应力状态习题答案

( 2 ）图解法 作应力圆如题 7 . 3 图（ b , ）所示。从图中
可量得点的坐标，此坐标便是σα 和τα 数值．由题 7 . 3 图（ b1）可知
应力圆蜕化为点 C 。 （c）如题 7 . 3 图（b1）所示。
σ x ＝100MPa，σ y ＝50MPa，τ xy ＝0，α ＝60°
( 1 ）解析法
第七章应力状态习题解答
7 . 3 在题 7 . 3 图所示各单元体中，试用解析法和图解法求斜截面 ab 上的应力。应力的单位为 MPa 。
解（ a ）如题 7 . 3 图（ a ）所示。
σ x ＝70MPa，σ y ＝－70MPa，τ xy ＝0，α ＝30°
( 1 ）解析法
σα
=
σx
+σy 2
+σx
( 2 ）图解法
作应力圆如题 7 . 3 图（ cl ）所示。从图中可量得 Dα 点的坐标，此坐标便是σα 和τα 数值。
( d ）如题 7 . 3 图（ d ）所示。
σ x ＝－50MPa，σ y ＝100MPa，τ xy ＝0，α ＝150°
( 1 ）解析法
σα
=
σx
+σy 2
+σx
−σ y 2
斜截面 AB 与 x 平面的夹角 a2 = 105。，其上应力σ a2＝45MPa,τ a2 = 25 3MPa 。将这些数据代入斜截面
上应力公式中，对 AB 斜截面有
σx
+σy 2
+σx
−σ y 2
cos 210。−τ xy
sin 210。=
45 ①
σ
x
−σ 2
y
sin
210。+ τ
xy
cos
210。=
( 1 ）解析法
σα
=
σx
+σy 2
+
σx
−σ y 2
cos 2α
−τ xy
sin 2α
=
⎛ ⎜⎝
70 + 70 2
+
70 − 70 cos 60D 2
−
0
⎞ ⎟⎠
MPa
=
70MPa
1
τα
=
σx
−σ y 2
sin 2α
+τ xy
cos 2α
=
⎛ ⎜⎝
70
− 2
70
sin
60D
+
0
⎞ ⎟⎠
MPa
=
0
cos 2α
−τ xy
sin 2α
=
⎛ ⎜⎝
−50 +100 2
+
−50
− 2
100
cos
300D
⎞ ⎟⎠
MPa
= −12.5MPa
τα
=
σx
−σ y 2
sin 2α
+τ xy
cos 2α
=
⎛ ⎜⎝
−50 −100 sin 300D 2
+
0
⎞ ⎟⎠
MPa
=
65MPa
( 2 ）图解法
作应力圆如题 7 . 3 图（ d1）所示。从图中可量得 Dα 点的坐标，此 坐标便是σα 和τα 数值。
2
7 . 4 已知应力状态如题 7 . 4 图所示，图中应力单位皆为 MPa 。试用解析法及图解法求： ( l ）主 应力大小，主平面位置； ( 2 ）在单元体上绘出主平面位置及主应力方向； ( 3 ）最大切应力。
解 （ a ）如题 7 . 4 图（ a ）所示。 σ x ＝50MPa，σ y ＝0，τ xy ＝20 MPa
σ1 ＝37MPa，σ 2 ＝0，σ 3 ＝－27MPa
tan 2α0
=
− 2τ xy σx −σy
=
−2× 20 −20 − 30
= −0.8 ，α0 ＝－19.3°
τ max
=
σ1
−σ3 2
=
37 + 27 2
MPa
= 32MPa
( 2 ）图解法作应力圆如题 7 . 4 图（ f 1 ）所示。应力圆与σ 轴的两个交点的坐标即是主应力σ1 、σ 3 的
σα
= σx
+σy 2
+σx
−σ y 2
cos 2α
−τ xy sin 2α
=
⎛ ⎜⎝
100 + 2
50
+
100 − 2
50
cos120D
−
0
⎞ ⎟⎠
MPa
= 62.5MPa
τα
=
σx
−σ y 2
sin 2α
+τ xy
cos 2α
=
⎛ ⎜⎝
100 − 2
50
sin
120D
+
0
⎞ ⎟⎠
MPa
=
21.7MPa
=
σx
−σ 2
y
(−0.5)
−
0.866τ xy
⑥
8
43.3
=
σx
−σ 2
y
(0.5)
−
0.866τ xy
⑦
由⑥+⑦式得 86.6 = −1.732τ xy ,τ xy = −50MPa
将τ xy 值代入⑤⑥式可解得
σ x = σ y = 70MPa
主应力与主平面位置：
} σ max
σ min
= σx +σy ± 2
= ∞, a0
=
45。
单元体草图如题 7。14 图（c）所示。
7．25
如题所示，列车通过钢桥时，在钢桥横梁的
A
点用变形仪量得 ε x
