天津市高一下学期期末数学考试试卷
4.（1分）(2015高三上·青岛期末)已知O是坐标原点，点A的坐标为（2，1），若点B（x，y）为平面区域 上的一个动点，则z= 的最大值是________．
5.（1分）(2020高三上·黄冈月考)已知各项为正数的数列 的前 项和为 ，且 ， ，则数列 的通项公式为________.
15-1、
15-2、
16-1、
16-2、
17-1、
17-2、
18-1、
18-2、
19-1、
19-2、
20-1、
20-2、
18.（10分）在一场垒球比赛中，其中本垒与游击手的初始位置间的距离为1，通常情况下，球速是游击手跑速的4倍．
（1）若与连结本垒及游击手的直线成α角（0°＜α＜90°）的方向把球击出，角α满足什么条件下时，游击手能接到球？并判断当α=15°时，游击手有机会接到球吗？
（2）试求游击手能接到球的概率．（参考数据 =3.88，sin14.5°=0.25）．
14.（1分）(2019高一下·余姚月考)在 中，角 的对边分别为 ，若 为等比数列，且 ，则 ________.
二、解答题：(共6题；共60分)
15.（10分）(2020·南通模拟)如图，在四棱锥 中，底面 为梯形， ， ， 交 于 ，锐角 所在平面 底面 ， ，点 在侧棱 上，且 .
（1）求证： 平面 ；
（1）求△ABC的顶点B、C的坐标；
（2）若圆M经过不同的三点A、B、P（m，0），且斜率为1的直线与圆M15分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
二、解答题：(共6题；共60分)
8.（1分）(2017高二上·陆川开学考)半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为________．
9.（1分）与 =（1，2）共线的单位向量为________
10.（1分）(2018·兴化模拟)将函数 的图像向右平移 个单位长度后，所得函数为奇函数，则 ________．
11.（1分）(2017·深圳模拟)已知直线l：x+my﹣3=0与圆C：x2+y2=4相切，则m=________．
（2）求证： .
16.（10分）(2020高一下·深圳月考)
（1）向量 与 的夹角为 且 ， ，求：① ；② ．
（2）已知 ， ．若 为 与 的夹角，求 的值；
17.（10分）(2017·荆州模拟)已知函数 ．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）已知锐角△ABC的两边长分别为函数f（x）的最大值与最小值，且△ABC的外接圆半径为 ，求△ABC的面积．
12.（1分）(2018高二上·舒兰月考)数列 的通项公式是 ，则该数列的前80项之和为________．
13.（1分）(2019高二上·上海月考)已知梯形 ， ，设 ，向量 的起点和终点分别是 、 、 、 中的两个点，若对平面中任意的非零向量 ，都可以唯一表示为 、 的线性组合，那么 的个数为________.
天津市高一下学期期末数学考试试卷
姓名:________班级:________成绩:________
一、填空题(共14题；共15分)
1.（1分）函数y=cos2x的最小正周期为________．
2.（1分）(2020·肥城模拟)在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合.若直线l与直线l1关于点（2，3）对称，则直线l的方程是________.
19.（10分）(2019高三上·珠海期末)已知 为等差数列 的前 项和，公差 ，且 成等比数列．
（1）求 ， ；
（2）设 ，求 ．
20.（10分）(2017高一上·辽宁期末)已知△ABC的顶点A（0，1），AB边上的中线CD所在的直线方程为2x﹣2y﹣1=0，AC边上的高BH所在直线的方程为y=0．
6.（1分）(2016·嘉兴模拟)如图，直线 平面 ，垂足为 ，正四面体(所有棱长都相等的三棱锥) 的棱长为2， 在平面 内， 是直线 上的动点，当 到 的距离为最大时，正四面体在平面 上的射影面积为________．
7.（2分）(2020高一下·宁波期中)已知递增等比数列 的第三项、第五项、第七项的积为512，且这三项分别减去1，3，9后成等差数列.（1）则 的公比为________；（2）设 ，则 的表达式为________.
天津市武清区2024届高一数学第二学期期末教学质量检测试题含解析
天津市武清区2024届高一数学第二学期期末教学质量检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（ ） A ．B ．2C ．3D ．2．化简()1111232240,0a b a b a b ⎛⎫⎛⎫÷>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭结果为（ ） A ．a B ．b C ．abD ．b a3．已知点(2,3),(3,2)A B ---，直线l 方程为10kx y k -++-=，且直线l 与线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的取值范围为（ ）A ．34k ≥或 4k ≤- B ．34k ≥或 14k ≤- C ．344k -≤≤D ．344k ≤≤ 4．若平面α∥平面β，直线l ⊂平面α，直线n ⊂平面β，则直线l 与直线n 的位置关系是（ ） A ．平行 B ．异面 C ．相交D ．平行或异面5．已知5a =，3b =，且12a b ⋅=-，则向量a 在向量b 上的投影等于（ ） A ．-4B ．4C ．125-D ．1256．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．8π B ．4π C ．2π D ．π7．若一个正四棱锥的侧棱和底面边长相等，则该正四棱锥的侧棱和底面所成的角为（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°8．过点（1，0）且与直线210x y -+=垂直的直线方程是（ ）A ．210x y ＝B ．210x y ＝C ．210x y +-＝D ．220x y ＝9．将一个总体分为甲、乙、丙三层，其个体数之比为5:3:2，若用分层抽样的方法抽取容量为200的样本，则应从丙层中抽取的个体数为（ ） A ．20B ．40C ．60D ．10010．一支田径队有男运动员 560 人，女运动员 420 人，为了解运动员的健康情况，从男运动员中任意抽取 16 人，从女生中任意抽取 12 人进行调查．这种抽样方法是（ ） A ．简单随机抽样法 B ．抽签法 C ．随机数表法D ．分层抽样法二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
天津市南开区2024届高一数学第二学期期末达标测试试题含解析
天津市南开区2024届高一数学第二学期期末达标测试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )A ．2B ．23+C ．32+D ．122．在数列{}n a 中，12a =，1221n n a a +-=，则101a 的值为： A ．52B ．51C ．50D ．493．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:将三角形数1，3， 6，10记为数列{}n a ，将可被5整除的三角形数，按从小到大的顺序组成一个新数列{}n b ，可以推测:19b =（ ） A ．1225B ．1275C ．2017D ．20184．对于函数()f x ，在使()f x M ≥成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值称为函数()f x 的“下确界”.若函数()3cos 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，,6x m π⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭的“下确界”为12-，则m 的取值范围是（ ） A ．,62ππ⎛⎤-⎥⎝⎦ B ．,62ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．5,66ππ⎛⎤-⎥⎝⎦ D ．5,66ππ⎛⎫-⎪⎝⎭5．为了得到函数2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，可以将函数2sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象（）A ．向左平移724πB ．向右平移724π C ．向左平移712πD ．向右平移712π6．已知集合{}|10A x x =-≥，{}012B =，，，则A B =A ．{}0B ．{}1C ．{}12，D ．{}012，， 7．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为平行四边形，2=NB PN ，则三棱锥-N PAC 与三棱锥D PAC -的体积比为( )A ．1:2B ．1:8C ．1:3D ．1:68．在四边形ABCD 中，AB DC =，且AC ·BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ） A ．菱形B ．矩形C ．直角梯形D ．等腰梯形9．函数3()arctan f x x x =+的定义域为R ，数列{}n a 是公差为d 的等差数列，若10091a =-，m =12320162017()()()()()f a f a f a f a f a +++++，则（ ）A ．m 恒为负数B ．m 恒为正数C ．当0d >时，m 恒为正数；当0d <时，m 恒为负数D ．当0d >时，m 恒为负数；当0d <时，m 恒为正数10．点M(4，m ）关于点N （n, － 3）的对称点为P （6，-9）则（ ） A ．m ＝－3,n ＝10 B ．m ＝3,n ＝10 C ．m ＝－3, n ＝5D ．m =3, n = 5二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
天津市滨海新区2023-2024学年高一下学期期末检测数学试卷(含答案)
天津市滨海新区2023-2024学年高一下学期期末检测数学学科本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间100分钟．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号写在答题纸上．答卷时，考生务必将答案写在答题纸上，答在试卷上的无效．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷选择题（60分）一、选择题：本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填入答题纸中的答题栏内．1．若复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数（ ）A ．B ．0C ．1D ．22．下列说法正确的是（ ）A ．三点确定一个平面B ．四边形确定一个平面C ．三角形确定一个平面D ．一条直线和一个点确定一个平面3．某校高一数学备课组老师的年龄（单位：岁）分别为：35，36，37，38，40，41，51，51，52，54，56，59，则该组数据的极差为（ ）A ．53B ．52C ．51D ．244．在中，若，则（ ）A ．B ．C ．10D ．5．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，用表示结果，记事件为“所得点数之和小于4”，则事件的概率为（ ）A．B ．C ．D ．6．已知一个圆锥的底面半径为1，母线长为4，则圆锥的侧面展开图的圆心角为（ ）A ．B ．C ．D ．7．从装有2个红球、1个黑球的袋中任取2个球，若事件为“所取的2个球中恰有1个黑球”，则与事件对立的事件是（ ）A ．所取的2个球中至多有一个是黑球B ．所取的2个球中恰有1个黑球1个红球C ．所取的2个球都是红球D ．所取的2个球中至少有一个红球8．某校组织“交通安全”知识测试，随机调查1000名学生，将他们的测试成绩（满分100分）按照分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（）()21i z m m =++-i m =2-ABC △π4,5,6AB BC B ===AB BC ⋅= --(),x y A A 11219536512π3π22π35π6A A [)[)[]50,60,60,70,,90,100A ．图中B ．估计样本数据的第80百分位数为93分C ．若每组数据以所在区间的中点值为代表，则这1000名学生成绩的平均数为80.5分D ．测试成绩低于80分的人数为450人9．已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则10．已知平面向量，则下列说法不正确的是（ ）A ．与共线的单位向量的坐标为或B ．在方向上的投影向量为C ．与垂直的单位向量的坐标为或D ．若向量与向量垂直，则11．已知的三个内角的对边分别为，且满足，则的形状为（）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形12．《九章算术·商功》中有如下问题：“今有堑堵，下广二丈，表一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？答曰：四万六千五百尺”．所谓“堑堵”就是两底面为直角三角形的直棱柱，如图所示的几何体是一个“堑堵”，是的中点，过三点的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，给出下列四个结论：①过三点的平面截该“堑堵”的截面是三角形②该三棱台的表面积为0.001x =,αβ,m n ,m m αβ∥∥αβ∥,m n αα⊥∥m n ⊥,m αβα⊥∥m β⊥,m n n α⊥⊥m α∥()()2,1,4,3a b =-=-b 43,55⎫⎛- ⎪⎝⎭43,55⎫⎛- ⎪⎝⎭b a 115a- a ⎛ ⎝a b λ+ a b + 37λ=ABC △,,A B C ,,a b c cos cos b aA B c--=ABC △12,4,AB BC AA M ===11A C ,,B C M ,,B C M 172+③二面角④三棱锥的外接球的表面积为其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷（90分）二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．