利用微分中值定理证明不等式

目录

摘要 (1)

关键词 (1)

Abstract (1)

Keywords (1)

0 前言 (1)

1 知识准备 (1)

2 利用罗尔中值定理证明 (2)

3 利用拉格朗日中值定理证明 (3)

4 利用柯西中值定理证明不等式 (5)

5 利用泰勒中值定理证明 (7)

6 综合利用微分中值定理证明不等式........................................................ (10)

参考文献 (11)

利用微分中值定理证明不等式

摘要:微分中值定理是证明不等式的一种重要的方法,本文讨论了各个中值定理在证明不等式中的不同用法以及综合利用微分中值定理证明不等式.

关键词:微分中值定理;不等式

Using differential mean value theorem

proving inequality

Abstract:Useing the mean value theorem to prove that inequality is a kind of important method , this paper discusses various of mean value theorems to proof inequality in the different usage, and proving inequality by useing comprehensive utilization differential mean value theorem.

Key Words:differential mean value theorem;inequalities

0前言

不等式是数学中的重要内容,也是数学中的重要的方法和工具.在微分学中,微分中值定理,函数单调性判定定理及极值等重要的结论都可以用来证明不等式.本文通过几个具体的例子来具体说明微分中值定理在证明不等式中的运用,以及不同的微分中值定理在解决证明不等式的区别.

1知识准备

微分中值定理是数学分析中非常重要的基本定理.微分中值定理是指罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理以及泰勒中值定理.微分中值定理在数学分析及高等数学中的地位是不容置疑的,且在解题中的应用也是十分广泛的.在这里我们就利用微分中值定理证明不等式的方法作一简述.首先我们要先介绍一下微分中值定理:

定理1罗尔中值定理:如果函数()

f x在闭区间[],a b上连续,在开区间(),a b内可导,且满足()()

fξ'=.

=,那么在(),a b内至少存在一点ξ,使得()0

f a f b

定理2拉格朗日中值定理:如果函数()

f x在闭区间[],a b上连续,在开区间

(),a b 内可导, 那么在(),a b 内至少存在一点ξ,使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-.

当函数()f x 在(),a b 内的变化范围已知时,有()m f x M '≤≤,于是可以利用拉格

朗日定理来证明()()()()m b a f b f a M b a -≤-≤-一类的不等式.

定理3 柯西中值定理:如果函数(),()f x g x 在闭区间[],a b 上连续,在开区间(),a b 内

可导,且()g x '在(),a b 内每一点均不为零,那么在(),a b 内至少存在一点ξ,使得

()()()()()()

f b f a f

g b g a g ξξ'-='-. 定理4 泰勒中值定理:如果函数()f x 在含有点0x 的区间D 上有直到(1)n +阶的

导数,则函数()f x 在D 内可表示成一个多项式()n P x 与一个余项式()n R x 的和:

20000000()()()()()()()...()()2!!

n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+. 其中11()()()(1)!

n n n f R x x n ξξ++=-+,0(,)x x ξ∈. 注:当0n =时,即为拉格朗日中值定理,所以泰勒中值定理是拉格朗日中值定理

的推广.这个公式又称为带有朗格朗日型余项的泰勒公式.

在微分学中,微分中值定理在证明不等式中起着很大的作用,我们可以根据不等

式的两边的代数式选取不同的函数()f x ,应用微分中值定理得出一个等式之后,对这

个等式根据x 取值范围的不同进行讨论,得到不等式,以下通过例子来说明微分中值

定理在证明不等式的应用.

2利用罗尔中值定理证明不等式

罗尔中值定理的几何意义:在满足定理条件下,在曲线()y f x =上必有一点,使得

过该点(,())P f ξξ的切线平行于x 轴.

在一般情况下,利用罗尔中值定理很容易证明关于方程的根的问题,但是仅用罗

尔中值定理却很难证明不等式,所以在利用罗尔中值定理证明时要综合利用其他的微

分中值定理,这类内容会放在第六部分详细介绍, 这里就不再赘述. 3利用拉格朗日中值定理证明不等式

拉格朗日中值定理的几何意义:在满足定理条件下,在曲线()y f x =上必有一点(,())P f ξξ,使得过该点的切线平行于曲线两端点的连线(,())a f a ,(,())b f b 两点的弦.我们在证明中引入的辅助函数()()()()()()f b f a F x f x f a x a b a

-=--

--,正是曲线()y f x =与弦线之差. 拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广,当()()f a f b =时,本定理即为罗尔中值定理的结论,这表明罗尔中值定理是朗格朗日定理的一个特殊情形()y f x =.

拉格朗日中值定理的其它表示形式:

(1) ()()()()f b f a f b a ξ'-=-,a b ξ<<;

(2) ()()(())()(01)f b f a f a b a b a θθ'-=+--<<;

(3) ()()(),0 1.f a h f a f a h θθ'+-=+<<

值得注意的是:拉格朗日中值定理无论对于a b <,还是a b >都成立.而ξ则是介于a 与b 之间的某一定数,而(2),(3)两式的特点,在于把中值点ξ表示成了()a b a θ+-,使得不论a ,b 为何值,θ总可为小于1的某一整数.

例1 (1)如果0x >,试证ln(1)1x x x x

<+<+; (2)求证: arctg arctg αβαβ-≤-.

证明 (1)令()ln(1)f x x =+,()f x 在区间[]0,(0)x x >上连续,在()0,(0)x x >内可导,应用拉格朗日中值定理,则有ln(1)ln(1)1x x ξ

+-=+,(0,)x ξ∈. 由于在闭区间[]0,x 上,有11x x x x ξ

<<++,所以ln(1)1x x x x <+<+(0)x >. (2)当αβ=时,显然等号成立.

当αβ≠时,不妨设αβ>.设()(),,f x arctgx x βα=∈,

由拉格朗日中值定理得,2

11arctg arctg αβαβξ-=-+ ,(,)ξβα∈.