高等代数专题研究模拟试题(05秋)

高等代数专题研究模拟试题

一、单项选择题(每小题3分，本题共15分)

1. 不等式32->x

的解集是( )． (A) (―∞,―32) (B) (―∞,―3

2)⋃(0,+∞) (C) (－0,32)⋃(0,+∞) (D) (―3

2,0) 2. 设一个代数体系(R ,+,×)，下列条件中，不是环的定义必须满足的条件为( )．

(A) ∀a ,b ∈R ，a +b =b +a (B) 在R 中存在一个零元素θ，使得∀a ∈R ,有a +θ=θ+a =a

(C) 在R 运算×对+满足分配律 (D) ∀a ,b ∈R ，a ×b =b ×a

3. 以下结论正确是( )．

(A) 实系数奇次多项式至少有一个实数根

(B) 任何实系数n (n >0)次多项式至少有一个实数根

(C) 任何复系数n (n >0)次多项式至少有一个实数根

(D) 复系数n (n >0)次多项式一定有n 个不同复数根

4. 分配4个学生到3个不同单位实习，不同的分配方式有( )．

(A) !

4!3!7 (B) 34 (C) 34C (D) 47C 5. 从m 个正整数a 1,a 2,…,a m 中任意取出m +1个数，则( )．

(A) 至多有两个或两个以上的数相同 (B) 只有两个数相同

(C) 至少有两个或两个以上的数相同 (D) 相同的数必有m 个

二、填空题(每小题3分，本题共15分)

.6 设函数f (x )在区间(a ,b )上定义，如果q 1≥0,q 1≥0,且q 1+q 2=1,对任意(a ,b )上的x 1，x 2,都有 ，则称函数f (x )在(a ,b )上是上凸函数．

7. 设R 是整环，如果对R 中的元素a ，存在R 中的元素b ，使得 ，则称a 是可逆元素．

8. 有第1,2,3,4,5，6,7分册的全集五套，从每套中取一本，那么共有 种不同取法．

9. 重新排列1,2,3,4,5,6,7,8，使得奇数在自己的位置上，而偶数不在自己位置上的排列有 个

10. 多项式(x 1+x 2+…+x t )n 展开合并同类项后的项数为36797137==-+C C ，那么该多项式是 ．

三、简述题(每小题5分，共10分)

11. 试用不等式表述均值不等式(几何平均数不超过算术平均数)．

12. 试表述可重复全排列计算公式!

!!21r r n 的含意．

四、计算题(每小题10，本题共40分)

13. 设集合A =｛a 1,a 2,a 3｝，B ={b 1,b 2}，试写出A 到B 的所有不同映射，并指出为单射、满射和双射各有几个？

14. 设正实数x ,y ,z ，且x +y +z =2，求函数．

f (x ,y ,z )＝2x 2+3y 2+9z 2

的最小值．

15. 求剩余类环Z 8上的多项式012

=-x 的根．．

16. 求1到1000的整数中不能被14且不能被21整除的数的个数．

五、证明题(每小题10分，本题共20分)

17. 设集合M ={(x ,y )∣x ,y 是有理数}，在M 上定义运算⊗，任意M 上的元素(x ,y ),(a ,b ), (a ,b )⊗(x ,y )=(ax ,ay +b )

证明(M ,⊗)是代数体系．并证明⊗在M 上可结合，不可交换．

18. 设R 是一个整环，R 中任何两个元素都存在最大公因式，则对R 中任意元素a ，b ，c ，有

((a ,b ),c )~(a ,(b ,c ))

高等代数专题研究模拟试题答案

一、单项选择题(每小题3分，本题共15分)

1. B ．

2. D ．

3. A ．

4. B ．

5. C ． 二、填空题(每小题3分，本题共15分)

6. f (q 1x 1+q 2x 2)≥q 1f (x 1)+q 2f (x 2)．

7. a ×b =b ×a =1．

8. 4625

175=-+C ． 9. 9． 10. (x 1+x 2+x 3)7 ． 三、简述题(每小题7分，共14分)

11.设有n 个正实数a 1,a 2,…,a n ， (1分)

则 n

a a a a a a n n n +++≤......2121 (4分) 且只有当a 1=a 2=…=a n 时取等号． (5分) 12. 设r 1个

b 1和r 2个b 2，且r 1+r 2=n 的集合S ，则S 的元素的全排列个数为

!!!21r r n (5分)

四、计算题(每小题10，本题共40分) 13. 所有映射为

σ1：a 1→b 1，a 2→b 1，a 3→b 1； σ2：a 1→b 2，a 2→b 1，a 3→b 1；

σ3：a 1→b 1，a 2→b 2，a 3→b 1； σ4：a 1→b 1，a 2→b 1，a 3→b 2；

σ5：a 1→b 2，a 2→b 2，a 3→b 1； σ6：a 1→b 2，a 2→b 1，a 3→b 2；

σ7：a 1→b 1，a 2→b 2，a 3→b 2； σ8：a 1→b 2，a 2→b 2，a 3→b 2；(8分)

单射和双射没有．满射有6个． (10分)

14. x +y +z =

2331331221=⋅+⋅+⋅z y x (2分) 由柯西不等式

])3()3()2][()31()3

1()21[(

222222z y x ++++ ≥4)33133

1221(2=⋅+⋅+⋅z y x (7分) 所以，2x 2+3y 2+9z 2≥17729

324=++． 所求2x 2+3y 2+9z 2的最小值是17

72． (10分) 15. Z 8={7,6,...,2,1,0}， (3分) Z 8中使得多项式f (x )= 12-x 为0的均为其根．

经验证，)(2=-=f ，)(2=-=f ,,)(2

=-=f , 017)7(2=-=f (8分)

可知所求全部根为,,,． (10分) 16. 设S ={1,2,3,…,1000}，A ,B 分别表示S 中能被14和21整除的整数集合．(2分) 则

71141000=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=A ， 47211000=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=B ， 233271000=⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡⨯⨯=⋂B A ，(5分) 所求为