巧解圆中最值问题

巧解圆中最值问题

巧解圆中的最值问题

求最值是常见的数学问题，几何最值又是各地中考中的热门话题.随着直线型问题逐渐被我们熟悉，圆中的最值问题也走进了我们的视野.

基本模型

如图1、2，平面内有一定点A和一动点P,点P的运动轨迹是圆O，连结AO并延长，分别交圆于B C

、两点，则AB为AP的最小值，AC为AP的最

大值，即最小值为AO-半径，最大值为+

AO半径.

类型1 定点定长定圆

例1 如图3，在ABC

∠=︒，

ABC

∆中，90

ACB

∠=︒，30

将ABC

∆，P Q ∆绕顶点C顺时针旋转，得到MNC

、分别

是AC MN

AC=，连结PQ，则旋转时PQ长、的中点，2

度的最大值是( ).

(A) 26(B) 3

6 (D) 3

分析连结CQ，点P是定点，点Q是动点，欲求PQ长度的最大值，就得知道Q的运

动轨迹.在这里，可以利用点Q是Rt MNC

∆斜边的中点，得出CQ是定值，到定点的距离等

于定值，由圆的定义可以联想到运动轨迹是圆.再结合基本模型，可以得出PQ长度的最大值为PC CQ

+=，所以选D.

'3

例2 (2015年宁波考纲)如图4，二次函数

2(0)

=++≠的图象交x轴于点(1,0)(4,0)

y ax bx c a

-，，交y轴

A B

于点(0,2)

C，过B，C画直线，并连结AC.

(1)求二次函数的解析式和直线BC的解析式.

(2)点F是线段BC上的一点，过点F作ABC

∆内接正方形DEFG，使得边DE落在x轴上，点G在AG上，GF交y轴于点M.

①求该正方形的边长;

②将线段EF延长，交抛物线于点H，那么点

F 是EH 的中点吗?请说明理由.

(3)在(2)的条件下，将线段BF 绕点B 旋转，在旋转的过程中，点P 始终为CF 的中

点，请直接写出线段OP 的最大值.

分析 (1)二次函数解析式为

213222y x x =-++ 直线解析式为1

22

y x =-+ (2)①107

，②不是； (3)本题中，O 是定点，P 是动点，取BC 的中点K ，连结BF PK ，，由题意，得

155(2,1)27PK BF K ==，

所以P 的运动轨迹是一个以K 557

半径的圆，所以OP 的最大值为

5125577OK =

类型2 定线定角定圆

例 3 (2016年宁波考纲)如图5，在等腰Rt ABC ∆中，2AB BC ==，点P 为等腰

Rt ABC

∆所在平面内一点，且满足PA PB ⊥，则PC 的取值范围为 . 分析 根据条件可知线段AB 是定值，且AB 所对的张角APB ∠是定值，根据同弧所对的圆周角相等可知，动点P 的运动轨迹在过点A B P 、、三点的圆周上(不与A B 、重合).

又因为90APB ∠=︒，所以AB 恰好是直径。连结CO 并延长交圆O 分别为12

P P 、，故 1CP 最小，2

CP 最大，所以PC 的取值范围为

5151PC -≤≤+

例4 (2013年武汉中考题)如图6，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE DF =，连结CF 交BD 于点G ，连结BE 交AG 于点H 。若正方形的边长为2，则线段

DH 长度的最小值

是。

分析在确定动点H的轨迹时，需要我们先去证明90

AHB

∠=︒。因为AE DF

=，易

证ABE DCF

∆≅∆，得到DCF ABE

∠=∠，由正方形对称性可

知DAG DCG

∆≅∆，得到DCF DAG

∠=∠，所以90

AHB

∠=︒.

再考虑到E、F是边AD上两个动点，所以动

点H的轨迹是以AB中点为圆心，1

2

AB为半径的14圆，连接OD，故可求得DH51.

例5 (2016年宁波考纲)如图7，⊙O半径

为3 , Rt ABC

∆的顶点A，B在⊙O上，90

B

∠=︒，点G在

⊙O内，且3

tan

4

A=，当点A在圆上运动时，OC的最小值为（）

(A)2 (B) 3

2

(C)

35 3

分析 O 是定点，C 是动点，确定点C 的运动轨迹是本题的难点.延长AC 交圆于点E ,

连结EO 并延长，交圆于点F ，连结FB .

因为3tan 4

A =，所以AC

B ∠为定值，即BCE ∠为定值. 因为⊙O 半径为3，F A ∠=∠，所以185

EB =，符合定线定角定圆这种类型，故点C 的运动轨迹是过B C E ，，三点的圆弧且在⊙O 内部.

不妨设圆心为1O ，连结1O E ，1O O

因为1

180BCE D O D ∠+∠=︒∠=∠， 所以1

180BCE O ∠+∠=︒ 易得1

=O ACB FEB ∠∠=∠ 所以1

EO O ∆为直角三角形， 且1

4tan 3O = 因为3OE = 所以11

9

1544O E O O ==，