【最新】高考数学周周测7—三角函数、解三角形、平面向量综合应用

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2020年高考数学二轮限时训练三角函数、平面向量7理

、选择题A.C.第三部分：三角函数、平面向量（7）【解析】sin nn - 16（限时：时间2 2=a —ab—b ,.1—4ncos"6厶…n n 2 n=sin丁—sin严金—cos w【答案】B2 .已知sin a 14,a€ n,A.第一象限角.第二象限角45分钟，满分100分）则sinnc。

汴cos32n，2n ,则【解析】■/sina=—,a€n, n,4 24 3又cos 3 ==5, 3€ 2 n, 2 n ,• sin 3 3'5,• sin( a + 3')=sin a c os 3 + cos a sinC.第三象限角•第四象限角…cos.15 ~T，20>0.3<2 n,n <3 <2 n,5 • ••尹 <a 7 + 3 <2 n.「•a+3 是第二象限角.【答案】3. （2020年大同模拟）函数f（x）= sin 2 n 2 (x + ) —sin (x41 n 1=^cos(2x — ―) — ^cos(2x + ―)1 1=2s in 2x + 2Sin 2x = sin 2x ,••• f （x ）是周期为n 的奇函数.【答案】 CA . 周期为 2 n 的奇函数B . 周期为 2n 的偶函数 C. 周期为 n 的奇函数 D. 周期为n 的偶函数【解析】 2f(x) = sin (7t =2 1 — COs(2x + y) n 2 n + j ) —sin (x —Q )—2 1 — cos(2x —守)A .（2020年献县二模）已知cos （n . a — ―)+ sin a = 5 .^ 3，贝U sin(7 na+-了）的值是（2.3 5B.2..3 5C. D.【解析】 ■/ cos( n——)+ sin•撐cos1 . a+ qsina+ sin an 4• sin( a+ —) = 5,▼ 7n 又 T sin( a+ ) = sin(6 a+ _6)=— sin(na+ 7)，7n 4.•.Srin( a+ ~)=—匚.6 5 【答案】5. (2020 年正定模拟）若 sinn 1 n 小3 —a = 4，贝U cos — + 2a =(7t 、:3 1cos a+ 于 Sin a7 A.— 82n.cos —— 2 a = 1 — 2sin 1 — 2X 4 2= 7,4 8'【答案】 A :■、填空题6. （2020年海南•宁夏高考改编2— cos 10【答案】 2【解析】3n•.•a 、3€ 4 -,n3n n 3• ••尹 <a + 33 <2 n, 訂--7<4 n4 cos 3 n 5• . cos( a + 3门=5, —4 ：—13，n3 n•・ cos a+ ■4 = cos ( a + 3 )— —4nn=cos( a + 33 )cos3-4+ si n( a + 3 )sin3-T4 5312 56=-x — 513 + — 5x =13—65.C .4D.【解析】 n••• sin -n COS ~3 + 2 a = COS n —2n=—cos2nV —2a7 8.2n■3【解析】3— sin 70 °2— cos 2 103 — sin 70 1 + cos 2022(3 — sin 70 ° ) 3 — cos 20 °=2(3 — cos 20 ° )23 — cos 20 °= 2.7. （2020年南通模拟）已知a 、3nV ，n3nsin( a + 3 ) = — 5, sin 3 ——1 + cos 2x2+ sin x + a sin n 2sin 2 — x2, n=cos x + sin x + asin x +T=：2sin x + -4 + a 2sin=(辽 + a 2)sinx+-4 .依题意有：2+ a 2= ：2 + 3 ,.•• a =± : 3. 【答案】土 ,；3 三、解答题 nn【解析】T 2< a < n, 0< 3<2，n3 n an• •• 4< a —~2<n,- 7<2 —3<2.故由cos a得 sin aa 2 a由 sin — —3 = 3，得 cos — —310.在厶ABC 中，已知角A 为锐角，且 f(A)=(1)求f(A)的最大值;【答案】 56 65【解析】f(x)21 + 2cos x — 1 2+ sin x + a sin2cos x7tx+N[cos( n — 2A) — 1]sinAn + 2 sin.2n A.2 sin — — 2 —sin n 2 ”cos A.8.设 f(x)nx + —的最大值为:2 + 3,贝V 常数a =9 .设 cos a1 9,sin2 3,7tn<3<2，求 cos( a+3 ). a + 3cos 2=cosa7,5 27 .• cos( 2aa + 3 ) = 2cos —239729.3 27 n⑵若A + B = 了亍，f (A) = 1，求△ ABC 的三个内角.【解析】(1)f(A) A A(cos 2A + 1)sin 2°。

高考数学万卷周测卷五文数三角函数周测专练7

高考数学万卷周测卷五文数三角函数周测专练姓名：__________班级：__________考号：__________ 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.如下图是周期为2π的三角函数y ＝f(x)的图象，那么f(x)可以写成( )A.f(x)＝sin(1＋x)B.f(x)＝sin(－1－x)C. f(x)＝sin(x －1)D. f(x)＝sin(1－x)2.在△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B ＝60°，△ABC 的面积为3，那么b 的值是A ．3B ．3＋3C ．2D ．2＋33.将函数()sin f x x =图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则()y g x =图象的解析式是（） A ．()sin(2)6g x x π=-B ．()sin(2)3g x x π=-C ．1()sin()212g x x π=-D ．1()sin()26g x x π=-4.函数f(x)＝Asin(2x ＋φ)(A>0，φ∈R)的部分图像如下图所示，那么f(0)＝( )A ．－12B ．－32C ．－1D ．－ 35.设函数()4sin(21)f x x x =+-，则在下列区间中函数()f x 不存在零点的是A ．[]4,2--B ．[]2,0-C ．[]0,2D ．[]2,46.若把函数sin 3cos y x x =+的图象向右平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于坐标原点对称，则m 的最小值是（） A.3πB.23πC.6πD.56π 7.已知))(sin()(R x x f ∈+=ϕϕ，则“2πϕ=”是“)(x f 是偶函数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8.函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如右图所示，则,ωϕ的值分别是（）A ．2,3π- B ．2,6π-C ．4,6π-D ．4,3π9.已知cos ⎝⎛⎭⎫π2－φ＝32，且|φ|<π2，则tan φ＝( ) A ．－33 B.33C ．－ 3 D. 3 10.已知,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且tan ,tan αβ是一元二次方程23340x x -+=的两个实根，则αβ+＝（） A ．43π B ．3πC ．33πD ．23π 11.已知θ∈（π，32π），cos θ＝－45,则tan(4π－θ)＝（） A. 7B.17C. －17D. －7 12.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）A ．2B ．2sin1C ．2sin1D ．sin 2 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.在ABC ∆中，若A ∠=60°, ∠B=45°，BC =23，则AC =14.在ABC ∆中，BC=52，AC=2，ABC ∆的面积为4，则AB 的长为。

