甘肃会宁二中2020年春高二数学(理)下学期期中考试卷附答案解析

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2020春高二下学期线上期中考试数学 (理)试题+参考答案+评分标准 (6)

2019-2020学年高二下学期线上教学期中检测数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

第I 卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数174a i--（,a R i ∈是虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 A ．-4 B ．-1 C ．1 D ．4 2．已知函数()2xf x e =，则A ．()()'2f x f x =+ B ．()()'f x f x = C ．()()'3f x f x =D ．()()'2f x f x =3．“3k =是“直线:(2)l y k x =+与圆221x y +=相切”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知点 P (3,4) 在角α的终边上，则cos 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为 A ．35B ．35-C ．45D ．45-5．有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X 表示取得次品的次数，则(2)P X ≤= A ．38B ．1314C ．45D ．786．设1a b >>，则下列不等式成立的是A ．ln ln a b b a >B ．ln ln a b b a <C ．b a ae be >D ．b a ae be <7．4)11(++xx 的展开式中常数项为 A ．18 B ．19 C ．20 D ．218．某宾馆安排,,,,A B C D E 五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且,A B 不能住同一房间，则不同的安排方法有种数为 A ．64B ．84C ．114D ．1449．已知a ，b 为正实数，向量m r =（a ，a-4）向量n r=（b ，1-b ）若m n r P r，则a+b 的最小值为 A ．1B ．2C ．3D ．9210．若3x = 是函数2()(1)x f x x ax e =++ 的极值点，则()f x 的极大值为 A ．2e -B ．32e -C ．322e -D ．16e -11．在ΔΑΒC 中，角Α、Β、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若b 2+c 2−a 2=√3bc ，且b =√3a ，则下列关系一定不成立的是 A ．a =cB ．b =cC ．2a =cD ．a 2+b 2=c 212．设函数()()221611ax xx x x x f x =+-+++，若0x >时，()0f x >，则实数a 的取值范围是 A ．()0,∞+B ．(),12-∞C ．(),0-∞D ．()12,+∞第II 卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年高二下学期期中数学试卷(理科)

