圆锥曲线 点差法专题

圆锥曲线 点差法专题

【学习目标】 圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。

若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。 使用说明及学法指导】

1、通过证明定理，熟悉“点差法”的运用；

2、记住点差法推导出的公式，并熟练应用；

若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(1

1

y x A 、),(2

2

y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。 一、自主证明

1、定理 在椭圆122

2

2=+b y a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于

M 、N 两点，点),(0

y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN

k ，

则

2

2

00a b x y k MN -=⋅.

同理可证，在椭圆122

22=+a y b x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于

M 、

N 两点，点)

,(0

y

x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN

k ，

则

2

2

00b a x y k MN -=⋅.

2、定理

在双曲线122

2

2=-b y a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相

交于M 、N 两点，点

)

,(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN

所在的直线l 的斜率为MN k ，则

2

2

00a b x y k MN =⋅.

同理可证，在双曲线122

22=-b x a y （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相

交于M 、N 两点，点),(0

y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜

率为MN k ，则

2

2

00b a x y k MN =⋅.

3、定理 在抛物线)0(22≠=m mx y 中，若直线l 与抛物线相交于

M 、N 两点，点),(0

y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN

k ，则m

y k MN

=⋅0

.

例 1

设椭圆方程为1

422

=+y x ，过点)1,0(M 的直线l 交椭圆于点

A 、

B ，O

为坐标原点，点P

满足)

(21

+=，点

N

的坐标为⎪

⎭⎫

⎝⎛21,21.当l 绕点

M

旋转时，求：

（1）动点P 的轨迹方程； （2）||NP 的最大值和最小值.

例2 已知双曲线1

3:2

2

=-x y C ，过点)1,2(P 作直线l 交双曲线

C 于A 、B 两

点.

（1）求弦AB 的中点M 的轨迹；

（2）若P 恰为弦AB 的中点，求直线l 的方程.

例3 抛物线

x y 42=的过焦点的弦的中点的轨迹方程是（

）

A. 12

-=x y

B. )1(22

-=x y

C. 212-

=x y

D.

122-=x y

1. 已知椭圆422

2

=+y

x ，则以)1,1(为中点的弦的长度为（ ）

A. 23

B. 32

C. 3

30 D. 2

63 2. 已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ，直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 的中点的横坐标为

32

-

，则此双曲线的方程为（

）

A.1432

2=-y x

B. 1342

2=-y x

C. 1252

2=-y x

D.

1522

2=-y x

3. 已知直线02=--y x 与抛物线x y 42

=交于A 、B 两点，那么线段AB 的中点坐标是________. 【规律总结】

同理可证，在抛物线)0(22

≠=m my x 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(0

y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN

k ，则

m

x k MN

=⋅01.

一、 以定点为中点的弦所在直线的方程

例1、过椭圆14

162

2

=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条

弦所在直线的方程。

例2、已知双曲线12

2

2

=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲

线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。

二、 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹 例3、已知椭圆125

752

2

=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线2

1=x 的交点恰为

这条弦的中点M ，求点M 的坐标。

例4、已知椭圆125

752

2

=+x y ,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。

)2

3

5235(0<<-

=+x y x 三、 求与中点弦有关的圆锥曲线的方程

例5、已知中心在原点，一焦点为)50,0(F 的椭圆被直线23:-=x y l 截得的

弦的中点的横坐标为2

1，求椭圆的方程。

四、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题