《定积分的简单应用》教学教案

1.7 定积分的简单应用

学习目标：

1.进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法；

2.让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；

3.初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法，以及利用定积分求一些简单的旋转体的体积；

4.体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。 学习重点：几种曲边梯形面积的求法。 学习难点：定积分求体积以及在物理中应用。 学习过程： 一、问题情境

1、求曲边梯形的思想方法是什么？

2、定积分的几何意义是什么？

3、微积分基本定理是什么？ 二、数学应用

（一）利用定积分求平面图形的面积 例1、求曲线],[sin 320π∈=x x y 与直线,,3

20π==x x x 轴所围成的图形面积。 答案：22330

3sin cos |2

o

S xdx x ππ

=-=

⎰＝ 变式引申：

1、求直线32+=x y 与抛物线2x y =所围成的图形面积。

答案：3

3233323132

23

1=

-+=--⎰

|))x x x dx x x S （－＋（＝ 2、求由抛物线342-+-=x x y 及其在点M （0，－3） 和N （3，0）处的两条切线所围成的图形的面积。 略解：42+-=x y / ，切线方程分别为34-=x y 、

62+-=x y ，则所求图形的面积为

x

y

o

y=－x 2+4x-3

4

9

34623434223

3

2

32＝＝

dx x x x dx x x x S )]()[()]()[(-+--+-+

-+---⎰

⎰

3、求曲线x y 2log =与曲线)(log x y -=42以及x 轴所围成的图形面积。 略解：所求图形的面积为

dy dy y f y g S y ⎰

⎰

⨯-=

-1

1

224)()()(【＝

e e y y 210224224log |)log -=⨯-=（

4、在曲线)0(2≥=x x y 上的某点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成的面积为

12

1

.试求：切点A 的坐标以及切线方程. 略解：如图由题可设切点坐标为

),2

00x x （ 为2002x x x y -=，切线与x 轴的交点坐标为

),(02

0x

，则由题可知有121

12202

2

002

20

2

00=

=+-+=⎰

⎰

dx x x x x dx x S x x x )( 10=∴x ，所以切点坐标与切线方程分别为12),1,1(A -=x y

总结：1、定积分的几何意义是：a x x f y b a ==与直线上的曲线在区间)(],[、

x b x 以及=轴所围成的图形的面积的代数和，即轴下方轴上方－x x b

a

S S dx x f =⎰)(.因此求一些曲边

图形的面积要可以利用定积分的几何意义以及微积分基本定理，但要特别注意图

形面积与定积分不一定相等，如函数sin ,2y x x π=∈　［0］的图像与x 轴围成的图

形的面积为4,而其定积分为0. 2、求曲边梯形面积的方法与步骤：

（1）画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；

（2）对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限； （3）确定被积函数；

（4）求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和。 3、几种常见的曲边梯形面积的计算方法： （1）x 型区域：

①由一条曲线）

其中0≥=)()((x f x f y 与直线)(,b a b x a x <==以及x 轴所围成的曲x

x

O y=x 2 A

B C

边梯形的面积：⎰b

a

dx x f S )(＝（如图（1））；

②由一条曲线）其中0≤=)()((x f x f y 与直线)(,b a b x a x <==以及x 轴所围成的曲边梯形的面积：⎰⎰b

a

b

a

dx x f dx x f S )()(＝－＝（如图（2））；

③由两条曲线）其中，)()()(()(x g x f x g y x f y ≥==与直线)(,b a b x a x <==所围成的曲边梯形的面积：

b

dx x g x f S |)()(|－＝（如图（3））；

图（1） 图（2） 图（3） （2）y 型区域：

①由一条曲线）其中0≥=x x f y )((与直线)(,b a b y a y <==以及y 轴所围成的曲边梯形的面积,可由)(x f y =得)(y h x =，然后利用⎰b

a dy y h S )(＝求出（如图（4））；

②由一条曲线）其中0≤=x x f y )((与直线)(,b a b y a y <==以及y 轴所围成的曲边梯形的面积，可由)(x f y =先求出)(y h x =，然后利用⎰⎰b

a

b

a

dy y h dy y h S )()(＝－＝求

出（如图（5））；

③由两条曲线)()(x g y x f y ==，与直线)(,b a b y a y <==所围成的曲边梯形的面积，可由)()(x g y x f y ==，先分别求出)(y h x 1=，)(y h x 2=，然后利用

⎰

b

a

dy y h y h S |)()(|21－＝求出（如图（6））；