初中数学 人教版九年级上册 22.3实际问题解答题与二次函数同步练习(二)(带答案)
22.3 实际问题与二次函数 同步练习(附答案)
22.3 实际问题与二次函数第1课时二次函数与图形面积1．如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m，则所围成矩形ABCD的最大面积为() A．60 m2B．63 m2C．64 m2D．66 m22．如图，利用一面墙(墙的长度不超过45 m)，用80 m长的篱笆围一个矩形场地．当AD＝时，矩形场地的面积最大，最大值为.第1题图第2题图第3题图第4题图3．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm，点P从点A开始沿AB向B 点以2 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C点以1 cm/s的速度移动，如果P，Q 分别从A，B同时出发，当△PBQ的面积最大时，运动时间t为s.4．如图，在正方形ABCD中，E为BC上的点，F为CD边上的点，且AE＝AF，AB＝4，设EC ＝x，△AEF的面积为y，则y与x之间的函数关系式是．5．用长为20 cm的铁丝，折成一个矩形，设它的一边长为x cm，面积为y cm2.(1)求出y与x的函数关系式；(2)当边长x为多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？6．如图，要利用一面墙(长为30 m)建羊圈，用100 m长的围栏围成两个大小相同的矩形羊圈，每个羊圈留有一个1 m宽的门(留门部分不需要围栏)，若宽用x(m)表示，总面积用y(m2)表示．(1)写出总面积y(m2)与宽x(m)的函数关系式；(2)当面积y＝624时，求羊圈的宽x的值．7．手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm，菱形的面积S(单位：cm2)随其中一条对角线的长x(单位：cm)的变化而变化．(1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；(2)当x是多少时，菱形风筝面积S最大？最大面积是多少？8．用一段长为24 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场，若墙长8 m，则这个养鸡场最大面积为 m2.9．如图，在边长为6 cm的正方形ABCD中，点E，F，G，H分别从点A，B，C，D同时出发，均以1 cm/s的速度向点B，C，D，A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为3s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是cm2.10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝12 cm，点P是AB边上的一个动点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，当PB＝时，四边形PECF的面积最大，最大值为.11．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用28 m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设AB＝x m.(1)若花园的面积为192 m2，求x的值；(2)若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15 m和6 m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积S的最大值．12．用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x 米，面积为y 平方米．(1)求y 关于x 的函数解析式；(2)当x 为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．13．如图，正方形ABCD 的边长为2 cm ，△PMN 是一块直角三角板(∠N ＝30°)，PM ＞2 cm ，PM 与BC 均在直线l 上，开始时M 点与B 点重合，将三角板向右平行移动，直至M 点与C 点重合为止．设BM ＝x cm ，三角板与正方形重叠部分的面积为y cm 2.下列结论：①当0≤x ≤233时，y 与x 之间的函数关系式为y ＝32x 2；②当233<x ≤2时，y 与x 之间的函数关系式为y ＝2x －233；③当MN 经过AB 的中点时，y ＝32cm 2； ④存在x 的值，使y ＝12S 正方形ABCD (S 正方形ABCD 表示正方形ABCD 的面积)．其中正确的是 (写出所有正确结论的序号)．第2课时 二次函数与商品利润1．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售价为x 元，则可卖出(350－10x)件商品，那么卖出商品所赚钱y(元)与售价x(元)之间的函数关系式为( )A ．y ＝－10x 2－560x ＋7 350 B ．y ＝－10x 2＋560x －7 350 C ．y ＝－10x 2＋350x D ．y ＝－10x 2＋350x －7 3502．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x 元(20≤x ≤30，且x 为整数)出售，可卖出(30－x)件．若使利润最大，则每件商品的售价应为 元．3．中考前，某校文具店以每套5元购进若干套考试用具，为让利考生，该店决定售价不超过7元，在几天的销售中发现每天的销售数量y(套)和售价x(元)之间存在一次函数关系，绘制图象如图．(1)y与x的函数关系式为(要求写出x的取值范围)；(2)设销售该套文具每天获利w元，则销售单价应为多少元时，才能使文具店每天的获利最大？最大利润是多少？4．一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，该件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为()A．5元B．10元C．0元D．6元5．某商场销售一批品牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．(1)若商场平均每天盈利1 200元，每件衬衫应降价多少元？(2)想要平均每天盈利最多，每件衬衫应降价多少元？6．喜迎圣诞，某商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价每上涨1元，则每星期就会少卖出10件．设每件商品的售价上涨x 元(x 为正整数)，每星期销售该商品的利润为y 元，则y 与x 的函数关系式为( )A ．y ＝－10x 2＋100x ＋2 000 B ．y ＝10x 2＋100x ＋2 000 C ．y ＝－10x 2＋200x D ．y ＝－10x 2－100x ＋2 0007．某商品进货单价为30元，按40元一个销售能卖40个；若销售单价每涨1元，则销量减少1个．为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为 元．8．某工厂生产的某种产品按产量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件产品，每件利润6元(第一档)．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．(1)若生产第x 档次的产品一天的总利润为y 元(其中x 为正整数，且1≤x ≤10)，求出y 关于x 的函数解析式；(2)若生产第x 档次的产品一天的总利润为1 120元，求该产品的质量档次．9．为了“创建文明城市，建设美丽家园”，我市某社区将辖区内的一块面积为1 000 m 2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花．设种草部分的面积为x(m 2)，种草所需费用y 1(元)与x(m 2)的函数关系式为y 1＝⎩⎪⎨⎪⎧k 1x （0≤x<600），k 2x ＋b （600≤x ≤1 000），其图象如图所示．栽花所需费用y 2(元)与x(m 2)的函数关系式为y 2＝－0.01x 2－20x ＋30 000(0≤x ≤1 000)．(1)请直接写出k 1，k 2和b 的值；(2)设这块1 000 m 2空地的绿化总费用为W(元)，请利用W 与x 的函数关系式，求出绿化总费用W 的最大值；(3)若种草部分的面积不少于700 m 2，栽花部分的面积不少于100 m 2，请求出绿化总费用W 的最小值．10．某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件．为了促销，该店决定降价销售，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元．设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大？最大利润是多少？(3)若该网店每星期想要获得不低于6 480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？第3课时实物抛物线1.河北省赵县的赵州桥是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为y＝－125x2.当水面离桥拱顶的高度DO是4 m时，这时水面宽度AB为()A．－20 m B．10 m C．20 m D．－10 m2．某隧道横截面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图所示．以隧道横截面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，求得该抛物线对应的函数关系式为．3．有一个抛物线形的立交拱桥，这个拱桥的最大高度为16 m，跨度为40 m，现把它的图形放在坐标系中(如图)．若在离跨度中心5 m处的M点垂直竖立一铁柱支撑拱顶，则这根铁柱的长为m.4．(绵阳中考)如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m，水面下降2 m，水面宽度增加 m.5．如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB 和矩形的三边AE ，ED ，DB 组成，已知河底ED 是水平的，ED ＝16 m ，AE ＝8 m ，抛物线的顶点C 到ED 的距离是11 m ．试以ED 所在的直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系，求题中抛物线的函数解析式．6．王大力同学在校运动会上投掷标枪，标枪运行的高度h(m)与水平距离x(m)的关系式为h＝－148x 2＋2324x ＋2，则王大力同学投掷标枪的成绩是 m.7．一名男生推铅球，铅球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系式是y ＝－112x 2＋23x ＋53，铅球运行路线如图． (1)求铅球推出的水平距离；(2)通过计算说明铅球行进高度能否达到4 m.8．某种火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用公式h ＝－5t 2＋150t ＋10表示．经过 s ，火箭达到它的最高点．9．如图，某大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线的解析式是y ＝ax 2＋bx.小强骑自行车从拱梁一端O 沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC ，当小强骑自行车行驶8秒时和28秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC 共需 秒．10．王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线y ＝－15x 2＋85x ，如图，其中y(m)是球的飞行高度，x(m)是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2 m.(1)请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴； (2)请求出球飞行的最大水平距离；(3)若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线？求出其解析式．11．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m ，宽是4 m ．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y ＝－16x 2＋bx ＋c 表示，且抛物线上的点C 到墙面OB的水平距离为3 m ，到地面OA 的距离为172m.(1)求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D 到地面OA 的距离；(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6 m ，宽为4 m ，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？(3)在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等．如果灯离地面的高度不超过8 m ，那么两排灯的水平距离最小是多少米？22.3 实际问题与二次函数第1课时 二次函数与图形面积1．C2．20m ，800__m 2. 3．2.4．y ＝－12x 2＋4x ．5．解：(1)已知一边长为x cm ，则另一边长为(10－x )cm.则y ＝x (10－x )，化简，得y ＝－x 2＋10x (0＜x ＜10)．(2)y ＝10x －x 2＝－(x 2－10x )＝－(x －5)2＋25. ∴当x ＝5时，y 取最大值，为25.答：当边长x 为5 cm 时，矩形的面积最大，最大面积是25 cm 2. 6．解：(1)y ＝x (100－3x ＋2)，即y ＝－3x 2＋102x (24≤x ≤34)．(2)由题意得－3x 2＋102x ＝624，解得x 1＝8(不合题意，舍去)，x 2＝26. 则羊圈的宽x ＝26.7．解：(1)S ＝－12x 2＋30x.(2)∵S ＝－12x 2＋30x ＝－12(x －30)2＋450，且a ＝－12＜0，∴当x ＝30时，S 有最大值，最大面积为450 cm 2. 8．64 . 9．18.10．6cm ，3__cm 2.11．解：，得x (28－x )＝192，解得x 1＝12，x 2＝16. ∴x ＝12或16.(2)S ＝x (28－x )＝－(x －14)2＋196.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≥6，28－x ≥15，解得6≤x ≤13.在6≤x ≤13范围内，S 随x 的增大而增大．∴当x ＝13时，S 最大＝－(13－14)2＋196＝195.12．解：(1)y ＝x (16－x )＝－x 2＋16x (0<x<16)．(2)当y ＝60时，－x 2＋16x ＝60， 解得x 1＝10，x 2＝6.∴当x ＝10或6时，围成的养鸡场的面积为60平方米．(3)当y ＝70时，－x 2＋16x ＝70，整理得 x 2－16x ＋70＝0.∵Δ＝256－280＝－24<0， ∴此方程无实数根．∴不能围成面积为70平方米的养鸡场． 13．①②④．第2课时 二次函数与商品利润1．B3．(1)y＝－20x＋200(5≤x≤7)；(2)解：根据题意得w＝(x－5)(－20x＋200)＝－20x2＋300x－1 000＝－20(x－7.5)2＋125，∵当x＜7.5时，w随x的增大而增大，∴当x＝7时，文具店每天的获利最大，最大利润是－20×(7－7.5)2＋125＝120(元)．答：销售单价为7元时，才能使文具店每天的获利最大，最大利润是120元．4．A5．解：(1)设每件衬衫应降价x元，∵商场平均每天要盈利1 200元，∴(40－x)(20＋2x)＝1 200.整理，得2x2－60x＋400＝0.解得x1＝20，x2＝10.因为要扩大销售，在获利相同的情况下，降价越多，销售越快，故每件衬衫应降价20元．(2)设商场平均每天赢利w元．则 w＝(20＋2x)(40－x)，＝－2x2＋60x＋800，＝－2(x－15)2＋1 250.∴当x＝15时，w取最大值，为1 250.答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为1 250元．6．A7．55．8．解：(1)y＝[6＋2(x－1)]×[95－5(x－1)]，整理，得y＝－10x2＋180x＋400(1≤x≤10)．(2)由－10x2＋180x＋400＝1 120，化简，得x2－18x＋72＝0.解得x1＝6，x2＝12(不合题意，舍去)．∴该产品为第6档次的产品．9．解：(1)k1＝30，k2＝20，b＝6 000.(2)当0≤x<600时，W＝30x＋(－0.01x2－20x＋30 000)＝－0.01x2＋10x＋30 000＝－0.01(x－500)2＋32 500，∵－0.01<0，∴当x＝500时，W取最大值为32 500元．当600≤x≤1 000时，W＝20x＋6 000＋(－0.01x2－20x＋30 000)＝－0.01x2＋36 000，∵－0.01<0，∴当600≤x≤1 000时，W随x的增大而减小．∴当x＝600时，W取最大值为32 400元．∵32 400<32 500，∴W的最大值为32 500元．(3)由题意，得1 000－x≥100，解得x≤900.又∵x≥700，∴700≤x≤900.∵当700≤x≤900时，W随x的增大而减小，∴当x＝900时，W取最小值为27 900元．10．解：(1)y＝300＋30(60－x)＝－30x＋2 100.(2)设每星期的销售利润为W元，依题意，得W＝(x－40)(－30x＋2 100)＝－30x2＋3 300x－84 000＝－30(x－55)2＋6 750.∵－30＜0，∴当x＝55时，W最大＝6 750.答：当每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润是6 750元．(3)由题意，得－30(x －55)2＋6 750＝6 480，解得x 1＝52，x 2＝58.∵抛物线W ＝－30(x －55)2＋6 750的开口向下，∴当52≤x ≤58时，每星期销售利润不低于6 480元．∵在y ＝－30x ＋2 100中，y 随x 的增大而减小，∴当x ＝58时，y 最小＝－30×58＋2 100＝360.答：每星期至少要销售该款童装360件．第3课时 实物抛物线1. C2．y ＝－13x 2． 345解：如图所示．由题知抛物线的顶点坐标为(0，11)，过点B (8，8)，设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋11，将点B 的坐标(8，8)代入抛物线的解析式，得64a ＋11＝8.解得a ＝－364， ∴抛物线的解析式为y ＝－364x 2＋11. 6．48.7．解：(1)当y ＝0时，－112x 2＋23x ＋53＝0， 解得x 1＝10，x 2＝－2(不合题意，舍去)． ∴铅球推出的水平距离是10 m.(2)y ＝－112x 2＋23x ＋53＝－112(x 2－8x ＋16)＋43＋53＝－112(x －4)2＋3. 当x ＝4时，y 取最大值3.∴铅球行进高度不能达到4 m ，最高能达到3 m.8．15s ．9．36．10．解：(1)y ＝－15x 2＋85x ＝－15(x －4)2＋165. ∴抛物线y ＝－15x 2＋85x 开口向下，顶点坐标为(4，165)，对称轴为直线x ＝4. (2)令y ＝0，得－15x 2＋85x ＝0. 解得x 1＝0，x 2＝8.∴球飞行的最大水平距离是8 m.(3)要让球刚好进洞而飞行最大高度不变，则球飞行的最大水平距离为10 m. ∴抛物线的对称轴为直线x ＝5，顶点为(5，165)．设此时对应的抛物线解析式为y ＝a (x －5)2＋165. 又∵点(0，0)在此抛物线上，∴25a ＋165＝0，a ＝－16125. ∴y ＝－16125(x －5)2＋165， 即y ＝－16125x 2＋3225x. 11．解：(1)由题意，得点B 的坐标为(0，4)，点C 的坐标为(3，172)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝c ，172＝－16×32＋3b ＋c. 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝4. ∴该抛物线的函数关系式为y ＝－16x 2＋2x ＋4. ∵y ＝－16x 2＋2x ＋4＝－16(x －6)2＋10， ∴拱顶D 到地面OA 的距离为10 m.(2)当x ＝6＋4＝10时，y ＝－16x 2＋2x ＋4＝－16×102＋2×10＋4＝223＞6， ∴这辆货车能安全通过．(3)当y ＝8时，－16x 2＋2x ＋4＝8，即x 2－12x ＋24＝0，∴x 1＝6＋23，x 2＝6－2 3. ∴两排灯的水平距离最小是6＋23－(6－23)＝43(m )．。