高考数学高考题和高考模拟题分项版汇编专题07 平面向量理(含解析)-人教版高三全册数学试题

专题07 平面向量1．【2019年高考全国I 卷理数】已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6B ．π3 C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】因为()-a b ⊥b ，所以2()-⋅=⋅-a b b a b b =0，所以2⋅=a b b ，所以cos θ=22||12||2⋅==⋅a b b a b b ，所以a 与b 的夹角为π3，故选B ．【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角X 围为[0,]π．2．【2019年高考全国II 卷理数】已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅= A ．−3B ．−2 C ．2D ．3 【答案】C【解析】由(1,3)BC AC AB t =-=-，211BC ==，得3t =，则(1,0)BC =，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C ．【名师点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．3．【2019年高考卷理数】设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】AB 与AC 的夹角为锐角，所以2222||||2||||2AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅>+-⋅，即22||||AB AC AC AB +>-，因为AC AB BC -=，所以|AB +AC |>|BC |；当|AB +AC |>|BC |成立时，|AB +AC |2>|AB -AC |2AB ⇒•AC >0，又因为点A ，B ，C 不共线，所以AB 与AC 的夹角为锐角.故“AB 与AC 的夹角为锐角”是“|AB +AC |>|BC |”的充分必要条件,故选C ．【名师点睛】本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学思想.4．【2019年高考全国III 卷理数】已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若2=c a ，则cos ,=a c ___________. 【答案】23【解析】因为2=c a ，0⋅=a b ，所以22⋅=⋅a c a b 2=，222||4||5||9=-⋅+=c a b b ，所以||3=c ，所以cos ,=a c 22133⋅==⨯⋅a c a c ．【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．5．【2019年高考某某卷理数】在四边形ABCD 中，,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=_____________．【答案】1-【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB =30°，5,AB AD ==则B ，5)2D . 因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以30ABE ∠=︒，因为AE BE =，所以30BAE ∠=︒，所以直线BE y x =-，直线AE 的斜率为y =.由y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得x =1y =-，所以1)E -.所以35(,)(3,1)122BD AE =-=-.【名师点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便.6．【2019年高考某某卷】如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是_____..【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F，由BE =2EA ，D 为BC 的中点，知BF =FE =EA ,AO =OD ．()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-，()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭，得2213,22AB AC =即3,AB AC =故AB AC=【名师点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.7．【2019年高考某某卷】已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是________；最大值是_______.【答案】0；【解析】以, AB AD 分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图.则(1,0),(0,1),(1,0),(0,1),(1,1),(1,1)AB BC CD DA AC BD ===-=-==-,(123456AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++=≥(1,2,3,4,5,6)i i λ=可取遍1±，1345621,1λλλλλλ======-时，有最小值min y 所以当1256341,1λλλλλλ======-时，有最大值max y ===故答案为0；【名师点睛】对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等式的综合题.8．【某某省某某市2019届高三3月诊断性测试（一模)数学试题】在矩形ABCD 中，4AB ,2AD =．若点M ，N 分别是CD ，BC 的中点，则AM MN ⋅= A ．4B ．3 C ．2D ．1 【答案】C【解析】由题意作出图形，如图所示：由图及题意，可得：12AM AD DM AD AB =+=+， 1122MN CN CM CB CD =-=-11112222BC DC AD AB =-+=-+.∴111222AM MN AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221111||||41622424AD AB =-⋅+⋅=-⋅+⋅=. 故选：C ．【名师点睛】本题主要考查基底向量的设立，以及向量数量积的运算，属基础题．9．【某某省某某市2019届高三下学期第二次教学质量监测数学试题】已知向量a ，b 满足||1=a ，||=b 且a 与b 的夹角为6π，则()(2)+⋅-=a b a b A ．12B ．32- C ．12-D ．32【答案】A【解析】()()221222312+-=-+⋅=-+=a b a b a b a b . 故选A.【名师点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．10．【某某省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷数学试题】已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ，(4,5)=c ，若()λ+⊥a b c ，则实数λ=A ．12-B ．12C ．2-D ．2 【答案】C【解析】因为(1,2)=a ，(2,3)=-b ，所以()12,23λλλ-+a +b =，又()λ+⊥a b c ，所以()0λ+⋅=a b c ，即()()4125230+=λλ-+，解得2λ-= . 故选C.【名师点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，熟记运算法则即可，属于常考题型.11．【2019届市通州区三模数学试题】设a ，b 均为单位向量，则“a 与b 夹角为2π3”是“||+=a b ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】因为a ，b 均为单位向量，若a 与b 夹角为2π3，则||1+===a b ，因此，由“a 与b 夹角为2π3”不能推出“||+=a b ”；若||+a b ||+=a b 解得1cos ,2=a b ，即a 与b 夹角为π3，所以，由“||+a b a 与b 夹角为2π3”因此，“a 与b 夹角为2π3”是“||+=a b ”的既不充分也不必要条件. 故选D【名师点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判断，以及向量的数量积运算，熟记充分条件与必要条件的概念，以及向量的数量积运算法则即可，属于常考题型.12．【某某省某某市2019届高三总复习质量测试数学（二)】在ABC △中，2AB AC AD +=，AE DE +=0，若EB xAB y AC =+，则 A ．3y x =B ．3x y = C ．3y x =-D ．3x y =- 【答案】D【解析】因为2AB AC AD +=，所以点D 是BC 的中点，又因为AE DE +=0，所以点E 是AD 的中点，所以有：11131()22244BE BA AE AB AD AB AB AC AB AC =+=-+=-+⨯+=-+，因此31,344x y x y =-=⇒=-，故题选D.【名师点睛】本题考查了向量加法的几何意义、平面向量基本定理.解题的关键是对向量式的理解、对向量加法的几何意义的理解.13．【2019年某某省某某市高三5月双基考试数学试题】已知直线y =x +m 和圆x 2+y 2=1交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若32AO AB ⋅=，则实数m =A ．1±B ．C ．2±D ．12±【答案】C【解析】联立221y x m x y =+⎧⎨+=⎩，得2x 2+2mx +m 2−1=0， ∵直线y =x +m 和圆x 2+y 2=1交于A 、B 两点，O 为坐标原点，∴∆=-2m 2+8＞0，解得x <<，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=−m ，21221-=m x x ，y 1y 2=（x 1+m ）（x 2+m ）=x 1x 2+m （x 1+x 2）+m 2，AO =（-x 1，-y 1），AB =（x 2-x 1，y 2-y 1），∵21123,2AO AB AO AB x x x ⋅=∴⋅=-+y 12-y 1y 2=1221122m m ----+m 2-m 2=2-m 2=23，解得m =2±．故选：C ．【名师点睛】本题考查根的判别式、根与系数的关系、向量的数量积的应用，考查了运算能力，是中档题．14．【某某市和平区2018-2019学年度第二学期高三年级第三次质量调查数学试题】已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，3BC BE =，DC DF λ=，若1AE AF ⋅=，则λ的值为A ．3B ．2C ．23D ．52【答案】B【解析】由题意可得：()()113AE AF AB BE AD DF AB BC BC AB λ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111133AB BC AB BC λλ⎛⎫=+++⋅ ⎪⎝⎭，且：224,22cos1202AB BC AB BC ==⋅=⨯⨯=-，故()44112133λλ⎛⎫+++⨯-= ⎪⎝⎭，解得：2λ=. 故选：B.【名师点睛】本题主要考查平面向量数量积的定义与运算法则，平面向量基本定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15．【某某省新八校2019届高三第二次联考数学试题】在矩形ABCD 中，3,4,AB AD AC ==与BD 相交于点O ，过点A 作AE BD ⊥，垂足为E ，则AE EC ⋅=A ．572B ．14425 C ．125D ．2512【答案】B 【解析】如图：由3AB =，4=AD 得：5BD ==，125AB AD AE BD ⋅== 又()AE EC AE EO OC AE EO AE OC AE EO AE AO ⋅=⋅+=⋅+⋅=⋅+⋅AE BD ⊥，0AE EO ∴⋅=，又2144cos 25AE AE AO AE AO EAO AE AO AE AO⋅=∠=⋅==14425AE EC ∴⋅=. 故选B.【名师点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够通过线性运算将问题转化为模长和夹角已知的向量之间的数量积问题.16．【湖师X 大学附属中学2019届高三数学试题】如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE的中点，则AF =A ．3144AB AD + B ．1344AB AD + C ．12AB AD +D ．3142AB AD +【答案】D【解析】根据题意得：1()2AF AC AE =+，又AC AB AD =+，12AE AB =，所以1131()2242AF AB AD AB AB AD =++=+.故选D.【名师点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理的简单应用，属于基础试题.17．【2019年市高考数学试卷】已知向量a =（－4，3），b =（6，m ），且⊥a b ，则m =__________.【答案】8.【解析】向量4,36,m =-=⊥（），（），，a b a b则046308m m ⋅=-⨯+==，，a b .【名师点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题.word18．【某某省某某市2019届高三3月诊断性测试（一模)数学试题】已知圆22450x y x ++-=的弦AB 的中点为(1,1)-，直线AB 交x 轴于点P ，则PA PB ⋅的值为__________.【答案】8.【答案】5-【解析】设(1,1)M -，圆心(2,0)C -， ∵10112MC k -==-+，根据圆的性质可知，1AB k =-，∴AB 所在直线方程为1(1)y x -=-+，即0x y +=，联立方程224500x y x x y ⎧++-=⎨+=⎩可得，22450x x +-=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1252x x =-，令0y =可得(0,0)P ， 12121225PA PB x x y y x x ⋅=+==-，故答案为：-5．【名师点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标表示及直线与圆相交性质的简单应用，属于常考题型.。

适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习第7章平面向量复数课时规范练47平面向量的综合应用

13
2
1
6
,若 M,N 是线段 BC 上的动点,
.
解析 ∵ = ,
∴ ·= ·=λ| |||·
cos 120°=λ×6×3×
1
∴λ=6.令= (0<
≤
5
),则
6
1
2
= + =
3
=- ,
2
1
+ 6
=
1
+6
,
1
1
= + + =- + + = - − ,
θ=2× 3 ×
3
+2×1×cos
2
θ=3+2cos θ∈[2,5].
9.(2024·河北唐山模拟)如图,在△ABC 中,D 是线段 BC 上的一点,且 =4,
过点 D 的直线分别交直线 AB,AC 于点 M,N,若=λ, =μ (λ>0,μ>0),
则
1
μ- 的最小值是(

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
解析由| − |-| + -2|=0,可得||=| + -2|,即
||=| + |,| − |=| + |,把等式| − |=| + |两边平
方,化简得 · =0,∴ ⊥ ,|AB|与|AC|大小无法判断,因此,只能得出
|≤5.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
13-6 ≤5,故 1≤| + +
7.(2020·天津,15)如图,在四边形 ABCD 中,∠B=60°,AB=3,BC=6,且
=λ ,

2020高考数学核心突破《专题三三角函数、解三角形与平面向量》(含往年真题分析)