13．若复数（是虚数单位），则___________．14．一支羽毛球队有男运动员64人，女运动员56人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为30的样本，如果样本按比例分配，那么男运动员应抽取的人数为___________．15．已知一组样本数据：3，4，4，4，6，6，7，8，8，则该组样本数据的众数为___________，中位数为___________．16．已知一组数据的平均数是3.6，方差是2，则新数据的平均数是___________，方差是___________．17．如图，用斜二测画法画水平放置的的直观图得，其中的面积为，则其直观图中边上的高的长度为___________．18．如图，在四棱锥中，底面是边长为2正方形，底面，为的中点，为底面的中心．（ⅰ）三棱锥的体积为___________；（ⅱ）直线与所成的角为___________．19．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案．河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居1M BC C --M ABC -81π413i1iz +=+i z =12,,,n x x x 122,2,,2n x x x +++ AOB △()45A O B x O y ''''''∠=︒△AOB △2O B '='O B ''A C ''P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD PA E =PA O ABCD A EBD -OE CD中，其中白圈为阳数，黑点为阴数．若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为3的概率为___________．20．在中，，并且满足．（ⅰ）角___________；（ⅱ）若点在线段上（点不与端点重合），延长到，使得，（为常数），则线段的长度为___________．三、解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．21．（本小题满分12分）已知向量满足．（Ⅰ）求向量的数量积；（Ⅱ）求向星夹角的余弦值；（Ⅲ）求的值．22．（本小题满分12分）甲、乙两名同学进行某项体能测试，甲同学通过的概率为，乙同学通过的概率为，并且在测试过程中甲、乙两同学互不影响，求下列事件的概率；（Ⅰ）甲、乙两同学都能通过；（Ⅱ）甲、乙两同学恰有一人通过；（Ⅲ）甲、乙两同学中至少有一人通过．23．（本小题满分13分）如图，在棱长均为2的正三棱柱中，为棱的中点．ABC △5,3AB AC ==25CB AB ⋅=A =DBC D ,B C AD P 12AP =43PA mPB m PC ⎫⎛=+- ⎪⎝⎭mCD ,a b ()()2,1,1,3a b ==-,a b a b ⋅,a bθ2a b +2334111ABC A B C -E AC（Ⅰ）求证：直线平面；（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）若为棱上一点，且，求直线与平面所成角的正切值．24．（本小题满分13分）已知的三个内角的对边分别为，且．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若的面积是，求；（Ⅲ）若为边上一点，且满足，，试求的最大值．滨海新区2023-2024学年度第二学期期末检测卷高一年级数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．123456789101112ACDAABCDBCDA 二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．1314．16 15．4，616．5.6，2 17．2 18 19．20．三、解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．说明：解答给出了一种解法供参考，其他解法可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则．1AB ∥1BC E 1BC E ⊥11ACC A M 1A A 114AM AA =BM 1BC E ABC △,,A B C ,,a b c 222b ac bc =-+A ABC △2c b =a D AC cos cos AB BD BA BD AB A BD CDB λ⎫⎛⎪ +=+⎪ ∠⎝⎭a =BD CD +π3725π221．解：（Ⅰ）（Ⅱ）又（Ⅲ）22．解：设“甲通过”，“乙通过”，则“甲没通过”，“乙没通过”．由于两人测试的结果互不影响，所以与相互独立，与，与，与都相互独立．由已知可得，．（Ⅰ）“两人都通过”，由事件的独立性定义，得所以两人都通过的概率为（Ⅱ）“恰好有一人通过”，且与互斥，根据概率的加法公式和事件的独立性定义，得所以甲、乙两人中恰好有一人通过的概率为（Ⅲ）事件“至少有一人通过”，且与两两互斥所以所以两人中至少有一人通过的概率为23解：（Ⅰ）连接交于点，连接．()21131a b ⋅=⨯+⨯-=-a === cos ab a b θ⋅==== ()()()22,121,34,5a b +=+-=-2a b ∴+==A =B =A =B =A B A B AB A B ()()()()2311,,,3434A P A PB B P P ====AB =()()()231342P AB P A P B ==⨯=12AB AB = AB AB ()()()()()()()A A P AB B P AB P B P A P P B A B P =+=+ 211311534346412=⨯+⨯=+=512AB AB AB = ,AB AB AB ()()()()()()151121212P AB AB AB P AB P AB P AB P AB P AB AB =++=+=+= 11121B C 1BC G EG在中，为的中点，为的中点．是的中位线，平面平面平面（Ⅱ）在正三棱柱中，平面平面，在等边中，为的中点，又是平面内的两条相交直线．平面，又平面，平面平面（Ⅲ）连接，和都是直角三角形，且，，，由（Ⅱ）得，平面平面，平面平面，又平面，1AB C △G 1B C E AC EG ∴1AB C △1EG AB ∴∥EG ∈ 11,BC E AB ⊄1BC E1AB ∴∥1BC E111ABC A B C -1CC ⊥ ,ABC EB ⊂ABC 1CC EB∴⊥ABC △E AC AC EB ∴⊥AC EB∴⊥1CC AC 、11ACC A EB ∴⊥11ACC A EB ⊥1BC E ∴1BC E ⊥11ACC A EM AEM △1CC E △12CC AECE AM==11,AEM CC E CC E AEM ∴∠=∠△∽△111ππ,22CC E CEC CEC AEM ∠+∠=∴∠+∠= 1ME C E ∴⊥1BC E ⊥11ACC A 1BC E 111ACC A C E =ME ∈11ACC A平面为直线与平面所成的角．在中，所以直线与平面24．解：（Ⅰ）由余弦定理得，（Ⅱ）由面积公式得，又（Ⅲ）取的中点，则，又为等边三角形ME ∴⊥1BC EEBM ∴△BM 1BC E Rt BME △BE ME ==tan ME EBM BE ∴==△BM 1BCE222cos 2b c a A bc +-=2221cos 222b c a bc A bc bc +-===()π0,,3AA π∈∴=ABC △1sin 2ABC S bc A =△11πsin sin 4223ABC S bc A bc bc ====∴=△222,2,8c b b c =∴== 2226a b c bc a =+-=∴=AD E 2BA BD BE +=()2cos cos AB AC BD AC BA BD AC BE AC AB A BD CDB λ⎫⎛⋅⋅⎪ ∴+⋅=⋅=+⎪ ∠⎝⎭()AC AC λ=-=,BE AC BA BD∴⊥=π,3A ABD =∴ △在中，由余弦定理得，又由基本不等式得，当且仅当时，等号成立的最大值为4．2π3BDC ∴∠=BCD △2222cos a BD CD BD CD BDC =+-⋅⋅∠2222()12a BD CD BD CD BD CD BD CD =++⋅=+-⋅=222()3()12244BD CD BD CD BD CD BD CD +++⎫⎛⋅≤=≤ ⎪⎝⎭BD CD =4BD CD ∴+≤BD CD ∴+。
2022-2023学年天津市部分区高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年天津市部分区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．某校举行演讲比赛，9位评委分别给出一名选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉一个最低分和一个最高分，得到7个有效评分，则这7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（ ） A ．平均数B ．众数C ．中位数D ．方差2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（ ） A ．正方形的直观图是正方形 B ．矩形的直观图是矩形C ．菱形的直观图是菱形D ．平行四边形的直观图是平行四边形3．已知向量a →=(−1，1)，b →=(1，−2)，则a →⋅b →=（ ） A ．﹣3B ．﹣1C ．2D ．（﹣1，﹣2）4．若i 为虚数单位，则1−i 1+i=（ ）A ．iB ．﹣iC ．1D ．﹣15．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A ＝“第一枚硬币正面朝上”，事件B ＝“第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是（ ） A ．A 与B 互为对立事件 B ．P （A ）＝P （B ）C ．A 与B 相等D ．A 与B 互斥6．将一个棱长为1cm 的正方体铁块磨成一个球体零件，则能制作的最大零件的体积为（ ） 注：球的体积V =43πR 3，其中R 为球的半径． A ．π6cm 3B ．√2π3cm 3 C ．√3π2cm 3 D ．π3cm 37．在△ABC 中，角A ，BC ，的对边分别为a ，b ，c ．若b ＝2，A ＝45°，C ＝75°，则a 的值为（ ） A ．2√2B ．23√6C ．√6D ．43√38．甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人的能荣获一等奖的概率分别为23和34，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为（ ） A ．34B ．23C ．57D ．5129．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的为（ ） A ．若n ⊥α，n ⊥β，则α⊥βB ．若m ∥n ，m ∥β，则n ∥βC ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βD ．若m ∥n ，n ⊥β，则m ⊥β10．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，∠A ＝60°．若P ，Q 分别为边AB ，AC 上的点，且满足AP →=λAB →，AQ →=(1−λ5)AC →，则BQ →⋅CP →的最大值为（ ） A ．−8615B ．−295C ．−234D ．﹣6二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11．若事件A 与B 互斥，且P （A ）＝0.5，P （B ）＝0.3，则P （A ∪B ）＝ ．12．已知向量a →=(4，2)，b →=(m ，3)，若存在实数λ，满足a →=λb →，则实数m 的值为 ． 13．某工厂对一批产品的长度（单位：mm ）进行检验，将抽查的产品所得数据分为五组，整理后得到的频率分布直方图如图所示，若长度在20mm 以下的产品有30个，则长度在区间[20，30）内的产品个数为 ．14．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若AB =AD =12AA 1，E 是棱DD 1的中点，则直线A 1C 1与AE 所成的角的大小为 ．15．在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝3，AC =√3．若CM →=2MB →，AN →=λAC →+AB →(λ∈R)，且AN →⋅AM →=8，则λ的值为 ．三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（12分）已知i 是虚数单位，复数z ＝（m 2﹣3m ）+（m 2﹣5m +6）i ，m ∈R ． （1）当m ＝1时，求|z |； （2）若z 是纯虚数，求m 的值；（3）若z 在复平面内对应的点位于第二象限，求m 的取值范围．17．（12分）甲、乙两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的成绩（环数）如下： 甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7（1）求甲运动员的样本数据的众数和第85百分位数； （2）分别计算这两位运动员射击成绩的方差；（3）如果选一位成绩稳定的运动员参加比赛，选谁较好？说明理由．注：一组数据x1，x2，…，x n的平均数为x，它的方差为s2=1n[(x1−x)2+(x2−x)2+⋯+(x n−x)2] 18．（12分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=√3b．（1）求A；（2）若a=√7，c＝2，求△ABC的面积．19．（12分）一个袋子中装有标号分别为1，2的2个黑球和标号分别为3，4，5的3个白球，这5个球除标号和颜色外，没有其他差异．（1）若有放回的从中随机摸两次，每次摸出一个球，求第一次摸出黑球且第二次摸出白球的概率；（2）若不放回的从中随机摸出两个球，已知黑球的标号用x表示，白球的标号用y表示．求满足条件y﹣x＞2的概率．20．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，平面ADEF⊥平面ABCD，四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且AD∥BC，∠BAD＝90°，AB=AD=12 BC．