人教新版九年级数学上册22-3实际问题与二次函数 同步练习【含答案】
22.3实际问题与二次函数一、单选题1．某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨一元，月销售量就减少10千克．设销售单价为每千克x 元，月销售利润为y 元，则y 与x 的函数关系式为（ ） A ．y ＝（x ﹣40）（500﹣10x ）B ．y ＝（x ﹣40）（10x ﹣500）C ．y ＝（x ﹣40）[500﹣10（x ﹣50）]D ．y ＝（x ﹣40）[500﹣10（50﹣x ）] 2．出售某种文具盒，若每个可获利x 元，一天可售出(6－x)个．当一天出售该种文具盒的总利润y 最大时，x 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 3．如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m 时，水面宽4m ，水面下降2.5m ，水面宽度增加（ ）A ．1 mB ．2 mC ．3 mD ．6 m 4．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA ，O 恰为水面中心，安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.在过OA 的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系式是2y x 2x 3=-++，则下列结论：（1）柱子OA 的高度为3m ；（2）喷出的水流距柱子1m 处达到最大高度；（3）喷出的水流距水平面的最大高度是4m ；（4）水池的半径至少要3m 才能使喷出的水流不至于落在池外.其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4 5．如图，隧道的截面是抛物线，可以用y= 21416x -+表示，该隧道内设双行道，限高为3m，那么每条行道宽是（）A．不大于4m B．恰好4m C．不小于4m D．大于4m，小于8m6．周长8m的铝合金制成如图所示形状的矩形窗柜，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是（）m2A．45B．83C．4D．567．心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间满足函数关系：y＝－0.1x2＋2.6x＋43 （0≤x≤30）．y值越大，表示接受能力越强．如果学生的接受能力逐步增强，则x的取值范围是（）A．0≤x≤13B．13≤x≤26C．0≤x≤26D．13≤x≤30 8．如图1，△ABC是直角三角形，△A=90°，AB=8cm，AC=6cm点P从点A出发，沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达终点，则另一个动点也停止运动，则三角形APQ的最大面积是（）A．8cm2B．16cm2C．24cm2D．32cm29．某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆．当每张床位每天收费100元时，床位可全部租出．若每张床位每天收费提高20元，则相应地减少了10张床位租出．如果每张床位每天以20元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是()A．140元B．150元C．160元D．180元10．如图所示，已知ABC 中，8BC BC =，上的高4h D =，为BC 上一点，//EF BC ，交AB 于点E ，交AC 于点(F EF 不过A 、)B ，设E 到BC 的距离为x ，则DEF 的面积y 关于x 的函数的图象大致为（ ）．A ．B ．C ．D ．二、填空题11．如图，一座抛物线型拱桥，桥下水面宽度是4m 时，拱高为2m ，一艘木船宽2m.要能顺利从桥下通过，船顶点与桥拱之间的间隔应不少于0.3m ，那么木船的高不得超过 ______m.12．如图，有一个横截面边缘为抛物线的隧道入口，隧道入口处的底面宽度为8m ，两侧距底面4m 高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为6m ，则这个隧道入口的最大高度为_________m ．13．数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x（x≥100）元，则月销量是___________件，销售该运动服的月利润为___________元（用含x的式子表示）.14．某商场以30元/件的进价购进一批商品，按50元/件出售，平均每天可以售出100件．经市场调查，单价每降低5元，则平均每天的销售量可增加20件．若该商品想要平均每天获利1400元，则每件应降价多少元？设每件应降价x元，可列方程为_________．15．某体育公园的圆形喷水池的水柱如图△所示，如果曲线APB表示落点B离点O最远的一条水流(如图△)，其上的水珠的高度y(米)关于水平距离x(米)的函数解析式为y＝－x2＋4x＋94，那么圆形水池的半径至少为_______米时，才能使喷出的水流不落在水池外．三、解答题16．如图是把一个抛物线形桥拱，量得两个数据，画在纸上的情形.小明说只要建立适当的坐标系，就能求出此抛物线的表达式.你认为他的说法正确吗？如果不正确，请说明理由；如果正确，请你帮小明求出该抛物线的表达式.17．一条隧道的截面如图所示，它的上半部分是一个半圆，下半部分是一个矩形，矩形的一边长为2.5m.（1）求隧道截面的面积S()2m关于半圆半径r()m的函数解析式；（2）当半圆半径为2m时，求截面的面积.（π取3.14，结果精确到0.1）18．在足球比赛中，当守门员远离球门时，进攻队员常常会使用“吊射”的战术（把球高高地挑过守门员的头顶，射入球门）.一位球员在离对方球门30m的M处起脚吊射，假如球飞行的路线是一条抛物线，在离球门14m时，足球达到最大高度323m.若以球门底部为坐标原点建立平面直角坐标系，球门PQ的高度为2.44m.（1）通过计算，说明球是否会进球门.（2）如果守门员站在距离球门2m远处，而守门员跳起后最多能摸到2.75m高处，他能否在空中截住这次吊射？19．如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a为10m)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃(由两个小矩形花圃组成)．设花圃的一边AB为x m，面积为S m2．(1)求S与x之间的函数表达式(写出自变量的取值范围)．(2)如果要围成面积为45m2的花圃，那么AB的长是多少米？(3)能围成面积比45m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．答案1．C2．C3．B4．D5．A6．B7．A8．B9．C10．C11．1.212．64713．2400x + 2252024000x x -+-14．(5030)1002014005x x ⎛⎫--+⨯= ⎪⎝⎭15．9216．正确. 22003x y =或236200y x =-+ 17．（1）21π52S r r =+;（2）当2r 时，2π1016.3S =+≈()2m . 18．（1）球不会进球门；（2）守门员不能在空中截住这次吊射. 19．（1）S ＝－3x 2＋24x(143≤x<8)；（2）AB 的长为5m ；（3）能围成面积比45m 2更大的花圃，最大面积为1403m 2，，此时AB ＝143m ，BC ＝10m ．。
人教版九年级上册数学 22.3 实际问题与二次函数 课后训练(含答案)
人教版九年级数学22.3 实际问题与二次函数课后训练一、选择题1. 如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°.若新建墙BC与CD的总长为12 m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是()A．18 m2B．18 3 m2 C．24 3 m2 D.45 32m22. 某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的．为了牢固起见，每段防护栏需要间距0.4 m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5 m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为()A．50 m B．100 mC．160 m D．200 m3. 如图，利用一面墙，其他三边用80米长的篱笆围成一块矩形场地，墙长为30米，则围成矩形场地的最大面积为()A．800平方米B．750平方米C．600平方米D．2400平方米4. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm，BC＝8 cm，点P从点A沿AC 向点C以1 cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2 cm/s的速度运动(点Q运动到点B时，两点同时停止运动)，在运动过程中，四边形P ABQ的面积的最小值为()A．19 cm2B．16 cm2C．15 cm2D．12 cm25. 如图，将一个小球从斜坡上的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y＝4x－12x2刻画，斜坡可以用一次函数y＝12x刻画，下列结论错误的是()A．当小球抛出高度达到7.5 m时，小球距点O的水平距离为3 mB．小球距点O的水平距离超过4 m后呈下降趋势C．小球落地点距点O的水平距离为7 mD．小球距点O的水平距离为2.5 m和5.5 m时的高度相同6. 一种包装盒的设计方法如图所示，四边形ABCD是边长为80 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四点重合于图中的点O，得到一个底面为正方形的长方体包装盒．设BE＝CF＝x cm，要使包装盒的侧面积最大，则x应取()A．30 B．25 C．20 D．157. 用长为12 m的篱笆，一边利用足够长的墙围出一块苗圃．如图，围出的苗圃是五边形ABCDE，AE⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，∠C＝∠D＝∠E.设CD＝DE＝x m，五边形ABCDE的面积为S m2，则S的最大值为()A．12 3 B．12 C．24 3 D．没有最大值8. 一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4 m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5 m时，达到最大高度3.5 m，然后准确落入篮筐内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05 m，在如图(示意图)所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是()A．此抛物线的解析式是y＝－15x2＋3.5B．篮圈中心的坐标是(4，3.05)C．此抛物线的顶点坐标是(3.5，0)D．篮球出手时离地面的高度是2 m二、填空题9. 某种商品每件的进价为20元，经调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，则可卖出(30－x)件．若要使销售利润最大，则每件的售价应为________元．10. 如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF 分开．已知篱笆的总长为900 m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB＝________m时，矩形ABCD的面积最大．11. 某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1 m宽的门．已知计划中的材料可建墙体总长为27 m，则能建成的饲养室总占地面积最大为________m2.12. 如图所示是一座抛物线形拱桥，当水面宽为12 m时，桥拱顶部离水面4 m，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系．若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式为y＝－19(x－6)2＋4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式为________________．13. 某大学生利用业余时间销售一种进价为60元/件的文化衫，前期了解并整理了销售这种文化衫的相关信息如下：(1)月销量y(件)与售价x(元/件)的关系满足y＝－2x＋400；(2)工商部门限制售价x满足70≤x≤150(计算月利润时不考虑其他成本)．给出下列结论：①这种文化衫的月销量最小为100件；②这种文化衫的月销量最大为260件；③销售这种文化衫的月利润最小为2600元；④销售这种文化衫的月利润最大为9000元．其中正确的是________．(把所有正确结论的序号都填上)14. 飞机着落后滑行的距离s(单位：米)关于滑行时间t(单位：秒)的函数解析式是s＝60t－32t2，则飞机着落后滑行的最长时间为________秒．15. 如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内与水平桥面相交于A，B 两点，桥拱最高点C到AB的距离为9 m，AB＝36 m，D，E为桥拱底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7 m，则DE的长为________m.三、解答题16. 超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元(市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元)，每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元/件，每天销售量会减少1件．设销售单价增加x元/件，每天售出y 件．(1)请写出y与x之间的函数解析式(不用写x的取值范围)；(2)当x为多少时，超市每天销售这种玩具可获得利润2250元？(3)设超市每天销售这种玩具可获利w元，当x为多少时w最大，最大值是多少？17. 如图，已知A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16 cm，AD＝6 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，点Q以2 cm/s 的速度向点D移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．(1)经过几秒，P，Q两点之间的距离是10 cm?(2)P，Q两点之间的距离何时最小？18. 如图，排球运动员站在O处练习发球，将球从点O正上方2米的点A处发出，把球看成点，其运行的高度y(米)与运行的水平距离x(米)满足解析式y＝a(x －6)2＋h.已知球网与点O的水平距离为9米，高度为2.43米，球场的边界距点O的水平距离为18米．(1)当h＝2.6时，求y与x之间的函数解析式；(2)当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；(3)若球一定能越过球网，又不出边界，则h的取值范围是多少？人教版 九年级数学 22.3 实际问题与二次函数课后训练-答案一、选择题1. 【答案】C [解析] 如图，过点C 作CE ⊥AB 于点E ， 则四边形ADCE 为矩形，∠DCE ＝∠CEB ＝90°， 则∠BCE ＝∠BCD －∠DCE ＝30°. 设CD ＝AE ＝x m ，则BC ＝(12－x)m.在Rt △CBE 中，∵∠CEB ＝90°，∠BCE ＝30°， ∴BE ＝12BC ＝(6－12x)m ， ∴AD ＝CE ＝BC 2－BE 2＝(6 3－32x)m ，AB ＝AE ＋BE ＝x ＋6－12x ＝(12x ＋6)m ，∴梯形ABCD 的面积＝12(CD ＋AB)·CE ＝12(x ＋12x ＋6)·(6 3－32x) ＝－3 38x 2＋3 3x ＋18 3 ＝－3 38(x －4)2＋24 3.∴当x ＝4时，S 最大＝24 3.即CD 的长为4 m 时，梯形储料场ABCD 的面积最大为24 3 m 2.故选C.2. 【答案】C[解析] 以2 m 长线段所在直线为x 轴，以其垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，求出抛物线的解析式，再求出不锈钢支柱的长度．3. 【答案】B[解析] 设矩形场地中平行于墙的边长为x 米，则垂直于墙的边长为80－x2米，围成矩形场地的面积为y 平方米，则y ＝x ·（80－x ）2＝－12x 2＋40x ＝－12(x －40)2＋800.∵a <0，∴x <40时，y 随x 的增大而增大，由于墙长为30米，∴0<x ≤30，∴当x ＝30时，y 取得最大值，为－12×(30－40)2＋800＝750.4. 【答案】C[解析] 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10 cm ，BC ＝8 cm ，∴AC ＝AB 2－BC 2＝6 cm.设运动时间为t s(0<t≤4)，则PC ＝(6－t)cm ，CQ ＝2t cm ，∴S 四边形PABQ ＝S △ABC －S △CPQ ＝12AC·BC －12PC·CQ ＝12×6×8－12(6－t)×2t ＝t 2－6t ＋24＝(t －3)2＋15，∴当t ＝3时，四边形PABQ 的面积取得最小值，最小值为15 cm 2. 故选C.5. 【答案】A[解析] 令y ＝7.5，得4x －12x 2＝7.5.解得x 1＝3，x 2＝5.可见选项A错误．由y ＝4x －12x 2得y ＝－12(x －4)2＋8，∴对称轴为直线x ＝4，当x ＞4时，y 随x 的增大而减小，选项B 正确．联立y ＝4x －12x 2与y ＝12x ，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝72.∴抛物线与直线的交点坐标为(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫7，72，可见选项C 正确． 由对称性可知选项D 正确．综上所述，只有选项A 中的结论是错误的，故选A.6. 【答案】C[解析] 如图，设BE ＝CF ＝x cm ，则EF ＝(80－2x )cm.∵△EFM 和△CFN 都是等腰直角三角形，∴MF ＝22EF ＝(40 2－2x )cm ，FN ＝2CF ＝2x cm ，∴包装盒的侧面积＝4MF ·FN ＝4·2x (40 2－2x )＝－8(x －20)2＋3200，故当x＝20时，包装盒的侧面积最大．7. 【答案】A[解析] 连接EC，过点D作DF⊥EC，垂足为F.