定积分定积分的概念与性质
6.1 定积分的概念及性质
b
b
b
（线性性)
f ( x)dx .
（积分区间具有可加性)
补充 不论 a , b, c 的相对位置如何,上式总成立.
四、定积分的性质
• 性质 4 性质 4
a1dx a dx b a .
b
b
b
•性质5 如果在区间[a, b]上 f (x)0, 则
a f (x)dx 0 (ab).
2
2
1
x dx （2） ln(1 x)dx 与
2
1
0
1
0
ln 2 (1 x)dx
2 x [1, 2] x x 时， ，由保序性可知 解 （1）当
可知
2
1
xdx x 2 dx ．
1
2
2
x ，由保序性 ) （2 ）当 x [0,1]时， ln(1 x ) ln (1
i 1,2, n
a
b xn x
解决步骤
(2) 取近似
在每个小区间上任 取一点 i 设函数在区间 a, b 上连续
y
xi 1 i xi
y f x 0
为高，以 xi为底， 以 f ( i ) 作 n 个小矩形，其面积分 别为 f i xi , 则 Ai f i xi (i 1,2,, n)
结
1. 定积分的实质: 特殊和式的极限.
思想 以直代曲、以常代变. 取极限. 方法 四步曲: 分割、取近似、求和、
3. 定积分的性质 (注意估值性质、积分中值定理的应用)
4. 典型问题 (1) 估计积分值; (2) 不计算定积分比较积分大小.
•推论1 如果在区间[a, b]上 f (x)g(x), 则
定积分定积分的概念与性质
第五章 定积分本章重点: 1 定积分计算: 1.用牛一莱公式2.用“特性”(奇偶对称)3.分段函数的定积分 2 积分上限函数求导及应用3 定积分计算中应注意的问题第一节．定积分的概念与性质教学内容和重点: 1 理解定积分定义 2 掌握性质和几何意义 一. 定积分的引入1. 数学上: 求曲边梯形的面积 ① 曲边梯形 ② 面积的求法ⅰ分割 ⅱ近似 ⅲ 求和 ⅳ 取极限i x ∆既表示第i 个小区间,也表示长度. A=01lim ()ni i f i x λξ→=∆∑max{}i x λ=∆2.物理上: ① 作变速直线运动的路程. V(t) [1,2T T ] ② 求法: S=01lim ()ni i i V t λξ→=∆∑③ 分析: ⅰ 含义不同,但处理的方法完全一样 ⅱ 式子均为特定和式结构的极限 二. 定积分的概念1. Def: 设f(x)在[a,b]上有界(有界才有极限) 若01lim ()ni i i f x λξ→=∆∑ ∃,则称01lim ()()nb i ia i f x f x dx λξ→=∆⎰∑2. 定积分存在的两个充分条件① 若f(x)∈C[a,b]⇒()baf x dx ⎰∃ (f(x)在[a,b]上可积)② 若f(x)在[a,b]上有界,且只有有限个间断点(非无穷,振荡)(工类的)⇒()ba f x dx ∃⎰3. 几个注意的问题① 定积分∃,对任意分法和任意取法都成立⇒采取特殊的分法,取法(比如等分) ② 0n λ→→∞等分③ 定积分的值,只与f(x)和积分区间[a,b]有关,与积分变量无关()()()b b baaaf x dx f u du f t dt ==⎰⎰⎰④ 定积分的几何意义1.()0().()2.()0()3.()()b a bb aabaf x A f x dx f x dx f x A f x dxf x f x dx -⎧>⇒=⎪⎪<⇒=+⎨⎪⎪⇒⎩⎰⎰⎰⎰面积有正有负是面积的代数和5. 定积分定义的应用① 利用几何意义来求定积分 如:04π=⎰221y x y =+= 如:设x ∀∈[a,b],有f(x)>0,f ’(x)>0,f ”(x)<0,则()()f b b a ->()b a f x dx ⎰>()()()2f a f b b a +->()()f a b a -大小顺序如何? S 曲梯>S 梯>S 矩 ② 求特定和式数列的极限如: 求111lim()12n n n n n→∞++⋅⋅⋅++++作等分:101111111lim lim lim ()11nn i n n n i i f dx i n i n n x nξ→∞→∞→∞=====〉=+++∑∑∑⎰ =[㏑(1+x)]10=㏑2 (在12,1之间) ③ 用定义求定积分 (等分 令i i x ξ=) 如:1lim lim (12)nbian n i b a b a b a b a b axdx x a a a n n n n n n→∞→∞=-----==++++⋅⋅⋅++∑⎰=lim((12))n b a b ana n n n→∞--+++⋅⋅⋅+=2(1)()lim()()122n b a b a n n b a na b a a n n →∞--+-+=-+ =221()2b a - 事实上:2221()22bb aax xdx b a ==-⎰三. 定积分的性质:1. 假设可积.2. 所求等式性质 a,b 大小无关系.3. 不等式性质要求上限必须大于下限4. 