=
0.0004
，
ε y
= −0.00012 。试求
A 点在 x − x 及 y − y 方向的正应力。设 E=200GPa， μ = 0.3 。并问这样能否求出 A 点主应力？
5
( e ）如题 7 . 4 图（ e ）所示。
σ x ＝0 ，σ y = －80 MPa , τ xy ＝20 MPa
( 1 ）解析法
σ σ
max min
⎫ ⎬ ⎭
=
σx
+σy 2
±
⎛σx ⎜ ⎝
−σ y 2
⎞2 ⎟ ⎠
+τ xy
=
⎡ ⎢
0
−
80
±
⎣⎢ 2
按照主应力的记号规定
⎛ ⎜⎝
0
+ 80 2
数值。由 CDx ，顺时针旋转 2α0 ，可确定主平面的方位。CDx 的长度即为最大切应力的数值。主应力
单元体如题 7 . 4 图（f2）所示。
7．14 在 通过一点 A 的两个平面上，应力如题 7。14 图（a）所示，单位为 MPa。试求主应力的数值及 主平面的位置，并用单元体的草图表示出来。
7
解 在题 7。14 图（b）中，斜截面 AC 与 x 平面的夹角 a1 = 75。，其上的应力σ a1＝95MPa,τ a1 = 25 3MPa 。
解：根据广义胡克定律
ε x
=
σ x
E
−
μ
⎛⎜⎜⎝
σ y
E
+
σ y
E
⎞⎠⎟⎟
ε y
=
σ y
E
−
μ
⎛⎜⎜⎝
σ z
E
+
σ x
E
⎞⎠⎟⎟
因σ z
=
0
，所以将测得的
ε x
、
ε y
值代入上二式，
得
0.0004 =
σ x
−
0.3
×
σ y
①
E
E
0.0004 =
σ x
−
0.3
×
σ y
②
E
E
联立①、②式，求得
σ x
=
80 MPa,
σ y
=
0
因 τ 未知，故不能求出主应力。 xy
7．27 从钢构件内某一点的周围取出一单元体，如题 7.27 图（a）所示。根据理论计算已求得 σ = 30 MPa， π = 15 MPa。材料的 E=200GPa， μ = 0.30 。试求对角线 AC 的长度改变 Δl 。
9
解： 欲求对角线 AC 的长度改变 Δl ，必须先知道 AC 方向上的应变，沿 AC 方向取单元体，如题 7.27 图
⎢⎣ 2
按照主应力的记号规定
⎛ ⎝⎜
50 − 2
0
⎞2 ⎠⎟
+
(
−20)2
⎤ ⎥ ⎥⎦
MPa
=
⎧57MPa ⎨⎩−7MPa
σ1 ＝57MPa，σ 2 ＝0，σ 3 ＝－7 MPa
tan 2α0
=
− 2τ xy σx −σy
=
−2× (−20)
50 − 0
= −0.8 ，α0 ＝19.3°
τ max
=
⎞2 ⎟⎠
+
202
⎤ ⎥ ⎦⎥
MPa
=
⎧ 4.7MPa ⎨⎩−84.7MPa
σ1 ＝4.7MPa，σ 2 ＝0，σ 3 ＝－84.7MPa
tan 2α0
= − 2τ xy σx −σy
=
−2× 20 0 + 80
= −0.5 ，α0 ＝－13.3°
τ max
=
σ1
−σ3 2
=
4.7 + 84.7 2
主应力单元体如题 7 . 4 图（ a2 ）所示。 ( b ）如题 7 . 4 图（ b ）所示。
σ x ＝ 50 MPa ，σ y = 0 , τ xy ＝－20 MPa
( 1 ）解析法
σ σ
max min
⎫ ⎬ ⎭
=
σx
+σy 2
±
⎛ ⎜
σ
x
⎝
−σ y 2
⎞2 ⎟ ⎠
+τ xy
=
⎡ ⎢
50
+
0
±
4
( d ）如题 7 . 4 图（ d ）所示。
σ x ＝－40 MPa ，σ y = －20 MPa, τ xy ＝－40 MPa
( 1 ）解析法
σ σ
max min
⎫ ⎬ ⎭
=
σx
+σy 2
±
主应力的记号规定
⎛σx ⎜ ⎝
−σ y 2
⎞2 ⎟ ⎠
+τ xy
=
⎡ ⎢
−40
−
20
±
⎢⎣ 2
⎛ ⎜⎝
σ (
x
−σ 2
y
)2
+τ
2 xy
{ =
⎡ ⎢ ⎣
70
+ 2
70
±
(
70
+
70
)2
+
(−50)2
⎤ ⎥
MPa
=
2
⎦
120 MPa 20 MPa
按照主应力得记号规定 σ1 = 120MPa, σ 2 = 20MPa, σ 3 = 0
tan 2a0
=
− 2τ xy σx −σy
=
−
2× (−50) 70 − 70
tan 2α0
= − 2τ xy σx −σy
=
−2× 20 50 − 0
= −0.8 ，α0 ＝－19.3°
τ max
=
σ1
−σ3 2
=
57 − (−7) 2
MPa