（1）求证：AD∥平面BCEF；（2）求证：平面DCE⊥平面ABCD；（3）求直线BE与平面DCE所成的角的正切值．2022-2023学年天津市部分区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．某校举行演讲比赛，9位评委分别给出一名选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉一个最低分和一个最高分，得到7个有效评分，则这7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（ ） A ．平均数B ．众数C ．中位数D ．方差解：根据题意，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分， 7个有效评分与9个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变， 故选：C ．2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（ ） A ．正方形的直观图是正方形 B ．矩形的直观图是矩形C ．菱形的直观图是菱形D ．平行四边形的直观图是平行四边形解：根据题意，依次分析选项：对于A ，正方形的直观图可以是平行四边形，A 错误； 对于B ，矩形的直观图可以是平行四边形，B 错误；对于C ，正方形是特殊的菱形，其直观图不是菱形，C 错误； 对于D ，平行四边形的直观图是平行四边形，D 正确． 故选：D ．3．已知向量a →=(−1，1)，b →=(1，−2)，则a →⋅b →=（ ） A ．﹣3B ．﹣1C ．2D ．（﹣1，﹣2）解：由a →=(−1，1)，b →=(1，−2)，可得：a →⋅b →=−1×1+1×（﹣2）＝﹣3． 故选：A ．4．若i 为虚数单位，则1−i 1+i=（ ）A ．iB ．﹣iC ．1D ．﹣1解：1−i 1+i=(1−i)2(1+i)(1−i)=−2i 2=−i ．故选：B ．5．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A ＝“第一枚硬币正面朝上”，事件B ＝“第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是（ ） A ．A 与B 互为对立事件 B ．P （A ）＝P （B ）C ．A 与B 相等D ．A 与B 互斥解：抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A ＝“第一枚硬币正面朝上”，事件B ＝“第二枚硬币反面朝上”， 事件A 与B 能同时发生，不是互斥事件，不是对立事件，故AD 均错误； P （A ）＝P （B ）=12，故B 正确；事件A 与事件B 不是同一个事件，故C 错误． 故选：B ．6．将一个棱长为1cm 的正方体铁块磨成一个球体零件，则能制作的最大零件的体积为（ ） 注：球的体积V =43πR 3，其中R 为球的半径． A ．π6cm 3B ．√2π3cm 3C ．√3π2cm 3D ．π3cm 3解：正方体的棱长为1，要使制作成球体零件的体积最大，则球内切于正方体， 则球的直径为1cm ，半径为12cm ，∴可能制作的最大零件的体积为43π×(12)3=16πcm 3．故选：A ．7．在△ABC 中，角A ，BC ，的对边分别为a ，b ，c ．若b ＝2，A ＝45°，C ＝75°，则a 的值为（ ） A ．2√2B ．23√6C ．√6D ．43√3解：因为b ＝2，A ＝45°，C ＝75°， 所以B ＝180°﹣A ﹣C ＝60°，由正弦定理a sinA =bsinB，可得a =b⋅sinA sinB =2×√22√32=2√63．故选：B ．8．甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人的能荣获一等奖的概率分别为23和34，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为（ ） A ．34B ．23C ．57D ．512解：根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得， 则所求概率是23（1−34）+34（1−23）=512，故选：D ．9．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的为（ ） A ．若n ⊥α，n ⊥β，则α⊥β B ．若m ∥n ，m ∥β，则n ∥β C ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βD ．若m ∥n ，n ⊥β，则m ⊥β解：对于A ，若n ⊥α，n ⊥β，则α∥β，故A 错误． 对于B ，若m ∥n ，m ∥β，则n ∥β或n ⊂β，故B 错误； 对于C ，若m ∥α，m ∥β，则α∥β或α与β相交，故C 错误；对于D ，若m ∥n ，n ⊥β，由直线与平面垂直的性质可得m ⊥β，故D 正确． 故选：D ．10．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，∠A ＝60°．若P ，Q 分别为边AB ，AC 上的点，且满足AP →=λAB →，AQ →=(1−λ5)AC →，则BQ →⋅CP →的最大值为（ ） A ．−8615B ．−295C ．−234D ．﹣6解：∵BQ →=BA →+AQ →=(1−λ5)AC →−AB →，CP →=AP →−AC →=λAB →−AC →，AB →⋅AC →=|AB →||AC →|cosA =2×3×12=3，∴BQ →⋅CP →=[(1−λ5)AC →−AB →]⋅(λAB →−AC →)=λ(1−λ5)AC →⋅AB →−(1−λ5)AC →2−λAB →2+AB →⋅AC → =3λ(1−λ5)−9(1−λ5)−4λ+3 =−35λ2+45λ−6 =−35(λ−23)2−8615，∵P ，Q 分别为边AB ，AC 上的点，且满足AP →=λAB →，AQ →=(1−λ5)AC →， ∴{0≤λ≤10≤1−λ5≤1，∴0≤λ≤1，∴当λ=23时，BQ →⋅CP →有最大值为−8615．故选：A ．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11．若事件A 与B 互斥，且P （A ）＝0.5，P （B ）＝0.3，则P （A ∪B ）＝ 0.8 ．解：∵事件A 与B 互斥，∴P （A ∪B ）＝P （A ）+P （B ）＝0.5+0.3＝0.8． 故答案为：0.8．12．已知向量a →=(4，2)，b →=(m ，3)，若存在实数λ，满足a →=λb →，则实数m 的值为 6 ． 解：∵a →=λb →，∴（4，2）＝（m λ，3λ），∴{mλ=43λ=2，解得{m =6λ=23． 故答案为：6．13．某工厂对一批产品的长度（单位：mm ）进行检验，将抽查的产品所得数据分为五组，整理后得到的频率分布直方图如图所示，若长度在20mm 以下的产品有30个，则长度在区间[20，30）内的产品个数为 55 ．解：长度在20mm 以下的频率为5×（0.02+0.04）＝0.3， 所以抽查的产品总数为300.3=100，所以长度在区间[20，30）内的产品个数为5×（0.08+0.03）×100＝55． 故答案为：55．14．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若AB =AD =12AA 1，E 是棱DD 1的中点，则直线A 1C 1与AE 所成的角的大小为π3．解：连接AC ，则A 1C 1∥AC ，连接AE 、EC ，则异面直线A 1C 1与AE 所成的角的平面角为∠EAC ， 设AB ＝t ，又AB =AD =12AA 1，E 是棱DD 1的中点， 则AE ＝AC ＝EC =√2t ， 则△AEC 为等边三角形， 即∠EAC =π3，即直线A 1C 1与AE 所成的角的大小为π3．故答案为：π3．15．在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝3，AC =√3．若CM →=2MB →，AN →=λAC →+AB →(λ∈R)，且AN →⋅AM →=8，则λ的值为 2 ．解：根据题设，建立如图所示坐标系， 则A （0，0），B （0，3），C （√3，0）， 由CM →=2MB →，可得M （√33，2）， ∴AN →=λAC →+AB →=（√3λ，3）， 又AN →⋅AM →=8， 则（√3λ，3）•（√33，2）＝λ+6＝8， 解得λ＝2． 故答案为：2．三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（12分）已知i 是虚数单位，复数z ＝（m 2﹣3m ）+（m 2﹣5m +6）i ，m ∈R ． （1）当m ＝1时，求|z |；（2）若z 是纯虚数，求m 的值；（3）若z 在复平面内对应的点位于第二象限，求m 的取值范围． 解：（1）当m ＝1时，z ＝﹣2+2i ， 所以|z|=√(−2)2+22=2√2；（2）若复数是纯虚数，则{m 2−3m =0m 2−5m +6≠0，解得{m =0或m =3m ≠2且m ≠3，所以m ＝0；（3）复数z 在复平面内对应的点位于第二象限 则{m 2−3m ＜0m 2−5m +6＞0；即{0＜m ＜3m ＜2或m ＞3，所以实数m 的取值范围是（0，2）．17．（12分）甲、乙两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的成绩（环数）如下： 甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7（1）求甲运动员的样本数据的众数和第85百分位数； （2）分别计算这两位运动员射击成绩的方差；（3）如果选一位成绩稳定的运动员参加比赛，选谁较好？说明理由．注：一组数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，它的方差为s 2=1n[(x 1−x)2+(x 2−x)2+⋯+(x n −x)2] 解：（1）根据题意，把甲的数据按从小到大排列如下：4 4 5 7 7 7 8 9 9 10， 则甲的数据里的众数是7，因为85%×10＝8.5，所以第9个数据是第85百分位数，即第85百分位数为9； （2）x 甲=110(7+8+7+9+5+4+9+10+7+4)=7， 则S 2甲=110[（7﹣7）2+…+（4﹣7）2]＝4；x 乙=110(5+6+6+7+7+7+7+8+8+9)=7， 则S 2乙=110[（9﹣7）2+…+（7﹣7）2]＝1.2； （3）由（2）结论：x 甲=x 乙＝7，但有S 2甲＞S 2乙，即甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小故乙的成绩较稳定，所以选乙参加比赛．18．（12分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=√3b．（1）求A；（2）若a=√7，c＝2，求△ABC的面积．解：（1）因为2a sin B=√3b，由正弦定理可得2sin A sin B=√3sin B，因为sin B≠0，所以sin A=√32，因为△ABC是锐角三角形，所以A=π3；（2）因为a=√7，c＝2，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2ac cos A，整理可得：b2﹣2b﹣3＝0，解得b＝3，所以S△ABC=12bc sin A=12×3×2×√32=3√32．19．（12分）一个袋子中装有标号分别为1，2的2个黑球和标号分别为3，4，5的3个白球，这5个球除标号和颜色外，没有其他差异．（1）若有放回的从中随机摸两次，每次摸出一个球，求第一次摸出黑球且第二次摸出白球的概率；（2）若不放回的从中随机摸出两个球，已知黑球的标号用x表示，白球的标号用y表示．求满足条件y﹣x＞2的概率．解：（1）记摸一次得到黑球的事件为A，得到白球的事件为B，则P(A)=25，P(B)=35，又事件A与B相互独立，所以P（AB）＝P（A）P（B）=25×35=625；（2）从中摸两个球，所得样本空间为Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）}，共包含10个样本点，满足条件y﹣x＞2的样本点有（1，4），（1，5），（2，5）共3个，满足条件y﹣x＞2的事件的概率为310．20．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，平面ADEF⊥平面ABCD，四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且AD∥BC，∠BAD＝90°，AB=AD=12 BC．（1）求证：AD∥平面BCEF；（2）求证：平面DCE⊥平面ABCD；第11页（共11页） （3）求直线BE 与平面DCE 所成的角的正切值．（1）证明：因为AD ∥BC ，AD ⊄平面BCEF ，BC ⊂平面BCEF ，所以AD ∥平面BCEF ．（2）证明：因为四边形ADEF 为正方形，所以ED ⊥AD ，又平面ADEF ⊥平面ABCD ，ED ⊂平面ADEF ，平面ADEF ∩平面ABCD ＝AD ， 所以ED ⊥平面ABCD ，因为ED ⊂平面DEC ，所以平面DCE ⊥平面ABCD ．（3）解：连接BD ，设AB ＝1，因为∠BAD =90°，AB =AD =12BC ，所以BD =√2，∠ADB ＝45°，BC ＝2， 因为AD ∥BC ，所以∠DBC ＝45°，在△BCD 中，由余弦定理得，DC 2＝BD 2+BC 2﹣2BD ×BC ×cos45°＝2+4﹣2×√2×2×√22=2， 所以DC =√2，所以DC 2+BD 2＝BC 2，即BD ⊥DC ，由（2）知ED ⊥平面ABCD ，则BD ⊥ED ，而DE ∩DC ＝D ，所以BD ⊥平面DCE ，所以∠BED 就是直线BE 与平面DCE 所成的角，在Rt △BDE 中，tan ∠BED =BD DE =√2，所以直线BE 与平面DCE 所成的角的正切值为√2．。
天津市第一中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题
( A2, B2 ),( A3, B1 ), ( A3, B2 ), ( B1, B2 )}，
共 10 个样本点，且每个样本点出现的可能性相等，
记事件
A
表示“2
件都是一级品”，包含
3
个样本点，则
P
(
A)
=
3 10
.
记事件
B
表示“2
件都是二级品”，包含
1
个样本点，则
P
(
B
)
=
1 10
.
记事件
C
表示“2
件中
1
件一级品、1
件二级品”，包含
6
个样本点，则
P(C)
=
6 10
=
3 5
.