一个规定,6个性质 ① 规定: ⅰ()0aa f x dx =⎰ⅱ()()b aabf x dx f x dx =-⎰⎰ 0i x ∆<② 性质: ⅰ 线性性质. [()()]baf xg x dx ±⎰. ()kf x dx ⎰ⅱ 积分曲间可加性. ()bcbaacf x dx =+⎰⎰⎰注: ⑴c 可在a,b 之间,也可在a,b 之外⑵bcdebaac de=+++⎰⎰⎰⎰⎰ⅲ 1b adx b a =-⎰ (几何面积为b-a)ⅳ 保号性: 若[,]x a b ∀∈,有()0f x ≥()0ba f x dx ⇒≥⎰(b>a)推论: ⑴[,]x a b ∀∈,有()()()()bbaaf xg x f x dx g x dx ≤⇒≤⎰⎰⑵()()bbaaf x dx f x dx ≤⎰⎰ⅴ 估值性质: 设()[,],()m f a b f M x x ≤≤∈()()()bbaam b a f x dx Mdx M b a -≤≤=-⎰⎰ⅵ 积分中值定理: 设()[,]f x C a b ∈ ()baf x dx m M b a≤≤-⎰由介值定理: ()[,]f a b ξξ∈∃其中，至少 几何意义: ()()()ba f x dx fb a ξ=-⎰S 曲梯=S 矩③ 定积分的应用——例题分析例1． 比较积分值的大小ⅰ 1100xdx ⎰⎰与㏑（1+x ）dx > (㏑(1+x)<x<1x e -ⅱ 21⎰㏑xdx 与21⎰㏑2xdx > (㏑x<1)例2． 估计积分值ⅰ 52414(1sin )x dx ππ-+⎰ ⅱarctan xdx（251sin 44x ππ+在，上连，必有最值）551224444ππππππ=-≤⋅⋅⋅≤-=（）（）例3．设()[0,1]0()1f x C f x ∈≤<且. 试证：1lim ()0n n f x dx →∞=⎰证明：1lim ()lim ()(10)0n n n n f x dx f ξ→∞→∞=-=⎰ex ：P233.1 6 (1.4)。
5.1 定积分的概念与性质
思 考 题
将和式极限：
lim
n
1 n
sin
sin 2 nn
sin
(n
1) n
表示成定积分.
思考题解答
原式
lim
n
1 n
sin
n
sin
2 n
sin
(n
1) n
sin
n n
lim 1 n sin i n n i1 n
1
lim
n
n i1
sin
i n
n
1
sin xdx.
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
解决步骤 : 1) 大化小. 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点
x i
1
0 1 x dx
0
i
i1 i
1x
nn
(2)
lim 1p
n
2p n p1
n
p
lim
n
n
i1
i n
p
1 n
x i
1 x p dx 0
i
定四、积定分积分的的性性质质
对定积分的补充规定:
（1）当a
b时， b a
f
(
x)dx
0；
（2）当a
b时， b a
f
( x)dx
a
b
f
( x)dx .
1)
第一节 定积分的概念和性质
x
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
o
a
（四个小矩形）
b
x o
a
（九个小矩形）
b
x
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
播放
曲边梯形如图所示， 在区间 [a , b]内插入若干
个分点，a x0 x1 x2 xn1 xn b,
a b
（2）当a b 时， f ( x )dx f ( x )dx .
a b
b
a
说明 在下面的性质中，假定定积分都存 在，且不考虑积分上下限的大小．
性质1 证
a [ f ( x ) g( x )]dx a f ( x )dx a g( x )dx .
b
b
b
b
a [ f ( x ) g( x )]dx n lim [ f ( i ) g( i )]xi 0
a f ( x )dx a g( x )dx .
b b
于是
性质5的推论： （ 2） 证
a f ( x )dx a
b
b
b
f ( x )dx . (a b)
f ( x) f ( x) f ( x) ,
a f ( x )dx a f ( x )dx a f ( x )dx ,
lim f ( i )xi lim g( i )xi
i 1 n n
a f ( x )dx a g( x )dx .
（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）
0 i 1 b
0 i 1
14第五章定积分(定积分的定义与性质)
记 xk xk xk 1, k 1, 2,
, n, max 1k n
xk
再在每个小区间 [xk1, xk
积 f (k )xk 的和式：
]上任取一点
n
k
f (k )xk
，作乘
k 1
如果 0时,上述极限存在（即，这个极限值与 [a,b]的分割
及点i 的取法均无关），则称此极限值为函数 f (x) 在区间[a, b]
（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）
性质2
abkf
(
x)dx
k
b
a
f
(
x)dx
(k 为常数).
例1 下列各式不正确的是（D ）.
