2015年第六届全国大学生数学竞赛预赛试题及答案

n +1 n n ∑ n n n 2015 年第七届预赛（非数学类）参考答案

一、每小题 6 分，共计 30 分。

⎛ sin π sin 2 π ⎞

⎜ n n sin π ⎜ 2 (1) 极限 lim n ⎜ 2 + n +1

n + 2 + L + n 2 + n ⎜ =

π

。 n →∞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎟

i

1 n i

n sin π n 1 n i 解：由于 ∑sin i =1 π ≤ ∑ i =1

n +

i n

≤ ∑sin i =1 π , 而 n

lim 1 ∑sin i π = lim n π n

i 1 π 2 sin π = ∫ sin xdx = ， n →∞ n +1 i =1 n n →∞ (n +1)π n i =1

n π 0 π

lim 1 ∑sin i π = lim 1 π ∑sin i π = 1 ∫π sin xdx = 2

。 n →∞ n i =1 n n →∞ π n i =1 n π 0 π

所以所求极限是 2 .

π

（2）设函数 z = z ( x , y ) 由方程 F ( x + z

, y + z ) = 0 所决定，其中 F (u , v ) 具有连续偏导

y x

∂z ∂z

数，且 xF u + yF v ≠ 0 。则 x + y = z −

xy 。（本小题结果要求不显含 F 及其 ∂x ∂y

偏导数）

⎛ 1 ∂z ⎞⎜

⎛ 1 ∂z z ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ 解：方程对 x 求导，得到

⎜

1+ ⎜ F u +⎜ − y x x x x ⎜ F v = 0 ⎝⎜ ∂ ⎟⎜

⎝⎜ ∂ 2 ⎟⎜

∂z y ( z F − x 2 F ) 即 x = v u

。

∂x xF u + yF v

∂z x ( z F − y 2

F ) 同样，方程对 y 求导，得到 y = u v

。

∂y xF u + yF v

于是 x

∂z + y ∂z = z ( x F u + yF v ) − xy ( x F u + yF v )

= z − xy ∂x ∂y u + v

（3）曲面 z = x 2 + y 2 + 1 在点 M (1,‐1,3)的切平面与曲面 z = x 2 + y 2

所围区域的体积为

π

。

2

2

+∞

解：曲面z = x2 + y2 +1 在点M(1,‐1,3)的切平面：2( x−1) −2( y +1) −( z−3) = 0 ，

⎧z = x2 + y 2

即z = 2 x−2 y −1 。联立⎨，

⎩z = 2x −2 y −1

得到所围区域的投影D 为：( x−1)2 +( y +1)2 ≤1。

所求体积V = ∫∫[(2x −2 y −1) −( x2 + y2 )]dxdy = ∫∫[1 −( x−1)2 −( y +1)2 ]dxdy

D D

⎧x −1= r cos t

令⎨2π

，V = ∫dt∫1 (1−r2)rdr =

π

。

⎩y +1 = r sin t 0 0 2

⎧3, x ∈[−5, 0)

（4）函数f ( x) = ⎨

⎩0, x ∈[0, 5)

在(−5, 5] 的傅立叶级数在x=0 收敛的值3/2。

解：由傅里叶收敛定理，易知f(0)=3/2.

（5）设区间(0,+∞)上的函数u(x) 定义为u( x) = ∫+∞e−xt 2 dt ，则u (x) 的初等函数表达式为

。

[解] 由于

+∞

u2 (x) = ∫+∞

e−xt dt∫e−xs2 ds =∫∫ e−x(s2 +t2 )dsdt , 故有

0 0

s≥0,t≥0

π

u2 ( x) = ∫/2 +∞

dϕ∫e−xρ2 ρd ρ= π∫e−xρ2 d( xρ2 ) = −πe−xρ2ρ=+∞π=。

0 0 4x 0 ρ4x ρ=0 4x

所以u( x) =

二、（12 分）设M 是以三个正半轴为母线的半圆锥面，求其方程。

解：显然，O(0,0,0)为M 的顶点，A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)在M 上。由A,B,C 三点决定的平面x + y + z =1 与球面x2 + y2 + z 2 =1的交线L 是M 的准线。‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐4分

x y z1设P(x,y,z)是M 上的点，(u,v,w)是M 的母线OP 与L 的交点，则OP 的方程为===，

u v w t

即u=xt,v=yt,w=zt。‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐8 分

⎧( x+ y + z)t =1

代入准线方程，得⎨。

⎩( x2 + y2 + z 2 )t 2 =1

消除t，得到圆锥面M 的方程xy + yz + zx = 0 。‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐12 分