∵∠DCB＝∠CDE＝∠DEA，∠EAB＝∠CBA＝90°，∴∠DCB＝∠CDE＝∠DEA＝120°.∵DE＝CD，∴∠DEC＝∠DCE＝30°，∴∠CEA＝∠ECB＝90°，∴四边形EABC为矩形．∵DE＝x m，∴AE＝(6－x)m，DF＝12x m，EC＝3x m，∴S＝12·3x·12x＋(6－x)·3x＝－3 34x2＋6 3x(0<x<6)，故当x＝4时，S最大＝123.8. 【答案】A[解析] ∵抛物线的顶点坐标为(0，3.5)，∴可设抛物线的函数解析式为y＝ax2＋3.5.∵篮圈中心(1.5，3.05)在抛物线上，∴3.05＝a×1.52＋3.5.解得a＝－15.∴y＝－15x2＋3.5.可见选项A正确．由图示知，篮圈中心的坐标是(1.5，3.05)，可见选项B错误．由图示知，此抛物线的顶点坐标是(0，3.5)，可见选项C错误．将x＝－2.5代入抛物线的解析式，得y＝－15×(－2.5)2＋3.5＝2.25，∴这次跳投时，球出手处离地面2.25 m可见选项D错误．故选A.二、填空题9. 【答案】25[解析] 设利润为w元，则w＝(x－20)(30－x)＝－(x－25)2＋25. ∵20≤x≤30，∴当x ＝25时，二次函数有最大值25.10. 【答案】150[解析] 设AB ＝x m ，则AB ＝EF ＝CD ＝x m ，所以AD ＝BC ＝12(900－3x)m.设矩形ABCD 的面积为y m 2，则y ＝x·12(900－3x)＝－32x 2＋450x(0＜x ＜300)．由于二次项系数小于0，所以y 有最大值，且当x ＝－b2a ＝－4502×（－32）＝150时，函数y 取得最大值．故当AB ＝150 m 矩形ABCD 的面积最大．11. 【答案】75[解析] 设与墙垂直的一边的长为x m ，则与墙平行的一边的长为27－(3x －1)＋2＝(30－3x)m.因此饲养室总占地面积S ＝x(30－3x)＝－3x 2＋30x ，∴当x ＝－302×（－3）＝5时，S 最大，S最大值＝－3×52＋30×5＝75.故能建成的饲养室总占地面积最大为75 m 2.12. 【答案】y ＝－19(x ＋6)2＋413. 【答案】①②③[解析] 由题意知，当70≤x≤150时，y ＝－2x ＋400，∵－2＜0，∴y 随x 的增大而减小，∴当x ＝150时，y 取得最小值，最小值为100，故①正确； 当x ＝70时，y 取得最大值，最大值为260，故②正确； 设销售这种文化衫的月利润为W 元，则W ＝(x －60)(－2x ＋400)＝－2(x －130)2＋9800， ∵70≤x≤150，∴当x ＝70时，W 取得最小值，最小值为－2(70－130)2＋9800＝2600，故③正确；当x ＝130时，W 取得最大值，最大值为9800，故④错误． 故答案为①②③.14. 【答案】20[解析] 滑行的最长时间实际上是求顶点的横坐标．∵s ＝60t －32t 2＝－32(t －20)2＋600，∴当t ＝20时，s 的最大值为600.15. 【答案】48[解析] 建立如图所示的平面直角坐标系，设AB 与y 轴交于点H.∵AB ＝36 m ，∴AH ＝BH ＝18 m. 由题可知：OH ＝7 m ，CH ＝9 m ， ∴OC ＝9＋7＝16(m)．设该抛物线的解析式为y ＝ax 2＋k. ∵抛物线的顶点为C(0，16)， ∴抛物线的解析式为y ＝ax 2＋16.把(18，7)代入解析式，得7＝18×18a ＋16， ∴7＝324a ＋16， ∴a ＝－136， ∴y ＝－136x 2＋16.当y ＝0时，0＝－136x 2＋16， ∴－136x 2＝－16，解得x ＝±24， ∴E(24，0)，D(－24，0)， ∴OE ＝OD ＝24 m ，∴DE ＝OD ＋OE ＝24＋24＝48(m)．三、解答题16. 【答案】解：(1)根据题意，得y ＝－12x ＋50. (2)根据题意，得(40＋x)(－12x ＋50)＝2250， 解得x 1＝50，x 2＝10.∵每件利润不能超过60元，∴x＝50不合题意，舍去，∴x＝10.答：当x为10时，超市每天销售这种玩具可获得利润2250元．(3)根据题意，得w＝(40＋x)(－12x＋50)＝－12x2＋30x＋2000＝－12(x－30)2＋2450.∵a＝－12<0，∴当x＜30时，w随x的增大而增大，∴当x＝20时，w最大＝2400.答：当x为20时w最大，最大值是2400.17. 【答案】解：(1)设经过x s，P，Q两点之间的距离是10 cm，则AP＝3x，CQ＝2x，过点Q作QM⊥AB于点M，则PM＝|16－2x－3x|＝|16－5x|.根据勾股定理，得PM2＋QM2＝PQ2，即(16－5x)2＋62＝102，解得x1＝1.6，x2＝4.8.答：经过1.6 s或4.8 s，P，Q两点之间的距离是10 cm. (2)∵PQ＝（16－5x）2＋62，∴当16－5x＝0，即x＝165时，PQ最小．故当点P，Q出发165s时，PQ最小．18. 【答案】解：(1)当h＝2.6时，y＝a(x－6)2＋2.6.因为点A(0，2)在抛物线上，所以2＝a(0－6)2＋2.6，解得a＝－1 60，所以y与x之间的函数解析式为y＝－160(x－6)2＋2.6.(2)球能越过球网且会出界．理由：当x＝9时，y＝－160(9－6)2＋2.6＝2.45＞2.43，所以球能越过球网；当x＝18时，y＝－160(18－6)2＋2.6＝－2.4＋2.6＝0.2＞0，所以球会出界．(3)把x＝0，y＝2代入y＝a(x－6)2＋h，得a＝2－h 36，所以y＝2－h36(x－6)2＋h.当x＝9时，y＝2－h36(9－6)2＋h＝2＋3h4＞2.43.①当x＝18时，y＝2－h36(18－6)2＋h＝8－3h≤0.②由①②解得h≥8 3.。
人教版 九年级上册数学 22.3 实际问题与二次函数(含答案)
人教版 九年级数学 22.3 实际问题与二次函数一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD ，其中∠C ＝120°.若新建墙BC 与CD 的总长为12 m ，则该梯形储料场ABCD 的最大面积是( )A ．18 m 2B ．18 3 m 2C ．24 3 m 2D.45 32 m 22. 有一根长60 cm 的铁丝，用它围成一个矩形，则矩形的面积S (cm 2)与它的一边长x (cm)之间的函数解析式为( ) A ．S ＝60xB ．S ＝x (60－x )C ．S ＝x (30－x )D ．S ＝30x3. 如图，△ABC 是直角三角形，∠A ＝90°，AB ＝8 cm ，AC ＝6 cm ，点P 从点A出发，沿AB 方向以2 cm/s 的速度向点B 运动；同时点Q 从点A 出发，沿AC 方向以1 cm/s 的速度向点C 运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动，则四边形BCQP 面积的最小值是( )A ．8 cm 2B ．16 cm 2C ．24 cm 2D ．32 cm 24. 如图，利用一面墙，其他三边用80米长的篱笆围成一块矩形场地，墙长为30米，则围成矩形场地的最大面积为( )A ．800平方米B ．750平方米C ．600平方米D ．2400平方米5. 如图，铅球运动员掷铅球的高度y (m)与水平距离x (m)之间的函数解析式是y＝－112x 2＋23x ＋53，则该运动员此次掷铅球的成绩是( )A ．6 mB ．12 mC ．8 mD ．10 m6. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10 cm ，BC ＝8 cm ，点P 从点A 沿AC向点C 以1 cm/s 的速度运动，同时点Q 从点C 沿CB 向点B 以2 cm/s 的速度运动(点Q 运动到点B 时，两点同时停止运动)，在运动过程中，四边形P ABQ 的面积的最小值为 ( )A ．19 cm 2B ．16 cm 2C ．15 cm 2D ．12 cm 27. 在羽毛球比赛中，羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y ＝－14x 2＋bx ＋c 的一部分(如图)，其中出球点B 离地面点O 的距离是1 m ，球落地点A 到点O 的距离是4 m ，那么这条抛物线的解析式是( )A ．y ＝－14x 2＋34x ＋1B ．y ＝－14x 2＋34x －1C ．y ＝－14x 2－34x ＋1D ．y ＝－14x 2－34x －18. 一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4 m 处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5 m 时，达到最大高度3.5 m ，然后准确落入篮筐内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05 m ，在如图 (示意图)所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是( )A．此抛物线的解析式是y＝－15x2＋3.5B．篮圈中心的坐标是(4，3.05)C．此抛物线的顶点坐标是(3.5，0)D．篮球出手时离地面的高度是2 m9. 如图，将一个小球从斜坡上的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y＝4x－12x2刻画，斜坡可以用一次函数y＝12x刻画，下列结论错误的是()A．当小球抛出高度达到7.5 m时，小球距点O的水平距离为3 mB．小球距点O的水平距离超过4 m后呈下降趋势C．小球落地点距点O的水平距离为7 mD．小球距点O的水平距离为2.5 m和5.5 m时的高度相同10. 一种包装盒的设计方法如图所示，四边形ABCD是边长为80 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四点重合于图中的点O，得到一个底面为正方形的长方体包装盒．设BE＝CF＝x cm，要使包装盒的侧面积最大，则x应取()A．30 B．25 C．20 D．15二、填空题（本大题共8道小题）11. 某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长50 m)，中间用两道墙隔开(如图)．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48 m，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为________ m2.12. 某种商品每件的进价为20元，经调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，则可卖出(30－x)件．若要使销售利润最大，则每件的售价应为________元．13. 已知一个直角三角形两直角边长的和为30，则这个直角三角形的面积最大为________．14. 如图所示是一座抛物线形拱桥，当水面宽为12 m时，桥拱顶部离水面4 m，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系．若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式为y＝－19(x－6)2＋4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式为________________．15. 某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1 m宽的门．已知计划中的材料可建墙体总长为27 m，则能建成的饲养室总占地面积最大为________m2.16. 飞机着落后滑行的距离s(单位：米)关于滑行时间t(单位：秒)的函数解析式是s＝60t－32t2，则飞机着落后滑行的最长时间为________秒．17. 如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内与水平桥面相交于A，B 两点，桥拱最高点C到AB的距离为9 m，AB＝36 m，D，E为桥拱底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7 m，则DE的长为________m.18. 如图，小明的父亲在相距2 m的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高度都是2.5 m，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1 m的小明距较近的那棵树0.5 m时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点到地面的距离为________m.三、解答题（本大题共4道小题）19. 某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵果树就会少结5个橙子，假设果园多种x棵橙子树．(1)直接写出平均每棵树结的橙子数y(个)与x之间的关系式；(2)果园多种多少棵橙子树时，可以使橙子的总产量最大？最大为多少个？20. 如图，排球运动员王亮站在点O处练习发球，将球从点O正上方2 m的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y ＝a(x－6)2＋h.已知球网与点O的水平距离为9 m，高度为2.43 m，球场的边界距点O的水平距离为18 m.(1)当h＝2.6时，①求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量x的取值范围)；②球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；③若排球运动员张明站在另外半场的点M(m，0)，且张明原地起跳接球的最大高度为2.4 m．若张明因接球的高度不够而失球，求m的取值范围．(2)若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．21. 某公司对一种新型产品的产销情况进行了营销调查，发现年产量为x(吨)时，所需的成本y(万元)与(x2＋60x＋800)成正比例，投入市场后当年能全部售出且发现每吨的售价p(单位：万元)由基础价与浮动价两部分组成，其中基础价是固定不变的，浮动价与x成正比例，比例系数为－120.在营销中发现年产量为20吨时，所需的成本是240万元，并且年销售利润W(万元)的最大值为55万元．(注：年利润＝年销售额－成本)(1)求y(万元)与x(吨)之间满足的函数解析式(不必写出自变量的取值范围)；(2)求年销售利润W(万元)与年产量x(吨)之间满足的函数解析式(不必写出自变量的取值范围)；(3)当年销售利润最大时，每吨的售价是多少万元？22. 如图，用一块长为50 cm，宽为30 cm的长方形铁片制作一个无盖的盒子，若在铁片的四个角各截去一个相同的小正方形，设小正方形的边长为x cm.(1)盒子底面的长AB＝________ cm，宽BC＝________ cm.(用含x的代数式表示)(2)若做成的盒子的底面积为300 cm2，求该盒子的容积．(3)该盒子的侧面积S(cm2)是否存在最大值？若存在，求出此时x的值及S的最大值；若不存在，说明理由.人教版 九年级数学 22.3 实际问题与二次函数-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】C [解析] 如图，过点C 作CE ⊥AB 于点E ， 则四边形ADCE 为矩形，∠DCE ＝∠CEB ＝90°， 则∠BCE ＝∠BCD －∠DCE ＝30°. 设CD ＝AE ＝x m ，则BC ＝(12－x)m.在Rt △CBE 中，∵∠CEB ＝90°，∠BCE ＝30°， ∴BE ＝12BC ＝(6－12x)m ， ∴AD ＝CE ＝BC 2－BE 2＝(6 3－32x)m ，AB ＝AE ＋BE ＝x ＋6－12x ＝(12x ＋6)m ，∴梯形ABCD 的面积＝12(CD ＋AB)·CE ＝12(x ＋12x ＋6)·(6 3－32x) ＝－3 38x 2＋3 3x ＋18 3 ＝－3 38(x －4)2＋24 3.∴当x ＝4时，S 最大＝24 3.即CD 的长为4 m 时，梯形储料场ABCD 的面积最大为24 3 m 2.故选C.2. 【答案】C3. 【答案】A[解析] 设运动时间为t s ，四边形BCQP 的面积为S m 2，则S ＝AB ·AC 2－AP ·AQ 2＝8×62－2t ×t 2＝－t 2＋24. ∵点P 从点A 出发，沿AB 方向以2 m/s 的速度向点B 运动，同时点Q 从点A出发，沿AC 方向以1 cm/s 的速度向点C 运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动，8÷2＝4，6÷1＝6， ∴0<t ≤4，∴当t ＝4时，S 取得最小值，最小值为－42＋24＝8(cm 2)．4. 【答案】B[解析] 设矩形场地中平行于墙的边长为x 米，则垂直于墙的边长为80－x2米，围成矩形场地的面积为y 平方米， 则y ＝x ·（80－x ）2＝－12x 2＋40x ＝－12(x －40)2＋800.∵a <0，∴x <40时，y 随x 的增大而增大，由于墙长为30米，∴0<x ≤30，∴当x ＝30时，y 取得最大值，为－12×(30－40)2＋800＝750.5. 【答案】D[解析] 把y ＝0代入y ＝－112x 2＋23x ＋53，得－112x 2＋23x ＋53＝0，解得x 1＝10，x 2＝－2.又∵x ＞0，∴x ＝10. 故选D.6. 【答案】C[解析] 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10 cm ，BC ＝8 cm ，∴AC ＝AB 2－BC 2＝6 cm.设运动时间为t s(0<t≤4)，则PC ＝(6－t)cm ，CQ ＝2t cm ， ∴S四边形PABQ ＝S △ABC －S △CPQ＝12AC·BC －12PC·CQ ＝12×6×8－12(6－t)×2t ＝t 2－6t ＋24＝(t －3)2＋15，∴当t ＝3时，四边形PABQ 的面积取得最小值，最小值为15 cm 2. 故选C.7. 【答案】A [解析] A ，B 两点的坐标分别为(4，0)，(0，1)，把(4，0)，(0，1)分别代入y＝－14x 2＋bx ＋c ，求出b ，c 的值即可．8. 【答案】A[解析] ∵抛物线的顶点坐标为(0，3.5)，∴可设抛物线的函数解析式为y ＝ax 2＋3.5.∵篮圈中心(1.5，3.05)在抛物线上，∴3.05＝a×1.52＋3.5.解得a ＝－15.∴y ＝－15x 2＋3.5.可见选项A 正确．由图示知，篮圈中心的坐标是(1.5，3.05)，可见选项B 错误． 由图示知，此抛物线的顶点坐标是(0，3.5)，可见选项C 错误．将x ＝－2.5代入抛物线的解析式，得y ＝－15×(－2.5)2＋3.5＝2.25，∴这次跳投时，球出手处离地面2.25 m 可见选项D 错误． 故选A.9. 【答案】A[解析] 令y ＝7.5，得4x －12x 2＝7.5.解得x 1＝3，x 2＝5.可见选项A错误．由y ＝4x －12x 2得y ＝－12(x －4)2＋8，∴对称轴为直线x ＝4，当x ＞4时，y 随x 的增大而减小，选项B 正确．联立y ＝4x －12x 2与y ＝12x ，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝72.∴抛物线与直线的交点坐标为(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫7，72，可见选项C 正确．由对称性可知选项D 正确．综上所述，只有选项A 中的结论是错误的，故选A.10. 【答案】C[解析] 如图，设BE ＝CF ＝x cm ，则EF ＝(80－2x )cm.∵△EFM和△CFN 都是等腰直角三角形，∴MF ＝22EF ＝(40 2－2x )cm ，FN ＝2CF ＝2x cm ，∴包装盒的侧面积＝4MF ·FN ＝4·2x (40 2－2x )＝－8(x －20)2＋3200， 故当x ＝20时，包装盒的侧面积最大．二、填空题（本大题共8道小题）11. 