6.积分变换
积分变换第1讲x
d t 2 ( 0 ).
(**)
注意0 0时也常用 .
例4
求正弦函数 f(t)=sin0 t 的傅氏变换.
解： F ( )
e
i t
sin 0 td t e 2i
i0 t
e
i 0 t
e
i t
dt
22
1 i ( 0 ) t i ( 0 ) t e ]d t [e 2i ** 1 2 ( 0 ) 2 ( 0 ) 2i i ( 0 ) ( 0 ) .
1 f (t ) 2
[
f ( )e i d ]e it d .
从上式出发，设 F ( ) 则 1 f (t ) 2
f ( t )e i t dt ,
(1)
F ( )e i t d .
( 2)
8
称(1)式，即F ( )
断点, 且当|t|+时, f(t)0, 则
F [ f ' ( t )] iF [ f ( t )].
证明：根据定义，得
F [ f (t )]
f (t )e
i t
dt e i t d f (t )
这类积分一般要含有参 变量，具体形式可写为 ：
b
a
k ( t , ) f ( t )dt F ( ).
记为
这里f (t )是要变换的函数， 原像函数； F ( )是变换后的函数， 像函数； K ( t , )是一个二元函数， 积分变换核 .
积分变换 ppt课件
16
可将d-函数用一个长度等于1的有向线段表示,
这个线段的长度表示d-函数的积分值, 称为d-函数
的强度.
d (t)
1
O
t
d-函数有性质：
d d (t)f(t)dtf(0)及 (tt0)f(t)dtf(t0).
（ ft为 连 续 函 数 ）
可见d-函数和任何连续函数的乘积在实轴上的
这表明在通常意义下的函数类中找不到一个
函数能够表示这样的电流强度. 为了确定这样的电
流强度, 引进一称为狄拉克(Dirac)的函数, 简单记
成d-函数:
d
t
0
t 0 t 0
有了这种函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量,
例如点电荷, 点热源, 集中于一点的质量及脉冲技
பைடு நூலகம்
术中的非常窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的
F() f(t)eitdt 1 eitdt eit 1
1
i
1
1 eiei 2sin
i
f(t)21
F()eitd1
F()costd
0
102s incostd20sin costd
9
例 2求 指 数 衰 减 函 数 f(t) e 0 ,t,
t0的 傅 氏 变 换 及 其 t0
积 分 表 达 式 ,其 中 0.
如果成立
F(w) f(t)ejwdt t
f(t)1 F(w)ejwdt w
2
并称F(ω)为f (t)的象函数
或付里叶变换，记为
F[f(t)]；称f (t)为F(ω)的象 原函数或付里叶逆变换，
记为F-1[F(ω)]
8
例1
求矩形脉冲函数
积分变换法——精选推荐
第十章 积分变换法1．试求有限波列0cos 2()0t f t πγ⎧=⎨⎩ t T t T <≥当当的傅立叶变换()c ω. 解：1()()2i t f t c e d ωωωπ+∞−∞=∫00000000()()cos 2(cos sin )2[cos(2)cos(2)]sin(2)sin(2)22i t T TTc f t e dtt t i t dt t t dt T Tωωπγωωπγωπγωπγωπγωπγωπγω+∞−−∞+−==−=++−+−=++−∫∫∫2.试求阻尼正弦波0sin 2()0t e t f t απγ−⎧=⎨⎩ 00t t ><的傅立叶变换()c ω。
解：1()()2i t f t c e d ωωωπ+∞−∞=∫00000[(2)][(2)]0[(2)][(2)]00000020()()sin 21{}21{}2(2)(2)111[]2(2)(2)2(2)(i t T t i t Ti t i t i ti tc f t e dte te dt e e dte e i i i i i ωαωπγωαπγωαπγωαπγωαωπγπππγωαπγωαππγωαπγωαπγπγα+∞−−∞+−−−+∞−−+++∞−−++===−=−−−++−=−−−++=++∫∫∫2)ω 3．求函数221()f x a x=+（a>0）的傅立叶变换。
解：22()()ikxikxe c kf x edx dx a x −∞∞−−∞−∞==+∫∫为应用留数定理，要分别讨论k<0及k>0情形。