专题三三角函数、解三角形与平面向量第1讲三角函数的图象与性质题型一三角函数的图象1．(1)要得到函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只需将函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象( C ) A ．向左平移π2个单位长度B ．向右平移π2个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度(2) (2017·山西朔州模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为__－1__.突破点拨(1)先利用诱导公式将两函数化为同名三角函数，再利用平移法则求解． (2)先求函数f (x )的解析式，再利用解析式求最值．解析 (1)因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2－π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋π3，所以要得到函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只需将函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向左平移π4个单位长度．故选C. (2)由函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象，可得A ＝2，14·2πω＝5π6－7π12，解得ω＝2.再根据图象经过点⎝⎛⎭⎫7π12，0，可得2·7π12＋φ＝π＋2k π，k ∈Z .因为|φ|<π2，所以φ＝－π6，故函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，故函数f (x )的最小值为2×⎝⎛⎭⎫－12＝－1. 2. 某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫5π12，0，求θ的最小值．突破点拨(1)由表中数据先写出A ，ω，φ的值，再由ωx ＋φ＝0，π，2π，求出其余值． (2)写出函数y ＝g (x )的解析式，由y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z ，利用整体思想建立关于θ的方程，根据k ∈Z 及θ＞0，求出θ的最小值．解析 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表.且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，得g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2θ－π6. 因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0中心对称，令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z . 由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.(1)三角函数图象平移问题需注意三点：一是函数名称是否一致；二是弄清由谁平移得到谁；三是左右的平移是自变量本身的变化．(2)对于由三角函数的图象确定函数解析式的问题，一般由函数的最值可确定A ，由函数的周期可确定ω，由对称轴或对称中心和φ的范围确定φ.题型二三角函数的性质1. 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，2π3上的单调性．突破点拨(1)先将已知解析式化简，然后求解．(2)根据y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A ＞0，ω＞0)与y ＝sin x 的关系求解．解析 (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －32(1＋cos 2x ) ＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32. 因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增；当π2<2x －π3≤π，即5π12<x ≤2π3时，f (x )单调递减．综上可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，5π12上单调递增；在⎝⎛⎦⎤5π12，2π3上单调递减． 2. 设函数f (x )＝sin ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，x ∈R . (1)若ω＝12，求f (x )的最大值及相应x 的集合；(2)若x ＝π8是f (x )的一个零点，且0＜ω＜10，求ω的值和f (x )的最小正周期．突破点拨(1)先用公式化简，再利用三角函数的性质求解． (2)将x ＝π8代入，求ω，则周期可求．解析由已知得f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4. (1)若ω＝12，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4. 又x ∈R ，则2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4≤2，所以f (x )max ＝2，此时12x －π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，即f (x )取最大值时，x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝4k π＋3π2，k ∈Z .(2)∵x ＝π8是函数f (x )的一个零点，∴2sin ⎝⎛⎭⎫π8ω－π4＝0，∴π8ω－π4＝k π，k ∈Z . 又0<ω<10，∴ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，其最小正周期为π.求解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质的三种意识(1)转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式． (2)整体意识：类比y ＝sin x 的性质，只需将y ＝A sin(ωx ＋φ)中的“ωx ＋φ”看成y ＝sin x 中的“x ”，采用整体代入的方法求解．(3)讨论意识：当A 为参数时，求最值应分情况讨论．三角函数的综合应用【预测】已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6－4sin 2ωx ＋2(ω＞0)，其图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若将f (x )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度，得到的函数g (x )的图象恰好经过点⎝⎛⎭⎫－π3，0，求当m 取得最小值时，g (x )在⎣⎡⎦⎤－π6，7π12上的单调递增区间．思维导航(1)解题导引：①先化简函数f (x )的解析式，再利用图象与x 轴相邻两个交点的距离是半个周期求解析式；②先求函数g (x )的解析式，再求在⎣⎡⎦⎤－π6，7π12上的单调递增区间． (2)方法指导：三角函数的综合应用主要是将三角函数的图象和性质与三角变换相结合，通过变换将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再研究其性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意整体思想的应用．规范解答(1)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6－4sin 2ωx ＋2 ＝32sin 2ωx －12cos 2ωx －4×1－cos 2ωx 2＋2 ＝32sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π3(ω＞0)．根据函数f (x )的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2，可得函数f (x )的最小正周期为2×π2＝2π2ω，得ω＝1. 故函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (2)将f (x )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度得到函数 g (x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤2(x ＋m )＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2m ＋π3的图象．根据g (x )的图象恰好经过点⎝⎛⎭⎫－π3，0，可得3sin ⎝⎛⎭⎫－2π3＋2m ＋π3＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫2m －π3＝0，所以2m －π3＝k π(k ∈Z )，m ＝k π2＋π6(k ∈Z )．因为m ＞0，所以当k ＝0时，m 取得最小值，且最小值为π6.此时，g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3. 令2k π－π2≤2x ＋2π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－7π12≤x ≤k π－π12，k ∈Z ，故函数g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－7π12，k π－π12，k ∈Z . 结合x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，7π12，可得g (x )在⎣⎡⎦⎤－π6，7π12上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π6，－π12和⎣⎡⎦⎤5π12，7π12. 【变式考法】已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a·b ，且y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π12，3和点⎝⎛⎭⎫2π3，－2. (1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ (0＜φ＜π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．解析 (1)由题意，知 f (x )＝a·b ＝m sin 2x ＋n cos 2x .因为y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π12，3和⎝⎛⎭⎫2π3，－2，所以⎩⎨⎧3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3，即⎩⎨⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得m ＝3，n ＝1.(2)由(1)知f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 由题意知g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2φ＋π6. 设y ＝g (x )的图象上符合题意的最高点为(x 0,2)，由题意知x 20＋1＝1，所以x 0＝0，即y ＝g (x )的图象上到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)．将其代入y ＝g (x )并整理得sin ⎝⎛⎭⎫2φ＋π6＝1，因为0<φ<π，所以φ＝π6.因此g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x . 由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z ，得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z ，所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π，k ∈Z .1．(教材回归)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( A ) A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x解析 y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，符合题意，故选A. 2．(2017·广西南宁质检)将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向左平移π6个单位长度后，得到f (x )的图象，则( B )A ．f (x )＝－sin 2xB ．f (x )的图象关于直线x ＝－π3对称C ．f ⎝⎛⎭⎫7π3＝12D ．f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π12，0对称解析将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向左平移π6个单位长度，得到的图象对应的解析式为f (x )＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3.函数f (x )的图象的对称轴满足2x ＋2π3＝k π(k ∈Z )，即对称轴方程为x ＝k π2－π3(k ∈Z )，所以f (x )的图象关于直线x ＝－π3对称；令2x ＋2π3＝k π＋π2，得x ＝k π2－π12(k ∈Z )，即f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π12，0对称；f ⎝⎛⎭⎫7π3＝－12.故选B. 3．(2017·湖北襄阳模拟)同时具有性质“①最小正周期是4π；②直线x ＝π3是图象的一条对称轴；③在区间⎝⎛⎭⎫2π3，5π6上是减函数”的一个函数是( D )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3解析对于A 项，B 项，∵T ＝2π2＝π，故A 项，B 项不正确．对于C 项，若直线x ＝π3为其图象的一条对称轴，则π3×12＋π3＝k π，k ∈Z ，得π2＝k π，k ∈Z ，k 不存在，不满足题意，故C 项不正确．对于D 项，因为T ＝2π12＝4π，且由x 2＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，解得图象的对称轴方程为x ＝2k π＋π3，k ∈Z ；当k ＝0时，x ＝π3为图象的一条对称轴．由2k π＋π2≤x 2＋π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，解得单调递减区间为⎣⎡⎦⎤4k π＋π3，4k π＋7π3，k ∈Z ，所以函数在区间⎝⎛⎭⎫2π3，5π6上是减函数，故D 项正确．故选D.4．(2017·山西晋中考前测试)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，将函数y ＝f (x )的图象向左平移4π3个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，则函数y ＝g (x )在区间⎣⎡⎦⎤π2，5π2上的最大值为( C )A ．3B ．332C.322D ．22解析由图象可知函数y ＝f (x )的周期为2⎝⎛⎭⎫7π3－π3＝4π， ∴ω＝12.又点⎝⎛⎭⎫π3，0，⎝⎛⎭⎫0，－32在函数y ＝f (x )的图象上， ∴⎩⎨⎧A sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝0，A sin φ＝－32，且|φ|<π2.∴φ＝－π6，A ＝3，则f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6， ∴g (x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋4π3－π6＝3cos 12x . 