【答案】144 【解析】∵围墙的总长为50 m ，设3间饲养室合计长x m ，则饲养室的宽＝48－x 4 m ，∴总占地面积为y ＝x·48－x 4＝－14x 2＋12x(0＜x ＜48)，由y ＝－14x 2＋12x ＝－14(x －24)2＋144，∵x ＝24在0＜x ＜48范围内，a ＝－14<0，∴在0＜x≤24范围内，y 随x 的增大而增大，∴x ＝24时，y 取得最大值，y 最大＝144 m 2.12. 【答案】25 [解析] 设利润为w 元，则w ＝(x －20)(30－x)＝－(x －25)2＋25. ∵20≤x≤30，∴当x ＝25时，二次函数有最大值25.13. 【答案】225214. 【答案】y ＝－19(x ＋6)2＋415. 【答案】75[解析] 设与墙垂直的一边的长为x m ，则与墙平行的一边的长为27－(3x －1)＋2＝(30－3x)m.因此饲养室总占地面积S ＝x(30－3x)＝－3x 2＋30x ，∴当x ＝－302×（－3）＝5时，S 最大，S最大值＝－3×52＋30×5＝75.故能建成的饲养室总占地面积最大为75 m 2.16. 【答案】20[解析] 滑行的最长时间实际上是求顶点的横坐标．∵s ＝60t －32t 2＝－32(t －20)2＋600，∴当t ＝20时，s 的最大值为600.17. 【答案】48[解析] 建立如图所示的平面直角坐标系，设AB 与y 轴交于点H.∵AB ＝36 m ，∴AH ＝BH ＝18 m. 由题可知：OH ＝7 m ，CH ＝9 m ， ∴OC ＝9＋7＝16(m)．设该抛物线的解析式为y＝ax2＋k.∵抛物线的顶点为C(0，16)，∴抛物线的解析式为y＝ax2＋16.把(18，7)代入解析式，得7＝18×18a＋16，∴7＝324a＋16，∴a＝－1 36，∴y＝－136x2＋16.当y＝0时，0＝－136x2＋16，∴－136x2＝－16，解得x＝±24，∴E(24，0)，D(－24，0)，∴OE＝OD＝24 m，∴DE＝OD＋OE＝24＋24＝48(m)．18. 【答案】0.5[解析] 以抛物线的对称轴为纵轴，向上为正，以对称轴与地面的交点为坐标原点建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式可设为y＝ax2＋h.由于抛物线经过点(1，2.5)和(－0.5，1)，于是求得a＝2，h＝0.5.三、解答题（本大题共4道小题）19. 【答案】解：(1)平均每棵树结的橙子个数y(个)与x之间的关系为：y＝600－5x(0≤x≤120)．(3分)(2)设果园多种x棵橙子树时，可使橙子的总产量为w，(4分)则w＝(600－5x)(100＋x)＝－5x2＋100x＋60000＝－5(x－10)2＋60500.(7分)答：果园多种10棵橙子树时，可使橙子的总产量最大，最大为60500个．(8分) 20. 【答案】解：(1)①把x＝0，y＝2及h＝2.6代入y＝a(x－6)2＋h，得2＝a(0－6)2＋2.6，∴a＝－1 60，∴y＝－160(x－6)2＋2.6.②球能越过球网，球会出界．理由如下：由①知y＝－160(x－6)2＋2.6，当x＝9时，y＝－160×(9－6)2＋2.6＝2.45＞2.43，∴球能越过球网．当x＝18时，y＝－160×(18－6)2＋2.6＝0.2＞0，∴球会出界．③若运动员张明原地起跳到最大高度时刚好接到球，此时－160(m－6)2＋2.6＝2.4，解得m1＝6＋2 3，m2＝6－2 3.∵张明接球高度不够，∴6－2 3＜m＜6＋2 3.∵张明在另外半场，∴m的取值范围为9＜m＜6＋2 3.(2)将x＝0，y＝2代入y＝a(x－6)2＋h，得a＝2－h 36.当x＝9时，y＝2－h36(9－6)2＋h＝2＋3h4＞2.43；①当x＝18时，y＝2－h36(18－6)2＋h＝8－3h≤0.②由①②，得h≥8 3.21. 【答案】解：(1)设y＝k(x2＋60x＋800)(k≠0)，由题意，得240＝k(202＋60×20＋800)，解得k＝1 10，∴y＝110x2＋6x＋80.(2)设基础价为a，则p＝a－120x，∴W＝px－y＝(a－120x)x－(110x2＋6x＋80)＝－320[x－13×10(a－6)]2＋13×5(a－6)2－80.∵W的最大值为55，∴13×5(a －6)2－80＝55，解得a 1＝15，a 2＝－3(舍去)，∴W ＝－320[x －13×10×(15－6)]2＋13×5×(15－6)2－80＝－320(x －30)2＋55.(3)∵W ＝－320(x －30)2＋55，∴当x ＝30时，年销售利润最大，∴p ＝a －120x ＝15－120×30＝13.5，∴当年销售利润最大时，每吨的售价是13.5万元．22. 【答案】解：(1)(50－2x) (30－2x)(2)依题意，得(50－2x)(30－2x)＝300，整理，得x 2－40x ＋300＝0，解得x 1＝10，x 2＝30(不符合题意，舍去)．当x ＝10时，盒子的容积＝300×10＝3000(cm 3)．(3)存在．盒子的侧面积S ＝2x(50－2x)＋2x(30－2x)＝100x －4x 2＋60x －4x 2＝－8x 2＋160x ＝－8(x 2－20x)＝－8[(x －10)2－100]＝－8(x －10)2＋800， ∴当x ＝10时，S 有最大值，最大值为800.。
人教版九年级上册数学22.3实际问题与二次函数--几何图形问题 专题练习(word、含简单答案)
人教版九年级上册数学21.3 实际问题与一元二次方程--几何图形问题专题练习一、单选题1．如图，要把长为4m 、宽为3m 的长方形花坛四周扩展相同的宽度xm ，得到面积为230m 的新长方形花坛，则x 的值为（ ）A ．4.5B ．2C ．1.5D ．1 2．如图，在一块宽为20m ，长为32m 的矩形空地上，修筑宽相等的两条小路，两条路分别与矩形的边平行，如图，若使剩余（阴影）部分的面积为2560m ，问小路的宽应是多少？设小路的宽为m x ，根据题意得（ ）A ．32202032560x x +=⨯-B ．32202032560x x ⨯-⨯=C ．(32)(20)560x x --=D ．以上都不正确3．南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步．”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积是864平方步，它的宽和长共60步，问它的宽和长各多少步？（ ）A ．宽26步，长34步B ．宽24步，长36步C ．宽14步，长46步D ．宽16步，长44步4．用6m 长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框．若窗框的面积为21.5m ，则窗框AB 的长为（ ）A ．1mB ．1.5mC ．1.6mD ．1.8m 5．用一条长60cm 的绳子围成一个面积为2200cm 的长方形．设长方形的长为cm x ，则可列方程为（ ）A ．(30)200x x -=B ．(30)200x x +=C ．(60)200x x += D ．(60)200x x -= 6．将一块长方形桌布铺在长为3m 、宽为2m 的长方形桌面上，各边下垂的长度相同，并且桌布的面积是桌面面积的2倍，那么桌布下垂的长度为（ ）A ．－2.5B ．2.5C ．0.5D ．－0.5 7．如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使小路的面积为100平方米，设道路的宽x 米，则可列方程为（ ）A ．32203220100x x ⨯--=B ．()()23220100x x x --+=C ．23220100x x x +=+D ．()()3220100x x --=8．如图，某学校有一块长32米．宽20米的长方形试验田，为了便于管理，现要在中间开辟两条等宽的弯曲小道，要使种植面积为600平方米．设小道的宽为x 米，根据题意可列方程为（ ）A ．()()3220600x x --=B ．2322032202600x x x ⨯--+=C ．()()322202600x x --=D ．23220600x x x +-=二、填空题9．有一间长20m ，宽15m 的矩形会议室，在它的中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积的一半，四周未铺地毯的留空宽度相同，则地毯的长、宽分别为______和______．10．如图，有一张矩形纸片，长10cm ，宽6cm ，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖的方盒，若方盒的底面积（图中阴影部分）是32cm 2，则剪去的小正方形的边长为_____cm ．11．如图，在一块长17m 、宽12m 的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使绿化面积为176m 2，则修建的路宽应为________ m ．12．如图，在宽为20m ，长为32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m 2，则道路的宽为_______．13．如图，在足够大的空地上有一段长为3米的旧墙MN ，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD ，其中AD MN ≤，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了16米木栏．所围成的矩形菜园的面积为14平方米，设垂直于墙的边长为x 米，则可列方程_____________________________．14．小强用一根10m长的铁丝围成了一个面积为6m2的矩形，则这个矩形较大边的长是___________m．15．用一条长40cm的绳子围成一个面积为260cm的矩形设矩形的一边长为x cm，则可列方程为______．16．由四个全等的直角三角形组成如图所示的“赵爽弦图”，若直角三角形两直角边边长的和为3，面积为1，则图中阴影部分的面积为____________ ．三、解答题17．如图，有一农户要建一个矩形鸡舍，鸡舍的一边利用长为a米的墙，另外三边用25米长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边CD上留一个1米宽的门，a ，问矩形的边长分别为多少时，鸡舍面积为80平方米(1)若12(2)若住房墙的长度足够长，问鸡舍面积能否达到90平方米？18．某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为2600m的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽．19．如图，一长方形草坪长50米，宽30米，在草坪上有两条互相垂直且宽度相等的长方形小路（阴影部分），非阴影部分的面积是924米2．(1)求小路的宽度；(2)每平方米小路的建设费用为200元，求修建两条小路的总费用．20．如图，有一块矩形硬纸板，长20cm，宽10cm．在其四角各剪去一个同样大小的正方形．然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为100cm²？参考答案：1．D2．C3．B4．B5．A6．C7．C8．A9． 15m 10m10．111．112．2m##2米13．(162)14x x -=14．315．x （20-x ）=6016．117．(1)长为10米，宽为8米(2)不能18．30m ，20m19．(1)小路的宽为8米；(2)修建两条小路的总费用为115200元．20．当剪去正方形的边长为52cm 时，所得长方体盒子的侧面积为100cm²。
九年级数学： 22.3实际问题与二次函数 最大利润问题练习题含答案
人教版数学九级上册第二十二章二次函数 22.3 实际问题与二次函数最大利润问题专题练习题1．服装店将进价为100元的服装按x元出售，每天可销售(200－x)件，若想获得最大利润，则x应定为( )A．150元 B．160元 C．170元 D．180元2．某产品进货单价为9元，按10元一件出售时，能售出50件．若每件每涨价1元，销售量就减少10件，则该产品能获得的最大利润为( )A．50元 B．80元 C．90元 D．100元3．生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产．现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y和月份n之间的函数关系式为y＝－n2＋14n －24，则该企业一年中应停产的月份是( )A．1月、2月、3月 B．2月、3月、4月C．1月、2月、12月 D．1月、11月、12月4．将进货价为70元/件的某种商品按零售价100元/件出售时每天能卖出20件，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1件．为了获得最大利润决定降价x元，则单件的利润为元，每日的销售量为件，每日的利润y＝，所以每件降价____元时，每日获得的利润最大为____元．5．已知某人卖盒饭的盒数x(盒)与所获利润y(元)满足关系式y＝－x2＋1200x－357600，则当卖出盒饭数量为____盒时，获得最大利润是____元．6. 我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资与收益的关系为：每投入x万元，可获得利润P＝－1100(x－60)2＋41.每年最多可投入100万元的销售投资，则5年所获利润的最大值是．7. 某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降价1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．求销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？8. 一茶叶专卖店经销某种品牌的茶叶，该茶叶的成本价是80元/kg，销售单价不低于120元/kg，且不高于180元/kg，经销一段时间后得到如下数据：设y与x的关系是我们所学过的某一种函数关系．(1)直接写出y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；(2)9．某租赁公司拥有20辆小型汽车，公司平均每日的各项支出共6250元，当每辆车的日租金为500元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆．根据以上材料解答下列问题：设公司每日租出x 辆车时，日收益为y 元(日收益＝日租金收入－平均每日各项支出)．(1)公司每日租出x 辆车时，每辆车的日租金收入为 元；(用含x 的代数式表示)(2)当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？(3)当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益才能盈利？10．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价120元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，设每个房间定价增加10x 元(x 为整数)．(1)直接写出每天游客居住的房间数量y 与x 的函数关系式；(2)设宾馆每天的利润为W 元，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是多少？(3)某日，宾馆了解当天的住宿情况，得到以下信息：①当日所获利润不低于5000元；②宾馆为游客居住的房间共支出费用没有超过600元；③每个房间刚好住满2人．问：这天宾馆入住的游客人数最少有多少人？11．某企业接到一批粽子生产任务，按要求在19天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只4元，为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李红第x 天生产的粽子数量为y 只，y 与x 满足如下关系：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧32x （0≤x≤5），20x ＋60（5<x≤19）. (1)李红第几天生产的粽子数量为260只？(2)如图，设第x 天生产的每只粽子的成本是p 元，p 与x 之间的关系可用图中的函数图象来刻画，若李红第x 天创造的利润为w 元，求w 与x 之间的函数解析式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？(利润＝出厂价－成本)答案：1---3 ACC4. (30－x) (20＋x) －x 2＋10x ＋600 5 6255. 600 24006. 205万元7. 解：设每天的销售利润为y 元，销售单价为x 元，则y ＝(x －50)＝－5(x －80)2＋4500，∵a ＝－5<0，50≤x ≤100，∴当x ＝80时，y 最大值＝45008. 解：(1)y ＝－0.5x ＋160(120≤x ≤180)(2)设销售利润为W 元，则W ＝(x －80)(－0.5x ＋160)＝－12(x －200)2＋7200，∵a ＝－12<0， ∴当x<200时，y 随x 的增大而增大，∴当x ＝180时，W 最大＝－12(180－200)2＋7200＝7000， 则当销售单价为180元时，销售利润最大，最大利润是7000元9. (1) 1500－50x(2)由题意可知，租赁公司的日收益为y ＝x(1500－50x)－6250＝－50(x －15)2＋5000，∵－15<0，当x ＝15时，租赁公司日收益最大，最大是5000元(3)由题意得－50(x －15)2＋5000>0，解得5<x<25，∵x ≤20，∴5<x ≤20，即当每日租出至少6辆时，租赁公司的日收益才能盈利10. 解：(1)根据题意得y ＝50－x(0≤x ≤50，且x 为整数)(2)W ＝(120＋10x －20)(50－x)＝－10x 2＋400x ＋5000＝－10(x －20)2＋9000，∵a ＝－10<0，∴当x ＝20时，W 最大值＝9000，则当每间房价定价为320元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是9000元(3)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－10（x －20）2＋9000≥5000，20（－x ＋50）≤600，解得20≤x≤40， ∵房间数y ＝50－x ，又∵－1<0，∴当x ＝40时，y 的值最小，这天宾馆入住的游客人数最少，最少人数为2y ＝2(－x ＋50)＝20(人)11. 解：(1)设李红第x 天生产的粽子数量为260只，根据题意得20x ＋60＝260，解得x ＝10，则李红第10天生产的粽子数量为260只(2)根据图象得当0≤x≤9时，p ＝2；当9<x≤19时，可求解析式为p ＝110x ＋1110， ①当0≤x≤5时，w ＝(4－2)·32x＝64x ，x ＝5时w 的最大值为320；②当5<x≤9时，w ＝(4－2)·(20x＋60)＝40x ＋120，x ＝9时w 的最大值为480；③当9<x≤19时，w＝·(20x＋60)＝－2x2＋52x＋174＝－2(x－13)2＋512，x＝13时w 的最大值为512.综上所述，第13天的利润最大，最大利润是512元。
人教版数学九年级上册第22章 22.3实际问题与二次函数 同步练习