2222x 222222(1)0()2Re ()222(2)0()()()i k xi k zi k iak a z iaikx ikxx ikx k aka k ec k dx i sF ia a xeeii ea z ia ak e e c k dx d x a x a x e d x e e a x a aππππππ∞−∞−=−−∞∞−∞−∞∞−−−∞<==+===+>==−++===+∫∫∫∫用代替综合：()k ac k eaπ−=4.求函数sin ()axf x x =的傅立叶变换，a 为正实数。
积分变换与场论
积分变换与场论
积分变换与场论是物理学和工程学中使用的数学工具，它们在描述和分析物理现象和工程问题时发挥着重要作用。
积分变换是一种将一个函数或分布转换为另一个函数或分布的数学操作。
在物理学和工程学中，积分变换被广泛应用于求解各种偏微分方程和积分方程。
常见的积分变换包括傅里叶变换、拉普拉斯变换、梅林变换等。
这些变换可以用于求解具有复杂边界条件或初始条件的偏微分方程，以及解决涉及时间或空间分布的问题。
场论是研究场的性质和行为的物理学分支。
在物理学中，场是一种物理量在空间中的分布，可以是标量场、矢量场或张量场。
场论用于描述场的产生、传播和相互作用。
在量子力学和相对论中，场论扮演着重要的角色。
量子场论是量子力学与场论的结合，它提供了描述微观粒子相互作用的理论框架。
相对论场论是描述相对论效应的场论，它为研究相对论现象提供了重要的数学工具。
积分变换与场论在许多物理学和工程学领域中都有应用。
例如，在电磁学中，积分变换被用于分析电磁场的分布和传播。
在流体力学中，场论被用于描述流体速度场、压力场和温度场的分布和变化。
在固体物理学中，积分变换和场论被用于描述电子和声子的行为以及材料的电磁和热性质。
总之，积分变换与场论是物理学和工程学中重要的数学工具，它们为解决各种问题提供了有效的数学手段。
积分变换-第1讲
二、引言
在数学中，常用变换的手段把复杂 的运算转化为简单的运算。
本课程中的积分变换就是通过积分运 算，把一个函数变成另一个函数的变换。 本书主要学习Fourier变换与Laplace变换
3
Fourier (1768—1830)
Laplace (1749—1827)
4
三、Fourier级数
1804年，Fourier首次提出“在有限区 间上由任意图形定义的任意函数都可以表 示为单纯的正弦与余弦之和”，但未给出 严格的证明。
j
f
(
) sin (t
)d
d
因 f ( )sin(t )d是的奇函数,
f (t) 1
2
f
(
) cos (t
)
d
d
18
又考虑到积分
f ( )cos(t )d是 的偶函数,
由 f (t) 1
2
f
(
)
cos
(t
)
d
d
得 f (t) 1
0
15
令 T (n )
1
2
T /2 T / 2
fT
(
)e jn
d
e jnt
f
(t )
lim
n 0
T
n
(n )n
T (n )
1[
2
T2 T 2
fT ( )e jn d ]e jnt
Tn 0
1[
2
f ( )e jn d ]e jnt
(n )
由定积分定义 f (t)
(n )dn
分布在整个数轴上:
14
2
2
T
T
积分变换_(Laplace)课件与习题
§1 Laplace变换的概念
设指数衰减函数
(t
)
0, e
t
,
t0
( 0).
t0
考虑 f t t ,,有 f t u t =f t t 0.
若存在 0,使 lim et f t =0,则 + et f t dt .
t
-
那麽 f t u t et的傅氏积分总是存在的。
F [ f (t)u(t)et ] f (t)u(t)ete jtdt
L[ f (t)] F s f (t)estdt 0
f (t)称为F (s)的Laplace逆变换，记为f (t) L1[F (s)]. F (s)称为象函数，f (t)称为象原函数.
8
例1
求单位阶跃函数
u(t)
0 1
t 0 的拉氏变换. t 0
根据拉氏变换的定义, 有
L[u(t)] estd t 0
；
smL
t m
1 s
m!
L
t m
1 s m1
m!
(Re(s) 0).
26
练习： 求 f (t) cost 的Laplace变换.
解 因为
参见上节例3, 与这里方法不同
f (0) 1, f (0) 0, f (t) 2cost,
根据 微分性质 和线性性质
[2 cost] s2 [cost] sf (0) f (0),
对正整数n, 有
L[f
2
(n)
[(ct )o]sstn]F(
s2
s)
[scnos1
t] s,
f (0)
f (n1)(0).
所以
特[c别os地，t] 当sf2
第四章积分变换法
即:由三角函数组成的函项级数成为三角级数。
三角函数系的正交性
(1)三角函数系
1,cos x,sin x,cos 2x,sin 2x, cos kx,sin kx,
( 2)正交 :
任意两个不同函数在[ , ]上的积分等于零。即
i)
cos kxdx 0,
sin kxdx 0,
16
ii)
sin kx cos nxdx 0.