由x ∈⎣⎡⎦⎤π2，5π2，可得12x ∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4，则3cos 12x ∈⎣⎡⎦⎤－3，322，即g (x )的最大值为322.5．(书中淘金)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)(x ＝1,2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温为__20.5__℃.解析依题意知，a ＝28＋182＝23，A ＝28－182＝5，所以y ＝23＋5cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)，当x ＝10时，y ＝23＋5cos ⎝⎛⎭⎫π6×4＝20.5. 答案 20.56．(高考改编)把函数y ＝sin 2x 的图象沿x 轴向左平移π6个单位，纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数y ＝f (x )的图象，对于函数y ＝f (x )有以下四个判断：①该函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6；②该函数图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称；③该函数在⎣⎡⎦⎤0，π6上是增函数；④若函数y ＝f (x )＋a 在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为3，则a ＝2 3. 其中，正确判断的序号是__②④__.解析将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位得到y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，然后纵坐标伸长到原来的2倍得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，所以①不正确．f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋π3＝2sin π＝0，所以函数图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称，所以②正确．由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，∴函数的单调增区间为⎣⎡⎦⎤－5π12＋k π，π12＋k π，k ∈Z ，而⎣⎡⎦⎤0，π6⃘⎣⎡⎦⎤－512π＋k π，π12＋k π(k ∈Z )，所以③不正确．y ＝f (x )＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋a ，当0≤x ≤π2时，π3≤2x ＋π3≤4π3，所以当2x ＋π3＝4π3，即x ＝π2时，函数取得最小值，y min ＝2sin 4π3＋a ＝－3＋a ，令－3＋a ＝3，得a ＝23，所以④正确．所以正确的判断为②④.7．(考点聚焦)设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx ·cos ωx (ω>0)，且y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π，3π2上的最大值和最小值．解析 (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋2π3. 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω＞0，所以2π2ω＝4×π4.因此ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3，所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1. 因此－1≤f (x )≤32.故f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1. 8．(2018·山东青岛调考)已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间； (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数f (x )的值域．解析 (1)f (x )＝2sin x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x＝3×1－cos 2x 2＋12sin 2x＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋32. 函数f (x )的最小正周期为T ＝π. 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z . (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3， sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1，可得函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤0，1＋32. 9．(母题营养)已知函数f (x )＝sin x cos x ＋12cos 2x .(1)若tan θ＝2，求f (θ)的值；(2)若函数y ＝g (x )的图象是由函数y ＝f (x )的图象上所有的点向右平移π4个单位长度而得到，且g (x )在区间(0，m )内是单调函数，求实数m 的最大值．解析 (1)因为tan θ＝2，所以sin θ＝2cos θ. 代入sin 2θ＋cos 2θ＝1，得cos 2θ＝15.所以f (θ)＝sin θcos θ＋12cos 2θ＝2cos 2θ＋12(2cos 2θ－1)＝3cos 2θ－12＝110.(2)由已知得f (x )＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 依题意，得g (x )＝22sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π4，即g (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4. 因为x ∈(0，m )，所以2x －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，2m －π4. 又因为g (x )在区间(0，m )内是单调函数，所以－π4＜2m －π4≤π2，即0＜m ≤3π8，故实数m的最大值为3π8.10．(母题营养)设函数f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝⎛⎭⎫12，1.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π4，0，求函数f (x )在x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域．解析 (1)因为f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＋λ，由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得sin ⎝⎛⎭⎫2ωπ－π6＝±1，所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又ω∈⎝⎛⎭⎫12，1，k ∈Z ，所以k ＝1，从而ω＝56. 所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π4，0，得f ⎝⎛⎭⎫π4＝0，即λ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫56×π2－π6＝－2sin π4＝－2，即λ＝－ 2.故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫53x －π6－2， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴53x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3， ∴函数f (x )的值域为[－1－2，2－2]．1．函数f (x )＝cos(w x ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( D )A.⎝⎛⎭⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析由题图可知T 2＝54－14＝1，所以T ＝2.结合题图可知，在⎣⎡⎦⎤－34，54(f (x )的一个周期)内，函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－14，34.由f (x )是以2为周期的周期函数可知，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z ，故选D. 2．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( A ) A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x解析 y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x 是奇函数，图象关于原点对称，且最小正周期为π，A 项正确．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x ，是偶函数，B 项错误．y ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，非奇非偶，C 项错误．y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，非奇非偶，D 项错误．故选A. 3．为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( A ) A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度解析 ∵y ＝sin(2x ＋1)＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋12， ∴只需把y ＝sin 2x 图象上所有的点向左平移12个单位长度即得到y ＝sin(2x ＋1)的图象．故选A.4．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( C )A.3π4 B ．π2C.π4D ．－π4解析 y ＝sin(2x ＋φ)――→左移π8sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ是偶函数，即π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )⇒φ＝k π＋π4(k ∈Z )，当k ＝0时，φ＝π4，故选C.5．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深的最大值为( C )A ．5 mB ．6 mC ．8 mD ．10 m解析由题意可知，当sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＝－1时，函数取得最小值2，即3×(－1)＋k ＝2，∴k ＝5.因此，函数的最大值是8，故水深的最大值为8 m.6．将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( B )A.π12 B ．π6C.π3D ．5π6解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，向左平移m 个单位长度后得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋m ，由它关于y 轴对称可得sin ⎝⎛⎭⎫π3＋m ＝±1，∴π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴m ＝k π＋π6，k ∈Z ，又m >0，∴m 的最小值为π6.7．已知函数f (x )＝A sin(w x ＋φ)(A ，w ，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( A )A ．f (2)＜f (－2)＜f (0)B ．f (0)＜f (2)＜f (－2)C ．f (－2)＜f (0)＜f (2)D ．f (2)＜f (0)＜f (－2)解析 ∵ω>0，∴T ＝2πω＝π，∴ω＝2.又A >0，∴f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－A ，即sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－1，得φ＋4π3＝2k π＋32π(k ∈Z )，即φ＝2k π＋π6(k ∈Z )．又∵φ>0，∴可取f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， ∴f (2)＝A sin ⎝⎛⎭⎫4＋π6， f (－2)＝A sin ⎝⎛⎭⎫－4＋π6，f (0)＝A sin π6. ∵π<4＋π6<3π2，∴f (2)<0.∵－7π6<－4＋π6<－π，且y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫－7π6，－π上为减函数， ∴sin ⎝⎛⎭⎫－4＋π6<sin ⎝⎛⎭⎫－7π6＝sin π6，且sin ⎝⎛⎭⎫－4＋π6>sin(－π)＝0，从而有0<f (－2)<f (0)．故有f (2)<f (－2)<f (0)．故选A.8．将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2个单位后得到函数g (x )的图象．若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( D )A.5π12B ．π3C.π4D ．π6解析 g (x )＝sin[2(x －φ)] ＝sin(2x －2φ)． ∵|f (x )|≤1，|g (x )|≤1， ∴|f (x )－g (x )|≤2，当且仅当f (x 1)＝1，g (x 2)＝－1或f (x 1)＝－1，g (x 2)＝1时，满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2. 不妨设A (x 1，－1)是函数f (x )图象的一个最低点，B (x 2,1)是函数g (x )图象的一个最高点，于是x 1＝k 1π＋3π4(k 1∈Z )，x 2＝k 2π＋π4＋φ(k 2 ∈Z )．∴|x 1－x 2|≥⎪⎪⎪⎪3π4－⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝⎪⎪⎪⎪π2－φ. ∵φ ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，|x 1－x 2|min ＝π3， ∴π2－φ＝π3，即φ＝π6，故选D. 9．已知函数f (x )＝2sin x ＋φ2cos x ＋φ2⎝⎛⎭⎫|φ|<π2，且对于任意的x ∈R ，f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π6，则( C ) A ．f (x )＝f (x ＋π) B ．f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 C ．f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫π3－xD ．f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x解析 f (x )＝sin(x ＋φ)．由题意，可知f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π6对于任意的x ∈R 恒成立，即sin(x ＋φ)≤sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ.又因为|φ|<π2，所以π6＋φ＝π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3.f ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－x ＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π3＋x ＋π＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝f (x )．故选C. 10．已知函数f (x )＝3sin w x ＋cos w x (w ＞0)的图象与x 轴的交点的横坐标可构成一个公差为π2的等差数列，把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得到函数g (x )的图象．下列说法正确的是( D )A ．g (x )在⎣⎡⎦⎤π4，π2上是增函数B ．g (x )的图象关于直线x ＝－π4对称C ．函数g (x )是奇函数D ．当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，函数g (x )的值域是[－2,1]解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，由题意知T 2＝π2，∴T ＝π，∴ω＝2πT＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得到g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x 的图象，易知g (x )是偶函数且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上是减函数，其图象不关于直线x ＝－π4对称，所以A 项，B 项，C 项错误．当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，2x ∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3，则g (x )min ＝2cos π＝－2，g (x )max ＝2cos π3＝1，即函数g (x )的值域为[－2,1]，故选D.11．函数f (x )＝2x －4sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2的图象大致是( D )解析因为函数f (x )是奇函数，所以排除A ，B 项，f ′(x )＝2－4cos x ，令f ′(x )＝2－4cos x ＝0，得x ＝±π3，故选D.12．函数f (x )＝A sin w x (A ＞0，w ＞0)的部分图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)的值为( A )A ．2＋2B ．32C ．62D ．－2解析由题图可知，A ＝2，T ＝8，2πω＝8，ω＝π4，∴f (x )＝2sin π4x ，∴f (1)＝2，f (2)＝2，f (3)＝2，f (4)＝0，f (5)＝－2，f (6)＝－2，f (7)＝－2，f (8)＝0，而2 018＝8×252＋2，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 018)＝f (1)＋f (2)＝2＋ 2.故选A.第2讲三角变换与解三角形题型一三角恒等变换1．(1)(2018·河南郑州模拟)若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝( A )A.17 B ．16C ．57D ．56(2) (2017·河北唐山中学模拟)已知α是三角形的内角，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝45，则cos ⎝⎛⎭⎫5π12－α＝( D )A.210B ．－210C ．－7210D ．7210突破点拨(1)注意到β＝(α＋β)－α，再结合已知条件求tan β的值． (2)注意到cos ⎝⎛⎭⎫5π12－α＝－cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π3＋π4，再实施运算．解析 (1)tan β＝tan[(α＋β)－α] ＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)·tan α＝12－131＋12×13＝17.故选A.(2)∵α是三角形的内角，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝45<32， ∴α＋π3是钝角，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－35，cos ⎝⎛⎭⎫5π12－α＝－cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫5π12－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫712π＋α＝－cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π3＋π4＝－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3·cos π4＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3sin π4＝7210.故选D. 2. 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－14，α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值； (2)求tan α－1tan α的值．突破点拨(1)利用诱导公式转化为二倍角公式，再利用同角三角函数基本关系式求解． (2)切化弦，转化为二倍角公式，再利用(1)的结论求解．解析 (1)cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π3－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝12sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π，4π3， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－32， ∴sin 2α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π3＝12. (2)∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α∈⎝⎛⎭⎫2π3，π，又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32.∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin α cos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3.利用三角恒等变换公式解题的常用技巧(1)项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等． (2)降幂与升幂：通过二倍角公式得到． (3)弦、切互化：一般是切化弦．题型二解三角形1. 已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C ． (1)若a ＝b ，求cos B ；(2)设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积．突破点拨(1)根据正弦定理把已知条件转化为边的关系，然后利用余弦定理求解．(2)利用勾股定理得到边的一个方程，结合已知条件解方程组求得边长，然后求面积．解析 (1)由题设及正弦定理可得b 2＝2ac . 又a ＝b ，可得b ＝2c ，a ＝2c . 由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝14.(2)由(1)知b 2＝2ac . 因为B ＝90°，由勾股定理得a 2＋c 2＝b 2，故a 2＋c 2＝2ac ，进而可得c ＝a ＝ 2. 所以△ABC 的面积为12×2×2＝1.【变式考法】 (1)在本例条件下，求角B 的范围． (2)在本例条件下，若B ＝60°，b ＝2，求a 的值．解析 (1)因为b 2＝2ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥2ac －2ac2ac ＝0，又因为0<B <π，所以0<B ≤π2.(2)因为b 2＝2ac ，b ＝2，所以ac ＝1，又因为b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，所以a 2＋c 2＝3，所以a ＋c ＝5，所以a ＝5＋12或5－12. 2. △ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍． (1)求sin ∠B sin ∠C； (2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长．突破点拨(1)利用面积关系得边的关系，再利用正弦定理求解． (2)先利用面积比求BD ，再利用余弦定理求解．解析 (1)S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ，所以AB ＝2AC . 由正弦定理可得sin ∠B sin ∠C ＝AC AB ＝12.(2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理知 AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC . 故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6. 由(1)知AB ＝2AC ，所以AC ＝1.利用正、余弦定理解三角形的技巧解三角形问题一般要利用正、余弦定理和三角形内角和定理，正弦定理可以将角转化为边，也可以将边转化成角，当涉及边的平方关系时，一般利用余弦定理，要根据题目特点和正、余弦定理的结构形式，灵活选用．有关解三角形的综合问题(1)求∠ACP ；(2)若△APB 的面积是332，求sin ∠BAP .思维导航(1)由已知条件选择余弦定理求得AP .(2)由三角形的面积和(1)结论解得PB ，再由余弦定理及正弦定理求得AB 和sin ∠BAP . 规范解答(1)在△APC 中，因为∠P AC ＝60°，PC ＝2，AP ＋AC ＝4，由余弦定理得PC 2＝AP 2＋AC 2－2AP ·AC ·cos ∠P AC ，所以22＝AP 2＋(4－AP )2－2AP ·(4－AP )·cos 60°，整理得AP 2－4AP ＋4＝0，解得AP ＝2，所以AC ＝2.所以△APC 是等边三角形，所以∠ACP ＝60°.(2)因为∠APB 是△APC 的外角，所以∠APB ＝120°.因为△APB 的面积是332，所以12AP ·PB ·sin ∠APB ＝332，所以PB ＝3.在△APB 中，AB 2＝AP 2＋PB 2－2AP ·PB ·cos ∠APB ＝22＋32－2×2×3×cos 120°＝19，所以AB ＝19.在△APB 中，由正弦定理得AB sin ∠APB ＝PBsin ∠BAP，所以sin ∠BAP ＝3sin 120°19＝35738.【变式考法】 (2017·广州模拟)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝30°，AB ＝3，AC ＝1，AC <BC ，P 为BC 右上方一点，满足∠BPC ＝90°.(1)若BP ＝2，求AP 的长； (2)求△BPC 周长的最大值．解析由题意知1＝AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ＝3＋BC 2－3BC ，解得BC ＝2(BC ＝1舍去，则∠CAB ＝90°.又∠BPC ＝90°，且BP ＝2，所以∠PBC ＝45°，从而∠ABP ＝75°.连接AP ，由余弦定理得AP ＝3＋2－2×3×2×6－24＝6＋22. (2)由(1)可知BC ＝2或BC ＝1，又因为求△BPC 周长的最大值，所以BC ＝2，设BP ＝m ，PC ＝n ，则m 2＋n 2＝4.由于BC 长为定值，因此求△BPC 周长的最大值只需求BP ＋PC ＝m ＋n 的最大值即可．又4＝m 2＋n 2≥(m ＋n )22，则m ＋n ≤22，当且仅当m ＝n ＝2时取等号，此时△BPC 的周长取得最大值，为2＋2 2.1．(教材回归)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( D ) A ．－32B ．32C ．－12D ．12解析原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12，故选D.2．(2017·“江南十校”模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若C＝2B ，则sin Bsin A＝( D )A.c 2a 2＋b 2－c 2 B ．b 2a 2＋b 2－c 2C.a 2a 2＋b 2－c2 D ．c 2a 2＋c 2－b2解析由已知，得sin C ＝sin 2B ＝2sin B cos B ，所以sin C sin B ＝2cos B ．由正弦定理及余弦定理，得c b ＝2×a 2＋c 2－b 22ac ，则b a ＝c 2a 2＋c 2－b2. 再由正弦定理，得sin B sin A ＝c 2a 2＋c 2－b 2，故选D.3．已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为__3__.解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝17－(－2)1＋17×(－2)＝3.4．(2017·河南郑州调考)已知△ABC 中，角C 为直角，D 是边BC 上一点，M 是AD 上一点，且CD ＝1，∠DBM ＝∠DMB ＝∠CAB ，则MA ＝__2__.解析如图，设∠DMB ＝θ，则∠ADC ＝2θ，∠DAC ＝π2－2θ，∠AMB ＝π－θ，∠ABM ＝π2－2θ，在Rt △ABC 中，cos θ＝cos ∠CAB ＝ACAB ；在△CDA 中，由正弦定理得CD sin ⎝⎛⎭⎫π2－2θ＝ACsin 2θ；在△AMB 中，由正弦定理得MA sin ⎝⎛⎭⎫π2－2θ＝ABsin (π－θ)， ∴CD MA ＝AC ·sin θAB ·sin 2θ＝AC ·sin θ2AB ·sin θcos θ＝12，从而MA ＝2. 5．在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C＝__1__.解析在△ABC 中，由余弦定理的推论可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝52＋62－422×5×6＝34，由正弦定理可知sin 2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2a ·cos Ac ＝2×4×346＝1.6．(书中淘金)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD解析依题意有AB ＝600，∠CAB ＝30°，∠CBA ＝180°－75°＝105°，∠DBC ＝30°，DC ⊥CB . ∴∠ACB ＝45°，在△ABC 中，由AB sin ∠ACB ＝CB sin ∠CAB ，得600sin 45°＝CBsin 30°，有CB ＝3002，在Rt △BCD 中，CD ＝CB ·tan 30°＝1006，则此山的高度CD ＝100 6 m.7．(考点聚焦)已知函数f (x )＝2sin ωx ＋m cos ωx (ω＞0，m ＞0)的最小值为－2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和m 的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫θ2＝65，θ∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4，求f ⎝⎛⎭⎫θ＋π8的值．解析 (1)易知f (x )＝2＋m 2sin(ωx ＋φ)(φ为辅助角)， ∴f (x )min ＝－2＋m 2＝－2，∴m ＝ 2.