事件
A，B，C
两两互斥，所以
P(B)
+
P(C)
=
P(B
U
C)
=
7 10
，
又由 B È C 表示“至少有 1 件二级品”. 故选：D. 5．C 【分析】根据学生的成绩都在 50 分至 100 分之间的频率和为 1 可求得 x 值，以此判断 A； 计算成绩在区间[70，80)的学生频率，然后可计算该区间学生数，以此判断 B；按照频率频 率分布直方图中平均数计算公式计算可判断 C；按照频率分布直方图中百分位数的计算方 法计算可判断 D. 【详解】定义 A：根据学生的成绩都在 50 分至 100 分之间的频率和为 1，可得
则 m // n ；③若 m / /a ， m Ì b ，a I b = n ，则 m // n ；④若a ^ g ， b ^ g ，a I b = m ，
则 m ^ g .其中所有正确命题的编号是（ ）
2022-2023学年天津市高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年天津市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.本大题共8小题，每小题4分，共32分.1．为帮助乡村学校的学生增加阅读、开阔视野、营造更浓厚的校园读书氛围，南开中学发起了“把书种下，让梦发芽”主题捐书活动，现拟采用按年级比例分层抽样的方式随机招募12名志愿者，已知我校高中部共2040名学生，其中高一年级680名，高二年级850名，高三年级510名，那么应在高三年级招募的志愿者数目为（）A．3B．4C．5D．6解：该校高中部共2040名学生，其中高一年级680名，高二年级850名，高三年级510名，采用按年级比例分层抽样的方式随机招募12名志愿者，则应在高三年级招募的志愿者数目为12×5102040=3．故选：A．2．一组数据：16，21，23，26，33，33，37，37的第85百分位数为（）A．34B．35C．36D．37解：0.85×8＝6.8，则一组数据：16，21，23，26，33，33，37，37的第85百分位数为：37．故选：D．3．已知三个不同的平面α，β，γ和两条不重合的直线m，n，则下列四个命题中正确的是（）A．若m∥α，α∩β＝n，则m∥nB．若α∩β＝n，m⊂α，m⊥n，则α⊥βC．若α⊥β，γ⊥β，则α∥γD．若α∩β＝m，m⊥γ，则α⊥γ解：对于A，m∥α，α∩β＝n，则m∥n，错误，原因是β不一定是经过直线m的平面；故A错误；对于B，若α∩β＝n，m⊂α，m⊥n，则α⊥β错误，如下图所示，原因是由题设条件无法推出一个平面经过另一个平面的垂线，故无法判定是否α与β一定垂直，故B错误；对于C ，若α⊥β，γ⊥β，则α∥γ，错误，例如教室的墙角，不妨设α为东墙面，γ为北墙面，β 为地面，满足α⊥β，γ⊥β，但α与γ相交，故C 错误；对于D ，因为α∩β＝m ，m ⊥γ，由面面垂直的判定定理得：α⊥γ，故D 正确． 故选：D ．4．从装有4个白球和3个红球的盒子里摸出3个球，则以下哪个选项中的事件A 与事件B 互斥却不互为对立（ ）A ．事件A ：3个球中至少有1个红球；事件B ：3个球中至少有1个白球 B ．事件A ：3个球中恰有1个红球；事件B ：3个球中恰有1个白球C ．事件A ：3个球中至多有2个红球；事件B ：3个球中至少有2个白球D ．事件A ：3个球中至多有1个红球；事件B ：3个球中至多有1个白球解：对于A ，事件A 与事件B 可能同时发生，例如摸出2个白球和1个红球，所以事件A 与事件B 不是互斥事件，故A 错误；对于B ，事件A 与事件B 不可能同时发生，但不是一定有一个发生，还有可能是3个白球或3个红球，所以事件A 与事件B 互斥却不互为对立，故B 正确；对于C ，事件A 与事件B 可能同时发生，例如摸出2个白球和1个红球，所以事件A 与事件B 不是互斥事件，故C 错误；对于D ，事件A 与事件B 不可能同时发生，但必有一个发生，所以事件A 与事件B 是互斥事件也是对立事件，故D 错误． 故选：B ．5．为弘扬民族精神、继承传统文化，某校高二年级举办了以“浓情端午，粽叶飘香”为主题的粽子包制大赛．已知甲、乙、丙三位同学在比赛中成功包制一个粽子的概率分别为12，34，25，且三人成功与否互不影响，那么在比赛中至少一人成功的概率为（ ） A ．1720B ．3140C ．3740D ．1920解：由题意，甲、乙、丙三位同学在比赛中成功包制一个粽子的概率分别为12，34，25， 则甲、乙、丙三位同学在比赛中不能成功包制一个粽子的概率分别为12，14，35．则没有一人成功的概率为12×14×35=340，∴至少一人成功的概率为1−340=3740． 故选：C ．6．如图，A ，B 是以CD 为直径的半圆圆周上的两个三等分点，AN →=23AB →，点M 为线段AC 中点，则DM →=（ ）A ．13DC →+12DN →B ．12DC →+23DN →C ．12DC →+13DN →D ．23DC →+12DN →解：由圆的几何性质知，2AB ＝CD 且AB ∥CD ，因为AN →=23AB →，点M 为线段AC 中点，所以DM →=12(DC →+DA →)=12DC →+12(DN →+NA →)=12DC →+12DN →+12×23BA →=12DC →+12DN →+13BA →=12DC →+12DN →+13×12DC →=23DC →+12DN →． 故选：D ．7．如图，已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点E 在棱A 1B 1（不含端点）上运动，现有如下命题： ①平面AA 1D 1D 内不存在直线与DE 垂直； ②平面A 1DE 与平面ABCD 所成的锐二面角为π4；③当点E 运动到棱A 1B 1的中点时，线段A 1C 上存在点P ，使得BC ∥平面AEP ； ④设点P 为线段A 1C 的中点，则三棱锥E ﹣PBC 1的体积为定值． 其中真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解：对①，如图，易知DE 在平面AA 1D 1D 内的射影为A 1D ，而AD1⊥A1D，∴根据三垂线定理可知AD1⊥DE，∴①错误；对②，如图，由正方体的性质易知：平面A1DE即为对角面A1DCB1，又易知DC⊥平面B1CB，∴平面A1DE与平面ABCD所成的锐二面角即为∠B1CB=π4，∴②正确；对③，如图，当点E运动到棱A1B1的中点时，设AE∩A1B＝F，则易知F为线段A1B上靠近A1的三等分点，∴在A1C上取靠近A1的三等分点P，连接FP，则FP∥BC，连接PE，P A，又BC⊄平面AEP，FP⊂平面AEP，∴BC∥平面AEP，∴③正确；对④，如图，当点P为线段A1C的中点时，由正方体的性质易知：平面PBC 1即为对角面ABC 1D 1， 又易知A 1B 1∥对角面ABC 1D 1，∴E 到平面ABC 1D 1的距离为定值，又三角形PBC 1的面积也为定值， ∴三棱锥E ﹣PBC 1的体积为定值，∴④正确． 故②③④为真命题，共计3个． 故选：C ．8．月明天是我校一位登山爱好者，某天傍晚，她登上一座山尖（图中点A 处），刚好望到另一座远山，瞬间想起《送别》中“夕阳山外山”的歌词，在这诗意的时刻，她正眺望到远山上一座凉亭（位于点B 处），于是她想测算出凉亭到那座山顶（点C 处）的距离，她在点A 处利用测角仪器测得点B 的俯角为5°，点C 的仰角为40°，此后，她沿山坡下行100米至点D 处，测得点A ，B ，C 的仰角分别为80°，25°，55°，根据这些数据，明天同学计算得到了凉亭到山顶的距离BC ＝（ ）A ．50(√3+1)米B ．50(√3−1)米C ．50(√6+√2)米D ．50(√6−√2)米解：由题意知，AD ＝100，∠BAC ＝45°，∠BAD ＝75°，∠ADC ＝45°，∠BDC ＝30°， 在△ABD 中，∠ADB ＝∠ADC +∠BDC ＝75°，∠ABD ＝180°﹣（∠BAD +∠ADB ）＝30°， 由正弦定理知，AB sin∠ADB=AD sin∠ABD，所以AB =100⋅sin75°sin30°=100sin(45°+30°)sin30°=100⋅√22⋅(√32+12)12=50√2（√3+1），在△ACD 中，∠ACD ＝180°﹣（∠BAC +∠BAD +∠ADC ）＝15°， 由正弦定理知，AC sin∠ADC=AD sin∠ACD，所以AC =100sin45°sin15°=100sin45°sin(45°−30°)=100⋅√22√22(√32−12)=100（√3+1），在△ABC 中，由余弦定理知，BC 2＝AB 2+AC 2﹣2AB •AC cos ∠BAC ＝5000（√3+1）2， 所以BC ＝50√2（√3+1）＝50（√6+√2）米． 故选：C ．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分.9．i 为虚数单位，若复数z =2i+1i−2，则|z |＝ 1 ． 解：z =2i+1i−2， 则|z |=|1+2i −2+i |=|1+2i||−2+i|=√22√(−2)+1=1．故答案为：1．10．已知正四面体ABCD 的棱长为1，则直线AB 与平面BCD 所成角的余弦值为 √33．解：如图所示：在正四面体ABCD 中，点A 在等边△BCD 的投影为△BCD 的中心O ， 则AB 与平面BCD 所成角为∠ABO ， 因为正四面体ABCD 的棱长为1， 所以BE =√32，BO =23⋅BE =√33， 所以cos ∠ABO =BOAB =√33．故答案为：√33．11．已知向量a →=（4，3），向量a →在向量b →上的投影向量c →=（2，4），则|a →−b →|的最小值为 √5 ．解：向量a →在向量b →上的投影向量c →=（2，4）， 则b →∥c →，可设b →=λc →=（2λ，4λ），a →=（4，3），则a →−b →=(4−2λ，3−4λ)，故|a →−b →|2=（4﹣2λ）2+（3﹣4λ）2＝20（λ﹣1）2+5， 当λ＝1时，|a →−b →|的最小值为√5． 故答案为：√5．12．在5袋牛奶中，有2袋已经过了保质期，从中任取2袋，则取到的全是未过保质期的牛奶的概率为310．解：记2袋已经过了保质期的牛奶为A ，B ，3袋未过保质期的牛奶为a ，b ，c ，从5袋牛奶中任取2袋，所有情况为：AB ，Aa ，Ab ，Ac ，Ba ，Bb ，Bc ，ab ，ac ，bc ，共10种情况， 其中全是未过保质期的牛奶的情况为：ab ，ac ，bc ，共3种情况， 所以所求概率为310．故答案为：310．13．设三角形ABC 是等边三角形，它所在平面内一点M 满足AM →=13AB →+23AC →，则向量AM →与BC →夹角的余弦值为 √714．解：设△ABC 边长为1，AM →=13AB →+23AC →，则|AM →|2＝（13AB →+23AC →）2=19AB →2+49AB →⋅AC →+49AC →2=19+49×1×1×cos60°+49=79， 所以|AM →|=√73，因为AM →⋅BC →=(13AB →+23AC →)(AC →−AB →)=−13AB →2+23AC →2−13AB →⋅AC →=−13+23−13×1×1×cos60°=16，设向量AM →与BC →夹角为θ， 则cos θ=AM →⋅BC →|AM →||BC →|=16√73=√714．故答案为：√714． 14．为迎接我校建校120周年校庆，数学学科在八角形校徽中生发灵感，设计了一枚“立体八角形”水晶雕塑，寓意南开在新时代中国“保持真纯初心，骏骏汲汲前行”，以下为该雕塑的设计图及俯视图，它由两个中心重合的正四棱柱组合而成，其中一个正四棱柱可看作由另一个正四棱柱旋转45°而成，已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，设该雕塑的表面积为S 1，该雕塑内可容纳最大球的表面积为S 2，该雕塑外接球表面积为S 3，则S 1＝1189，S 2：S 3＝ 1：6 ．解：由题意，该雕塑的表面积是16个矩形及两个正方形与8个等腰直角三角形的面积的和，所以S 1=13×2×16+2×1×1+8×12×13×13=1189； 该雕塑内可容纳最大球的半径为12，表面积为S 2=4π×(12)2=π，该雕塑外接球的半径为√12+(22)2=√62，表面积为S 3=4π×(√62)2=6π，所以S 2：S 3＝1：6． 故答案为：1189，1：6．三、解答题：本大题共3小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（14分）某校从高一年级学生中随机抽取40名，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，所有成绩均为不低于40分的整数）分为6组：[40，50），[50，60），…，[90，100]，绘制出如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求出图中实数a 的值；（Ⅱ）若该校高一年级共有学生640名，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数； （Ⅲ）若从成绩来自[40，50）和[90，100]两组的学生中随机选取两名学生： （i ）写出该试验的样本空间：（ii ）求这两名学生数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．解：（Ⅰ）因为图中所有小矩形的面积之和等于1， 所以10×（0.005+0.01+0.02+a +0.025+0.01）＝1， 解得a ＝0.03；（Ⅱ）根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为1﹣10×（0.005+0.01）＝0.85， 由于该校高一年级共有学生640名，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数约为640×0.85＝544；（Ⅲ）成绩在[40，50）分数段内的人数为40×0.05＝2，成绩在[90，100]分数段内的人数为40×0.1＝4，则记在[40，50）分数段的两名同学为A 1，A 2，在[90，100]分数段内的同学为B 1，B 2，B 3，B 4， （i ）从这6名学生中随机抽取2人样本空间Ω＝{（A 1，A 2），（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 1，B 3），（A 1，B 4），（A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 2，B 3），（A 2，B 4），（B 1，B 2），（B 1，B 3），（B 1，B 4），（B 2，B 3），（B 2，B 4），（B 3，B 4）}；（ii ）如果2名学生的数学成绩都在[40，50）分数段内或都在[90，100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10；如果一个成绩在[40，50）分数段内，另一个成绩在[90，100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10，则所取2名学生的数学成绩之差的绝对值不大10的取法有（A 1，A 2），（B 1，B 2），（B 1，B 3），（B 1，B 4），（B 2，B 3），（B 2，B 4），（B 3，B 4），共7种取法， 所以所求概率为P =715． 