2020年高二下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二上·合肥期末) 命题“对任意，都有”的否定为（）A . 对任意，使得B . 存在，使得C . 存在，都有D . 不存在，使得2. （2分）某学校高一年级、高二年级、高三年级共有学生3500人，其中高三年级学生数是高一年级学生数的两倍，高二年级学生比高一年级学生多300人，现按年级用分层抽样的方法从高一年级、高二年级、高三年级抽取一个学生样本. 如果在这个样本中，有高三年级学生32人，那么为得到这个样本，在从高二年级抽取学生时，高二年级每个学生被取到的概率为（）A .B .C .D .3. （2分）线性回归方程=bx＋a必过（）A . (0，0)点B . (， 0)点C . (0，)点D . (，)点4. （2分）(2019高三上·新疆月考) 已知随机变量服从正态分布N（100,4），若，则等于（）[附： ]A .B . 101C .D .5. （2分）(2016·安庆模拟) 在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，点P为矩形ABCD内一点，则使得≥1的概率为（）A .B .C .D .6. （2分） (2018高二下·集宁期末) 在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下说法正确的是（）A . 若K2的观测值为k=6.635,我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病;B . 从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病;C . 若从统计量中求出有95% 的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5% 的可能性使得推判出现错误;D . 以上三种说法都不正确.7. （2分） (2016高二上·梅里斯达斡尔族期中) 执行下面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的S=（）A .B . 1+ + +…+C .D . 1+ + +…+8. （2分）如图，在三棱锥P-ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下面结论中错误的是（）A . 平面EFG∥平面PBCB . 平面EFG⊥平面ABCC . ∠BPC是直线EF与直线PC所成的角D . ∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角9. （2分）(2017·桂林模拟) 某学校高三年级有2个文科班，3个理科班，现每个班指定1人，对各班的卫生进行检查，若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同安排方法的种数是（）A . 24B . 32C . 48D . 8410. （2分） (2017高二下·桂林期末) 设函数f′（x）是偶函数f（x）的导函数，当x≠0时，恒有xf′（x）＞0，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（log32），则a，b，c的大小关系为（）A . a＜b＜cB . a＜c＜bC . c＜b＜aD . c＜a＜b11. （2分）(2017·唐山模拟) 若（1﹣x）9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9 ，则|a1|+|a2|+|a3|+…+|a9|=（）A . 1B . 513C . 512D . 51112. （2分）已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆的焦点和顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的焦点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二上·荆门期末) 把一枚硬币连续抛掷两次，事件A=“第一次出现正面”，事件B=“第二次出现正面”，则P（B|A）=________．14. （1分） (2018高二下·湖南期末) 3名医生和9名护士被分配到3所学校为学生体检，每所学校分配1名医生和3名护士，不同的分配方法共有________种.15. （1分） (2017高二上·景德镇期末) 若X的离散型随机变量P（X=x1）= ，P（X=x2）= ，且x1＜x2 ，又若EX= ，DX= ，则x1+x2的值为________．16. （1分）如果y=f（x）的定义域为R，对于定义域内的任意x，存在实数a使得f（x+a）=f（﹣x）成立，则称此函数具有“P（a）性质”．给出下列命题：①函数y=sinx具有“P（a）性质”；②若奇函数y=f（x）具有“P（2）性质”，且f（1）=1，则f（2015）=1；③若函数y=f（x）具有“P（4）性质”，图象关于点（1，0）成中心对称，且在（﹣1，0）上单调递减，则y=f（x）在（﹣2，﹣1）上单调递减，在（1，2）上单调递增；④若不恒为零的函数y=f（x）同时具有“P（0）性质”和“P（3）性质”，且函数y=g（x）对，都有|f（x1）﹣f（x2）|≥2成立，则∀x1 ，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|≥2成立．其中正确的是________ （写出所有正确命题的编号）．三、解答题 (共6题；共60分)17. （5分）(2016·安徽) 数列{xn}满足x1=0，xn+1=﹣x2n+xn+c（n∈N*）．（Ⅰ）证明：{xn}是递减数列的充分必要条件是c＜0；（Ⅱ）求c的取值范围，使{xn}是递增数列．18. （10分）(2017·襄阳模拟) 为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价，具体划分标准如表：阶梯级别第一阶梯水量第二阶梯水量第三阶梯水量月用水量范围（单位：立方米）（0，10]（10，15]（15，+∞）从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一个月的用水量，得到如图所示的茎叶图．（1）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯水量的户数的分布列和均值；（2）用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到n户月用水量为第二阶梯水量的可能性最大，求出n的值．19. （10分） (2016高三上·厦门期中) 已知函数f（x）= •e﹣ax（a＞0）．（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在x= 处的切线方程；（2）讨论方程f（x）﹣1=0根的个数．20. （10分）(2017·厦门模拟) 如图，在以A、B、C、D、E为顶点的五面体中，AD⊥平面ABC，AD∥BE，AC⊥CB，AB=2BE=4AD=4．（1） O为AB的中点，F是线段BE上的一点，BE=4BF，证明：OF∥平面CDE；（2）当直线DE与平面CBE所成角的正切值为时，求平面CDE与平面ABC所成锐二面角的余弦值．21. （10分） (2017·山东模拟) 已知椭圆的右焦点与抛物线y2=4x的焦点F重合，且椭圆的离心率是，如图所示．（1）求椭圆的标准方程；（2）抛物线的准线与椭圆在第二象限相交于点A，过点A作抛物线的切线l，l与椭圆的另一个交点为B，求线段AB 的长．22. （15分） (2016高三上·朝阳期中) 已知函数f（x）=ex（x2﹣a），a∈R．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）若函数f（x）在（﹣3，0）上单调递减，试求a的取值范围；（3）若函数f（x）的最小值为﹣2e，试求a的值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22、答案：略。

甘肃省白银市会宁县第二中学2020-2021学年高二数学下学期第一次月考试题理(含解析)