人教版数学九年级上册第22章22.3实际问题与二次函数同步练习一、解答题1.（2017·嘉兴）如图，某日的钱塘江观潮信息如表：按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地之间的距离（千米）与时间（分钟）的函数关系用图3表示，其中：“11:40时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点，点坐标为，曲线可用二次函数（，是常数）刻画．(1)、求的值，并求出潮头从甲地到乙地的速度；(2)、11:59时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以千米/分的速度往甲地方向去看潮，问她几分钟后与潮头相遇？(3)、相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车最高速度为千米/分，小红逐渐落后，问小红与潮头相遇到落后潮头1.8千米共需多长时间？（潮水加速阶段速度，是加速前的速度）．+2.（2017?湖州）如图，在平面直角坐标系 中，已知，， 是线段 上一点（与， ）经过点，，顶点为 ）经过点，，顶点为， 两点的坐标分别为 点不重合），抛物线 ，抛物线 ，（（ ，的延长线相交于点．(1)、若 (2)、若， ， ，求抛物线 ，求的值； ， 的解析式； (3)、是否存在这样的实 数（ ），无论取何值，直线 与都不可能互相垂直？若存在，请直接写出的两个不同的值；若不存在，请说明理由．+ 二、综合题3.（2017?十堰）某超市销售一种牛奶，进价为每箱24元，规定售价不低于进价． 现在的售价为每箱36元，每月可销售60箱．市场调查发现：若这种牛奶的售价 每降价1元，则每月的销量将增加10箱，设每箱牛奶降价x 元（x 为正整数），每 月的销量为y 箱．(1)、写出y 与x 中间的函数关系书和自变量x 的取值范围；(2)、超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？ +4.（2017?青岛）青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间 价格比淡季上涨．下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录：? 淡季 旺季未入住房间数日总收入（元）10 0 24000 40000(1)、该酒店豪华间有多少间？旺季每间价格为多少元？(2)、今年旺季来临，豪华间的间数不变．经市场调查发现，如果豪华间仍旧实行去年旺季价格，那么每天都客满；如果价格继续上涨，那么每增加25元，每天未入住房间数增加1间．不考虑其他因素，该酒店将豪华间的价格上涨多少元时，豪华间的日总收入最高？最高日总收入是多少元？+5.（2017?扬州）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：销售价格x（元/千克）日销售量p（千克）30 35 40 45 500 600 450 300 150(1)、请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x之间的函数表达式；(2)、农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？(3)、若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元（a＞0）的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a的值．（日获利=日销售利润﹣日支出费用）+6.（2017?赤峰）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A、B两点，交y 轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．(1)、求二次函数的解析式和直线BD的解析式；(2)、点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；(3)、在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为2？若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．+7.如图，抛物线y=﹣（x﹣1）2+c与x轴交于A，B（A，B分别在y轴的左右两侧）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，已知A（﹣1，0）．(1)、求点B，C的坐标；(2)、判断△CDB的形状并说明理由；(3)、将△COB沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t＜3）得到△QPE．△QPE与△CDB重叠部分（如图中阴影部分）面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．+8.（2017?河北）某厂按用户的月需求量x（件）完成一种产品的生产，其中x＞0，每件的售价为18万元，每件的成本y（万元）是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量x（件）成反比，经市场调研发现，月需求量x与月份n（n为整数，1≤n≤12），符合关系式x=2n2﹣2kn+9（k+3）（k为常数），且得到了表中的数据．月份n（月）?1 ?2成本y（万元/件）需求量x（件/月）?11 ?12 ?120 ?100(1)、求y与x满足的关系式，请说明一件产品的利润能否是12万元；(2)、求k，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损；(3)、在这一年12个月中，若第m个月和第（m+1）个月的利润相差最大，求m．+9.（2017?黄石）小明同学在一次社会实践活动中，通过对某种蔬菜在1月份至7月份的市场行情进行统计分析后得出如下规律：①该蔬菜的销售价P（单位：元/千克）与时间x（单位：月份）满足关系：P=9﹣x②该蔬菜的平均成本y（单位：元/千克）与时间x（单位：月份）满足二次函数关系y=ax2+bx+10，已知4月份的平均成本为2元/千克，6月份的平均成本为1元/千克．(1)、求该二次函数的解析式；(2)、请运用小明统计的结论，求出该蔬菜在第几月份的平均利润L（单位：元/千克）最大？最大平均利润是多少？（注：平均利润=销售价﹣平均成本）+10.（2017?营口）夏季空调销售供不应求，某空调厂接到一份紧急订单，要求在10 天内（含10天）完成任务，为提高生产效率，工厂加班加点，接到任务的第一天就生产了空调42台，以后每天生产的空调都比前一天多2台，由于机器损耗等原因，当日生产的空调数量达到50台后，每多生产一台，当天生产的所有空调，平均每台成本就增加20元．(1)、设第x天生产空调y台，直接写出y与x之间的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．(2)、若每台空调的成本价（日生产量不超过50台时）为2000元，订购价格为每台2920元，设第x天的利润为W元，试求W与x之间的函数解析式，并求工厂哪一天获得的利润最大，最大利润是多少．+。
人教版九年级上册：22.3.2 最大利润问题 同步练习(含答案)
22.3实际问题与二次函数同步练习第2课时最大利润问题一、选择题1.便民商店销售一种商品，在销售过程中，发现一周利润y(单位：元)与每件销售价x(单位：元)之间的关系满足y＝－2(x－20)2＋1558，由于某种原因，每件销售价x(单位：元)满足15≤x≤22，那么一周可获得的最大利润是()A．20元B．1508元C．1550元D．1558元2.商场销售某种品牌的电磁炉.在销售过程中,发现一周利润y(元)与每台销售价x(元)之间满足y＝－2(x－20)2＋980.由于某种原因,x的取值范围只能是15≤x≤19,那么一周可获得的最大利润是()A.976元B.978元C.980元D.982元3.经过调研预测,黄山市某塑料玩具生产公司一年中每月获得的利润y(万元)和月份n之间满足函数关系式y＝－n2＋14n－24,则没有盈利的月份为()A.2月和12月B.2月至12月C.1月D.1月、2月和12月4.某种商品每件进价为18元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(18≤x≤30,且x为整数)出售,可卖出(30－x)件.若使利润最大,则每件商品的售价应为()A.18元B.20元C.22元D.24元5.某品牌钢笔进价为8元/支,按10元/支出售时每天能卖出20支.市场调查发现如果每支每涨价1元,每天就少卖出2支,为了每天获得最大利润,其售价应定为()A.11元/支B.12元/支C.13元/支D.14元/支6.某商场销售一批衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元.经过调查发现,销售单价每降低5元,每天可多售出10件,下列说法错误的是()A.销售单价降低15元时,每天获得利润最大B.每天的最大利润为1250元C.若销售单价降低10元,则每天的利润为1200元D.若每天的利润为1050元,则销售单价一定降低了5元7.某种商品的成本是120元,试销阶段每件商品的售价x(元)与产品的销售量y(件)满足当x＝130时,y＝70;当x＝150时,y＝50,且y是x的一次函数.设销售利润为S(元),为了获得最大的销售利润,每件产品的售价应定为()A.160元B.180元C.140元D.200元二、填空题8.某鞋帽专卖店销售一种绒帽,若这种帽子每天获利y(元)与销售单价x(元)满足关系y＝－x2＋70x －800.要想获得最大利润,则销售单价应该定为元.9.某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人单价800元.旅行社对超过30人的团给予优惠,即旅行团的人数每增加一人,每人的单价就降低10元.当一个旅行团的人数为时,这个旅行社可以获得最大的营业额.10.某旅行社有100张床位,每张床位每晚收费10元时,客床可全部租出.若每张床位每晚收费提高2元,则减少10张床位的租出;若每张床位每晚收费再提高2元,则再减少10张床位的租出.以每次提高2元的这种方法变化下去,为了投资少而获利大,每张床位每晚的收费应提高元.11.(中考·贺州)某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，可卖出(30－x)件，若使利润最大，则每件商品的售价应为________元．12.某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销得知这种服装每天销售量t(单位：件)与每件的销售价x(单位：元)可以看成是一次函数关系：t＝－3x＋204.(1)商场卖这种服装每天的销售利润y(单位：元)与每件的销售价x(单位：元)之间的函数解析式为______________________；(2)商场要想每天获得最大销售利润，每件的销售价定为________元最合适，最大利润是________元．三、解答题13.某商场经调研得出某种商品每天的利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系y＝－x2＋20x－75.(1)当销售单价为多少元时,该种商品每天的销售利润最大?最大利润是多少元?(2)当销售单价为多少元时,该种商品每天的销售利润为21元?14.(2020·宿迁)某超市经销一种商品，每千克成本为50元．经试销发现，该种商品每天销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的四组对应值如下表所示：(1)求y(千克)与x(元/千克)之间的函数解析式．(2)为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？(3)当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？15.(2020·辽阳)超市销售某品牌洗手液，进价为每瓶10元．在销售过程中发现，每天销售量y(瓶)与每瓶售价x(元)之间满足一次函数关系(其中10≤x≤15，且x为整数)，当每瓶洗手液的售价是12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶洗手液的售价是14元时，每天销售量为80瓶．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)设超市销售该品牌洗手液每天销售利润为w元，当每瓶洗手液的售价定为多少元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润是多少元？16.(2020·青岛)某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4 m，宽AB＝3 m，抛物线的最高点E到BC的距离为4 m.(1)按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝kx2＋m(k≠0)表示，求该抛物线的函数解析式．(2)现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2.已知GM＝2 m，求每个B型活动板房的成本是多少(每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本＋一扇窗户FGMN的成本)．(3)根据市场调查，以单价650元销售(2)中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n(元)定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w(元)最大？最大利润是多少？17.茶叶是湖南省的主要经济作物之一.2021年新茶上市期间,某茶厂为获得最大利益,根据市场行情,把新茶价格定为400元/千克,并根据历年的相关数据整理出第x天(1≤x≤15,且x为整数)制茶成本(含采摘和加工)和制茶量的相关信息如表.假定该茶厂每天制作和销售的新茶没有损失,且能在当天全部售出(当天收入＝日销售额－日制茶成本).(1)求出该茶厂第10天的收入;(2)设该茶厂第x天的收入为y(元),试求出y与x之间的函数关系式,并求出该茶厂第几天的收入最高?最高收入为多少元?18.某服装批发市场销售一种衬衫,每件衬衫的进价为50元,规定每件售价不低于进价.经市场调查发现,每月的销售量y(件)与每件的售价x(元)满足一次函数关系,部分数据如下表:(1)求出y与x之间的函数解析式.(不需要求自变量x的取值范围)(2)该批发市场每月想获利24000元,又想尽量给客户优惠,则该如何给这种衬衫定价?(3)物价部门规定,该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%,设这种衬衫每月的总利润为w(元),那么售价定为多少元可获得最大利润?最大利润是多少?19.某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车,已知在甲地的总销售利润y(单位:万元)与销售量x2+10x,在乙地每销售一辆汽车可获得2万元的销售利润.若该公司在甲、x(单位:辆)之间满足y=-12乙两地共销售30辆该品牌的汽车,甲、乙两地总的销售利润为W万元,其中在甲地销售x辆.(1)求W与x的函数关系式.(2)甲、乙两地各销售多少辆车时W最大?W的最大值是多少?(3)为了开拓甲地市场,公司规定甲地平均每辆汽车的销售利润不高于2万元,那么公司销售这30辆汽车可获得的最大销售利润是多少?20.小哲的姑妈经营一家花店,随着越来越多的人喜爱“多肉植物”,姑妈也打算销售“多肉植物”.小哲帮助姑妈针对某种“多肉植物”做了市场调查后,绘制了以下两张图表:(1)如果在三月份出售这种植物,单株获利元;(2)请你运用所学知识,帮助姑妈求出在哪个月销售这种“多肉植物”,单株获利最大.(提示:单株获利＝单株售价－单株成本)参考答案一、选择题1.便民商店销售一种商品，在销售过程中，发现一周利润y(单位：元)与每件销售价x(单位：元)之间的关系满足y＝－2(x－20)2＋1558，由于某种原因，每件销售价x(单位：元)满足15≤x≤22，那么一周可获得的最大利润是(D)A．20元B．1508元C．1550元D．1558元2.商场销售某种品牌的电磁炉.在销售过程中,发现一周利润y(元)与每台销售价x(元)之间满足y＝－2(x－20)2＋980.由于某种原因,x的取值范围只能是15≤x≤19,那么一周可获得的最大利润是(B)A.976元B.978元C.980元D.982元3.经过调研预测,黄山市某塑料玩具生产公司一年中每月获得的利润y(万元)和月份n之间满足函数关系式y＝－n2＋14n－24,则没有盈利的月份为(D)A.2月和12月B.2月至12月C.1月D.1月、2月和12月4.某种商品每件进价为18元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(18≤x≤30,且x为整数)出售,可卖出(30－x)件.若使利润最大,则每件商品的售价应为(D)A.18元B.20元C.22元D.24元5.某品牌钢笔进价为8元/支,按10元/支出售时每天能卖出20支.市场调查发现如果每支每涨价1元,每天就少卖出2支,为了每天获得最大利润,其售价应定为(D)A.11元/支B.12元/支C.13元/支D.14元/支6.某商场销售一批衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元.经过调查发现,销售单价每降低5元,每天可多售出10件,下列说法错误的是(D)A.销售单价降低15元时,每天获得利润最大B.每天的最大利润为1250元C.若销售单价降低10元,则每天的利润为1200元D.若每天的利润为1050元,则销售单价一定降低了5元7.某种商品的成本是120元,试销阶段每件商品的售价x(元)与产品的销售量y(件)满足当x＝130时,y＝70;当x＝150时,y＝50,且y是x的一次函数.设销售利润为S(元),为了获得最大的销售利润,每件产品的售价应定为(A)A.160元B.180元C.140元D.200元二、填空题8.某鞋帽专卖店销售一种绒帽,若这种帽子每天获利y (元)与销售单价x (元)满足关系y ＝－x 2＋70x －800.要想获得最大利润,则销售单价应该定为 35 元.9.某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人单价800元.旅行社对超过30人的团给予优惠,即旅行团的人数每增加一人,每人的单价就降低10元.当一个旅行团的人数为 55 时,这个旅行社可以获得最大的营业额.10.某旅行社有100张床位,每张床位每晚收费10元时,客床可全部租出.若每张床位每晚收费提高2元,则减少10张床位的租出;若每张床位每晚收费再提高2元,则再减少10张床位的租出.以每次提高2元的这种方法变化下去,为了投资少而获利大,每张床位每晚的收费应提高 6 元.11.(中考·贺州)某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x 元(20≤x ≤30，且x 为整数)出售，可卖出(30－x )件，若使利润最大，则每件商品的售价应为___25_____元． 12.某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销得知这种服装每天销售量t (单位：件)与每件的销售价x (单位：元)可以看成是一次函数关系：t ＝－3x ＋204.(1)商场卖这种服装每天的销售利润y (单位：元)与每件的销售价x (单位：元)之间的函数解析式为_y ＝－3x 2＋330x －8568_____________________；(2)商场要想每天获得最大销售利润，每件的销售价定为__55______元最合适，最大利润是___507_____元． 三、解答题13.某商场经调研得出某种商品每天的利润y (元)与销售单价x (元)之间满足关系y ＝－x 2＋20x －75.(1)当销售单价为多少元时,该种商品每天的销售利润最大?最大利润是多少元? (2)当销售单价为多少元时,该种商品每天的销售利润为21元? 解:(1)∵y ＝－x 2＋20x －75＝－(x －10)2＋25, ∴当x ＝10时,y 最大＝25,∴最大利润是25元.(2)当y ＝21时,得－x 2＋20x －75＝21,解得x 1＝8,x 2＝12,∴当销售单价为8元或12元时,该种商品每天的销售利润为21元.14.(2020·宿迁)某超市经销一种商品，每千克成本为50元．经试销发现，该种商品每天销售量y (千克)与销售单价x (元/千克)满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的四组对应值如下表所示：(1)求y (千克)与x (元/千克)之间的函数解析式．解：设y ＝kx ＋b ，则⎩⎨⎧55k ＋b ＝70，60k ＋b ＝60，解得⎩⎨⎧k ＝－2，b ＝180.∴y (千克)与x (元/千克)之间的函数解析式为y ＝－2x ＋180.(2)为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？