16．（15分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a cosA=b+c cosB+cosc．（Ⅰ）求A ； （Ⅱ）已知a ＝3， （i ）若△ABC 的面积为√32，求△ABC 的周长： （ii ）求△ABC 周长的取值范围．解：（Ⅰ）由题意及正弦定理可得：sinAcosA =sinB+sinCcosB+cosC，整理可得：sin A cos B﹣cos A sin B＝sin C cos A﹣cos C sin A，即sin（A﹣B）＝sin（C﹣A），在三角形中，可得A﹣B＝C﹣A，即2A＝B+C＝π﹣A，解得A=π3；（Ⅱ）（i）因为S△ABC=12bc sin A=12bc•√32=√32，可得bc＝2，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝（b+c）2﹣3bc，而a＝3，即（b+c）2＝15，解得b+c=√15，所以三角形的周长为a+b+c＝3+√15；（ii）a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝（b+c）2﹣3bc，而a＝3，所以（b+c）2＝a2+3bc≤9+3•（b+c2）2，当且仅当b＝c时取等号，解得b+c≤6，而b+c＞a＝3，所以b+c∈（3，6]．所以三角形的周长为a+b+c∈（6，9]．17．（15分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝AD＝AA1，过A1作底面的垂线，垂足在线段AC上，点M，N分别为棱AB和C1D1的中点．（Ⅰ）证明D，M，B1，N四点共面，且AD1∥平面DMB1N；（Ⅱ）证明直线A1C与平面DMB1N不垂直；（Ⅲ）若AC1⊥平面A1BD，求∠BAA1的大小．（Ⅰ）证明：取A1B1的中点E，连接EM，ED1，因为点M，N分别为棱AB和C1D1的中点，所以D1N∥B1E，D1N＝B1E，DD1∥EM，DD1＝EM，所以四边形B1ED1N和四边形DD1EM是平行四边形，第11页（共11页） 所以B 1N ∥D 1E ∥DM ，所以D ，M ，B 1，N 四点共面，因为D 1N ∥AM ，D 1N ＝AM ，所以四边形D 1AMN 是平行四边形，所以AD 1∥MN ，又AD 1⊄平面DMB 1N ，MN ⊂平面DMB 1N ，所以AD 1∥平面DMB 1N ．（Ⅱ）证明：因为过A 1作底面的垂线，垂足在线段AC 上，且垂线在平面ACC 1A 1上， 所以平面ACC 1A 1⊥平面ABCD ，所以A 1C 在底面ABCD 上的投影为AC ，假设直线A 1C 与平面DMB 1N 垂直，因为DM ⊂平面DMB 1N ，所以A 1C ⊥DM ，所以AC ⊥DM ，因为底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝AD ，所以四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，所以点M 与点B 重合，这与题意相矛盾，故假设不成立，即直线A 1C 与平面DMB 1N 不垂直．（Ⅲ）解：若AC 1⊥平面A 1BD ，因为A 1D ⊂平面A 1BD ，所以AC 1⊥A 1D ，因为AC 1→=AB →+AD →+AA 1→，A 1D →=AD →−AA 1→，所以AC 1→•A 1D →=（AB →+AD →+AA 1→）•（AD →−AA 1→）=AB →⋅AD →−AB →⋅AA 1→+AD →2−AD →⋅AA 1→+AD →⋅AA 1→−AA 1→2=AB →⋅AD →−AB →⋅AA 1→=|AB →|2cos60°−|AB →|2cos ∠BAA 1＝0，所以cos ∠BAA 1=12，又∠BAA 1∈（0°，90°），所以∠BAA 1＝60°．。
2022-2023学年天津市西青区高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年天津市西青区高一（下）期末数学试卷一．选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．复平面内，复数z =21−i对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（ ） A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面3．已知△ABC 是等边三角形，边长为2，则满足AB →⋅BC →=（ ） A ．2B ．﹣2C ．√3D ．−√34．如图正方形OABC 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积（ ）A ．2√2B ．1C ．√2D ．2（1+√2）5．从两名男生和两名女生中任意抽取两人，分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，在以上两种抽样方式下，抽到的两人都是女生的概率分别为（ ） A ．14，12B ．12，16C ．14，16D ．16，146．有关一组8个数据2，6，8，3，3，3，7，8 ①这组数据的中位数是3； ②这组数据的方差是112；③这组数据的众数是8；④这组数据的第75百分位数是7.5． 以上四个结论正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1=√3，则异面直线AD 1与DB 所成角的余弦值为（ ） A ．√24B ．√25C ．√26D ．√288．抛掷一枚质地均匀骰子2次，设事件A ＝“第一次骰子正面向上的数字为2”，设事件B ＝“两次骰子正面向上的数字之和为7”，设事件C ＝“两次骰子正面向上的数字之和为5”，则（ ） A ．事件A 和事件C 互斥B ．事件B 和事件C 互为对立 C ．事件A 和事件B 相互独立D ．事件A 和事件C 相互独立9．某单位对全体职工的某项指标进行调查，按性别进行分层随机抽样，得到样本职工该项指标数据，分别计算他们的数据平均分和方差，结果如下：则以此估计总体的方差为（ ） A ．3.56B ．2C ．0.2D ．3.2510．第四届数字中国建设峰会将于2021年4月25日至26日在福州举办，福州市以此为契机，加快推进“5G +光网”双千兆城市建设．如图，某县区域地面有四个5G 基站A ，B ，C ，D ．已知C ，D 两个基站建在江的南岸，距离为10√3km ；基站A ，B 在江的北岸，测得∠ACB ＝75°，∠ACD ＝120°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，则A ，B 两个基站的距离为（ ）A ．10√2kmB ．10√3kmC ．15kmD ．10√5km二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．把答案写在答题纸相应的横线上．11．复数（m 2﹣5m +6）+（m 2﹣3m ）i 是纯虚数，则实数m ＝ ．12．已知e →为一个单位向量，a →与e →的夹角为45°，若a →在e →上的投影向量为2e →，则|a →|= ． 13．已知△ABC 是边长为3的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上．若球心O 到平面ABC 的距离为1，则球O 的表面积为 ．14．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →•BC →的值为 ．15．2009年9月，经联合国教科文组织批准，中国传统节日端午节正式列入世界非物质文化遗产，同时，端午节成为中国首个入选世界非物质文化遗产的节日．为弘扬中国传统文化，某校在端午节期间组织有关端午节文化知识竞赛活动，某班甲、乙两人组成“粽队”参加竞赛活动，每轮活动由甲、乙各回答一个问题，已知每轮活动中甲、乙答对问题的概率分别为34和23，且每轮活动中甲、乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．则甲在两轮活动中答对1个问题的概率为 ，“粽队”在两轮活动中答对三个问题的概率为 ．16．在体育课上，同学们经常要在单杠上做引体向上运动（如图），假设某同学所受重力为G ，两臂拉力分别为F 1，F 2，若|F 1|＝|F 2|，F 1与F 2的夹角为θ，则以下四个结论中： ①|F 1|的最小值为12|G|；②当θ=π2时，|F 1|=√22|G|； ③当θ=2π3时，|F 1|＝|G |；④在单杠上做引体向上运动时，两臂夹角越大越省力．在以上四个结论中，正确的序号为 ．三．解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且asinC =√3ccosA ． （Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若a =√7，b +c ＝4，求△ABC 的面积．18．（12分）已知向量a →，b →满足a →=(2，3)，|b →|=2√13． （Ⅰ）若a →∥b →，求向量b →的坐标；（Ⅱ）若(a →+b →)⊥(5a →−2b →)，求a →与b →的夹角θ．19．（12分）今年“五一”小长假是继春节之后的第一个较长假期，也是疫情放开后的首个“五一”假期．五一期间各个景区推出了各种丰富多彩的文旅活动，游客纷至沓来，迎来了旅游高峰期．西青区统计局为进一步了解五一期间居民对本区旅游景点服务满意度情况，开展了社情民意电话热线调查，现从本区居民中随机选取了年龄（单位：岁）在[25，50]内的男、女居民各100人，以他们的年龄为样本，得到女居民的频率分布直方图和男居民的年龄频数分布表如下．（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；（Ⅱ）根据频率分布直方图估计样本中女居民年龄的中位数（精确到整数）；（Ⅲ）在上述样本中用分层随机抽样的方法从年龄[25，35）内的女居民中抽取4人，从年龄在[25，35）的男居民中抽取5人，记这9人中年龄在[30，35）内的居民有m人，再从这m人中随机抽取2人．①求人数m的值；②从这m名居民中随机抽取2人进行社情民意调查，写出这个试验的样本空间（用恰当的符号表示）；③从这m名居民中随机抽取2人进行社情民意调查，求社情民意调查中抽取的这2人是异性的概率．20．（14分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA＝AD＝1，M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N．（Ⅰ）求证：SB∥平面ACM；（Ⅱ）求证：SC⊥平面AMN；（Ⅲ）求直线AC与平面AMN所成角的余弦值．2022-2023学年天津市西青区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．复平面内，复数z =21−i对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解：复数21−i=2(1+i)(1−i)(1+i)=1+i∴复数的在复平面内的对应点（1，1）． 在复平面内，复数21−i对应的点位于第一象限．故选：A ．2．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（ ） A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面解：α内有无数条直线与β平行，不一定有α∥β，也可能相交，故A 错误； α内有两条相交直线与β平行，则α∥β，反之成立，故B 正确； α，β平行于同一条直线，不一定有α∥β，也可能相交，故C 错误； α，β垂直于同一平面，不一定有α∥β，也可能相交，故D 错误． 故选：B ．3．已知△ABC 是等边三角形，边长为2，则满足AB →⋅BC →=（ ） A ．2B ．﹣2C ．√3D ．−√3解：AB →⋅BC →=|AB →||BC →|cos(π−∠ABC)=2×2×（﹣cos60°）=4×(−12)=−2． 故选：B ．4．如图正方形OABC 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积（ ）A ．2√2B ．1C ．√2D ．2（1+√2）解：由题意正方形OABC 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图， 所以OB =√2，对应原图形平行四边形的高为：2√2， 所以原图形的面积为：1×2√2=2√2． 故选：A ．5．从两名男生和两名女生中任意抽取两人，分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，在以上两种抽样方式下，抽到的两人都是女生的概率分别为（ ） A ．14，12B ．12，16C ．14，16D ．16，14解：将两名男生编号为a ，b ，两名女生编号1，2， 记A ＝“抽到的两人都是女生”，从两名男生和两名女生中任意抽取两人，在有放回简单随机抽样方式下的样本空间为：Ω1＝{（a ，a ），（a ，b ），（a ，1），（a ，2），（b ，a ），（b ，b ），（b ，1），（b ，2），（1，a ），（1，b ），（1，1），（1，2），（2，a ），（2，b ），（2，1），（2，2）}，共16个样本点， 其中A ＝{（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）}，有4个样本点， 所以P(A)=416=14， 在无放回简单随机抽样方式下的样本空间为：Ω2＝{（a ，b ），（a ，1），（a ，2），（b ，a ），（b ，1），（b ，2），（1，a ），（1，b ），（1，2），（2，a ），（2，b ），（2，1）}，共12个样本点，其中A ＝{（1，2），（2，1）}，有2个样本点， 所以P(A)=212=16． 故选：C ．6．有关一组8个数据2，6，8，3，3，3，7，8 ①这组数据的中位数是3； ②这组数据的方差是112；③这组数据的众数是8；④这组数据的第75百分位数是7.5． 以上四个结论正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4解：根据题意，将8个数据从小到大排列：2，3，3，3，6，7，8，8， 依次分析4个结论：对于①这组数据的中位数是12（3+6）＝4.5，①错误；对于②，这组数据的平均数为18（2+3+3+3+6+7+8+8）＝5，则其方差S 2=18（9+4+4+4+1+4+9+9）=112，②正确； 对于③，这组数据的众数是3，③错误；对于④，8×75%＝6，这组数据的第75百分位数是12（7+8）＝7.5，④正确；有2个结论正确． 