甘肃省白银市会宁县第二中学2020-2021学年高二数学下学期第一次月考试题理（含解析）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12道小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知()()ln 21f x x ax =+-，且()21f '=-，则a =（） A. 75B.65C.35D. 45-【答案】A 【解析】【分析】先求出导函数，再代入可求得值. 【详解】因为()()ln 21f x x ax =+-,2()21f x a x '∴=-+,2(2)122+1f a '∴=-=-⨯,解得75a =，故选：A.【点睛】本题考查导函数的计算，关键在于正确地求出函数的导函数，注意复合函数的导函数的求解，属于基础题.2.曲线24x y =在点()2,t 处的切线方程为（）A. 1y x =-B. 23y x =-C. 3y x =-+D.25y x =-+【答案】A 【解析】【分析】将点代入解析式确定参数值，结合导数的几何意义求得切线斜率，即可由点斜式求的切线方程.【详解】曲线24x y =，即214y x =，当2x =时，代入可得21124t =⨯=，所以切点坐标为()2,1，求得导函数可得12y x '=，由导数几何意义可知1212k y ='=⨯=，由点斜式可得切线方程为12y x -=-，即1y x =-，故选：A.【点睛】本题考查了导数的几何意义，在曲线上一点的切线方程求法，属于基础题. 3.下列推理是类比推理的是（）A. A ，B 为定点，动点P 满足2PA PB a AB +=>，则P 点的轨迹为椭圆B. 由11a =，31n a n =-，求出1S ，2S ，3S ，猜想出数列的前n 项和n S 的表达式C. 由圆222x y r +=的面积2r π，猜想出椭圆22221x y a b+=的面积S ab π=D. 以上均不正确【答案】C 【解析】A 选项用的双曲线的定义进行推理，不符合要求．B 选项根据前3个S 1，S 2，S 3的值，猜想出S n 的表达式，属于归纳推理，符合要求．C 选项由圆x 2+y 2=r 2的面积S =πr 2，猜想出椭圆22221x y a b+= 的面积S =πab ，用的是类比推理，不符合要求．本题选择C 选项.点睛：合情推理包括归纳推理和类比推理，所得到的结论都不一定正确，其结论的正确性是需要证明的．在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．4.有一段演绎推理是这样的：“若函数()f x 的图象在区间D 上是一条连续不断的曲线，且()00f x '=，则()f x 在点0x 处取得极值；己知函数()3f x x =在R 上是一条连续不断的曲线，且()00f '=，则()f x 在点0x =处取得极值”.对于以上推理，说法正确的是（） A. 大前提错误，结论错误 B. 小前提错误，结论错误 C. 推理形式错误，结论错误D. 该段演绎推理正确，结论正确【解析】∵大前提是：“若函数()f x 的图象在区间D 上是一条连续不断的曲线，且()0'0f x =，则()f x 在点0x 处取得极值”，不是真命题，因为对于可导函数()f x ，如果()0'0f x =，且满足当0x x =附近的导函数值异号时，那么0x x = 是函数()f x 的极值点，∴大前提错误，导致结论错误，故选A ．5.设函数()1sin 2f x x =+，则等于()()0lim x f x f x∆→∆-∆（）A. -2B. 0C. 3D. 2【答案】D 【解析】()2cos2f x x '=，()()()()()0000limlim0=2x x f x f f x f f xx∆→∆→∆-+∆-∴=='∆∆.故选D.6.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为（） A. 23岁 B. 32岁C. 35岁D. 38岁【答案】C 【解析】【分析】根据题意，得到数列{}n a 是等差数列，由9207S =，求得数列的首项1a ，即可得到答案．【详解】设这位公公的第n 个儿子的年龄为n a ，由题可知{}n a 是等差数列，设公差为d ，则3d =-，又由9207S =，即91989(3)2072S a ⨯=+⨯-=，解得135a =，即这位公公的长儿的年龄为35岁．【点睛】本题主要考查了等差数列前n 项和公式的应用，其中解答中认真审题，熟练应用等差数列的前n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 7.如图，两曲线23y x =-与221y x x =--所围成的图形面积是（）A. 6B. 9C. 12D. 3【答案】B 【解析】【分析】求出两个函数的交点坐标，根据定积分的计算公式即可求得.【详解】由223,21,y x y x x ⎧=-⎨=--⎩得1,2,x y =-⎧⎨=⎩或2,1.x y =⎧⎨=-⎩ 故两曲线所围成的阴影部分的面积2212[(3)(21)]x x x S dx ----=-⎰221[(224)x x S dx --=++⎰23212(4)3x x x -=-++162481433⎛⎫⎛⎫=-++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9=故选：B.【点睛】本题考查利用定积分求解曲边梯形的面积，属中档题. 8.已知函数()()cos xf x e a x =-在R 上单调递增，则a 的取值范围为（）A. [)1,+∞B. (,2-∞-C. )2,⎡+∞⎣D.(],1-∞-【解析】【分析】根据题意，()0f x '≥R 上恒成立，()()'cos sin 0xf x e a x x =-+≥，分离常数得cos sin a x x ≥-在R 上恒成立，只需max (cos sin )a x x ≥-，利用三角函数值域，即可求解. 【详解】因为()()cos xf x e a x =-在R 上单调递增，所以()()'cos sin 0x fx e a x x =-+≥恒成立，即cos sin a x x ≥-.令()cos sin g x x x =-，又()cos sin g x x x =-2cos 4x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即()2,2g x ⎡⎤∈-⎣⎦，所以2a ≥.故选:C.【点睛】本题以函数的单调性为背景，考查不等式恒成立求参数的范围，分离常数是解题的关键，转化为求三角函数的最值，属于中档题.9.如图是导函数()y f x '=的图象，在标记的点( )处，函数()y f x =有极大值( )A. 2xB. 3xC. 5xD. 4x【答案】B 【解析】【分析】根据导函数的图象，利用极值点的定义求解. 【详解】如图所示：当13x x x <<时，()0f x '>，当35<<x x x 时，()0f x '<，当5>x x 时，()0f x '>，所以当3x x =时，函数()y f x =有极大值. 