由题意知函数f (x )的最小正周期为π，∴2πω＝π，∴ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝2sin 2x ＋2cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， ∴f ⎝⎛⎭⎫θ2＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝65， ∴sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35， ∵θ∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4，∴θ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－45， ∴f ⎝⎛⎭⎫θ＋π8＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫θ＋π8＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π2 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4 ＝4×35×⎝⎛⎭⎫－45＝－4825. 8．(教材回归)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°. (1)求BC 的长； (2)求sin 2C 的值．解析 (1)由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC ＝7.(2)由正弦定理知sin C ＝AB BC ·sin A ＝2sin 60°7＝217.因为AB <BC ，所以C ＜A ，所以C 为锐角，则cos C ＝1－sin 2C ＝1－37＝277. 因此sin 2C ＝2sin C ·cos C ＝2×217×277＝437. 9．(2017·河北唐山二模)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a 2＋b 2＝λab . (1)若λ＝6，B ＝5π6，求sin A ；(2)若λ＝4，AB 边上的高为3c6，求C . 解析 (1)已知B ＝5π6，a 2＋b 2＝6ab ，结合正弦定理得4sin 2A －26sin A ＋1＝0，解得sin A ＝6±24. 因为0<A <π6，所以sin A <12，所以sin A ＝6－24.(2)由题意可知S △ABC ＝12ab sin C ＝312c 2，得12ab sin C ＝312(a 2＋b 2－2ab cos C )＝312(4ab －2ab cos C )．从而有3sin C ＋cos C ＝2，即sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π6＝1. 又π6<C ＋π6<7π6，所以C ＝π3.10．(2017·山东淄博模拟)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，求△ABC 面积的最大值．解析 (1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理，得sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0. 因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0. 易知sin C ≠0，所以3sin A －cos A ＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12.又0<A <π，所以A ＝π3. (2)方法一由(1)得B ＋C ＝2π3⇒C ＝2π3－B ⎝⎛⎭⎫0<B <2π3，因为a sin A ＝2sin π3＝43，所以由正弦定理得b ＝43sin B ，c ＝43sin C . 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×43sin B ×43sin C ·sin π3＝433sin B ·sin C ＝433·sin B ·sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝433⎝⎛⎭⎫32sin B cos B ＋12sin 2B ＝sin 2B －33cos 2B ＋33＝233sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6＋33.易知－π6<2B －π6<7π6，故当2B －π6＝π2，即B ＝π3时，S △ABC 取得最大值，最大值为233＋33＝ 3.方法二由(1)知A ＝π3，又a ＝2，由余弦定理得22＝b 2＋c 2－2bc cos π3，即b 2＋c 2－bc ＝4⇒bc ＋4＝b 2＋c 2≥2bc ⇒bc ≤4，当且仅当b ＝c＝2时，等号成立．所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×32bc ≤34×4＝3，即当b ＝c ＝2时，S △ABC 取得最大值，最大值为 3.1．已知函数f (x )＝2cos 2x －sin ⎝⎛⎭⎫2x －7π6. (1)求函数f (x )的最大值，并写出f (x )取最大值时x 的取值集合；(2)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝32，b ＋c ＝2，求实数a的取值范围．解析 (1)f (x )＝(1＋cos 2x )－⎝⎛⎭⎫sin 2x cos 7π6－cos 2x sin 7π6 ＝1＋32sin 2x ＋12cos 2x ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， ∴函数f (x )的最大值为2，当且仅当sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝1，即2x ＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋π6，k ∈Z 时取到．∴函数f (x )取最大值时x 的取值集合为x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k π＋π6，k ∈Z . (2)由题意，f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＋1＝32，化简得sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝12. ∵A ∈(0，π)，∴2A ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，13π6， ∴2A ＋π6＝5π6，∴A ＝π3.在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－3bc .由b ＋c ＝2，知bc ≤⎝⎛⎭⎫b ＋c 22＝ 1，即a 2≥1，当b ＝c ＝1时取等号．又由b ＋c >a ，得a <2， ∴a 的取值范围是[1,2)．2．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ； (2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求A 的值．解析 (1)∵c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理得4＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .∵△ABC 的面积等于3， ∴12ab sin C ＝3，∴ab ＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.(2)∵sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ， ∴sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ， ∴sin B cos A ＝2sin A cos A . ①当cos A ＝0时，A ＝π2；②当cos A ≠0时，sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得⎩⎨⎧a ＝233，b ＝433，∴b 2＝a 2＋c 2，∵C ＝π3，∴A ＝π6.综上所述，A ＝π2或A ＝π6.3．(2017·浙江重点中学联考)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . (1)若C ＝2B ，求证：cos A ＝3cos B －4cos 3B ；(2)若b sin B －c sin C ＝a ，且△ABC 的面积S ＝b 2＋c 2－a 24，求角B .解析 (1)证明：∵C ＝2B ，∴A ＝π－3B ， ∴cos A ＝cos(π－3B )＝－cos(B ＋2B ) ＝－cos B cos 2B ＋sin B sin 2B ＝－cos B (2cos 2B －1)＋2sin 2B cos B＝cos B －2cos 3B ＋2cos B (1－cos 2B )＝3cos B －4cos 3B ， ∴cos A ＝3cos B －4cos 3B .(2)在△ABC 中，∵S ＝b 2＋c 2－a 24，∴S ＝b 2＋c 2－a 24＝12bc sin A .由余弦定理知b 2＋c 2－a 24＝12bc cos A ，∴12bc cos A ＝12bc sin A ，∴tan A ＝1，而A ∈(0，π)，∴A ＝π4.∵b sin B －c sin C ＝a ，由正弦定理，得 sin 2B －sin 2C ＝sin A ＝22， ∴cos 2C －cos 2B ＝ 2.∵2C ＝2π－2A －2B ＝3π2－2B ，∴－sin 2B －cos 2B ＝2，∴sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π4＝－1. ∵B ∈(0，π)，∴2B ＋π4＝3π2，∴B ＝5π8.4．(2017·武汉武昌五月调研)已和函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<π2的图象经过点⎝⎛⎭⎫0，12，且相邻两条对称轴的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式及其在[0，π]上的单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，若f ⎝⎛⎭⎫A 2－cos A ＝12，bc ＝1，b ＋c ＝3，求a 的值．解析 (1)将⎝⎛⎭⎫0，12代入f (x )的解析式，得sin φ＝12. 又因为0<φ<π2，所以φ＝π6.又因为最小正周期T ＝π2×2＝π，所以ω＝2.所以函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 因为x ∈[0，π]，所以π6≤2x ＋π6≤13π6，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，π2或2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤3π2，13π6时，f (x )递增，即x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6或x ∈⎣⎡⎦⎤2π3，π时，f (x )递增．所以函数f (x )在[0，π]上的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤0，π6，⎣⎡⎦⎤2π3，π. (2)由(1)知f ⎝⎛⎭⎫A 2＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6，代入已知等式得 sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6－cos A ＝32sin A ＋12cos A －cos A ＝32sin A －12cos A ＝sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12，所以A －π6＝π6或5π6，即A ＝π3或A ＝π(舍去)．又因为bc ＝1，b ＋c ＝3，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ＝6，所以a ＝ 6. 5．(2018·山东青岛模拟)在△ABC 中，边a ，b ，c 的对角分别为A ，B ，C ，且b ＝4，A ＝π3，面积S ＝2 3. (1)求a 的值；(2)设f (x )＝2(cos C sin x －cos A cos x )，将f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)得到g (x )的图象，求g (x )的单调增区间．解析 (1)在△ABC 中，∵S ＝12bc sin A ，∴23＝12×4×c ×32，∴c ＝2.∴a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝16＋4－2×4×2×12＝2 3.(2)∵a sin A ＝b sin B ，即2332＝4sin B，∴sin B ＝1，又0<B <π，∴B ＝π2，∴C ＝π6，∴f (x )＝2(cos C sin x －cos A cos x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，将f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，得到的图象对应的函数解析式为g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，故g (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )． 6．(2018·辽宁协作体一模)设△ABC 是锐角三角形，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(sin A －sin B )(sin A ＋sin B )＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋B sin ⎝⎛⎭⎫π3－B . (1)求角A 的值；(2)若AB →·AC →＝12，a ＝27，求b ，c (其中b ＜c )．解析 (1)∵(sin A －sin B )(sin A ＋sin B )＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋B ·sin ⎝⎛⎭⎫π3－B ，∴sin 2A －sin 2B ＝⎝⎛⎭⎫32cos B ＋12sin B⎝⎛⎭⎫32cos B －12sin B ，即sin 2A ＝34cos 2B －14sin 2B ＋sin 2B＝34(cos 2B ＋sin 2B )＝34， ∵角A 为锐角△ABC 的内角，∴sin A >0， ∴sin A ＝32，∴A ＝π3. (2)AB →·AC →＝bc cos A ＝12，∴bc ＝24，又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝(27)2， ∴b ＋c ＝10，又∵b <c ，∴b ＝4，c ＝6.第3讲平面向量题型一向量的概念及线性运算高考中常从以下角度命题：1. (1)平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．若(a＋k c)∥(2b－a)，则k＝－1613.(2)如图，E为平行四边形ABCD的边DC的中点，F为△ABD的重心，且AB→＝a，AD→＝b，则FE→＝23b＋16a.突破点拨(1)利用向量的坐标运算和向量共线定理求解．(2)利用向量加、减法的几何意义和重心公式求解．解析(1)因为(a＋k c)∥(2b－a)，又a＋k c＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，所以2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，所以k＝－1613.(2)由F为△ABD的重心，得AF→＝23×12AC→＝13(a＋b)．又AE→＝AD→＋DE→＝b＋12a，所以FE→＝AE→－AF→＝23b＋16a.2．(1)在△ABC中，点M，N满足AM→＝2MC→，BN→＝NC→.若MN→＝xAB→＋yAC→，则x＝12，y＝－16.(2)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若m a＋n b＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为__－3__.突破点拨(1)画出图形，利用向量加减法则求解．(2)利用向量的坐标运算求解．。