解：由题意得(x －50)(－2x ＋180)＝600， 整理，得x 2－140x ＋4 800＝0， 解得x 1＝60，x 2＝80.答：该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克．(3)当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？ 解：设当天的销售利润为w 元，则w ＝(x －50)(－2x ＋180)＝－2(x －70)2＋800. ∵－2＜0，∴当x ＝70时，w最大值＝800.答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元． 15.(2020·辽阳)超市销售某品牌洗手液，进价为每瓶10元．在销售过程中发现，每天销售量y (瓶)与每瓶售价x (元)之间满足一次函数关系(其中10≤x ≤15，且x 为整数)，当每瓶洗手液的售价是12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶洗手液的售价是14元时，每天销售量为80瓶． (1)求y 与x 之间的函数关系式；解：设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b (k ≠0)．根据题意，得⎩⎨⎧12k ＋b ＝90，14k ＋b ＝80，解得⎩⎨⎧k ＝－5，b ＝150.∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝－5x ＋150.(2)设超市销售该品牌洗手液每天销售利润为w 元，当每瓶洗手液的售价定为多少元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润是多少元？ 解：根据题意，得w ＝(x －10)(－5x ＋150)＝－5(x －20)2＋500. ∵a ＝－5＜0，∴抛物线开口向下，w 有最大值． ∴当x ＜20时，w 随着x 的增大而增大． ∵10≤x ≤15且x 为整数， ∴当x ＝15时，w 有最大值，w最大值＝－5×(15－20)2＋500＝375.答：当每瓶洗手液的售价定为15元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润是375元．16.(2020·青岛)某公司生产A 型活动板房成本是每个425元．图①表示A 型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD ＝4 m ，宽AB ＝3 m ，抛物线的最高点E 到BC 的距离为4 m.(1)按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y ＝kx 2＋m (k ≠0)表示，求该抛物线的函数解析式．解：∵长方形的长AD ＝4 m ，宽AB ＝3 m ，抛物线的最高点E 到BC 的距离为4 m ，∴OH ＝AB ＝3 m ，D (2，0)．∴EO ＝EH －OH ＝4－3＝1(m)． ∴E (0，1)． ∴该抛物线的函数解析式为y ＝kx 2＋1， 把点D (2，0)的坐标代入，得k ＝－14. ∴该抛物线的函数解析式为y ＝－14x 2＋1.(2)现将A 型活动板房改造为B 型活动板房．如图②，在抛物线与AD 之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN ，点G ，M 在AD 上，点N ，F 在抛物线上，窗户的成本为50元/m 2.已知GM ＝2 m ，求每个B 型活动板房的成本是多少(每个B 型活动板房的成本＝每个A 型活动板房的成本＋一扇窗户FGMN 的成本)． 解：∵GM ＝2 m ，∴OM ＝OG ＝1 m.∴当x ＝1时，y ＝34. ∴N ⎝⎛⎭⎫1，34. ∴MN ＝34 m.∴S 长方形MNFG ＝MN ·GM ＝34×2＝32(m 2)． ∴32×50＋425＝500(元)．答：每个B 型活动板房的成本是500元．(3)根据市场调查，以单价650元销售(2)中的B 型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B 型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n (元)定为多少时，每月销售B 型活动板房所获利润w (元)最大？最大利润是多少？ 解：根据题意，得w ＝(n －500)[100＋20（650－n ）10] ＝－2(n －600)2＋20 000.∵每月最多能生产160个B 型活动板房， ∴100＋20（650－n ）10≤160，解得n ≥620. ∵－2＜0，∴当n ≥620时，w 随n 的增大而减小． ∴当n ＝620时，w 有最大值19 200.答：公司将销售单价定为620元时，每月销售B 型活动板房所获利润最大，最大利润是19200元．17.茶叶是湖南省的主要经济作物之一.2021年新茶上市期间,某茶厂为获得最大利益,根据市场行情,把新茶价格定为400元/千克,并根据历年的相关数据整理出第x 天(1≤x ≤15,且x 为整数)制茶成本(含采摘和加工)和制茶量的相关信息如表.假定该茶厂每天制作和销售的新茶没有损失,且能在当天全部售出(当天收入＝日销售额－日制茶成本).(1)求出该茶厂第10天的收入;(2)设该茶厂第x天的收入为y(元),试求出y与x之间的函数关系式,并求出该茶厂第几天的收入最高?最高收入为多少元?解:(1)当x＝10时,制茶成本为150＋10x＝250(元/千克),制茶量为40＋4x＝40＋4×10＝80(千克),该茶厂第10天的收入为(400－250)×80＝12000(元).(2)根据题意得y＝[400－(150＋10x)]·(40＋4x)＝－40x2＋600x＋10000＝－40(x－7.5)2＋12250.∵a＝－40<0,1≤x≤15,且x是正整数,∴x＝7或8时,y取得最大值,最大值为12240.∴y与x之间的函数关系式为y＝－40x2＋600x＋10000,该茶厂第7天和第8天的收入最高,最高为12240元.18.某服装批发市场销售一种衬衫,每件衬衫的进价为50元,规定每件售价不低于进价.经市场调查发现,每月的销售量y(件)与每件的售价x(元)满足一次函数关系,部分数据如下表:(1)求出y与x之间的函数解析式.(不需要求自变量x的取值范围)(2)该批发市场每月想获利24000元,又想尽量给客户优惠,则该如何给这种衬衫定价?(3)物价部门规定,该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%,设这种衬衫每月的总利润为w(元),那么售价定为多少元可获得最大利润?最大利润是多少?解:(1)y＝－20x＋2600.(2)由题意得(x－50)(－20x＋2600)＝24000,解得x1＝70,x2＝110.∵要尽量给客户优惠,∴这种衬衫应定价为70元/件.(3)由题意得w＝(x－50)(－20x＋2600)＝－20(x－90)2＋32000.∵该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%,每件售价不低于进货价,∴50≤x,(x－50)≤50×30%,解得50≤x≤65,∴当x＝65时,w取得最大值,此时w＝19500.答:售价定为65元可获得最大利润,最大利润是19500元.19.某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车,已知在甲地的总销售利润y(单位:万元)与销售量x2+10x,在乙地每销售一辆汽车可获得2万元的销售利润.若该公司在甲、x(单位:辆)之间满足y=-12乙两地共销售30辆该品牌的汽车,甲、乙两地总的销售利润为W万元,其中在甲地销售x辆.(1)求W与x的函数关系式.(2)甲、乙两地各销售多少辆车时W最大?W的最大值是多少?(3)为了开拓甲地市场,公司规定甲地平均每辆汽车的销售利润不高于2万元,那么公司销售这30辆汽车可获得的最大销售利润是多少?解:(1)W=-12x2+10x+2(30-x)=-12x2+8x+60.(2)W=-12x2+8x+60=-12(x-8)2+92,∵a=-12<0,∴当x=8时,W取最大值92,此时30-x=22,∴在甲地销售8辆车,在乙地销售22辆车时W最大,W的最大值是92.(3)甲地每辆车的平均销售利润为(-12x2+10x)÷x=-12x+10,∴-12x+10≤2,解得x≥16.∵W=-12(x-8)2+92,a=-12<0,∴当x≥16时,W随x的增大而减小,∴当x=16时,W最大,此时W=-12×(16-8)2+92=60,∴可获得的最大销售利润为60万元.20.小哲的姑妈经营一家花店,随着越来越多的人喜爱“多肉植物”,姑妈也打算销售“多肉植物”.小哲帮助姑妈针对某种“多肉植物”做了市场调查后,绘制了以下两张图表:(1)如果在三月份出售这种植物,单株获利1元;(2)请你运用所学知识,帮助姑妈求出在哪个月销售这种“多肉植物”,单株获利最大.(提示:单株获利＝单株售价－单株成本)解:(2)设直线的解析式为y1＝kx＋b(k≠0),把点(3,5),(6,3)代入,得{5＝3k＋b,3＝6k＋b,解得{k＝−23,b＝7,∴直线的解析式为y1＝－23x＋7.设抛物线的解析式为y2＝a(x－6)2＋1, 把点(3,4)代入上式得4＝a(3－6)2＋1,解得a＝13,∴抛物线的解析式为y2＝13(x－6)2＋1,∴y1－y2＝－23x＋7－13(x－6)2－1＝－13(x－5)2＋73.∵－13<0,∴x＝5时,函数取得最大值,∴5月销售这种“多肉植物”,单株获利最大.。
人教版九年级数学上册22.3实际问题与二次函数同步测试及解析【精】
实际问题与二次函数第1课时 二次函数与图形面积问题 [见A 本P23]1．小敏用一根长为8 cm 的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是( A )A ．4 cm 2B ．8 cm 2C ．16 cm 2D ．32 cm 2【解析】 设矩形一边长为x cm ，则另一边长为(4－x )cm ，则S 矩形＝x (4－x )＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4(0＜x ＜4)，故当x ＝2时，S 最大值＝4 cm 2.选A.2．如图22－3－1所示，点C 是线段AB 上的一个动点，AB ＝1，分别以AC 和CB 为一边作正方形，用S 表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是( A )图22－3－1A ．当C 是AB 的中点时，S 最小B ．当C 是AB 的中点时，S 最大C ．当C 为AB 的三等分点时，S 最小D ．当C 为AB 的三等分点时，S 最大【解析】 设AC ＝x ，则BC ＝1－x ，所以S ＝x 2＋(1－x )2＝2x 2－2x ＋1＝2⎝⎛⎭⎫x －122＋12.因为二次项系数大于0，所以当x ＝12时，S 的值最小，即点C 是AB 的中点时，两个正方形的面积和最小，故选A.3．用长度一定的绳子围成一个矩形，如果矩形的一边长x (m)与面积y (m 2)满足关系y ＝－(x －12)2＋144(0<x <24)，则该矩形面积的最大值为__144__m 2.【解析】 直接根据二次函数的性质作答，当x ＝12时，y 有最大值为144.4．在边长为4 m 的正方形铅皮中间挖去一个面积至少是1 m 2的小正方形，则剩下的四方框形铅皮的面积y (m 2)与小正方形边长x (m)之间的函数关系式是__y ＝－x 2＋16(1≤x <4)__，y 的最大值是__15__m 2.【解析】 y ＝S 大正方形－S 小正方形，所以y ＝42－x 2，即y ＝－x 2＋16，又1≤x <4，所以当x ＝1时，y 最大值为15 m 2.5．将一条长为20 cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是__12.5__cm 2.【解析】 设剪成的两段长分别为x cm ，(20－x )cm ，这两个正方形面积之和为y ，则y ＝⎝⎛⎭⎫x 42＋⎝⎛⎭⎫20－x 42＝116(x 2＋400－40x ＋x 2)＝116(2x 2－40x ＋400)＝18(x 2－20x ＋200) ＝18[(x 2－20x ＋100)＋100]＝18(x －10)2＋12.5，故两个正方形面积之和的最小值为12.5 cm 2. 6．某农户计划利用现有的一面墙再修四面墙，建造如图22－3－2所示的长方体水池，培育不同品种的鱼苗．他已备足可以修高为1.5 m 、长为18 m 的墙的材料准备施工，设图中与现有一面墙垂直的三面墙的长度都为x m ，即AD ＝EF ＝BC ＝x m ．(不考虑墙的厚度)(1)若想使水池的总容积为36 m 3，x 应等于多少？(2)求水池的总容积V 与x 的函数关系式，并直接写出x 的取值范围；(3)若想使水池的总容积V 最大，x 应为多少？最大容积是多少？图22－3－2【解析】(1)水池的容积为长×宽×高，而长为x m ，则宽为(18－3x )m ，高为1.5 m ，根据总容积为36 m 3，易列方程求x 的值；(2)，(3)根据容积V 与x 的函数关系，结合二次函数性质即可求解． 解：(1)∵AD ＝EF ＝BC ＝x ，∴AB ＝18－3x ，∴水池的总容积为1.5x (18－3x )＝36，即x 2－6x ＋8＝0，解得x ＝2或4，∴x 应为2或4.(2)由(1)知V 与x 的函数关系式为：V ＝1.5x (18－3x )＝－4.5x 2＋27x ，x 的取值范围是0<x <6.(3)V ＝－4.5x 2＋27x ＝－92(x －3)2＋812， ∴当x ＝3时，V 有最大值40.5，∴若使水池的总容积最大，x 应为3，最大容积为40.5 m 3.7．如图22－3－3，矩形ABCD 的两边长AB ＝18 cm ，AD ＝4 cm ，点P ，Q 分别从A ，B 同时出发，P 在边AB 上沿AB 方向以每秒2 cm 的速度匀速运动，Q 在边BC 上沿BC 方向以每秒1 cm 的速度匀速运动．设运动时间为x (s)，△PBQ 的面积为y (cm 2)．(1)求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；图22－3－3 解：(1)∵S △PBQ ＝12PB ·BQ ， PB ＝AB －AP ＝18－2x ，BQ ＝x ，∴y ＝12(18－2x )x ，即y ＝－x 2＋9x (0<x ≤4)． (2)由(1)知y ＝－x 2＋9x ，∴y ＝－⎝⎛⎭⎫x －922＋814. ∵当0<x ≤92时，y 随x 的增大而增大，而0<x ≤4， ∴当x ＝4时，y 最大值＝20，即△PBQ 的最大面积是20 cm 2.8如图22－3－4，在边长为24 cm 的正方形纸片ABCD 上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒(A ，B ，C ，D 四个顶点正好重合于上底面上一点)．已知E ，F 在AB 边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE ＝BF ＝x (cm)．(1)若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V ； (不含下底面)面积S 最大，试问x 应取何值．解：(1)根据题意，知这个正方体的底面边长a ＝2x ，EF ＝2a ＝2x ，∵AE ＋EF ＋BF ＝AB ， ∴x ＋2x ＋x ＝24，∴x ＝6，∴a ＝62，∴V ＝a 3＝(62)3＝4322(cm 3)．(2)设包装盒的底面边长为a cm ，高为h cm ，则a ＝2x ，h ＝24－2x 2＝122－2x ， ∴S ＝4ah ＋a 2 ＝42x ·2(12－x )＋(2x )2＝－6x 2＋96x ＝－6(x －8)2＋384.∵0<x <12，∴当x ＝8时，S 取得最大值384 cm 2.9．已知在△ABC 中，边BC 的长与BC 边上的高的和为20.(1)写出△ABC 的面积y 与BC 的长x 之间的函数关系式，并求出面积为48时BC 的长；(2)当BC 多长时，△ABC 的面积最大？最大面积是多少？(3)当△ABC 面积最大时，是否存在其周长最小的情形？如果存在，请说明理由，并求出其最小周长；如果不存在，请给予说明．解：(1)依题意得：y ＝12x (20－x )＝－12x 2＋10x (0<x <20)， 解方程48＝－12x 2＋10x 得：x 1＝12，x 2＝8. ∴当△ABC 面积为48时BC 的长为12或8.(2)由(1)得：y ＝－12x 2＋10x ＝－12(x －10)2＋50， ∴当x ＝10即BC ＝10时，△ABC 的面积最大，最大面积是50.(3)△ABC 的周长存在最小的情形，理由如下：由(2)可知△ABC 的面积最大时，BC ＝10，BC 边上的高也为10，过点A 作直线l 平行于BC ，作点B 关于直线l 的对称点B ′，连接B ′C 交直线l 于点A ′，再连接A ′B ，AB ′，则由对称性得：A ′B ′＝A ′B ，AB ′＝AB ，∴A ′B ＋A ′C ＝A ′B ′＋A ′C ＝B ′C ，当点A 不在线段B ′C 上时，则由三角形三边关系可得：L ＝AB ＋AC ＋BC ＝AB ′＋AC ＋BC >B ′C ＋BC ，当点A 在线段B ′C 上时，即点A 与A ′重合，这时L ＝AB ＋AC ＋BC ＝A ′B ′＋A ′C ＋BC ＝B ′C ＋BC ，因此当点A 与A ′重合时，△ABC 的周长最小；这时由作图可知：BB ′＝20，∴B ′C ＝202＋102＝105，∴L ＝105＋10，因此当ABC 面积最大时，存在其周长最小的情形，最小周长为105＋10.10．用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架(如图22－3－5中的一种)．设竖档AB ＝x米，请根据图中图案回答下列问题：(题中的不锈钢材料总长度均指各图中所有线段的长度和，所有横档和竖档分别与AD ，AB 平行)(1)在图①中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x 为多少时，矩形框架ABCD 的面积为3平方米？(2)在图②中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x 为多少时，矩形框架ABCD 的面积S 最大？最大面积是多少？(3)在图③中，如果不锈钢材料总长度为a 米，共有n 条竖档，那么当x 为多少时，矩形框架ABCD 的面积S 最大？最大面积是多少？图22－3－5解：(1)当不锈钢材料总长度为12米，共有3条竖档时，BC ＝12－3x 3＝4－x ， ∴矩形框架ABCD 的面积为AB ·BC ＝x (4－x )．令x (4－x )＝3，解得x ＝1或3，∴当x ＝1或3时，矩形框架ABCD 的面积为3平方米．(2)当不锈钢材料总长度为12米，共有4条竖档时，BC ＝12－4x 3，∴矩形框架ABCD 的面积S ＝x ·12－4x 3＝－43x 2＋4x ， 当x ＝－42×⎝⎛⎭⎫－43＝32时，S 最大值＝3， ∴当x ＝32时，矩形框架ABCD 的面积S 最大，最大面积为3平方米． (3)当不锈钢材料总长度为a 米，共有n 条竖档时，BC ＝a －nx 3， ∴矩形框架ABCD 的面积S ＝x ·a －nx 3＝－n 3x 2＋a 3x ， 当x ＝－a 32×⎝⎛⎭⎫－n 3＝a 2n 时，S 最大值＝a 212n ， ∴当x ＝a 2n 时，矩形框架ABCD 的面积S 最大，最大面积为a 212n平方米．第2课时 二次函数与最大利润问题 [见B 本P24]1．烟花厂为扬州“烟花三月”国际经贸旅游节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h (m)与飞行时间t (s)的关系式是h ＝－52t 2＋20t ＋1，若这种礼炮在最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为( B )A ．3 sB ．4 sC ．5 sD ．6 s【解析】 当t ＝－b 2a 时，即t ＝－202×⎝⎛⎭⎫－52＝4(s)时，礼炮升到最高点，故选B. 2．某旅行社有100张床位，每床每晚收费20元时，客床可全部租出，若每床每晚每次收费提高4元时，则减少10张床位租出；以每次提高4元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚应提高( C )A ．