故选：B ．7．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1=√3，则异面直线AD 1与DB 所成角的余弦值为（ ） A ．√24B ．√25C ．√26D ．√28解：连接D 1B 1，AB 1，由DB ∥D 1B 1， 可得∠AD 1B 1为异面直线AD 1与DB 所成角．由在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1=√3， 可得AD 1=√1+3=2，D 1B 1=√2，AB 1=√1+3=2，所以cos ∠AD 1B 1=AD 12+D 1B 12−AB 122AD 1⋅B 1D 1=4+2−42×2×2=√24．故选：A ．8．抛掷一枚质地均匀骰子2次，设事件A ＝“第一次骰子正面向上的数字为2”，设事件B ＝“两次骰子正面向上的数字之和为7”，设事件C ＝“两次骰子正面向上的数字之和为5”，则（ ） A ．事件A 和事件C 互斥B ．事件B 和事件C 互为对立 C ．事件A 和事件B 相互独立D ．事件A 和事件C 相互独立解：由题意可知，P （A ）=16，抛掷一枚质地均匀骰子2次，共有6×6＝36种可能，事件B 包含：（1，6），（6，1），（2，5），（5，2），（3，4），（4，3），共6种，故P （B ）=636=16，事件C 包含：（1，4），（4，1），（2，3），（3，2），共4种，故P （C ）=436=19， 事件AB 包含：（2，5），故P （AB ）=136， P （AB ）＝P （A ）P （B ）=136， 所以事件A 和事件B 相互独立，故C 正确； 事件AC 包含：（2，3），故P （AC ）=136，P （AC ）≠P （A ）P （C ）， 故事件A 和事件C 不相互独立，故D 错误；事件A 和事件C 可以同时发生，不为互斥事件，故A 错误； 事件B 和事件C 为互斥事件，故B 错误． 故选：C ．9．某单位对全体职工的某项指标进行调查，按性别进行分层随机抽样，得到样本职工该项指标数据，分别计算他们的数据平均分和方差，结果如下：则以此估计总体的方差为（ ） A ．3.56 B ．2 C ．0.2 D ．3.25解：由题意得， 总体平均数为20×7+5×820+5=7.2，则总体方差为2025×[4+(7−7.2)2]+525×[1+（8﹣7.2）2]＝3.56． 故选：A ．10．第四届数字中国建设峰会将于2021年4月25日至26日在福州举办，福州市以此为契机，加快推进“5G +光网”双千兆城市建设．如图，某县区域地面有四个5G 基站A ，B ，C ，D ．已知C ，D 两个基站建在江的南岸，距离为10√3km ；基站A ，B 在江的北岸，测得∠ACB ＝75°，∠ACD ＝120°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，则A ，B 两个基站的距离为（ ）A ．10√2kmB ．10√3kmC ．15kmD ．10√5km解：在△ACD 中，∠ADC ＝30°，∠ACD ＝120°， 所以∠CAD ＝30°，即∠CAD ＝∠ADC ， 根据等角对等边，得AC ＝CD ＝10√3．在△BDC 中，∠CBD ＝180°﹣（∠BCD +∠BDC ）＝180°﹣（45°+75°）＝60°． 由正弦定理得，BC sin∠BDC=CD sin∠CBD，解得BC =10√3×sin75°sin60°=5（√6+√2），在△ABC 中，由余弦定理得，AB 2＝AC 2+BC 2﹣2AC •BC •cos ∠BCA ＝（10√3）2+（5（√6+√2））2﹣2×10√3×5（√6+√2）×cos75°＝500，解得AB ＝10√5，即两个基站A 、B 之间的距离为10√5km ． 故选：D ．二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．把答案写在答题纸相应的横线上．11．复数（m 2﹣5m +6）+（m 2﹣3m ）i 是纯虚数，则实数m ＝ 2 ．解：当 {m 2−5m +6=0m 2−3m ≠0时，即{m =2或m =3m ≠0且m ≠3⇒m =2时复数z 为纯虚数．故答案为：2．12．已知e →为一个单位向量，a →与e →的夹角为45°，若a →在e →上的投影向量为2e →，则|a →|= 2√2 ． 解：∵a →在e →上的投影向量为2e →，且|e →|＝1，∴a →⋅e →|e →|⋅e →=2e →，∴a →⋅e →=2，又∵a →与e →的夹角为45°， ∴a →⋅e →=|a →||e →|cos45°=√22|a →|=2，∴|a →|＝2√2． 故答案为：2√2．13．已知△ABC 是边长为3的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上．若球心O 到平面ABC 的距离为1，则球O 的表面积为 16π ．.解：设正△ABC 的外接圆圆心为O 1，知O 1A ＝3×sin60°×23=√3， 在Rt △AOO 1A 中，∵球心O 到平面ABC 的距离为1，即OO 1＝1， ∴OA =√(√3)2+12=2， ∴球O 的表面积为4π×22＝16π． 故答案为：16π．14．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →•BC →的值为18．解：如图，连接AE ，则AE ⊥BC ；根据条件，DE =12AC ，且DE ＝2EF ； ∴EF →=12DE →=14AC →；∴AF →=AE →+EF →=AE →+14AC →；∴AF →⋅BC →=(AE →+14AC →)⋅BC →=AE →⋅BC →+14AC →⋅BC → =0+14×1×1×12 =18． 故答案为：18．15．2009年9月，经联合国教科文组织批准，中国传统节日端午节正式列入世界非物质文化遗产，同时，端午节成为中国首个入选世界非物质文化遗产的节日．为弘扬中国传统文化，某校在端午节期间组织有关端午节文化知识竞赛活动，某班甲、乙两人组成“粽队”参加竞赛活动，每轮活动由甲、乙各回答一个问题，已知每轮活动中甲、乙答对问题的概率分别为34和23，且每轮活动中甲、乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．则甲在两轮活动中答对1个问题的概率为38，“粽队”在两轮活动中答对三个问题的概率为 512 ．解：由题意，甲在两轮活动中答对1个问题的概率为C 21×34×14=38；“粽队”两轮活动中答对三个问题，等价于其中一人答对两个，另外一人答对一个，概率为（34）2×C 21×23×13+（23）2×C 21×34×14=14+16=512． 故答案为：38；512．16．在体育课上，同学们经常要在单杠上做引体向上运动（如图），假设某同学所受重力为G ，两臂拉力分别为F 1，F 2，若|F 1|＝|F 2|，F 1与F 2的夹角为θ，则以下四个结论中：①|F 1|的最小值为12|G|； ②当θ=π2时，|F 1|=√22|G|； ③当θ=2π3时，|F 1|＝|G |；④在单杠上做引体向上运动时，两臂夹角越大越省力．在以上四个结论中，正确的序号为 ①②③ ．解：画出受力分析，如图所示：对于①，当身体处于平衡状态时，|F 1|＝|F 2|=12|G |，所以①正确；对于②，当θ=π2时，|F 1|＝|F 2|＝|G |cos π4=√22|G |，所以②正确； 对于③，当θ=2π3时，|F 1|＝|F 2|＝|G |，所以③正确； 对于④，由受力分析图知，当θ越大时越费力，所以④错误．故答案为：①②③．三．解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且asinC =√3ccosA ．（Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若a =√7，b +c ＝4，求△ABC 的面积．解：（Ⅰ）因为asinC =√3ccosA ，由正弦定理得sin A sin C =√3sin C cos A ，因为sin C ＞0，所以sin A =√3cos A ，即tan A =√3，所以A ＝60°；（Ⅱ）因为a =√7，b +c ＝4，由余弦定理得cos A =12=b 2+c 2−a 22bc =(b+c)2−2bc−a 22bc =16−2bc−72bc ， 所以bc ＝3，故△ABC 的面积S =12bcsinA =12×3×√32=3√34． 18．（12分）已知向量a →，b →满足a →=(2，3)，|b →|=2√13．（Ⅰ）若a →∥b →，求向量b →的坐标；（Ⅱ）若(a →+b →)⊥(5a →−2b →)，求a →与b →的夹角θ．解：（Ⅰ）因为a →=(2，3)，且a →∥b →，所以b →=λa →=（2λ，3λ），λ∈R ；又因为|b →|=2√13，所以4λ2+9λ2＝4×13，解得λ＝±2，所以b →=±（4，6）；（Ⅱ）若(a →+b →)⊥(5a →−2b →)，则5a →2+3a →•b →−2b →2=0，即5×13+3×√13×2√13×cos θ﹣2×52＝0，解得cos θ=12，又因为θ∈[0，π]，所以a →与b →的夹角θ=π3．19．（12分）今年“五一”小长假是继春节之后的第一个较长假期，也是疫情放开后的首个“五一”假期．五一期间各个景区推出了各种丰富多彩的文旅活动，游客纷至沓来，迎来了旅游高峰期．西青区统计局为进一步了解五一期间居民对本区旅游景点服务满意度情况，开展了社情民意电话热线调查，现从本区居民中随机选取了年龄（单位：岁）在[25，50]内的男、女居民各100人，以他们的年龄为样本，得到女居民的频率分布直方图和男居民的年龄频数分布表如下．（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；（Ⅱ）根据频率分布直方图估计样本中女居民年龄的中位数（精确到整数）；（Ⅲ）在上述样本中用分层随机抽样的方法从年龄[25，35）内的女居民中抽取4人，从年龄在[25，35）的男居民中抽取5人，记这9人中年龄在[30，35）内的居民有m人，再从这m人中随机抽取2人．①求人数m的值；②从这m名居民中随机抽取2人进行社情民意调查，写出这个试验的样本空间（用恰当的符号表示）；③从这m名居民中随机抽取2人进行社情民意调查，求社情民意调查中抽取的这2人是异性的概率．解：（Ⅰ）因为5（a+3a+3a+2a+a）＝1，解得a＝0.02；（Ⅱ）不妨设中位数为x，因为5（0.02+0.06）＝0.4＜0.5，5（0.02+0.06+0.06）＝0.7＜0.5所以中位数在区间[35，40）内，此时0.02×5+0.06×5+0.06×（x﹣35）＝0.5，解得x≈37，则中位数为37；（Ⅲ）①若用分层随机抽样的方法从年龄[25，35）内的女居民中抽取4人，则年龄在[25，35）内的有4×0.020.02+0.06=1人，在[30，35）内的有4﹣1＝3人，从年龄在[25，35）的男居民中抽取5人，则年龄在[25，35）内的有5×3030+20=3人，在[30，35）内的有5﹣3＝2人，所以在这9人中年龄在[30，35）内的居民有5人，则m＝5；②因为抽取的5名居民中女居民有3人，记为a，b，c；男居民有2人，记为x，y，若随机抽取2人进行社情民意调查，则样本空间为Ω＝{（a，b），（a，c），（a，x），（a，y），（b，c），（b，x），（b，y），（c，x），（c，y），（x，y）}③记抽取的这2人是异性为事件A，由②知，A＝{（a，x），（a，y），（b，x），（b，y），（c，x），（c，y）}，则社情民意调查中抽取的这2人是异性的概率P（A）=610=35．20．（14分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA＝AD＝1，M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N．（Ⅰ）求证：SB∥平面ACM；（Ⅱ）求证：SC⊥平面AMN；（Ⅲ）求直线AC与平面AMN所成角的余弦值．（Ⅰ）证明：连接BD，交AC于点O，则O为BD的中点，因为M时SD的中点，所以OM∥SB，又OM⊂平面ACM，SB⊄平面ACM，所以SB∥平面ACM．（Ⅱ）证明：因为正方形ABCD ，所以AD ⊥CD ，因为SA ⊥底面ABCD ，CD ⊂底面ABCD ，所以SA ⊥CD ， 又AD ∩SA ＝A ，AD 、SA ⊂平面SAD ，所以CD ⊥平面SAD ， 因为AM ⊂平面SAD ，所以CD ⊥AM ，因为SA ＝AD ，M 为SD 的中点，所以AM ⊥SD ，又CD ∩SD ＝D ，CD 、SD ⊂平面SCD ，所以AM ⊥平面SCD ， 因为SC ⊂平面SCD ，所以AM ⊥SC ，又AN ⊥SC ，且AM ∩AN ＝A ，AM 、AN ⊂平面AMN ， 所以SC ⊥平面AMN ．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知SC ⊥平面AMN ，即NC ⊥平面AMN ， 所以∠CAN 就是直线AC 与平面AMN 所成角，在Rt △ACS 中，cos ∠CAN ＝cos ∠ASC =SA SC =11+1+1=√33， 故直线AC 与平面AMN 所成角的余弦值为√33．。
2024届天津市静海区第一中学数学高一下期末教学质量检测试题含解析
2024届天津市静海区第一中学数学高一下期末教学质量检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．利用随机模拟方法可估计无理数的数值，为此设计右图所示的程序框图，其中rand()表示产生区间(0,1)上的随机数, 是与的比值，执行此程序框图，输出结果的值趋近于 ( )A ．B ．C ．D ．2．已知数列{}n a 满足11a =，()*1(1)2n n n a a n +=-⨯∈N ，则4a =（ ）A ．4B ．-4C ．8D ．-83．若α是第四象限角，则πα-是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角4．在投资生产A 产品时，每生产100t 需要资金200万，需场地2200m ，可获得300万；投资生产B 产品时，每生产100t 需要资金300万，需场地2100m ，可获得200万，现某单位可使用资金1400万，场地2900m ，则投资这两种产品，最大可获利( ) A ．1350万B ．1475万C ．1800万D ．2100万5．已知圆锥的高为3，底面半径为3，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积等于( ) A ．83πB ．323π C ．16π D ．32π6．如图所示，已知正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为1，则三棱锥11B ABC -的体积为（ ）A ．3B 3 C 6D 67．定义运算:a b ad bc c d=-.若不等式22301k kx x +<-的解集是空集，则实数k 的取值范围是( ) A ．{}[)024,⋃+∞ B ．[]0,24C ．(]0,24D ．(][),024,-∞⋃+∞8．图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“勾股圆方图”（又称“赵爽弦图”)，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形.受其启发，某同学设计了一个图形，它是由三个全等的钝角三角形与中间一个小正三角形拼成一个大正三角形，如图2所示，若7AB =，2DE =，则线段BD 的长为（ )A ．3B ．3.5C ．4D ．4.59．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．8π-B ．83π-C ．223D ．810．设a ，b ，c 均为正实数，则三个数1a b +，1b c +，1c a+( ) A ．都大于2B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