= 32MPa
( 2 ）图解法
3
作应力圆如题 7 . 4 图（ a1）所示。应力回与σ 轴的两个交点对应着两个主应力σ1 、σ 3 ：的数值。 由 CDx ，顺时针旋转 2α0 ，可确定主平面的方位。应力圆的半径即为最大切应力的数值．
= 11.2 − (−71.2) 2
MPa
=
41.2MPa
( 2 ）图解法作应力圆如题 7 . 4 图（ d 1）所示。应力圆与σ 轴的两个交点的坐标，即是σ1 、 σ 3 的数 值。由 CDx ，顺时针旋转 2α0 ，可确定主平面的方位。CDx 的长度即为最大切应力的数值。主应力单
元体如题 7 . 4 图（d2）所示。
−40 + 2
20
⎞2 ⎟⎠
+
(
−40)2
⎤ ⎥ ⎥⎦
MPa
=
⎧ 11.2MPa ⎨⎩−71.2MPa
按照
σ1 ＝11.2MPa，σ 2 ＝0，σ 3 ＝－71.2 MPa
tan 2α0
=
− 2τ xy σx −σy
=
−2× (−40)
−40 + 20
= −4 ，α0 ＝38°
τ max
=
σ1
−σ3 2
于 C 点，以 C 点为圆心， C Dx 为半径作应力圆如
题 7 , 3 图（ al ）所示。
由 C Dx 起始，逆时针旋转 2a＝60°得 Dα ，点。 从图中可量得 Dα 点的坐标，便是σα 和τα 值。
( b ）如题 7 . 3 图（ b ）所示。
σ x ＝70MPa，σ y ＝70MPa，
τ xy ＝0，α ＝300°
（b）所示。该单元体上除正应力外，还有切应力，但它对线应变不产生影响。
σ n
=
σ 2
+
σ 2
cos (2× 30D ) − (−τ) sin (2× 30D )
25
3②
对 AC 斜截面有
σx
+σy 2
+σx
−σ y 2
cos150。−τ xy
sin150。=
95 ③
σ
x
−σ 2
y
sin150。+τ xy
cos150。=
25
3④
将①-④式中任三个联立，即可求解出。譬如联立①②④式得
45
=
σx
+σy 2
+σx
−σ y 2
(−0.866) − 0.5τ xy
⑤
43.3
σ x ＝－20 MPa ，σ y = 30 , τ xy ＝20 MPa
( 1 ）解析法
σ σ
max min
⎫ ⎬ ⎭
=
σx
+σy 2
±
⎛ ⎜
σ
x
⎝
−σ y 2
⎞2 ⎟ ⎠
+τ xy
=
⎡ ⎢
−20
+
30
±
⎢⎣ 2
按照主应力的记号规定
⎛ ⎜⎝
−20 − 2
30
⎞2 ⎟⎠
+
202
⎤ ⎥ ⎥⎦
MPa
=
⎧ 37MPa ⎨⎩−27MPa
( 1 ）解析法
σ σ
max min
⎫ ⎬ ⎭
=
σx
+σy 2
±
⎛ ⎜ ⎝
σ
x
−σ 2
y
⎞2 ⎟ ⎠
+τ xy
=
⎡⎣⎢⎢⎛⎜⎝
50 + 2
0
⎞2 ⎟⎠
±
⎛ ⎜⎝
50 − 2
0
⎞2 ⎟⎠
+
202
⎤ ⎥ ⎦⎥
MPa
=
⎧57MPa ⎨⎩−7MPa
按照主应力的记号规定
σ1 ＝57MPa，σ 2 ＝0，σ 3 ＝－7 MPa
−σ y 2
cos 2α
−τ xy
sin 2α
=
⎛ 70 − 70 ⎜⎝ 2
+
70 + 70 cos 60D 2
−
0
⎞ ⎟⎠
MPa
=
35MPa
τα
=
σx
−σ y 2
sin 2α
+τ xy
cos 2α
=
⎛ ⎜⎝
70
+ 2
70
sin
60D
+ 0⎞⎟⎠ MPa
=
60.6MPa
( 2 ）图解法
作 Oστ 坐标系，取比例 1cm = 70 MPa ，由σ x 、τ xy 定 Dx 点，σ y 、τ xy 定 Dy ，点，连 Dx 、 Dy 交τ 轴
MPa
=
44.7MPa
( 2 ）图解法作应力圆如题 7 . 4 图（ e 1 ）所示。应力圆与 σ 轴的两个交点的坐标即是主应力σ1 、 σ 3
6
的数值。由 CDx ，顺时针旋转 2α0 ，可确定主平面的方位。CDx 的长度即为最大切应力的数值。主应
力单元体如题 7 . 4 图（e2）所示。
( f ）如题 Βιβλιοθήκη Baidu . 4 图（f）所示。
σ1
−σ3 2
=
57 − (−7) 2
MPa
= 32MPa
作应力园如题 7 . 4 图（ b1）所示。应力图与σ 轴的两个交点的坐标即是主应力σ1 、σ 3 的数值．由
CDx ，顺时针旋转 2α0 ，可确定主平面的方位。 CDx 的长度即为最大切应力的数值。主应力单元体如
题 7 . 4 图（c2）所示。