8元或12元B ．8元C ．12元D ．10元【解析】 设每床每晚应提高x 元，则减少出租床x 4·10张，所获利润y ＝(20＋x )⎝⎛⎭⎫100－x 4·10， 即y ＝－52x 2＋50x ＋2 000＝－52(x －10)2＋2 250. 由x 是4的正整数倍和抛物线y ＝－52(x －10)2＋2 250关于x ＝10对称可知，当x ＝8或x ＝12时，获利最大，又因为出租床位较少时，投资费用少，故选C.3．出售某种手工艺品，若每个获利x 元，一天可售出(8－x )个，则当x ＝__4__元时，一天出售该种手工艺品的总利润y 最大．【解析】 依题意得y ＝x (8－x )＝－(x －4)2＋16，当x ＝4时，y 取得最大值．4．将进货单价为70元的某种商品按零售单价100元售出时，每天能卖出20个，若这种商品零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为获得最大利润，应降价__5元__．【解析】 设降价x 元，所获利润为y 元，则有y ＝(100－70－x )(20＋x )＝－x 2＋10x ＋600＝－(x －5)2＋625.当x ＝5时，y 值最大，故应降价5元．5．某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7 000千克，购进价格为每千克30元，物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于每千克30元，市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元(天数不是一天时，按整天计算)．设销售单价为x 元，日均获利为y 元，那么：(1)y 关于x 的二次函数关系式为__y ＝－2x 2＋260x －6__500(30≤x ≤70)__；(2)当销售单价定为__65__元时，日均获利最大，日均获利最大为__1__950__元．【解析】 (1)当销售单价为x 元时，实际降价了(70－x )元，日均销售量为[60＋2(70－x )]千克，日均获利为[60＋2(70－x )]x －30[60＋2(70－x )]－500＝(x －30)[60＋2(70－x )]－500，所以y ＝(x －30)[60＋2(70－x )]－500＝－2x 2＋260x －6 500(30≤x ≤70)．(2)因为y ＝－2x 2＋260x －6 500＝－2(x －65)2＋1 950，所以当销售单价定为65元时，日均获利最大，最大利润为1 950元．6．某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件．如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖出10件(每件售价不能高于72元)，设每件商品的售价上涨x 元(x 为正整数)，每个月的销售利润为y 元．(1)求y 与x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围；(2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？解：(1)依题意有y ＝(60＋x －50)(200－10x )(0<x ≤12且x 为整数)，即y ＝－10x 2＋100x ＋2 000(0<x ≤12且x 为整数)．(2)y ＝－10x 2＋100x ＋2 000＝－10(x 2－10x )＋2 000＝－10(x －5)2＋2 250，∴当x ＝5时，y 有最大值2 250，即当每件商品的售价定为65元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是2 250元．7．在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．经试验发现，若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；若每件按29元的价格销售时，每天能卖出21件．假定每天销售件数y (件)与销售价格x (元/件)满足一个以x 为自变量的一次函数．(1)求y 与x 满足的函数关系式(不要求写出x 的取值范围)；(2)在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润P 最大？ 解：(1)设y 与x 满足的函数关系式为：y ＝kx ＋b .由题意可得：⎩⎪⎨⎪⎧36＝24k ＋b 21＝29k ＋b . 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－3b ＝108. 故y 与x 的函数关系式为：y ＝－3x ＋108.(2)每天获得的利润为：P ＝(－3x ＋108)(x －20)＝－3x 2＋168x －2 160＝－3(x －28)2＋192. 故当销售价定为28元时，每天获得的利润最大．8．某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元时，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4 800元．设公司每日租出x 辆车，日收益为y 元(日收益＝日租金收入－平均每日各项支出)．(1)公司每日租出x 辆车时，每辆车的日租金为________元(用含x 的代数式表示)；(2)当每日租出多少辆车时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？(3)当每日租出多少辆车时，租赁公司的日收益不盈也不亏？解：(1)1 400－50x ；(2)y ＝x (－50x ＋1 400)－4 800＝－50x 2＋1 400x －4 800＝－50(x －14)2＋5 000，当x ＝14时，在0≤x ≤20范围内，y 有最大值5 000，∴当每日租出14辆时，租赁公司日收益最大，最大是5 000元．(3)要使租赁公司日收益不盈也不亏，则y ＝0，即－50(x －14)2＋5 000＝0，解得x 1＝24，x 2＝4，但x 2＝24不合题意，舍去，∴当每日租出4辆时，租赁公司日收益不盈也不亏．9．某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x (元/件)与每天销售量y (件)之间满足如图22－3－6所示的关系：图22－3－6(1)求出y 与x 之间的函数关系式；(2)写出每天的利润W 与销售单价x 之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b (k ≠0)．由所给函数图象得⎩⎪⎨⎪⎧130k ＋b ＝50150k ＋b ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1b ＝180∴函数关系式为y ＝－x ＋180.(2)W ＝(x －100)y ＝(x －100)(－x ＋180)＝－x 2＋280x －1 8000＝－(x －140)2＋1 600，当售价定为140元时，W 最大＝1 600.∴售价定为140元/件时，每天最大利润W ＝1 600元．10．[2013·盐城]水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过还价，实际价格每千克比原来少2元，发现原来买这种水果80千克的钱，现在可买88千克．(1)现在实际购进这种水果每千克多少元？(2)王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量y (千克)与销售单价x (元/千克)满足如图22－3－7所示的一次函数关系．图22－3－7①求y 与x 之间的函数关系式；②请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？(利润＝销售收入－进货金额)解：(1)设现在实际购进这种水果每千克a 元，根据题意，得：80(a ＋2)＝88a解之得：a ＝20答：现在实际购进这种水果每千克20元．(2)①∵y 是x 的一次函数，设函数关系式为y ＝kx ＋b将(25，165)，(35，55)分别代入y ＝kx ＋b ，得：⎩⎪⎨⎪⎧25k ＋b ＝16535k ＋b ＝55 解得：k ＝－11，b ＝440∴y ＝－11x ＋440②设最大利润为W 元，则W ＝(x －20)(－11x ＋440)＝－11(x －30)2＋1 100∴当x ＝30时，W 最大值＝1 100答：将这种水果的单价定为每千克30元时，能获得最大利润1 100元．第3课时 二次函数与抛物线形问题[见A 本P25]1．如图22－3－8，济南建邦大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线的表达式为y ＝ax 2＋bx ，小强骑自行车从拱梁一端O 沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC ，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC 共需( D )图22－3－8A ．30 sB ．38 sC ．40 sD ．36 s2．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图22－3－9，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y ＝－x 2＋4x (单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( A )A ．4米B ．3米C ．2米D ．1米 【解析】 y ＝－(x 2－4x ＋4)＋4＝－(x －2)2＋4，水喷出的最大高度是4米．图22－3－10 3．如图22－3－10所示，桥拱是抛物线形，其函数解析式为y ＝－14x 2，当水位线在AB 位置时，水面宽为12 m ，这时水面离桥顶的高度h 是( D )A ．3 mB ．2 6 mC ．4 3 mD ．9 m【解析】 可根据点B 的横坐标，求出纵坐标．根据图形知点B 的横坐标为6，当x ＝6时，y ＝－9，∴h ＝|－9|＝9，故选D.4．图22－3－11(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2 m ，水面宽4 m ，如图22－3－11(2)建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是( C )图2211A ．y ＝－2x 2B ．y ＝2x 2C ．y ＝－12x 2D ．y ＝12x 2 【解析】 设抛物物的解析式为y ＝ax 2，则把(2，－2)代入得－2＝4a ，∴a ＝－12，故选C.5．西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为1米，在如图22－3－12所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是( C )A ．y ＝－3⎝⎛⎭⎫x －122＋3B ．y ＝－3⎝⎛⎭⎫x ＋122＋3 C ．y ＝－12⎝⎛⎭⎫x －122＋3 D ．y ＝－12⎝⎛⎭⎫x ＋122＋3 【解析】 ∵喷水管喷水的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为12米，∴抛物线的顶点坐标为⎝⎛⎭⎫12，3，设抛物线的解析式为y ＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋3，而抛物线还经过点(0，0)，∴0＝a ·⎝⎛⎭⎫－122＋3，∴a ＝－12，∴抛物线的解析式为y ＝－12⎝⎛⎭⎫x －122＋3.6．某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4 m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5 m(如图22－3－13)，则这条防护栏需要A ．50 mB ．100 mC ．160 mD ．200 m 【解析】 以2米长线段所在直线为x 轴，以其垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，求出抛物线的解析式，再求出不锈钢支柱的总长度．7．[2012·绍兴]教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y (m)与水平距离x (m)之间的关系式为y ＝－112(x －4)2＋3，由此可知铅球推出的距离是__10__m. 【解析】 令函数式y ＝－112(x －4)2＋3＝0， 即0＝－112(x －4)2＋3， 解得x 1＝10，x 2＝－2(舍去)，即铅球推出的距离是10 m.8．廊桥是我国古老的文化遗产，如图22－3－14是某座抛物线形的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为y ＝－140x 2＋10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB 高为8米的点E ，F 处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF 是__18__米(精确到1米)．图22－3－14【解析】直接根据E、F点的纵坐标为8，得8＝－140x2＋10，解得x2＝80，x≈±9，∴E(－9，8)，F(9，8)，故EF的长约为18米．图22－3－159．如图22－3－15是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A，B 两点，桥拱最高点C到AB的距离为9 m，AB＝36 m，D，E为桥拱底部的两点，且DE∥AB，点E 到直线AB的距离为7 m，则DE的长为__48__ m.【解析】如图所示，建立平面直角坐标系．设AB与y轴交于点H，∵AB＝36，∴AH＝BH＝18，由题可知：OH＝7，CH＝9，∴OC＝9＋7＝16，设该抛物线的解析式为y＝ax2＋k，∵顶点C(0，16)，∴抛物线y＝ax2＋16，代入点(18，7)∴7＝18×18a＋16，∴7＝324a＋16，∴324a＝－9，∴a＝－136∴抛物线：y＝－136x2＋16，当y＝0时，0＝－136x2＋16，∴－136x2＝－16，∴x2＝16×36＝576∴x＝±24，∴E(24，0)，D(－24，0)，∴OE＝OD＝24，∴DE＝OD＋OE＝24＋24＝48，10．如图22－3－16所示，小明的父亲在相距2 m的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5 m，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1 m的小明距较近的那棵树0.5 m时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为__0.5__m.图22－3－16第10题答图【解析】 根据题意可建立如图所示的直角坐标系，设绳子对应的抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，则此抛物线经过点(0，2.5)，(2，2.5)，(0.5，1)，所以有⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2.5，4a ＋2b ＋c ＝2.5，14a ＋12b ＋c ＝1，解得a ＝2，b ＝－4，c ＝2.5，∴y ＝2x 2－4x ＋2.5＝2(x －1)2＋0.5，即抛物线的顶点坐标为(1，0.5)，所以绳子最低点距离地面的距离为0.5 m.11．如图22－3－17，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM 为12米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系．(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标；(2)求这条抛物线的解析式．【解析】 (1)M 在x 轴正半轴上，OM ＝12，所以M (12，0)，又P 为抛物线的最高点，所以P (6，6)；(2)用顶点式求抛物线解析式．解：(1)M (12，0)，P (6，6)；(2)设抛物线的解析式为y ＝a (x －6)2＋6.∵抛物线y ＝a (x －6)2＋6经过点(0，0)，∴0＝a (0－6)2＋6，解得a ＝－16， ∴抛物线的解析式为y ＝－16(x －6)2＋6， 即y ＝－16x 2＋2x . 12．如图22－3－18，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB 和矩形的三边AE ，ED ，DB 组成，已知河底ED 是水平的，ED ＝16米，AE ＝8米，抛物线的顶点C 到ED 的距离是11米，以ED 所在的直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系．图22－3－18(1)求抛物线的解析式；(2)已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED 的距离h (单位：米)随时间t (单位：时)的变化满足函数关系h ＝－1128(t －19)2＋8(0≤t ≤40)，且当水面到顶点C 的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行．解：(1)∵点C 到ED 的距离是11米，∴OC ＝11，设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋11，由题意得B 点坐标为(8，8)，∴64a ＋11＝8，解得a ＝－364， ∴y ＝－364x 2＋11； (2)水面到顶点C 的距离不大于5米时，即水面与河底ED 的距离h 至少为11－5＝6米，∴6＝－1128(t －19)2＋8， 即128×6＝－(t －19)2＋128×8∴(t －19)2＝256，∴t －19＝±16，解得t 1＝35，t 2＝3，∴35－3＝32(小时)．答：需32小时禁止船只通行．13．某汽车在刹车后行驶的距离s (单位：米)与时间t (单位：秒)之间关系的部分数据如下表： 时间t (秒) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 …行驶距离s (米) 0 2.8 5.2 7.2 8.8 10 10.8 …(1)根据这些数据在给出的坐标系中画出相应的点；(2)选择适当的函数表示s 与t 之间的关系，并求出相应的函数解析式； (3)①刹车后汽车行驶了多长距离才停止？②当t 分别为t 1，t 2(t 1<t 2)时，对应s 的值分别为s 1，s 2，请比较s 1t 1与s 2t 2的大小，并解释比较结果的实际意义． 解：(1)描点如下图：s ＝at 2＋bt ＋c .将(0，0)，(0.2，2.8)，(1，10)代入上式可得：⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，0.04a ＋0.2b ＋c ＝2.8，a ＋b ＋c ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝15，c ＝0，∴此二次函数的解析式为s ＝－5t 2＋15t .(3)①汽车刹车后到停止时的距离即为汽车滑行的最大距离．当t ＝－152×（－5）＝32时，滑行距离最大，且s ＝0－1524×（－5）＝22520＝454，∴刹车后汽车行驶了454米才停止．②由题意可知：s 1t 1＝－5t 12＋15t 1t 1＝－5t 1＋15； s 2t 2＝－5t 22＋15t 2t 2＝－5t 2＋15，∴s 1t 1－s 2t 2＝5(t 2－t 1)． 又∵t 1<t 2，∴s 1t 1－s 2t 2>0，即s 1t 1>s 2t 2， s 1t 1>s 2t 2的实际意义是刹车后到t 2时间内的平均速度小于刹车后到t 1时间内的平均速度．。
2020年人教版九年级数学上册同步练习 22.3《实际问题与二次函数》(含答案)
100 万元的销售投资，则 5 年所获利润的最大值是
.