天津市部分区2023-2024学年高一下学期期末练习数学试题(含答案)
天津市部分区2023~2024学年度第二学期期末练习高一数学Mike2024.7.8第I 卷（非选择题共40分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.i是虚数单位，则复数（ ）A. B. C.D.2.对于两个事件M ，N ，则事件表示的含义是（ ）A.与同时发生B.与不能同时发生C.与有且仅有一个发生D.与至少有一个发生3.如图，是水平放置的的直观图，若，，则的面积是（）B.C.1D.24.已知，，则（ ）A. B. C. D.5.下列说法正确的是（ ）A.在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是该圆柱的母线B.直四棱柱是长方体C.将一个等腰梯形绕着较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是一个圆锥D.正棱锥的侧面是全等的等腰三角形6.某校要从高一某班5名班干部（其中2名男生，3名女生）中抽调2人，主持国旗下讲话活动，则被抽调的班干部都是女生的概率为（ ）A.B.C.D.7.在中，若，，，则（）21i=+1i-1i+11i 22+11i 22-M N M N M N M N M N A B C '''△ABC △12A O ''=1B OC O ''''==ABC △12()1,2a = ()2,1b =-a b += 0a b ⋅= //a b ||||a b > 110310710910ABC △BC =2AC =60A =︒B =A.B.C.或 D.8.已知m ，n 表示两条不同的直线，，为两个不同的平面，则（ ）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则9.在四边形中，，，且，则与的夹角为（ ）A.B.C.D.10.在正方体中，E ，F ，H 分别是，，的中点，给出下列结论：①平面；②平面；③直线EF 与直线所成的角为；④平面与底面所成二面角的大小为.其中正确的结论有（ ）A.①③B.②④C.②③④D.①②④第II 卷（非选择题 共80分）二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分.11.甲、乙两人破译同一个密码，已知他们能破译出该密码的概率分别为和，若甲、乙两人是否译出该密码相互独立，则甲、乙都译出该密码的概率为__________.12.一个射击运动员打靶6次的环数为：9，5，7，6，8，7，则这组数据的方差为__________.注：一组数据，，…，的平均数为，它的方差为.13.已知，是两个不共线的向量，且向量与共线，则实数的值为__________.14.已知正方体的外接球的表面积为，点为棱BC 的中点，则三棱锥的体积为__________.注：球的表面积，其中为球的半径15.在中，，，为CD 上一点，且满足，则的值为__________；若，，则的值为__________.三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤π6π4π65π6π3αβ//m α//n α//m n m α⊥m n ⊥//n α//m αm n ⊥n α⊥m α⊥m β⊂αβ⊥ABCD AB DC = AD =||||AB AD AB AD +=- AB CAπ6π32π35π61111ABCD A B C D -AB 1DD 1BC 11//C D ABH AC ⊥BDF 1BC π3ABH ABCD π413141x 2x n x x ()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ a b 2a b - 5a b λ+λ1111ABCD A B C D -36πE 1C AED -24πS R =R ABC △π3BAC ∠=2AD DB =P 3()5AP x AC AB x =+∈ x 3AC =4AB =AP CD ⋅16.（本题满分12分）已知是虚数单位，复数，.（I ）当时，求；（II ）若z 是纯虚数，求的值；（III ）若在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围.17.（本题满分12分）抽取某车床生产的8个零件，编号为，，...，，测得其直径（单位：cm ）分别为：1.51，1.49，1.49，1.51，1.49，1.48，1.47，1.53，其中直径在区间内的零件为一等品.（1）求从上述8个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；（I ）从上述一等品零件中，不放回地依次随机抽取2个，用零件的編号列出所有可能的抽取结果，并求这2个零件直径相等的概率.18.（本题满分12分）在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ..（I ）求角的大小；（II ）若，，求的面积.19.（本题满分12分）高一年级进行消防知识竞赛，从所有答卷中随机抽取样本，将样本数据（成绩/分）按，，，，分成5组，并整理得到如下频率分布直方图.（I ）求a 的值和众数；（II ）若成绩在内有30人，现从成绩在和两组中，采取分层随机抽样的方法抽取12人，则这两组分别抽取多少人？（III ）年级决定表彰成绩排名前25%的学生，已知某学生的成绩是86，请以此样本数据来估计该生能否得到表彰，并说明理由.20.（本题满分12分）如图，在四棱锥中，平面.平面，且，，，为AD 的中点.i ()228(2)i z m m m =+-+-m ∈ 1m =z m z m 1A 2A 8A []1.49,1.51ABC △sin cos 0B b A +=A a =b =ABC △[)50,60[)60,70[)70,80[)80,90[]90,100[)50,60[)80,90[]90,100P ABCD -PAB ABCD //AD BC 90ADC ∠=︒112BC CD AD ===E（I ）求证：平面；（II ）求证：平面平面；（III ）若，，求直线PA 与平面所成的角的正弦值.天津市部分区2023~2024学年度第二学期期末练习高一年级数学参考答案1.Α2.D3.C4.B5.D6.B7.A 8.D9.C10.B11.12.13.14.15.，16.（I；（II ）；（III ）（I ）解：当时，.所以，.（II ）解：若复数是纯虚数，则解得所以，.（III ）解：复数在复平面内对应的点位于第三象限，则即所以，实数的取值范围是.17.（I ）（II ）（I ）解：由所给数据可知，一等品零件共有5个.设“从8个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件，则.//AB PCE PAB ⊥PBD 2PA =PB =PBD 1125310-11023104-(4,2)-1m =5i z =--||z ==()228(2)iz m m m =+-+-z 2280,20,m m m ⎧+-=⎨-≠⎩24,2,m m m ==-⎧⎨≠⎩或4m =-z 2280,20,m m m ⎧+-<⎨-<⎩42,2.m m -<<⎧⎨<⎩m 42m -<<5825A 5()8P A =所以，从8个零件中，随机抽取一个为一等品的概率为.（II ）解：一等品零件的编号为，，，，.从这5个一等品零件中依次不放回随机抽取2个，所有可能的结果有：，，分共20种.设“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”为事件，所有可能结果有：，共有8种.所以，.答：从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等概率为.18.（I ）；（II（I.因为，，所以，，.因为，中，，所以，.（II ）解：由及余弦定理.得，解得或（舍）所以，.19.（I ），众数是75；（II ）在和按照分层随机抽样分别抽取9人，3人；（III ）估计该生能得到表彰.（I ）解：由频率分布直方图得：.解得，众数是75.（II ）解：因为，成绩在一组人数为30人，其频率，所以，样本容量为.成绩在和的频数为90，30.581A 2A 3A 4A 5A ()()()()(){()()()1213141521232425,,,,,,,,,,,,,,,A A A A A A A A A A A A A A A A Ω=()()()()()()()()()()31323435414243455152,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A ()()}5354,,,A A A A B ()()()()()()()(){}1423253541325253,,,,,,,,,,,,,,,B A A A A A A A A A A A A A A A A =82()205P B ==255π6sin sin cos 0A B B A +=(0,π)B ∈sin 0B ≠tan A =ABC △(0,π)A ∈5π6A =a =b =2222cos a bc bc A =+-2340c c +-=1c =4c =-111sin 1222ABC S bc A ==⨯=△0.05a =[80,90)[]90,100()100.20.30.70.60.21a a a a a ⨯++++=0.05a =[50,60)0.20.05100.1⨯⨯=303000.1=[80,90)[]90,100设在和按照分层随机抽样分别抽取人，人，按照分层随机抽样.得，.所以，在和按照分层随机抽样分别抽取9人，3人.（III ）解：成绩低于80分的频率为0.6，成绩低于90分的频率为0.9.由题，表彰成绩排名前的学生，即被表彰的最低成绩为第75百分位数.设第75百分位数为，则在中，，解得.即第75百分位数为.所以，估计该生能得到表彰.20.（I）见解答；（II ）见解答；（III （I ）证明：因为，且，所以，四边形为平行四边形，所以，.因为，平面，平面，所以，平面.（II ）证明：因为，，，，所以，.所以，，即.又因为，平面平面，平面，平面平面，所以，平面.又因为，平面，所以，平面平面.（III ）解：作，垂足为.由（II ）知，平面平面，又平面平面平面，所以，平面.所以，PM 为直线PA 在平面上的射影，所以，为直线AP 与平面所成的角.在中，，，，所以，，即.在中，.[80,90)[]90,100x y121209030x y==9x=3y =[80,90)[]90,10025%t t [80,90)0.6(80)0.030.75t +-⨯=85t =8586<//BC AE BC AE =BCEA //AB EC AB ⊂/PEC EC ⊂PEC //AB PEC //AD BC 90ADC ∠=︒112BC CD AD ===BD AB ==2AD =222AB BD AD +=BD AB ⊥PAB ⊥ABCD BD ⊂ABCD PAB ABCD AB =BD ⊥PAB BD ⊂PBD PAB ⊥PBD AM PB ⊥M PAB ⊥PBD PAB ,PBD PB AM =⊂PAB AM ⊥PBD PBD APM ∠PBD PAB △AB =2PA =PB =222PA AB PB +=PA AB ⊥Rt PAB △PA AB AM PB ⋅===在中，.所以，直线AP 与平面.Rt AMP △sin AM APM AP ∠===PBD。
天津市部分区2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题含解析
天津市部分区2021~2022学年度第二学期期末练习高一数学一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知向量()()2,1,1,2a b =-=- ，则a b += （ ）A. ()1,1--B. ()1,2-- C. ()2,1-- D. ()2,2--【答案】A 【解析】【分析】由向量坐标的加运算直接计算即可.【详解】因为(2,1)a =- ，(1,2)b =-，所以(2,1)(1,2)(1,1)a b +=-+-=--.故选：A.2. 若复数()i 1i z =+（i 为虚数单位），则z =（ ）A. 1B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】先由已知求出复数z ，再求其模即可【详解】因为()i 1i 1i z =+=-+，所以z ==，故选：B3. 棱长为1的正方体的顶点都在一个球的球面上，则该球的体积为（ ）（注：球的体积34π3V R =，其中R 为球的半径）A.B.C.D.π3【答案】A 【解析】【分析】由正方体外接球直径与其体对角线长之间的关系，求出球半径即可计算作答.【详解】因正方体的体对角线长等于该正方体外接球直径，则球半径R ==，所以球的体积为34π3V ==.故选：A4. 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论中正确的是（ ）A. 相等的角在直观图中仍然相等B. 相等的线段在直观图中仍然相等C. 正方形在直观图中仍然是正方形D. 平行的线段在直观图中仍然平行【答案】D 【解析】【分析】根据斜二测画法的规则对四个选项逐一分析即可.【详解】选项A ：通过举反例，等腰三角形的直观图不是等腰三角形，A 错误.选项B ：由于斜二测画法的法则是平行于x 轴的线平行性与长度都不变；平行于y 轴的线平行性不变，但长度变为原长度的一般，故B 错误.选项C ：正方形的两临边相等，但在直观图中不相等，C 错误.选项D ：由斜二测画法可知，平行的线段在直观图中仍然平行，D 正确.故选：D.5. 假设()()0.5,0.6P A P B ==，且A 与B 相互独立，则()P A B = （ ）A. 0.3 B. 0.6C. 0.8D. 0.9【答案】C 【解析】【分析】根据独立事件的并事件的概率公式：()()()()()P A B P A P B P A P B =+- ，代入运算求解．