故选：B【点睛】本题主要考查函数的极值点，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于基础题.10.设a 为正实数，函数322()32f x x ax a =-+，若(,2)x a a ∀∈，()0f x <，则a 的取值范围是( ) A. [1,)+∞ B. (0,)+∞ C. (0,1)D. 20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】A 【解析】【分析】根据322()32f x x ax a =-+，求导()2()3632f x x ax x x a '=-=-，由a 为正实数，得到()f x 在(,2)a a 上单调性，再根据 ()0f x <，(,2)x a a ∀∈成立，由max ()0f x <求解.【详解】因为322()32f x x ax a =-+，所以()2()3632f x x ax x x a '=-=-，因为a 为正实数，所以当0x <或2x a >时，()0f x '>，当02x a <<时，()0f x '<，所以()f x 在(,2)a a 上递减，所以()()f x f a <，因为()0f x <，(,2)x a a ∀∈成立，所以32223()32220f a a a a a a a =-=-++≤⋅，解得1a ≥，所以a 的取值范围是[1,)+∞. 故选：A【点睛】本题主要考查导数与不等式恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.11.用数学归纳法证明不等式“111212322n n ++++>（2n ≥，n *∈N ）”的过程中，由n k =推导1n k =+时，不等式的左边增加的式子是（） A.112k + B.121k+ C. 11121222k k k k++++++D.111121222k kk ++++++ 【答案】D 【解析】【分析】把n 用1n +替换后两者比较可知增加的式子．【详解】当n k =时，左边1111232k =+++，当1n k =+时，左边1111111123221222k k k k +=+++++++++，所以由n k =推导1n k =+时，不等式的左边增加的式子是111121222k kk ++++++，故选：D.【点睛】本题考查数学归纳法，掌握数学归纳法的概念是解题基础．从n k =到1n k =+时，式子的变化是数学归纳法的关键． 12.设'()f x 是函数()f x 的导函数，且'()2()()f x f x x R >∈，12f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭（e 为自然对数的底数），则不等式2(ln )f x x <的解集为（）A. 0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B.C. 1,2e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.2e ⎛ ⎝ 【答案】B 【解析】【分析】构造函数F （x ）=()2xf x e ，求出导数，判断F （x ）在R 上递增．原不等式等价为F （lnx ）＜F （12），运用单调性，可得lnx ＜12，运用对数不等式的解法，即可得到所求解集．【详解】可构造函数F （x ）=()2xf x e，F′（x ）=()()22222()x xx f x e f x e e -=()()2'2xf x f x e -，由f′（x ）＞2f （x ），可得F′（x ）＞0，即有F （x ）在R 上递增．不等式f （lnx ）＜x 2即为()2f lnx x＜1，（x ＞0），即()2lnxf lnx e＜1，x ＞0．即有F （12）=12f e⎛⎫⎪⎝⎭=1，即为F （lnx ）＜F （12），由F （x ）在R 上递增，可得lnx ＜12，解得0＜x故不等式的解集为（0，故选B ．【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()xf xg x e =， ()()0f x f x '+<构造()()x g x e f x =， ()()xf x f x '<构造()()f xg x x=， ()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.1221sin 1x x dx x -⎫++=⎪+⎭⎰__________. 【答案】223π+【解析】【分析】将1221sin 1x x dx x -⎫+⎪+⎭⎰，转化为1221sin 1x x dx x -⎫+⎪+⎭⎰11dx -=+⎰121sin 1x dx x -⎛⎫ ⎪+⎝⎭⎰121x dx -+⎰，再利用定积分的几何意义及函数的奇偶性求解.【详解】1221sin 1x x dx x -⎫+⎪+⎭⎰11dx -=+⎰121sin 1x dx x -⎛⎫ ⎪+⎝⎭⎰121x dx -+⎰，因为11dx -⎰表示以原点为圆心，1为半径的圆的半圆面积，所以112dx π-=⎰，令()2sin 1x f x x=+，因为()()()()22sin sin 11x x f x f x x x --==-=-++-，所以()f x 为奇函数，所以121sin 01x dx x -⎛⎫=⎪+⎝⎭⎰，而12311112|33x dx x --==⎰，所以1221sin 2123x x dx x π-⎫+=+⎪+⎭⎰. 故答案为：223π+【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性和几何意义求定积分，还考查了运算求解的能力，属于中档题.14.观察下列式子，1ln 23>，11ln 335>+，111ln 4357>++，……，根据上述规律，第n 个不等式应该为__________．【答案】()111ln 13521n n +>+++⨯+【解析】【分析】根据题意，依次分析不等式的变化规律，综合可得答案．【详解】解：根据题意，对于第一个不等式，1ln 23>，则有()1ln 11211+>⨯+，对于第二个不等式，11ln 335>+，则有()11ln 213221+>+⨯+，对于第三个不等式，111ln 4357>++，则有()111ln 2135231+>++⨯+，依此类推：第n 个不等式为：()111ln 13521n n +>+++⨯+，故答案为()111ln 13521n n +>+++⨯+．【点睛】本题考查归纳推理的应用，分析不等式的变化规律．15.如图所示，在著名的汉诺塔问题中，有三根高度相同的柱子和一些大小及颜色各不相同的圆盘，三根柱子分别为起始柱、辅助柱及目标柱.已知起始柱上套有n 个圆盘，较大的圆盘都在较小的圆盘下面.现把圆盘从起始柱全部移到目标柱上，规则如下：每次只能移动一个圆盘，且每次移动后，每根柱上较大的圆盘不能放在较小的圆盘上面，规定一个圆盘从任一根柱上移动到另一根柱上为一次移动.若将n 个圆盘从起始柱移动到目标柱上最少需要移动的次数记为()p n ，则(4)p =__________，()p n =__________.