3
特别是对于无界或半无界的定解问题，用积分变换来 求解，最合适不过了。（注明：无界或半无界的定解问题 也可以用第三章方法求解）
4
所谓积分变换，就是把某函数类A中的任意一个函数 f (t)
，经过某种可逆的积分方法（即为通过含参变量 的积分）
b
F( ) f (t)K(t, ) d t
a
变为另一函数类 B中的函数 F ( ), 这里 K (t, ) 是一个确
u(t) 4 (sin t 1 sin 3t 1 sin5t 1 sin7t )
3
Байду номын сангаас
5
7
( t , t 0)
由以上可以看到：一个比较复杂的周期函数可以看 作是许多不同频率的简谐函数的叠加
14
2 三角级数 三角函数系的正交性
三角级数
引例中的简谐振动函数
f (t ) A0 Ak sin(k t k )
傅立叶的两个最主要的贡献:
• “周期信号都可表示为谐波关 系的正弦信号的加权和”—— 傅里叶的第一个主要论点
• “非周期信号都可用正弦信号 的加权积分表示” ——傅里叶的第二个主要论点
10
（一） 周期函数的傅里叶展开 1.傅里叶级数的引进
在物理学中,我们已经知道最简单的波是谐波(正弦
积分变换.ppt
L [ekt ] 1 (P145) sk
1
f (t ) L 1[F (s)]
t
24
有
f
(t
)
1 t
L
1
1[
s1
1] s1
1 (et et ) 1 (et et )
t
t
积分性质 1
设Ff(s()t )=L[ tf(Lt)],1则[F有(s)]
t
2t
解 L [ sht ] =L [1 et 1 et ] 22
1 ( 1 1 ) F(s) 2 s1 s1
由像函数的积分性质, 有 L [ekt ] 1
f (t)
sk
L [ t ] s F (s)ds
27
sht 1 1 1
L
[
t
]
2 s
( s1
但在工程实际应用中, 许多以时间t 作为自 变量的函数往往在 t 0时是无意义的或者 是不需要考虑的. 这样的函数都不能取傅 氏变换. 因此, 傅氏变换的应用范围受到相 当大的限制.
对这些函数f(t)能否经过适当地改造, 使其 进行傅氏变换时克服上述两个缺点呢？ 答案是可以的, 就是拉普拉斯变换.
L [ t f (t)dt] 1F (s)
0
s
此外, 我们还有象函数的积分性质
L [ f (t)]
f (t ) est dt
F (s)ds
t
0t
s
26
或
f(t) = tL 1[ F (s)ds] s
例 求 f (t ) sht et et 的拉氏变换
第三章 积分变换法
G(, )e
0 a 2 2 ( t )
t
a 2 2 ( t )
d ]
F [( )e
1
a 2 2t
] F [ G(, )e
1 0
( x )2 4 a 2t t 1 0
t
d ]
]d
x2
1 2a
方程与初始条件两端同时关于x取Fourier变换，得
dU ( , t ) 2 2 a U ( , t ) dt U ( , t ) ( ) t 0
通过Fourier变换将原问题转化为常微分方程定解问题。方程通解为： U (, t ) Ce
( x )2 4 a 2t '
由公式
( x, t; )
1 2a t
'
f ( , )e
1 d 2a (t )
f ( , )e
( x )2 4 a 2 ( t )
d
由齐次化原理 1 V ( x, t ) ( x, t; )d 0 2a
1
f ( x)e i x dx
F ( )ei x d
f ( x)e i x dx
1 f ( x) F [ F ( )] 2
x
F ( )ei x d
例.求函数f ( x) e 的Fourier变换。
解：F ( )
0
2 2W W 2 , - x , t 0, 2 a 2 ( II ) t x W - x t 0 ( x),
复变函数与积分变换概念公式
复变函数与积分变换概念公式一、复变函数复变函数是指定义在复平面上的函数，即函数的自变量和因变量均为复数。
复数可用标准形式表示为 z = x + yi，其中 x 和 y 分别表示实部和虚部。
复变函数可以将一个复数映射到另一个复数，即 f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中 u 和 v 分别表示实部和虚部。
复变函数通常具有解析性，即满足柯西-黎曼方程，即：∂u/∂x=∂v/∂y∂u/∂y=-∂v/∂x复变函数的求导规则也与实变函数类似，可以通过对u和v分别对x和y求偏导得到。
复变函数的积分也可类似地进行，即将曲线积分转换为线积分，并利用格林公式等方法进行计算。
积分变换是指将一个函数通过积分的方式转换为另一个函数，常见的积分变换包括拉普拉斯变换、傅里叶变换和z变换等。
1.拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种将实函数转换为复函数的积分变换方法，可以用于求解微分方程和信号处理等问题。
拉普拉斯变换的定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞] f(t)e^(-st)dt其中 f(t) 为已知的函数，s 为复变量。
拉普拉斯变换具有线性性质，即 L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)，其中 a 和 b 为常数，f(t) 和g(t) 分别为待变换的函数。
2.傅里叶变换傅里叶变换是一种将复函数表示为基本正弦和余弦函数的线性组合的积分变换方法，主要用于信号处理和频谱分析等领域。
傅里叶变换的定义为：F(ω) = F{f(t)} = ∫[-∞,+∞] f(t)e^(-jωt)dt其中 f(t) 为已知的函数，ω 为角频率。
傅里叶变换也具有线性性质，即 F{af(t) + bg(t)} = aF(ω) + bG(ω)，其中 a 和 b 为常数，f(t) 和 g(t) 分别为待变换的函数。
3.z变换z变换是一种将离散信号表示为z的幂次的线性组合的积分变换方法，主要用于差分方程的求解和数字信号处理等领域。