【详解】()()()()()0.50.60.50.60.8P A B P A P B P A P B =+-=+-⨯= 故选：C ．6. 在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若2,30a b C === ，则c 的值为（ ）A. 1 D. 【答案】A【分析】由余弦定理直接求解即可.【详解】在ABC 中，已知2a =，b =，30C =︒，由余弦定理得：22222cos 2221c a b ab C =+-=+-⨯=所以1c =.故选：A.7. 四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数.根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ）A. 平均数为3，中位数为2B. 中位数为3，众数为2C. 平均数为2，方差为2.5D. 中位数为3，方差为2.8【答案】C 【解析】【分析】根据题意举出反例，即可得出正确选项．【详解】对于A ，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A 错误；对于B ，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故B 错误；对于C ，若平均数为2，且出现6点，则方差22162 3.2 2.55S ＞（﹣）＝＞，∴平均数为2，方差为2.5时，一定没有出现点数6，故C 正确；对于D ，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，平均数为：11233635x =++++（）＝方差为22222211323333363 2.85S ⎡⎤-+-+-+-+-⎣⎦＝（）（）（）（）（）＝，可以出现点数6，故D 错误．故选：C ．8. 甲､乙两人独立地破译一份密码，已知甲､乙能破译的概率分别是11,23，则密码被破译的概率为（ ）A.16B.13C. 12D.23.【解析】【分析】分一人破译和两人破译，再利用独立事件的概率求解.【详解】解：因为甲､乙两人独立地破译一份密码，且甲､乙能破译的概率分别是11,23，所以密码被破译的概率为11121122323233P =⨯+⨯+⨯=，故选：D9. 设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确的为（ ）A. 若,,m n m n αβ⊥⊂⊂，则αβ∥B. 若,,m n αβαβ⊂⊂∥，则m n ∥C. 若,,m n n ααβ⊂∥∥，则m ∥βD. 若,,m αn βαβ⊥⊥∥，则m n ∥【答案】D 【解析】【分析】由线面平行，面面平行，线面垂直的判定和性质逐个分析判断即可【详解】对于A ，当,,m n m n αβ⊥⊂⊂时，,αβ可能平行，也可能相交，所以A 错误，对于B ，当,,m n αβαβ⊂⊂∥时，,m n 可能平行，可能异面，所以B 错误，对于C ，当,,m n n ααβ⊂∥∥时，m ∥β或m β⊂，所以C 错误，对于D ，当,,m αn βαβ⊥⊥∥时，由面面平行的性质可得m n ∥，所以D 正确，故选：D10. 若平面向量a ，b ，c两两的夹角相等，且1a = ，2b = ，3c = ，则a b c ++= （ ）A. B. 6C. 6D. 【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由平面向量a ，b ，c两两的夹角相等可得夹角为0︒或120︒，对夹角的取值分类讨论即可求出||a b c ++的值．【详解】解：由平面向量a，b，c两两的夹角相等，得夹角为0︒或120︒，当夹角为0θ=︒时，||a b c ++==6==，当夹角为120θ=°时，||a b c ++====故选：C ．二､填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11. 一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品.若从中任取2支，那么两支都是一等品概率为___________.【答案】15##0.2【解析】【分析】根据古典概型的概率公式计算可得.【详解】盒子中装有6支圆珠笔，从中任取2支，包含2615C =个，其中两支都是一等品的包含23C 3=个，所以两支都是一等品的概率为为2326C 1C 5=.故答案为：1512. 已知()()3,2,,6a b m =-= ，若a b ∥，则实数m 的值为___________.【答案】9-【解析】【分析】利用坐标运算中向量共线的条件即可求解.【详解】因为()()3,2,,6a b m =-= ，且，a b ∥，所以3620m ⨯+=，所以9m =-.故答案为：9-.13. 从某校高一年级学生中随机抽取了20名学生，将他们的数学检测成绩分成六段（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）：[40,50),[50,60),[90,100]⋯，得到如图所示的频率分布直方图，则得分在[70,80)内的人数为___________.的【答案】6【解析】【分析】根据频率分布直方图中所有小矩形面积和为1，可得a 的值，再根据总人数和[70,80)的频率，即可得答案.【详解】因为频率分布直方图中所有小矩形面积和为1，所以(0.0050.0100.020.0250.010)101a +++++⨯=，解得0.030a =，所以分数在[70,80)内的人数为200.030106⨯⨯=.故答案为：6.14. 在正方体1111ABCD A B C D -中，直线1AC 与底面ABCD 所成角的余弦值为___________.【解析】【分析】根据线面角的定义找到直线1AC 与底面ABCD 所成的角，在1Rt C AC 中计算出余弦值为所求．【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，1CC ⊥ 平面ABCD ，∴直线1AC 与底面ABCD 所成角为1C AC ∠，设正方体棱长为a ，则1,AC AC ==，在1Rt C AC 中，11cos ACC AC AC ∠==，15 给出下列四个命题，①非零向量,a b 满足||||||a b a b ==- ，则a 与a b +的夹角是30 ；②若()()0AB AC AB AC +⋅-=，则ABC 为等腰三角形；③若单位向量,a b 的夹角为120，则当()2R a xb x +∈ 取最小值时，1x =；④若()()()3,4,6,3,5,3,OA OB OC m m ABC ∠=-=-=--- 为锐角，则实数m 的取值范围是34m >-.则其中所有正确的序号为___________.【答案】①②③【解析】【分析】利用向量加法法则计算判断①；利用向量数量积运算律计算判断②；利用向量模及数量积运算计算判断③；利用向量夹角为锐角求出m 范围判断④作答.【详解】对于①，如图，,MP a MQ b == ，QP a b =- ，点D 是线段PQ 的中点，2a bMD +=，因||||||a b a b ==- ，则MPQ 是正三角形，30PMD ∠=o，即,MP MD 夹角为30 ，所以a 与a b + 的夹角是30 ，①正确；对于②，在ABC 中，由()()0AB AC AB AC +⋅-= 得22AB AC = ，即||||AB AC = ，ABC 为等腰三角形，②正确；对于③，111cos1202a b ⋅=⨯⨯=-，|2|a xb +=== ，当且仅当1x =时，|2|a xb +r r取得最小值，③正确；对于④，(3,1),(1,)BA BC m m =--=--- ，因ABC ∠为锐角，则0BA BC ⋅>u u r u u u r 且BA 与BC不共线，由0BA BC ⋅>u u r u u u r 得3(1)0m m ++>，解得34m >-，当BA 与BC 共线时，13m m +=，解得12m =，所以实数m 的取值范围是34m >-且12m ≠，④不正确.故答案为：①②③.【点睛】结论点睛：两个向量夹角为锐角的充要条件是这两个向量的数量积大于0，并且它们不共线；两个向量夹角为钝角的充要条件是这两个向量的数量积小于0，并且它们不共线.三､解答题：本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.16. 已知复数()()222i z m m m m =+++-，（1）若z 是纯虚数，求实数m 的值；（2）若z 在复平面内对应的点位于第四象限，求实数m 的取值范围.【答案】（1）0m =；（2）01m <<．【解析】【分析】（1）若z 是纯虚数，则实部为0，虚部不为0，列方程组求解即可；（2）若z 在复平面内对应的点位于第四象限，则实部大于0，虚部小于0，列不等式组求解即可．【详解】（1）若复数纯虚数，则()22020m m m m ⎧+=⎨+-≠⎩，解得0212m m m m ==-⎧⎨≠≠-⎩或且，所以0m =（2）复数z 在复平面内对应的点位于第四象限则()22020m m m m ⎧+>⎨+-<⎩即2021m m m ⎧-⎨-<<⎩或所以，实数m 的取值范围是01m <<17. 某校举行演讲比赛，10位评委对一名选手的评分数据如下：8.07.78.18.27.67.87.98.78.87.5（1）根据以上数据，估计该选手得分的样本数据的第75百分位数；（2）该选手的最终得分为去掉一个最低分和一个最高分，求剩下8个评分数据的平均数和方差.（注：一组数据12,,,n x x x ⋯⋯的平均数为x ，它的方差为()()()()222121n D X x x x x x x n ⎡⎤=-+-+⋯⋯+-⎣⎦）【答案】（1）8.2（2）平均数为8，方差为0.055是【解析】【分析】（1）将以上数据进行排序根据1075%7.5⨯=得该选手评分的样本数据为第八个数据可得答案； （2）去掉一个最低分7.5和一个最高分8.8，计算出剩下8个评分数据的平均数，计算其方差可得答案.【小问1详解】将数据进行排序得到7.57.67.77.87.98.08.18.28.78.8，因为样本数据的第75百分位数，所以，1075%7.5⨯=，该选手评分的样本数据为第八个数据，所以，该选手评分的样本数据的第75百分位数为8.2.【小问2详解】去掉一个最低分7.5和一个最高分8.8，剩下8个评分数据的平均数为：7.67.77.87.98.08.18.28.788+++++++=，所以其方差为：222222221[(7.68)(7.78)(7.88)(7.98)(8.08)(8.18)(8.28)(8.78)]8-+-+-+-+-+-+-+-0.055=.18. 在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知()22332a c b ac -=-（1）求cos B 的值；（2）若53a b =，求sin(26A π+的值．【答案】（1）23；（2【解析】【分析】（1）化简原式，直接利用余弦定理求cos B 的值即可；（2）利用正弦定理求得sin A =，结合角A 的范围可得cos A =，再由二倍角的正余弦公式以及两角和的正弦公式可得结果．【详解】（1）在ABC 中，由()22332a c b ac -=-，整理得222223a cb ac +-=，又由余弦定理，可得2cos 3B =；（2）由（1）可得sin B =sin sin a b A B =，及已知53a b =，可得sin 3sin 5a B A b ===；可得23cos 212sin 5A A =-=，由已知53a b =，可得a b <，故有A B <，A ∴为锐角，故由sin A =，可得cos A =，从而有4sin 22sin cos 5A A A ==,431sin 2sin 2cos cos 2sin 666552A A A πππ⎛⎫∴+=+=+⨯=⎪⎝⎭．【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”．19. 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.（1）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求2n m <+的概率【答案】（1），（2）【解析】【详解】（1）从袋子中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个，从袋中随机取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2,1和3两个．因此所求事件的概率为.（2）先从袋中随机取一个球，记下编号为m ，放回后，在从袋中随机取一个球，记下编号为n ，其中一切可能的结果（m ，n ）有：（1,1）（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1）（3， 2），（3,3）（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），共16个．所有满足条件n≥m ＋2的事件为（1,3）（1,4）（2,4），共3个，所以满足条件n≥m ＋2的事件的概率为P1＝316故满足条件n ＜m ＋2的事件的概率为1－P1＝1－316＝.20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形.已知3,2,2,60AB AD PA PD PAB ∠=====（1）证明AD ⊥平面PAB ；（2）求异面直线PC 与AD 所成的角的正切值；（3）求二面角A PB D --的正切值.【答案】（1）证明见解析（2（3【解析】【分析】（1）由题意可证得AD PA ⊥，AD AB ⊥，再由线面垂直的判定定理即可证明.（2）由题设，BC AD ∥，所以PCB ∠（或其补角）是异面直线PC 与AD 所成的角.由题意可证明PBC 是直角三角形，再求出,PB BC 的值代入即可得出答案.（3）过点A 作AH PB ⊥于H ，连结HD .可证得AHD ∠是二面角A PB D --的平面角.求出,AD AH ，代入即可求出答案.【小问1详解】证明：在PAD △中，由题设2AD =2,PA PD ==于是AD PA ⊥.在矩形ABCD 中，AD AB ⊥.又PA AB A = ，所以AD ⊥平面PAB .【小问2详解】由题设，BC AD ∥，所以PCB ∠（或其补角）是异面直线PC 与AD 所成的角.在PAB △中，由余弦定理得PB ==由（1）知AD ⊥平面,PAB PB ⊂平面PAB ，所以AD PB ⊥，因而BC PB ⊥，于是PBC是直角三角形，故tan PB PCB BC ∠==所以异面直线PC 与AD【小问3详解】过点A 作AH PB ⊥于H ，连结HD 由（1）可知AD ⊥平面PAB ，又AH PB ⊥，所以PB ⊥平面AHD ，可得PB HD ⊥，从而AHD ∠是二面角A PB D --的平面角.由题设可得，11sin 22PB AH AP AB PAB ∠⨯⨯=⨯⨯⨯所以AH =.于是，tan AD AHD AH ∠===.--.所以二面角A PB D。