【答案】 (1). (4)15p = (2). ()21np n =-【解析】【分析】根据移动方法和规律发现，随着盘子的数目的增多，都是分两个阶段移动，用盘子数目减1的移动次数都移动辅助柱上，然后把最大的盘子移动到目标柱上，再用同样的次数从辅助柱移动到目标柱，从而完成，然后根据移动次数的数据找出总的规律求解. 【详解】将n 个圆盘从起始柱移动到目标柱上最少需要移动的次数记为()p n ，当1n =时，()1p n =，当2n =时，小盘移动到辅助柱，大盘移动到目标柱，小盘从辅助柱移动到目标柱，完成，所以2(2)321p ==-，当3n =时，小盘移动到目标柱，中盘移动到辅助柱，小盘从目标柱移动辅助柱，即用(2)p 种方法把中，小盘移动到辅助柱，然后大盘从起始柱移动到目标柱，再用(2)p 种方法把中，小盘从辅助柱移动到目标柱.所以3(3)(2)(2)1321721p p p =++=⨯+==-2n =的方法，依次类推4(4)(3)(3)17211521p p p =++=⨯+==-，()21np n =-，故答案为：(1). 4(4)2115p =-= (2). ()21np n =-【点睛】本题主要考查合情推理和演绎推理，还考查了逻辑辨析推理的能力，属于中档题. 16.已知函数()()()()21ln 10xf x x f x f e '=-+-，则()f x 的单调递减区间为______.【答案】(]1,0- 【解析】【分析】根据()f x 的解析式，求出(0)f ，再根据导函数f x 求出()1f '，再利用导数来判断()f x 的减区间即可.【详解】由题意，1x >-，()()()()()00021ln 0100f f f e f '=-+-=-，所以(0)0f =，故()()()21ln 1f x x f x '=-+，()()2111f f x x ''=-+，所以()()211111f f ''=-+，解得()112f '=，故()1111xf x x x '=-=++， 0f x，即01xx +≤，解得，10x -<≤，故()f x 的单调递减区间为1,0.故答案为：1,0【点睛】本题主要考查函数值的求法、利用导数研究函数的单调性，属于基础题.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）17.请在综合法，分析法，反证法中选择两种不同的方法证明：（1）如果,0a b >，则lg lg lg22a b a b++≥；（2）3> 【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）运用分析法和综合法，结合基本不等式即可得证；（2）运用分析法，考虑移项和平方，可得证明；运用分子有理化和不等式的性质，即可得证．【详解】（1）方法一、（综合法）因为,0a b >，所以2a b+≥，所以lg2a b+≥因为()11lg lg lg 22ab a b ==+，所以lg lg lg 22a b a b++≥. 方法二、（分析法）要证lg lg 1g 22a b a b++，即为lg 2a b +≥1lg 2ab ＝lg即证2a b +，由,a b ＞0，上式显然成立，则原不等式成立；（2）方法一（分析法）要证3>，即证3>即证()223>.即证1717+>+，即证>，即证>.因为(227270=>=，所以>成立.由上述分析可知3>成立.方法二、由﹣3，由＜3，可得+3，，即﹣3成立．【点睛】本题考查不等式的证明，注意运用分析法和综合法，考查化简运算能力和推理能力，属于基础题．18.已知函数()323f x ax bx x =+-在1x =-和3x =处取得极值.（1）求a ，b 的值.（2）求()f x 在[]4,4-内的最值. 【答案】（1）13a =，1b =-（2）()min 763f x =-；()max 53f x =【解析】【分析】（1）首先求出函数的导函数，利用在1x =-和3x =处取得极值，可得()()10,30f f ''-==，-1和3是()'0f x =的两个根，利用韦达定理即可求解. （2）由（1）求出导函数，利用导函数求出函数的单调区间，进而可求出最值. 【详解】（1）()2'323f x ax bx =+-.由题可得()'0f x =的根为-1和3，∴2133113b a a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=-⎪⎩，解得131a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩.（2）由（1）得()32133f x x x x =--，()2'23f x x x =--， ∴()f x (),1-∞-和()3,+∞内单调递增；()f x 在()1,3-内单调递减；又∵()7643f -=-，()513f -=，()39f =-，()2043f =-， ∴()()min7643f x f =-=-；()()max 513f x f =-=.【点睛】本题考查了函数的极值、利用函数的导函数求最值，解题的关键是求出导函数，属于基础题.19.随着人们生活水平的不断提高，人们对餐饮服务行业的要求也越来越高，由于工作繁忙无法抽出时间来享受美味，这样网上外卖订餐应运而生.若某商家的一款外卖便当每月的销售量y （单位：千盒）与销售价格x （单位：元/盒）满足关系式24(16),12ay x x =+--其中1216x <<,a 为常数，已知销售价格为14元/盒时,每月可售出21千盒. （1）求a 的值；（2）假设该款便当的食物材料、员工工资、外卖配送费等所有成本折合为每盒12元（只考虑销售出的便当盒数），试确定销售价格的值，使该店每月销售便当所获得的利润最大.（结果保留一位小数）【答案】（1）10；（2）当销售价格为13.3元/盒时，商家每日销售所获得的利润最大【解析】【分析】(1)14x =时，21y =,代入关系式()241612m y x x =+--得16212m +=，解得10m =. (2)先求出每日销售外卖便当所获得的利润()()()21041216f x x x =+--，再利用导数求它的最大值.【详解】（1）因为14x =时，21y =,代入关系式()241612m y x x =+--，得16212m +=，解得10m =.（2）由（1）可知，外卖便当每日的销售量()21041612y x x =+--，所以每日销售外卖便当所获得的利润()()()()()221012416104121612f x x x x x x ⎡⎤=-+-=+--⎢⎥-⎣⎦从而()()()416340f x x x ='--. 令()'0f x =，得403x =, 且在4012,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上,()0f x '>，函数f(x)单调递增；在40,163⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x '<，函数f(x)单调递减，所以403x =是函数f(x)在()12,16内的极大值点，也是最大值点，所以当4013.33x =≈时，函数f(x)取得最大值. 