电磁场理论知识点总结

电磁场与电磁波总结

第1章 场论初步

一、矢量代数

A •

B =AB cos θ

A B ⨯=AB e AB sin θ

A •(

B ⨯

C ) = B •(C ⨯A ) = C •(A ⨯B ) A ⨯ (B ⨯C ) = B (A •C ) – C •(A •B ) 二、三种正交坐标系 1. 直角坐标系

矢量线元 x y z =++l e e e d x y z

矢量面元 =++S e e e x y z d dxdy dzdx dxdy 体积元 d V = dx dy dz

单位矢量的关系 ⨯=e e e x y z ⨯=e e e y z x ⨯=e e e z x y 2. 圆柱形坐标系

矢量线元 =++l e e e z d d d dz ρϕρρϕl 矢量面元 =+e e z dS d dz d d ρρϕρρϕ 体积元 dV = ρ d ρ d ϕ d z 单位矢量的关系 ⨯=⨯⨯=e e e e e =e e e e z

z z ρϕϕρρϕ

3. 球坐标系

矢量线元 d l = e r d r + e θ r d θ + e ϕ r sin θ d ϕ 矢量面元 d S = e r r 2sin θ d θ d ϕ 体积元 dv = r 2sin θ d r d θ d ϕ 单位矢量的关系 ⨯=⨯⨯=e e e e e =e e e e r r r θϕ

θϕϕθ

cos sin 0sin cos 0 001x r y z z A A A A A A ⎡⎤

⎡⎤⎡⎤⎢⎥

⎢⎥⎢

⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

ϕϕϕϕϕ

sin cos sin sin cos cos cos cos sin sin sin cos 0x r y z A A A A A A ⎡⎤⎡⎤

⎡⎤⎢⎥⎢⎥

⎢

⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦

θϕθϕθϕ

θθϕθϕθϕϕ

sin 0cos cos 0sin 0

10r r z A A A A A A ⎡⎤⎡⎤

⎡⎤⎢⎥⎢⎥

⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

⎣⎦θϕϕθθθθ

三、矢量场的散度和旋度

1. 通量与散度=⋅⎰

A S S

d Φ 0

lim

∆→⋅=∇⋅=∆⎰A S A A S

v d div v

2. 环流量与旋度=⋅⎰

A l l

d Γ max

n 0

rot =lim

∆→⋅∆⎰A l

A e l

S d S

3. 计算公式

∂∂∂∇=

++∂∂∂⋅A y x z

A A A x y z

11()∂∂∂∇=

++∂∂∂⋅A z

A A A z ϕρρρρρϕ 22111()(sin )sin sin ∂∂∂∇=++∂∂∂⋅A r A r A A r r r r ϕ

θθθθθϕ

x y z ∂

∂∂

∇⨯=

∂∂∂e e e A x y z x y z A A A ∂∂∂

∇⨯=∂∂∂e e e A z z z A A A ρϕ

ρ

ϕρρϕρ sin sin ∂∂∂

∇⨯=∂∂∂e e e A r r z

r r r A r A r A ρ

ϕ

θθθϕθ 4. 矢量场的高斯定理与斯托克斯定理

⋅=∇⋅⎰

⎰A S A S

V d dV

⋅=∇⨯⋅⎰⎰A l A S l

S

d d

四、标量场的梯度 1. 方向导数与梯度

00()()lim

∆→-∂=∂∆l P u M u M u l

l

cos cos cos ∂∂∂∂=

++∂∂∂∂P u

u u u

l

x y z

αβγ cos ∇⋅=∇e l u u θ grad ∂∂∂∂=

=+∂∂∂∂e e e +e n x y z

u u u u

u n x y z

2. 计算公式

∂∂∂∇=++∂∂∂e e e x

y z

u u u

u x y z

1∂∂∂∇=++∂∂∂e e e z u u u u z ρ

ϕρρϕ 11sin ∂∂∂∇=++∂∂∂e e e r u u u

u r r r z

θϕ

θθ 五、无散场与无旋场

1. 无散场 ()0∇⋅∇⨯=A =∇⨯F A

2. 无旋场 ()0∇⨯∇=u =∇F u

六、拉普拉斯运算算子 1. 直角坐标系

2222

2222222

2

2

2

2

2

2

2

2

2

222

222222222∂∂∂∇=++∇=∇+∇+∇∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∇=

++∇=++∇=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂A e e e x x y y z z

y y y x x x z z z x y z

u u u u A A A x y z

A A A A A A A A A A A A x y z x y z x y z

，，

2. 圆柱坐标系

222

22

22222

2222

111212⎛⎫∂∂∂∂∇=++ ⎪∂∂∂∂⎝⎭∂∂⎛⎫⎛⎫∇=∇--+∇-++∇ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝

⎭A e e e z z u u u

u z

A A A A A A A ϕρρρρϕϕϕρρρρρϕρρϕρρϕ

3. 球坐标系

22

222222

111sin sin sin ⎛⎫∂∂∂∂∂⎛⎫∇=+

+ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭u u u

u r r r r r r θθθϕθϕ ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛∂∂+-∂∂+∇+⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛∂∂--∂∂+∇+⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂---∇=∇ϕθθθϕθϕθθθθϕθθθθϕϕϕϕθθθϕθθA r A r A r A A r A r A r A A r A r A r A r A r r r r r 2

22222222222222222sin cos 2sin 1sin 2sin cos 2sin 12sin 2

2cot 22e e e A 七、亥姆霍兹定理

如果矢量场F 在无限区域中处处是单值的，且其导数连续有界，则当矢量场的散度、旋度和边界条件（即矢量场在有限区域V ’边界上的分布）给定后，该矢量场F 唯一确定为

()()()=-∇+∇⨯F r r A r φ

其中 1

()()4''∇⋅'=

'-⎰F r r r r V dV φπ

1

()

()4''∇⨯'='-⎰F r A r r r V dV π

第2章 电磁学基本规律

一、麦克斯韦方程组 1. 静电场基本规律

真空中方程：

d ⋅=⎰

S

E S q

ε

d 0⋅=⎰

l

E l 0

∇⋅=

E ρ

ε 0∇⨯=E 场位关系：3

'

'()(')'4'

-=

-⎰

r r E r r r r V q dV ρπε =-∇E φ 0

1

()

()d 4π'

'='-⎰

r r |r r |

V V ρφε

介质中方程：

d ⋅=⎰

D S S

q

d 0⋅=⎰

l

E l ∇⋅=D ρ 0∇⨯=E

极化：0=+D E P ε e 00(1)=+==D E E E r χεεεε 极化电荷：==⋅P e PS n n P ρ =-∇⋅P P ρ 2. 恒定电场基本规律