3.某批发市场批发甲、乙两种水果，根据以往经验和市场行情，预计夏季某一段时间内，甲 种水果的销售利润 y 甲(万元)与进货量 x(吨)近似满足函数关系 y 甲=0.3x；乙种水果的销售 利润 y 乙(万元)与进货量 x(吨)近似满足函数关系 y 乙=ax2＋bx(其中 a≠0，a，b 为常数)，且 进货量 x 为 1 吨时，销售利润 y 乙为 1.4 万元；进货量 x 为 2 吨时，销售利润 y 乙为 2.6 万元. (1)求 y 乙(万元)与 x(吨)之间的函数关系式； (2)如果市场准备进甲、乙两种水果共 10 吨，设乙种水果的进货量为 t 吨，请你写出这两种 水果所获得的销售利润之和 W(万元)与 t(吨)之间的函数关系式，并求出这两种水果各进多 少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少？
2020 年人教版九年级数学上册同步练习
22.3《实际问题与二次函数》
第 1 课时 二次函数与图形面积 01 基础题 知识点 二次函数与图形面积 1.如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为 16 m，则所围成矩形 ABCD 的最大面积是( )
A.60 m2
B.63 m2 C.64 m2
D.66 m2
2.用长 8 m 的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框(如图)，那么这个窗户的最大
均以 1 cm/s 的速度向点 B，C，D，A 匀速运动，当点 E 到达点 B 时，四个点同时停止运动，
在运动过程中，当运动时间为 3s 时，四边形 EFGH 的面积最小，其最小值是
cm2.
10.手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为 60 cm，菱形的面积 S(单位：cm2)随其中一条对角线的长 x(单位：cm)的变化而变化. (1)请直接写出 S 与 x 之间的函数关系式(不要求写出自变量 x 的取值范围)； (2)当 x 是多少时，菱形风筝面积 S 最大？最大面积是多少？
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22.3实际问题解答题与二次函数同步练习（二）1．青岛崂山北宅樱桃节前夕，某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进行了调查统计，得到如下数据：销售价x（元/千克）…25 24 23 22 …销售量y（千克）…2000 2500 3000 3500 …（1）在如图的直角坐标系内，作出各组有序数对（x，y）所对应的点．连接各点并观察所得的图形，判断y与x之间的函数关系，并求出y与x之间的函数关系式；（2）若樱桃进价为13元/千克，试求销售利润P（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式，并求出当x取何值时，P的值最大．2．宁波市土地利用现状通过国土资源部验收，我市在节约集约用地方面已走在全国前列．市区建设用地总量从33万亩增加到48万亩，相应的年GDP从295亿元增加到985亿．宁波市区年GDP y（亿元）与建设用地总量x（万亩）之间存在着如图所示的一次函数关系．（1）求y关于x的函数关系式．（2）据调查市区建设用地比2004年增加4万亩，如果这些土地按以上函数关系式开发使用，那么市区可以新增GDP多少亿元？（3）按以上函数关系式，我市年GDP每增加1亿元，需增建设用地多少万亩？（精确到0.001万亩）．3．南博汽车城销售某种型号的汽车，每辆进货价为25万元，市场调研表明：当销售价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆．如果设每辆汽车降价x万元，每辆汽车的销售利润为y万元．（销售利润＝销售价﹣进货价）（1）求y与x的函数关系式；在保证商家不亏本的前提下，写出x的取值范围；（2）假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元，试写出z与x之间的函数关系式；（3）当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大，最大利润是多少？4．如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度．他先测出门的宽度AB＝8m，然后用一根长为4m的小竹竿CD竖直地接触地面和门的内壁，并测得AC ＝1m．小强画出了如图的草图，请你帮他算一算门的高度OE（精确到0.1m）．5．某产品每件的成本是120元，为了解市场规律，试销阶段按两种方法进行销售，结果如下：方案甲：保持每件150元的售价不变，此时日销售量为50件；x（元）130 150 160y（件）70 50 40 方案乙：不断地调整售价，此时发现日销售量y（件）是售价x（元）的一次函数，且前三天的销售情况如下表：（1）如果方案乙中的第四天、第五天售价均为180元，那么前五天中，哪种方案的销售总利润大？（2）分析两种方案，为获得最大日销售利润，每件产品的售价应写为多少元此时，最大日销售利润S是多少？（注：销售利润＝销售额﹣成本额，销售额＝售价×销售量）．6．通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示（y越大表示注意力越集中）．当0≤x≤10时，图象是抛物线的一部分，当10≤x≤20和20≤x≤40时，图象是线段．（1）当0≤x≤10时，求注意力指标数y与时间x的函数关系式；（2）一道数学综合题，需要讲解24分钟．问老师能否经过适当安排，使学生听这道题时，注意力的指标数都不低于36？7．某水果经销商上月份销售一种新上市的水果，平均售价为10元/千克，月销售量为1000千克．经市场调查，若将该种水果价格调低至x元/千克，则本月份销售量y（千克）与x（元/千克）之间满足一次函数关系y＝kx+b．且当x＝7时，y＝2000；x＝5时，y＝4000．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）已知该种水果上月份的成本价为5元/千克，本月份的成本价为4元/千克，要使本月份销售该种水果所获利润比上月份增加20%，同时又要让顾客得到实惠，那么该种水果价格每千克应调低至多少元？[利润＝售价﹣成本价]．8．某公司试销一种成本为30元/件的新产品，按规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件，试销中每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足下表中的函数关系．x（元/件）35 40 45 50 55y（件）550 500 450 400 350 （1）试求y与x之间的函数表达式；（2）设公司试销该产品每天获得的毛利润为S（元），求S与x之间的函数表达式（毛利润＝销售总价﹣成本总价）；（3）当销售单价定为多少时，该公司试销这种产品每天获得的毛利润最大？最大毛利润是多少？此时每天的销售量是多少？9．一家用电器开发公司研制出一种新型电子产品，每件的生产成本为18元，按定价40元出售，每月可销售20万件．为了增加销量，公司决定采取降价的办法，经市场调研，每降价1元，月销售量可增加2万件．（1）求出月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式（不必写x的取值范围）；（2）求出月销售利润z（万元）（利润＝售价﹣成本价）与销售单价x（元）之间的函数关系式（不必写x的取值范围）；（3）请你通过（2）中的函数关系式及其大致图象帮助公司确定产品的销售单价范围，使月销售利润不低于480万元．10．如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB时，宽20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10m．（1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式；（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到达拱桥顶？参考答案1．解：（1）正确描点、连线．由图象可知，y是x的一次函数．（1分）设y＝kx+b，∵点（25，2000），（24，2500）在图象上，∴解之得：∴y＝﹣500x+14500．（4分）（2）P＝（x﹣13）•y＝（x﹣13）•（﹣500x+14500）＝﹣500x2+21000x﹣188500（7分）＝﹣500（x﹣21）2+32000．∴P与x的函数关系式为P＝﹣500x2+21000x﹣188500，当销售价为21元/千克时，P的值最大．（10分）2．解：（1）设函数关系式为y＝kx+b，由题意得，解得k＝46，b＝﹣1223．∴该函数关系式为y＝46x﹣1 223．（2）由（1）知2005年的年GDP为46×（48+4）﹣1 223＝1169 （亿元）∵1169﹣985＝184（亿元）∴2005年市区相应可以新增加GDP184亿元．（3）设连续两年建设用地总量分别为x1万亩和x2万亩，相应年GDP分别为y1亿元和y亿元，满足y2﹣y1＝1．2则y1＝46x1﹣1223 ①y＝46x2﹣1 223 ②2②﹣①得，y2﹣y1＝46（x2﹣x1）即46（x2﹣x1）＝1，x﹣x1＝≈0.022（万亩）．2即年GDP每增加1亿元，需增加建设用地约0.022万亩．3．解：（1）由题意得：y＝29﹣25﹣x，（2分）∴y＝﹣x+4（0≤x≤4）；（3分）（2）z＝（8+×4）y（5分）＝（8x+8）（﹣x+4）（6分）∴z＝﹣8x2+24x+32＝﹣8（x﹣）2+50 （8分）（3）由第二问的关系式可知：当x＝时，z最大＝50 （9分）∴当定价为29﹣1.5＝27.5万元时，有最大利润，最大利润为50万元（10分）或：当（8分）z＝（9分）最大值∴当定价为29﹣1.5＝27.5万元时，有最大利润，最大利润为50万元（10分）．4．解：由题意得，抛物线过点A（﹣4，0）、B（4，0）、D（﹣3，4），（3分）设y＝a（x+4）（x﹣4），（4分）把D（﹣3，4）代入y＝a（x+4）（x﹣4），得4＝a（﹣3+4）（﹣3﹣4），解得a＝﹣，∴y＝﹣（x+4）（x﹣4）．（7分）令x＝0得y＝，即（0，），∴OE＝≈9.1∴门的高度约为9.1m．（10分）5．解：（1）设方案乙中的一次函数解析式为y＝kx+b，∴，解得k＝﹣1，b＝200，∴方案乙中的一次函数为y＝﹣x+200，∴第四天、第五天的销售量均为﹣180+200＝20件，∴方案乙前五天的总利润为：130×70+150×50+160×40+180×20+180×20﹣120×（70+50+40+20+20）＝6200元，∵方案甲前五天的总利润为：（150﹣120）×50×5＝7500元，显然6200＜7500，∴前五天中方案甲的总利润大；（2）若按甲方案中定价为150元/件，则日利润为（150﹣120）×50＝1500元，对乙方案：∵S＝xy﹣120y＝x（﹣x+200）﹣120（﹣x+200）＝﹣x2+320x﹣24000＝﹣（x﹣160）2+1600，即将售价定在160元/件时，日利润将最大，最大为1600元，∵1600＞1500，∴将产品的销售价定在160元/件，日销售利润最大，最大利润为1600元．6．解：（1）设0≤x≤10时的抛物线为y＝ax2+bx+c由图象知抛物线过（0，20），（5，39），（10，48）三点∴解得∴y＝﹣x2+x+20，（0≤x≤10）．（2）由图象知，当20≤x≤40时，y＝﹣x+76当0≤x≤10时，令y＝36，得36＝﹣x2+x+20解得x1＝4，x2＝20（舍去）当20≤x≤40时，另y＝36，得36＝﹣x+76解得x＝＝28∵﹣4＝＞24∴老师可以通过适当的安排，在学生的注意力指标数不低于36时，讲授完这道数学综合题．7．解：（1）由已知得，（3分）解得，（5分）∴y＝﹣1000x+9000；（2）由题意可得1000（10﹣5）（1+20%）＝（﹣1000x+9000）（x﹣4），（8分）整理得：x2﹣13x+42＝0，（9分）解x1＝6，x2＝7（舍去）．（10分）答：该种水果价格每千克应调低至6元．（11分）8．解：（1）解法1：设y与x之间的函数关系满足y＝kx+b把x＝40，y＝500；x＝50，y＝400分别代入上式得：，解得∴y＝﹣10x+900∵表中其它对应值都满足y＝﹣10x+900∴y与x之间的函数关系为一次函数，且函数表达式为y＝﹣10x+900（30≤x≤80）；解法2：设y与x之间的函数关系满足y＝ax2+bx+c把x＝35，y＝550；x＝40，y＝500；x＝50，y＝400分别代入上式得解，得∴y＝﹣10x+900∵表中其它对应值都满足y＝﹣10x+900∴y与x之间的函数关系为一次函数，且函数表达式为y＝﹣10x+900（30≤x≤80）；（2）方法1：毛利润S＝（x﹣30）•y＝（x﹣30）（﹣10x+900）＝﹣10x2+1200x﹣27000（30≤x≤80）方法2：毛利润S＝xy﹣30y＝x•（﹣10x+900）﹣30×（﹣10x+900）＝﹣10x2+1200x﹣27000（30≤x≤80）；（3）在S＝﹣10x2+1200x﹣27000中∵a＝﹣10＜0，∴当时∴S最大＝﹣10×602+1200×60﹣27000＝9000（元）此时每天的销售量为：y＝﹣10×60+900＝300（件）．∴当销售单价定为60元/件时，该公司试销这种产品每天获得的毛利润最大，最大毛利润是9000元，此时每天的销售量是300件．9．解：（1）由题意得：y＝20+2（40﹣x）＝﹣2x+100．∴y与x的函数关系式为y＝﹣2x+100；（2）z＝（x﹣18）y＝（x﹣18）（﹣2x+100）＝﹣2x2+136x﹣1800，∴z与x的函数关系式为z＝﹣2x2+136x﹣1800；（3）令z＝480，得480＝﹣2x2+136x﹣1800，整理得x2﹣68x+1140＝0，解得x1＝30，x2＝38，将二次函数解析式变形为z＝﹣2（x﹣34）2+512画出大致图象如图，由图象可知，要使月销售利润不低于480万元，产品的销售单价应在30元到38元之间（即30≤x≤38）．10．解：（1）设所求抛物线的解析式为：y＝ax2（a≠0），由CD＝10m，可设D（5，b），由AB＝20m，水位上升3m就达到警戒线CD，则B（10，b﹣3），把D、B的坐标分别代入y＝ax2得：，解得．∴y＝；（2）∵b＝﹣1，∴拱桥顶O到CD的距离为1m，∴＝5（小时）．所以再持续5小时到达拱桥顶．。