故当销售价格为13.3元/盒时，商家每日销售所获得的利润最大.【点睛】(1)本题主要考查导数的应用，考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和解决实际问题的能力.(2) 利用导数解应用题的步骤：①读题和审题，主要是读懂那些字母和数字的含义;②分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系()y f x =（注意确定函数的定义域）；③求函数的导数()/f x ，解方程()/0f x =；④如果函数的定义域是闭区间，可以比较函数在区间端点和使()/0fx =的点的函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值；如果函数的定义域不是闭区间，()/0fx =又只有一个解，则该函数就在此点取得函数的最大（小）值，但是要进行必要的单调性说明.20.已知函数()2x x a a f x -+=，()2x x a a g x --=（其中0a >，且1a ≠），（1）若()()()()()1221f g f g g k ⋅+⋅=，求实数k 的值；（2）能否从（1）的结论中获得启示，猜想出一个一般性的结论并证明你的猜想．【答案】（1）3k =（2）猜想：()=()()()()g x y f x g y f y g x +⋅+⋅；证明见解析【解析】【分析】（1）分别代入并化简，可得()()()()()12213f g f g g ⋅+⋅=，即可求出答案；（2）猜想：()=()()()()g x y f x g y f y g x +⋅+⋅；分别代入表达式，化简并整理即可证明.【详解】解：（1）122221(1)(2)(2)(1)2222a a a a a a a a f g f g ----+-+-⋅+⋅=⨯+⨯31331333(3)442a a a a a a a a a a g ------+--+--=+==.因为函数12x y a =与12x y a -=-具有相同的单调性，且都是单调函数，所以()g x 是单调函数.3k ∴=.（2）由(3)(12)=(1)(2)(2)(1)g g f g f g +⋅+⋅=，猜想：()=()()()()g x y f x g y f y g x +⋅+⋅.证明: ()()()()2222x x y y y y x xa a a a a a a a f x g y f y g x ----+-+-⋅+⋅=⨯+⨯()()44x y y x x y x y x y y x x y x y a a a a a a a a +---++---++---+-=+()()2x y x y a a g x y +-+-==+.所以()=()()()()g x y f x g y f y g x +⋅+⋅.【点睛】本题考查了归纳推理，考查了学生的推理能力，属于中档题.21.已知数列{}n a 满足123a =-，()*112,2nn a n n N a -=-≥∈+. （1）求2a 、3a 、4a ；（2）猜想数列通项公式n a ，并用数学归纳法给出证明. 【答案】（1）234a =-，3445,56a a =-=；（2）12n n a n +=-+，证明见解析.【解析】【分析】（1）根据数列{}n a 满足123a =-，()*112,2nn a n n a -=-≥∈+N 令2,3,4n n n ===求解.（2）根据2a 、3a 、4a ，猜想数列通项公式12n n a n +=-+.用数学归纳法证明：第一步，验证1n =时是否成立，第二步，假设*n k N =∈时成立，12k k a k +=-+.再论证1n k =+时，1(1)1(1)2k k a k +=++-++成立即可.【详解】（1）数列{}n a 满足123a =-，()*112,2nn a n n a -=-≥∈+N . 则2111322423a a =-=-=-+-+，321425a a =-=-+. （2）猜想数列通项公式12n n a n +=-+.用数学归纳法证明：（ⅰ）1n =时，1211312a +=-=-+成立，（ⅱ）假设*n k N =∈时成立，12k k a k +=-+.则1n k =+时，1112(1)1123(1)222k k k k a k k a k k ++++=-=-=-=-+++++-++. 因此1n k =+时，猜想成立. 综上可得：数列通项公式12n n a n +=-+，*N n ∈. 【点睛】本题主要考查数学归纳法，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 22.已知函数1()ln ,f x a x a x=+∈R ．（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）当1[,1]2x ∈时，()f x 的最小值是0，求实数a 的值．【答案】(1)答案见解析；(2)2ln 2【解析】试题分析：（1）求出函数导数，通过讨论a 的取值范围，即可求出函数的单调区间；（2）通过讨论的a 的取值范围，求出函数在1[,1]2x ∈上的单调区间，从而求出函数的最小值，确定实数a 的值．试题解析：（1）()2211a ax f x x x x-=-+='，0x >，当0a ≤时，()0f x '<在()0,+∞上恒成立，则()f x 的单调递减区间为()0,+∞；当0a >时，令()0f x '<，得10x a <<，则()f x 的单调递减区间为10,a ⎛⎫⎪⎝⎭．（2）当a≤1时，f(x)在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则()()min 110f x f ==≠；当a≥2时，f(x ）在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则()min 1102f x f ⎛⎫==≠⎪⎝⎭，解得22ln2a =≥ 当12a <<时，()f x 在11,2a⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,1a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则()min11ln 0f x f a a a a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，解得e a =，舍去．综上，得2ln2a =．点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，考查了数形结合思想和推理能力与计算能力，导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、圆等知识联系； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题； (4)考查数形结合思想的应用．。

