《能得到直角三角形吗》同步练习3

1.2 能得到直角三角形吗

一、选择题

1．已知△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，那么（ ）

（A ）BC 〈AB （B ）∠B ＋∠CAD ＝90°

（C ）AD 〉BD （D ）∠B 〉∠BAD

2．三角形的三边长为a 、b 、c ，且满足等式ab c b a 2)(22=++，则此三角形是（ ）

（A ）锐角三角形 （B ）直角三角形

（C ）钝角三角形 （D ）等边三角形

3．在△ABC 中，BC 边上的高61=h ，AC 边上的高42=h ，AB 边上的高33=h ，那么a 、b 、c 三边的比a ：b ：c 为（ ）

（A ）1：2：3 （B ）2：3：4

（C ）6：4：3 （D ）不确定

4．下列三角形中，不一定是直角三角形的是（ ）

（A ）三角形中有一边的中线等于这边的一半

（B ）三角形的三内角之比为1：2：3

（C ）三角形有一内角是30°，且有一边是另一边的一半

（D ）三角形的三边长分别为22n m -、2mn 和)0(22>>+n m n m

5．直角三角形的面积为S ，斜边上的中线长为d ，则这个三角形的周长为 （ ）

（A ）d S d 22++ （B ）d S d +-2

（C ）)(22d S d ++ （D ）d S d ++22

二、填空题

6．若一个直角三角形的三边为三个连续的偶数，则它的周长为____________。

7．周长为2a 的等腰直角三角形的斜边的长为___________，它的面积为_____________.

8.在△ABC 中，如果AB ＝22n m -，AC ＝2mn ，BC ＝22n m +，则△ABC 是_________三角形，其中∠______＝90°。

9．如图1－22，∠ABD ＝∠C ＝90°，AD ＝12，AC ＝BC ，∠BAD ＝30°，则BC ＝________。

10．如图1－23，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝16cm ，CD ＝8cm ，AD ＝13cm ，则ABCD S 梯形＝________。

11．如图1－24，在△ABC 中，CE 平分∠ACB ，CF 平分∠ACD ，EF ∥BC 交AC 于M ，若CM ＝5，则22CF CE +＝_________。

三、解答题

12．如图1－25，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，M 是BC 的中点，Q 为AC 上任意一点，MP ⊥MQ ，延长QM 至N ，使MN ＝QM ，连QN 、BN 。求证：222CQ BP PQ +=。

13．在Rt △ABC 中，，AB ＝c ，BC ＝a ，CA ＝b ，且224c a =，223b a =，求证：∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：3。

14．设P 为等边△ABC 内一点，如果222PA PC PB =+。求证：∠BPC ＝150°。

15．如图1－26，AB ＝m ，CD ＝n ，∠BCD ＋∠ADC ＝90°。求证22CA BD +的值。

16．若△ABC 的三边a 、b 、c 满足条件c 26b 24a 10338c b a 222++=+++，判断△ABC 的形状。

17．已知△ABC 中，AB ＝17，BC ＝30，BC 上的中线AD ＝8，求证：△ABC 为等腰三角形。

18．CD 是△ABC 的高，D 在边AB 上，且有DB AD CD ⋅=2。求证：△ABC 为直角三角形。

参考答案

一、1．B ； 2．B ； 3．B ； 4．C ； 5．C 。

二、6．24； 7．a )222(-，2)223(a -； 8．直角，A ； 9．63； 10．260cm 。11．100。

三、12．先证△MQC ≌△MNB 。∴BN ＝CQ 且PN ＝PQ 。∴22PN PQ =。又∠C ＝∠MBN ，∴∠PBN ＝∠ABC ＋∠MBN ＝90°。∴222222CQ PB BN PB PN PQ +=+==。即222CQ BP PQ +=。

13．由223b a =得2224b a a +=。又∵224c a =，∴222c b a =+。∴∠C ＝90°。又由224c a =得∴c a 21=。∠A ＝30°。又由223b a =得b a 3

3=，∠B ＝60°。故∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：3。

14．以BP 为边作等边△PBD ，连结CD ，则由BP ＝BD ，∠ABP ＝∠CBD ，BA ＝BC 得△ABP ≌△BCD 。故PA ＝DC 。在△PCD 中，由于222222PD PC PB PC PA CD +=+==，故∠DPC ＝90°。∴∠BPC ＝60°＋90°＝150°。

15．延长CB 、DA 交于点E ，由∠BCD ＋∠ADC ＝90°得∠E ＝90°。∴+=+++=+++=+22222222222)()(CD BE AE DE CE AE CE BE DE AC BD 222n m AB +=。

16．∵c b a c b a 262410338222++=+++

∴0262410338222=---+++c b a c b a

0)13()12()5(222=-+-+-c b a

∴a ＝5，b ＝12，c ＝13，222c b a =+，∴△ABC 为直角三角形。

17．在△ABC 中，AB ＝17，AD ＝8，BD ＝15。

∴222BD AD AB += ∴△ABD 为直角三角形

在Rt △ADC 中，22222217158=+=+=CD AD AC

∴AC ＝17。 ∴△ABC 为等腰三角形。

18．在Rt △ACD 中，BD AD AD AC CD ⋅=-=222 ∴AB AD AC ⋅=2 同理AB BD BC ⋅=2 222AB AB BD AB AD BC AC =⋅+⋅=+ ∴△ABC 是直角三角形。