新高考数学大一轮复习专题二平面向量与三角函数第7讲三角恒等变换与解三角形

第7讲三角恒等变换与解三角形[考情分析] 1.三角恒等变换的求值、化简是命题的热点,利用三角恒等变换作为工具,将三角函数与解三角形相结合求解最值、范围问题.2.单独考查可出现在选择题、填空题中,综合考查以解答题为主,中等难度．考点一三角恒等变换核心提炼1．三角求值“三大类型”“给角求值”“给值求值”“给值求角”． 2．三角恒等变换“四大策略”(1)常值代换：常用到“1”的代换,1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan45°等．(2)项的拆分与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α,α＝(α－β)＋β等．(3)降次与升次：正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化．例1 (1)(2020·全国Ⅰ)已知α∈(0,π),且3cos2α－8cos α＝5,则sin α等于( ) A.53 B.23C.13D.59答案 A解析由3cos2α－8cos α＝5, 得3(2cos 2α－1)－8cos α＝5, 即3cos 2α－4cos α－4＝0,解得cos α＝－23或cos α＝2(舍去)．又因为α∈(0,π),所以sin α>0, 所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－232＝53. (2)已知sin α＝55,sin(α－β)＝－1010,α,β均为锐角,则β等于( ) A.5π12B.π3C.π4D.π6答案 C解析因为α,β均为锐角,所以－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－1010,所以cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55,所以cos α＝255, 所以sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝55×31010－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝22. 所以β＝π4.易错提醒 (1)公式的使用过程要注意正确性,要特别注意公式中的符号和函数名的变换,防止出现“张冠李戴”的情况．(2)求角问题要注意角的范围,要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小,避免产生增解．跟踪演练1 (1)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2,β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2,tan α＝cos2β1－sin2β,则( )A ．α＋β＝π2B ．α－β＝π4C ．α＋β＝π4D ．α＋2β＝π2答案 B解析 tan α＝cos2β1－sin2β＝cos 2β－sin 2βcos 2β＋sin 2β－2sin βcos β ＝cos β＋sin βcos β－sin βcos β－sin β2＝cos β＋sin βcos β－sin β＝1＋tan β1－tan β＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β, 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2,β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2,所以α＝π4＋β,即α－β＝π4.(2)(tan10°－3)·cos10°sin50°＝________.答案－2 解析(tan10°－3)·cos10°sin50°＝(tan10°－tan60°)·cos10°sin50°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin10°cos10°－sin60°cos60°·cos10°sin50°＝sin －50°cos10°cos60°·cos10°sin50°＝－1cos60°＝－2.考点二正弦定理、余弦定理核心提炼1．正弦定理：在△ABC 中,a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a ＝2R sinA ,b ＝2R sinB ,c ＝2R sinC ,sin A ＝a 2R ,sin B ＝b 2R ,sin C ＝c2R,a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等．2．余弦定理：在△ABC 中,a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ,cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.3．三角形的面积公式：S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A .考向1 求解三角形中的角、边例2 在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a sin C1－cos A＝3c .(1)求角A 的大小；(2)若b ＋c ＝10,△ABC 的面积S △ABC ＝43,求a 的值．解 (1)由正弦定理及a sin C1－cos A＝3c ,得sin A sin C1－cos A＝3sin C ,∵sin C ≠0,∴sin A ＝3(1－cos A ),∴sin A ＋3cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝3,∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝32,又0<A <π,∴π3<A ＋π3<4π3,∴A ＋π3＝2π3,∴A ＝π3.(2)∵S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ＝43,∴bc ＝16.由余弦定理,得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－2bc －bc ＝(b ＋c )2－3bc ,又b ＋c ＝10,∴a 2＝102－3×16＝52,∴a ＝213.考向2 求解三角形中的最值与范围问题例 3 (2020·新高考测评联盟联考)在：①a ＝3c sin A －a cos C ,②(2a －b )sin A ＋(2b －a )sin B ＝2c sin C 这两个条件中任选一个,补充在下列问题中,并解答．已知△ABC 的角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,c ＝3,而且________． (1)求角C ；(2)求△ABC 周长的最大值．解 (1)选①：因为a ＝3c sin A －a cos C , 所以sin A ＝3sin C sin A －sin A cos C , 因为sin A ≠0,所以3sin C －cos C ＝1,即sin ⎝⎛⎭⎪⎫C －π6＝12,因为0<C <π,所以－π6<C －π6<5π6,所以C －π6＝π6,即C ＝π3.选②：因为(2a －b )sin A ＋(2b －a )sin B ＝2c sin C , 所以(2a －b )a ＋(2b －a )b ＝2c 2, 即a 2＋b 2－c 2＝ab ,所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12,因为0<C <π,所以C ＝π3.(2)由(1)可知,C ＝π3,在△ABC 中,由余弦定理得a 2＋b 2－2ab cos C ＝3,即a 2＋b 2－ab ＝3,所以(a ＋b )2－3＝3ab ≤3a ＋b24,所以a ＋b ≤23,当且仅当a ＝b 时等号成立, 所以a ＋b ＋c ≤33,即△ABC 周长的最大值为3 3.规律方法 (1)利用余弦定理求边,一般是已知三角形的两边及其夹角．利用正弦定理求边,必须知道两角及其中一边,且该边为其中一角的对边,要注意解的多样性与合理性． (2)三角形中的最值与范围问题主要有两种解决方法：一是利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式,结合角的范围确定所求式的范围．跟踪演练2 (1)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若△ABC 的面积为S ,且a ＝1,4S＝b 2＋c 2－1,则△ABC 外接圆的面积为( ) A ．4πB．2πC．πD.π2答案 D解析由余弦定理得,b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ,a ＝1, 所以b 2＋c 2－1＝2bc cos A , 又S ＝12bc sin A,4S ＝b 2＋c 2－1,所以4×12bc sin A ＝2bc cos A ,即sin A ＝cos A ,所以A ＝π4,由正弦定理得,1sinπ4＝2R ,得R ＝22,所以△ABC 外接圆的面积为π2. (2)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若A ＝3B ,则a b的取值范围是( ) A ．(0,3) B ．(1,3) C ．(0,1] D ．(1,2] 答案 B 解析A ＝3B ⇒sin A sin B ＝sin3B sin B ＝sin 2B ＋Bsin B＝sin2B cos B ＋cos2B sin Bsin B＝2sin B cos 2B ＋cos2B sin B sin B ＝2cos 2B ＋cos2B ＝2cos2B ＋1,即a b ＝sin A sin B＝2cos2B ＋1,又A ＋B ∈(0,π),即4B ∈(0,π)⇒2B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2⇒cos2B ∈(0,1),∴a b ∈(1,3)．(3)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若tan C ＝125,a ＝b ＝13,BC 边上的中点为D ,则sin∠BAC ＝________,AD ＝________.答案31313 352解析因为tan C ＝125,所以sin C ＝1213,cos C ＝513,又a ＝b ＝13,所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝13＋13－2×13×13×513＝16,所以c ＝4.由asin∠BAC ＝c sin C ,得13sin∠BAC ＝41213,解得sin∠BAC ＝31313.因为BC 边上的中点为D ,所以CD ＝a2,所以在△ACD 中,AD 2＝b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－2×b ×a 2×cos C ＝454,所以AD ＝352.专题强化练一、单项选择题1．(2020·全国Ⅲ)在△ABC 中,cos C ＝23,AC ＝4,BC ＝3,则cos B 等于( )A.19B.13C.12D.23 答案 A解析由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝42＋32－2×4×3×23＝9,所以AB ＝3,所以cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝9＋9－162×3×3＝19.2．(2020·全国Ⅲ)已知sin θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1,则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6等于( )A.12B.33C.23D.22 答案 B解析因为sin θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6－π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6sin π6＋ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6cos π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6sin π6 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6cos π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1.所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝33. 3．在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且b ＝2,sin2C 1－cos2C ＝1,B ＝π6,则a 的值为( ) A.3－1 B ．23＋2 C ．23－2 D.2＋ 6答案 D解析在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且b ＝2,sin2C1－cos2C ＝1,所以2sin C cos C 2sin 2C ＝1,所以tan C ＝1,C ＝π4. 因为B ＝π6,所以A ＝π－B －C ＝7π12,所以sin A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π3＝sin π4cos π3＋cos π4sin π3＝2＋64.由正弦定理可得a2＋64＝2sinπ6,则a ＝2＋ 6.4．在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,a cos B ＋b cos A ＝2c cos C ,c ＝7,且△ABC 的面积为332,则△ABC 的周长为( )A ．1＋7B ．2＋7C ．4＋7D ．5＋7答案 D解析在△ABC 中,a cos B ＋b cos A ＝2c cos C , 则sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos C , 即sin(A ＋B )＝2sin C cos C ,∵sin(A ＋B )＝sin C ≠0,∴cos C ＝12,∴C ＝π3,由余弦定理可得,a 2＋b 2－c 2＝ab , 即(a ＋b )2－3ab ＝c 2＝7,又S ＝12ab sin C ＝34ab ＝332,∴ab ＝6,∴(a ＋b )2＝7＋3ab ＝25,即a ＋b ＝5, ∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5＋7. 5．若α,β都是锐角,且cos α＝55,sin(α＋β)＝35,则cos β等于( ) A.2525B.255C.2525或255D.55或525答案 A解析因为α,β都是锐角,且cos α＝55<12, 所以π3<α<π2,又sin(α＋β)＝35,而12<35<22,所以3π4<α＋β<5π6,所以cos(α＋β)＝－1－sin2α＋β＝－45,又sin α＝1－cos 2α＝255,所以cos β＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝2525.6．在△ABC 中,A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c .若A ＝120°,a ＝1,则2b ＋3c 的最大值为( ) A ．3B.2213C ．32D.352答案 B解析因为A ＝120°,a ＝1,所以由正弦定理可得bsin B＝csin C ＝a sin A ＝1sin120°＝233, 所以b ＝233sin B ,c ＝233sin C ,故2b ＋3c ＝433sin B ＋23sin C＝433sin ()60°－C ＋23sin C ＝433sin C ＋2cos C ＝2213sin(C ＋φ)．其中sin φ＝217,cos φ＝277, 所以2b ＋3c 的最大值为2213.二、多项选择题7．(2020·临沂模拟)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若b ＝23,c ＝3,A ＋3C ＝π,则下列结论正确的是( ) A ．cos C ＝33B ．sin B ＝23C ．a ＝3D ．S △ABC ＝ 2答案 AD解析因为A ＋3C ＝π,A ＋B ＋C ＝π,所以B ＝2C .由正弦定理b sin B ＝c sin C ,得23sin2C ＝3sin C,即232sin C cos C ＝3sin C ,所以cos C ＝33,故A 正确；因为cos C ＝33,所以sin C ＝63,所以sin B ＝sin2C ＝2sin C cos C ＝2×63×33＝223,故B 错误；因为cos B ＝cos2C ＝2cos 2C －1＝－13,所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝223×33＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×63＝69,则cos A ＝539,所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(23)2＋32－2×23×3×539＝1,所以a ＝1,故C 错误；S △ABC ＝12bc sin A ＝12×23×3×69＝2,故D 正确． 8．已知0<θ<π4,若sin2θ＝m ,cos2θ＝n 且m ≠n ,则下列选项中与tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ恒相等的有( ) A.n1＋m B.m 1＋n C.1－n m D.1－mn答案 AD解析 ∵sin2θ＝m ,cos2θ＝n , ∴m 2＋n 2＝1,∴1－m n ＝n 1＋m,∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝1－tan θ1＋tan θ＝cos θ－sin θcos θ＋sin θ＝cos θ－sin θcos θ－sin θcos θ＋sin θcos θ－sin θ＝1－sin2θcos2θ＝1－m n ＝n1＋m.三、填空题9．(2020·保定模拟)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12,则sin2α－cos 2α1＋cos2α＝________.答案－56解析因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12,所以tan π4＋tan α1－tan π4tan α＝12,即1＋tan α1－tan α＝12,解得tan α＝－13,所以sin2α－cos 2α1＋cos2α＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝－56. 10．在△ABC 中,a ,b ,c 分别是内角A ,B ,C 的对边,且b ＋a sin C ＝2a sin B －c sin B －sin A,则A ＝________.答案π4解析由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ,得b ＋ac ＝2a sin B －cb －a, 整理得b 2－a 2＝2ac sin B －c 2, 即b 2＋c 2－a 2＝2ac sin B ＝2bc sin A , 由余弦定理得,b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A , ∴2bc cos A ＝2bc sin A ,即cos A ＝sin A , ∴tan A ＝1,∴A ＝π4.11．(2020·全国Ⅰ)如图,在三棱锥P －ABC 的平面展开图中,AC ＝1,AB ＝AD ＝3,AB ⊥AC ,AB ⊥AD ,∠CAE ＝30°,则cos∠FCB ＝________.答案－14解析在△ABD 中,∵AB ⊥AD ,AB ＝AD ＝3,∴BD ＝6,∴FB ＝BD ＝ 6. 在△ACE 中,∵AE ＝AD ＝3,AC ＝1,∠CAE ＝30°, ∴EC ＝32＋12－2×3×1×cos30°＝1,∴CF ＝CE ＝1.又∵BC ＝AC 2＋AB 2＝12＋32＝2,∴在△FCB 中,由余弦定理得cos∠FCB ＝CF 2＋BC 2－FB 22×CF ×BC ＝12＋22－622×1×2＝－14. 12．(2020·山东省师范大学附中月考)在△ABC 中,设角A ,B ,C 对应的边分别为a ,b ,c ,记△ABC 的面积为S ,且4a 2＝b 2＋2c 2,则Sa 2的最大值为________．答案 106解析由题意知,4a 2＝b 2＋2c 2⇒b 2＝4a 2－2c 2＝a 2＋c 2－2ac cos B , 整理,得2ac cos B ＝－3a 2＋3c 2⇒cos B ＝3c 2－a 22ac ,因为⎝ ⎛⎭⎪⎫S a 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12ac sin B a 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c sin B2a 2＝c 21－cos 2B4a 2,代入cos B ＝3c 2－a 22ac ,整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫S a 22＝－116⎝ ⎛⎭⎪⎫9×c 4a 4－22×c2a 2＋9,令t ＝c 2a 2,则⎝ ⎛⎭⎪⎫Sa 22＝－116(9t 2－22t ＋9)＝－116⎝ ⎛⎭⎪⎫3t －1132＋1036,所以⎝ ⎛⎭⎪⎫S a 22≤1036,所以Sa 2≤106,故S a 2的最大值为106.四、解答题13．(2020·全国Ⅱ)△ABC 中,sin 2A －sin 2B －sin 2C ＝sin B sin C .(1)求A ；(2)若BC ＝3,求△ABC 周长的最大值．解 (1)由正弦定理和已知条件得BC 2－AC 2－AB 2＝AC ·AB .①由余弦定理得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ．②由①②得cos A ＝－12.因为0<A <π,所以A ＝2π3.(2)由正弦定理及(1)得AC sin B ＝AB sin C ＝BCsin A ＝23,从而AC ＝23sin B ,AB ＝23sin(π－A －B )＝3cos B －3sin B .故BC ＋AC ＋AB ＝3＋3sin B ＋3cos B＝3＋23sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3. 又0<B <π3, 所以当B ＝π6时,△ABC 周长取得最大值3＋2 3. 14．(2020·重庆模拟)在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,2b 2＝(b 2＋c 2－a 2)(1－tan A )．(1)求角C ；(2)若c ＝210,D 为BC 的中点,在下列两个条件中任选一个,求AD 的长度．条件①：△ABC 的面积S ＝4且B >A ；条件②：cos B ＝255. 解 (1)在△ABC 中,由余弦定理知, b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ,所以2b 2＝2bc cos A (1－tan A ),所以b ＝c (cos A －sin A ),又由正弦定理知,b c ＝sin B sin C, 得sin B ＝sin C (cos A －sin A ),所以sin(A ＋C )＝sin C (cos A －sin A ),即sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin C cos A －sin C sin A ,所以sin A cos C ＝－sin C sin A ,因为sin A ≠0,所以cos C ＝－sin C ,所以tan C ＝－1,又因为0<C <π,所以C ＝3π4. (2)选择条件②,cos B ＝255, 因为cos B ＝255,且0<B <π,所以sin B ＝55, 因为sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋sin C cos B＝55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋22×255＝1010,由正弦定理知c sin C ＝asin A ,所以a ＝c sin A sin C ＝210×101022＝22,在△ABD 中,由余弦定理知 AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos B＝(210)2＋(2)2－2×210×2×255＝26,所以AD ＝26.。