甘肃省定西市2020年(春秋版)高二下学期期中数学试卷(理科)(I)卷

甘肃省定西市2020年（春秋版）高二下学期期中数学试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）为了解一批数据在各个范围内所占比例的大小，将这批数据分组，落在各个小组的个数叫做（）A . 频数B . 样本容量C . 频率D . 累计频数2. （2分） (2018高二下·牡丹江月考) 二项式的展开式的常数项为第（）项A . 17B . 18C . 19D . 203. （2分）从1、2、3、4、5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字有2和3时，且2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有（）A . 12个B . 54个C . 51个D . 45个4. （2分）设且m<19<x,则用排列数符号表示为（）A .B .C .D .5. （2分） (2018高二上·齐齐哈尔月考) 矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分内的黄豆数为204颗，以此实验数据为依据可以估计出阴影部分的面积约为（）A . 16B . 16.32C . 16.34D . 15.966. （2分）下列说法中正确的有：已知求得线性回归方程y=bx+a，相关系数r，①若r＞0，则x增大时，y 也相应增大；②若r＜0，则x增大时，y也相应增大；③若r=1，或r=﹣1，则x与y的关系完全对应（有函数关系），在散点图上各个散点均在一条直线上．（）A . ①②B . ②③C . ①③D . ①②③7. （2分）在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是（）A . 众数B . 平均数C . 中位数D . 标准差8. （2分） (2017高二下·咸阳期末) 已知随机变量ξ服从正态分布N（2017，σ2），则P（ξ＜2017）等于（）A .B .C .D .9. （2分）(2013·四川理) 从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lga﹣lgb的不同值的个数是（）A . 9B . 10C . 18D . 2010. （2分） (2016高三上·大庆期中) 二项式（﹣）8的展开式中常数项是（）A . 28B . ﹣7C . 7D . ﹣2811. （2分）(2014·辽宁理) 6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A . 144B . 120C . 72D . 2412. （2分）在区间上任取2个数，若向量，则的概率是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二上·龙潭期中) 一个单位共有职工人，其中男职工人，女职工人．用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为的样本，应抽取女职工________人。

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1
甘肃会宁二中2020年春高二数学（理）下学期期中考试卷
第I卷（选择题)
一、单选题

1．已知复数z=2+i1-i,则复数z在复平面内对应的点在（）.
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2
．有个小偷在警察面前作了如下辩解：是我的录像机，我就一定能把它打开．看，我把它打开了．所以它是我

