1
收敛的数列必定有界.
n
证 设 lim xn a ,
由定义,
取 1,
则N , 使得当n N时恒有 x n a 1,
即有 a 1 xn a 1.
记 M max{ x1 ,, x N , a 1 , a 1 },
则对一切自然数 n,皆有 x n M , 故xn 有界.
当0 x x0 时, 就有 x
x 0 ,
lim x
x x0
x0 .
3.单侧极限:
1 x, 设 f ( x) 2 x 1, 证明lim f ( x ) 1.
x 0
例如,
x0 x0


1 1 1 第n天截下的杖长总和为X n 2 n ; 2 2 2 1 Xn 1 n 1 2
二、数列的定义
定义:按自然数1,2,3, 编号依次排列的一列数 (1)
x1 , x 2 ,
, xn ,
称为无穷数列 , 简称数列. 其中的每个数称为数 列的项, x n 称为通项(一般项).数列(1)记为{ x n } .
1 1 任给 0, 要 x n 1 , 只要 , 或n , n 1 所以, 取N [ ], 则当n N时, n ( 1) n 1 n ( 1) n1 1. 就有 1 即 lim n n n
例2 设xn C (C为常数), 证明 lim xn C .
x
f ( x ) A(当x )
" X " 定义
lim f ( x ) A
x
0, X 0, 使当 x X时, 恒有 f ( x ) A .
2、另两种情形:
f ( x) A 10 . x 情形 : xlim
0, X 0, 使当x X时, 恒有 f ( x ) A .
注意：有界性是数列收敛的பைடு நூலகம்要条件. 推论 无界数列必定发散.
2、唯一性
定理2 每个收敛的数列只有一个极限.
n n
证 设 lim xn a, 又 lim xn b,
由定义,
0, N 1 , N 2 .使得 当n N 1时恒有 xn a ;
当n N 2时恒有 x n b ; 取N maxN 1 , N 2 ,
y
sin x x
1 0, 取 X , 则当 x X时恒有
sin x 0 , x
x
sin x 故 lim 0. x x
定义 : 如果 lim f ( x ) c , 则直线 y c是函数y f ( x ) 的图形的水平渐近线 .
二、自变量趋向有限值时函数的极限
播放
问题: 当 n 无限增大时, x n是否无限接近于某一 确定的数值?如果是,如何确定? 通过上面演示实验的观察:
( 1)n1 当 n 无限增大时, xn 1 无限接近于1. n
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它.
xn 1 ( 1)
n 1
1 1 n n
例5
证明 : 当x0 0时, lim x
x x0
x0 .
证 f ( x) A
x x0
x x0 x x0 , x0 x x0
任给 0, 要使 f ( x ) A ,
只要 x x 0 x 0 且不取负值. 取 min{ x 0 , x 0 },
" " 定义 0, 0, 使当0 x x 0 时,
恒有 f ( x ) A .
1.函数极限与 f ( x )在点x0是否有定义无关 ; 注意：
2.与任意给定的正数有关.
2、几何解释:
当x在x 0的去心邻 域时,函数y f ( x ) 图形完全落在以直 线y A为中心线, 宽为2的带形区域内.
第 一 天 取 半
第 二 天 取 半
第 三 天 取 半
第 四 天 取 半
第
......
天 取 半
n
木棰 长度
1 2
1 4
1 8
1 16
...... ......
2、截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 1 第一天截下的杖长为X 1 ; 2 1 1 第二天截下的杖长总和 为 X2 2 ; 2 2
1 1 1 1 给定 ,由 , 只要 n 100时, 有 x n 1 , 100 n 100 100 1 给定 , 1000
只要 n 1000时,
1 有 xn 1 , 1000
1 1 给定 , 只要 n 10000 , 时, 有 x n 1 10000 10000
体现x接近x0程度.
1、定义：
定义 2 如果对于任意给定的正数 (不论它多
,使得对于适合不等式 么小),总存在正数 0 x x 0 的一切x ,对应的函数值 f ( x ) 都
满足不等式 f ( x ) A ,那末常数 A 就叫函数
x x0
f ( x ) 当 x x 0 时的极限,记作 lim f ( x ) A 或 f ( x ) A(当 x x 0 )
1、定义：
定义 1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小), 总存在着正数X ,使得对于适合不等式x X 的一切
x ,所对应的函数值 f ( x ) 都满足不等式 f ( x ) A ,
那末常数 A 就叫函数 f ( x ) 当x 时的极限,记作
lim f ( x ) A 或
问题: 函数 y f ( x ) 在 x x0 的过程中 , 对应 函数值 f ( x ) 无限趋近于确定值 A.
f ( x ) A 表示 f ( x ) A 任意小;
0 x x0 表示x x0的过程.

x0
点x0的去心邻域,

x0
x0
x
lim x n a ,
n
或 x n a ( n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的. 注意： 1.不等式 x n a 刻划了x n与a的无限接近 ;
2. N与任意给定的正数有关.
xn a N定义 : lim n 0, N 0, 使n N时, 恒有 x n a .
给定 0, 只要 n N ( [1])时, 有 x n 1 成立.
定义
如果对于任意给定的正数 ( 不论它多么
小),总存在正数 N ,使得对于 n N 时的一切x n ,
a 是数列 不等式 x n a 都成立, 那末就称常数 a ,记为 x n 的极限,或者称数列x n 收敛于
0
例3
证明 lim x x0 .
x x0
证 f ( x ) A x x0 , 任给 0, 取 ,
当0 x x0 时,
f ( x ) A x x0 成立,
lim x x 0 .
x x0
x 1 2. 例4 证明 lim x 1 x 1