2020高考数学单元质量测试三三角函数解三角形与平面向量理含解析

乐山市2020届初中学业水平考试生物一、选择题(共60分，每小题3分)19．下列描述中，不属于生物与环境关系的是A．雨露滋润禾苗壮B．风吹草低见牛羊C．大树底下好乘凉D．葵花朵朵向太阳20．生态系统物质循环和能量流动的渠道是A．食物链B．食物网C．消费者D．A和B21．显微镜是人类探索微观世界不可缺少的工具。

下列关于显微镜的使用正确的是A．当环境光线较暗时，用反光镜的凸面镜B．对光完成时，应观察到明亮圆形的视野C．在下降镜筒过程中，眼睛应该看着目镜D．清洁收镜时，使用纱布擦拭物镜、目镜22．细胞是生物体结构和功能的基本单位，细胞的生活依靠细胞各结构的分工合作。

下列细胞结构与功能的关系，错误的是A．细胞膜——控制物质进出B．线粒体一一能量转换器C．细胞壁一一控制物质进出D．叶绿体——能量转换器23．花、果实和种子是绿色开花植物的生殖器官。

开花、传粉后结出果实，下列花与果实各部分的对应关系，正确的是A．子房——果实B．受精卵——种子C．胚珠——胚D．子房壁——种皮24．有人说“包括人类在内的其他生物是‘攀附’着植物的茎蔓才站在这个星球上的。

”这句话道出了绿色植物光合作用的重要意义。

下列关于光合作用的意义说法错误的是A．为动物和人类提供食物B．为自身生活提供有机物C．为自身生活提供无机盐D．为动物和人类提供能量25．呼吸作用是生物的共同特征，下列说法正确的是A．发生的主要部位是叶绿体B．意义是为自身生命活动提供能量C．所需原料是二氧化碳和水D．适当提高温度可以降低呼吸作用26．关于光合作用和呼吸作用及它们在农业生产上的运用，下列说法错误的是A．通过合理密植可达到提高产量的目的B．适时松土有利于根细胞呼吸作用的正常进行C．白天，在温室大棚中增加二氧化碳浓度可提高产量D．农作物在白天只进行光合作用，保证了有机物的生产27．生活存中原地区的人，进入高原一段时间后，血液中的一种成分会显著增加，这种成分是A．血浆B．血小板C．红细胞D．白细胞28．下判说法中错误的是A．白细胞有吞噬消灭病菌，促进止血和加速血液凝固的作用B．输液时，刺入的手背上的“青筋”，就是分布较浅的静脉C．臀部肌肉注射的青霉素，最先到达心脏四个腔中的右心房D．某A型血的人因大量失血需输血，应输入A型血最为安全29．眼球里有一个能折射光线的结构，它能灵敏调节曲度使人可看清远近不同的物体。

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【最新】高考数学周周测7—三角函数、解三角形、平面向量综合应
用
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小
题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知角α的终边经过点P(－3,4)，则tan2α＝()

A.247B.83C．－83D
．－

2．若函数y＝cosωx(ω∈N*)的一个对称中心是
π
6
，
0
，则ω的最

小值为
()
A．2B．3C．6D．9
3．(2016·山东，8)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，

n〉＝
1
3
，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为()

A．4B．－4C.94D．－
9
4
4．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)
∥c，则λ＝()
A.14B.12C．1D．2
5．(2017·辽宁五校第一次联考，8)在△ABC中，角A，B，C所
对的边分别为a，b，c，若直线bx＋ycosA＋cosB＝0与ax＋ycosB＋
cosA＝0平行，则△ABC一定是()
A．锐角三角形B
．等腰三角形

C．直角三角形D
．等腰或者直角三角形

6．在△ABC中，D是AB中点，点E在AC上，
AE
→＝16AC→，若AB→

＝a，BC→＝b，则DE→＝()
A.
16a－13bB．－16a＋13bC.13a－16bD．－13a＋1

6
b
7．如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD
的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m到达B处，又测
得C对于山坡的斜度为45°.若CD＝50m，山坡对于地平面的坡度为
θ，则cosθ＝()

A.32B．2－3C.3－1D.
2
2
8．在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等
于()

A.32B.332C.3＋62D.
3＋39

9．(2017·广州二测)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π2)的图象的一

个对称中心为(3π8，0)，则函数f(x)的单调递减区间是()
A．[2kπ－3π8，2kπ＋π8](k∈Z)B．[2kπ＋π8，2kπ＋5π8](k∈Z)
C．[kπ－3π8，kπ＋π8](k∈Z)D．[kπ＋π8，kπ＋5π8](k∈Z)
10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c
2

＝
(a

－b)2＋6，C＝π3，则△ABC的面积是()

A．3B.932C.332D．33

11．(2017·呼和浩特调研)如图是函数f(x)＝sin2x和函数g(x)的部
分图象，则g(x)的图象可能是由f(x)的图象
()
A．向右平移
2π

3
个单位得到的

B．向右平移
π
3
个单位得到的

C．向右平移
7π
12
个单位得到的

D．向右平移
π
6
个单位得到的

12．(2016·天津，7)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D
，

E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，