的录像机．请问这一推理错在（）
A．大前提 B．小前提 C．结论 D．以上都不是

3
．用数学归纳法证明等式

2
135(21)nn

（n∈N*）的过程中，第二步假设n=k时等式成立，则当

n=k+1时应得到（）
A
．

2135(21)kk B．2
135(21)(1)kk

C
．

2135(21)(2)kk D．2
135(21)(3)kk

4
．已知直线l经过1,0，0,1两点，且与曲线yfx切于点2,3A，则



022limxfxfx



的值

为（）
A
．
2
B．1 C．1 D．2

5
．将编号1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3的盒子中，要求不允许有空盒子，且球与盒子的号不能相同，

则不同的放球方法有（）
A．16种 B．12种 C．9种 D
．6种

6
．若

2
()axx
展开式中常数项为60.则常数a的值为（）

A．4 B．2 C．8 D．6
7
．袋中有大小完全相同的2个白球和3个黄球，逐个不放回的摸出两球，设“第一次摸得白球”为事件

，“摸

得的两球同色”为事件B，则()PBA（）

A
．

10
B．15 C．14 D．25

8
．

2
2

2(4)xxdx



（）

A
．


B．4 C．3 D．2

9．电影院一排10
个位置，甲、乙、丙三人去看电影，要求他们坐在同一排，那么他们每人左右两边都有空位且

甲坐在中间的坐法的种数为（）
A．40 B．36 C．32 D．20

10
．函数



lnx

fxxx
的图象大致为（）
2

A．B．C．D．
11．把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在下图图案中的1，2，3，4，5，6，7所示的位置上，其中三盆
兰花不能放在一条直线上，则不同的摆放方法为（）

A．2680种 B．4320种 C．4920种 D．5140种
12
．已知函数


x
fxe，1ln22xgx的图象分别与直线0ymm交于,AB两点，则AB

的最小

值为
( )
A
．

B．2ln2 C．21+2e D．32ln2e

第II卷（非选择题)
二、填空题

13．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量描述一次试验的成功次数，则0P_______
.

14．设x6＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a6(1＋x)6，则a1＋a2＋…＋a
6
＝________.

15
．四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面

的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________.

16
．将正整数有规律地排列如下：

1
234
56789
10
11
121314

15
16

……………
则在此表中第45行第84列出现的数字是
___________.
3

三、解答题
17
．已知abc，，都是不为零的实数，求证：

2a＋2

b
＋2cabbcca．

18
．甲、乙、丙三名学生一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者

将成为该高校的预录取生（可在高考中加分录取），两次考试过程相互独立，根据甲、乙、丙三名学生的平均成
绩分析，甲、乙、丙3名学生能通过笔试的概率分别是0.6，0.5，0.4，能通过面试的概率分别是0.6，0.6，
0.75.
（1）求甲、乙、丙三名学生中恰有一人通过笔试的概率；
（2）求经过两次考试后，至少有一人被该高校预录取的概率
.

19
．已知函数

32
()3fxxaxx

在1x处取到极值
.

（1）求实数a的值，并求出函数()fx的单调区间；
（2）求函数()fx在[1,2]上的最大值与最小值及相应的x的值
.

20．设甲、乙两位同学上学期间，每天7:10之前到校的概率均为23.
假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且

任一同学每天到校情况相互独立
.
（1）用X表示甲同学上学期间的每周五天中7:10之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；
（2）记“上学期间的某周的五天中，甲同学在7:10之前到校的天数比乙同学在7:10之前到校的天数恰好多3天
”
为事件M，求事件M发生的概率
.

21
．当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进．目前，国家教育主管部门正在研制的《新时代全面

加强和改进学校体育美育工作意见》，以及将出台的加强劳动教育指导意见和劳动教育指导大纲，无疑将对体美
劳教育提出刚性要求．为激发学生加强体育活动，保证学生健康成长，某校开展了校级排球比赛，现有甲乙两人
进行比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满8局时停止．设甲在每局

中获胜的概率为12pp，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为59.
（1）求p的值；
（2）设X表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量X的分布列和数学期望EX.

22
．已知函数f(x)=

x
e

-lnx-2ex.

（Ⅰ）求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
（Ⅱ）求证：lnx≥-1ex
（Ⅲ）判断曲线y=f(x)是否位于x轴下方，并说明理由.
4

参考答案
1．D
2．A
3．B
4．C
5．B
6．A
7．C
8．D
9．A
10．A
11．B
12．B

13
．

3
14
．-1

15
．12600

16．2020
17
．见详解

18．（1）0.38；（2）0.6864.

19．（1
）

3
a
，函数()fx在1,13单调递减，在1,3和(1,)上单调递增（2）max()2fx，此

时2x；min()1fx，此时1x
20
．（1）分布列见解析，

10()3EX；（2）80

2187
.

21
．(1)

3
p
(2)见解析

22．（Ⅰ）(1e-1)x-y-2e+1=0；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.