(A)
d
b f (x)dx d
b
f (x)dx 0
dx a
dt a
1
1
(B) f (sin x)dx f (sin t)dt
0
0
(C)
d
b
b
xf (t)dt f (x)dx
定积分 x f (t)dt 称为变上限定积分，它是 x的函数，记作(x) ，即 a
(x)
x
f (t)dt
(x [a,b]).
a
定理 1 若函数 f (x) 在区间 [a,b]上连续，则变上限定积分
(x) x f (t)dt 在区间[a,b]上可导，并且它的导数等于被积函数， a
即 (x) [ x f (t)dt] f (x) . (x) 是 函 数 f (x) 在[a,b] 的 一个 原函 a
上的定积分，记为 b
n
a
f (x)dx lim 0 k 1
f (k )xk .
积分上限
定积分知识点汇总
定积分知识点汇总在微积分学中，定积分是一个基本概念。
它是将一个区间上的函数的值乘以这个区间的长度进行求和的过程。
在这篇文章中，我们将详细介绍定积分的相关知识点，包括定义、性质、计算方法以及一些重要的定理。
一、定积分的定义定积分的定义是将一个连续函数$f(x)$在某个区间$[a, b]$上的面积或体积表示出来的过程。
这里我们主要探讨二维平面内的定积分。
在数学语言中，定积分的定义可以写作：$\int_a^bf(x)\,dx=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^nf(x_i)\Del ta x$其中$n$表示将区间$[a, b]$等分成$n$份，$\Delta x=\frac{b-a}{n}$表示每份长度。
$x_i$是第$i$份区间的中间点，即$a+(i-\frac{1}{2})\Delta x$。
$\sum_{i=1}^nf(x_i)\Delta x$表示的是矩形的面积之和，$\lim_{n\rightarrow\infty}$表示将矩形的数量趋近于无穷大。
最后的定积分即两个端点为$a$和$b$的函数$f(x)$的积分。
二、定积分的性质1. 线性性$\int_a^b[c_1f_1(x)+c_2f_2(x)]dx=c_1\int_a^bf_1(x)dx+c_2\int_a^ bf_2(x)dx$2. 区间可加性$\int_a^bf(x)dx+\int_b^cf(x)dx=\int_a^cf(x)dx$3. 积分中值定理如果$f(x)$在$[a, b]$上是连续的，则存在一个$c\in[a, b]$，使得$\int_a^bf(x)dx=f(c)(b-a)$。
其中$c$称为积分中值。
4. 牛顿-莱布尼茨公式$\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$，其中$F(x)$是$f(x)$的一个原函数（即$F'(x)=f(x)$）。
三、定积分的计算方法1. 分段函数对于分段函数$f(x)$，我们需要将其分段拆分并分别进行计算。
4(1)定积分的概念与性质
今后将经常利用定积分与变量记号无关性 进行推理.
12
定积分的概念与性质
3、定积分的几何意义和物理意义
(1). 几何意义
f ( x) 0,
b
f ( x)dx A
曲边梯形的面积
a
f ( x) 0, b f ( x)dx A 曲边梯形的面积
a
y
的负值
f (x)
A1
a
A2 O
A3
bx
b
a f ( x)dx A1 A2 A3
13
定积分的概念与性质
b f ( x)dx几何意义 a 它是介于x轴、函数 f (x) 的图形及两条
直线 x =a, x = b之间的 各部分面积的代数和.
在 x 轴上方的面积取正号; 在 x 轴下方的面积
取负号.
y
f (x)
a
O
b
b
a g( x)dx a f ( x)dx 0
于是
b
b
f ( x)dx g( x)dx
a
a
23
定积分的概念与性质
比较下列积分的大小.
(1)
1 x2dx
0
1 x3dx
0
(2) 2 xdx 0
2 sin xdx
0
(3) 0 exdx 1
25
定积分的概念与性质
(估值定理)
性质6 设M和m 分别是函数f ( x)在[a,b]上的
最大值及最小值.
则 m(b a)
b
f ( x)dx M (b a)
a
证 m f (x) M
定积分概念与性质(Concept
第五章 定积分Chapter 5 Definite Integrals5.1 定积分的概念和性质（Concept of Definite Integral and its Properties ）一、定积分问题举例（Examples of Definite Integral ）设在()y f x =区间[],a b 上非负、连续，由x a =，x b =，0y =以及曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形，其中曲线弧称为曲边。
Let ()f x be continuous and nonnegative on the closed interval [],a b . Then the regionbounded by the graph of ()f x , the x -axis, the vertical lines x a =, and x b = is called the trapezoid with curved edge.黎曼和的定义（Definition of Riemann Sum ）设()f x 是定义在闭区间[],a b 上的函数，∆是[],a b 的任意一个分割，011n n a x x x x b -=<<<<=，其中i x ∆是第i 个小区间的长度，i c 是第i 个小区间的任意一点，那么和()1niii f c x =∆∑，1i i i xc x -≤≤称为黎曼和。
Let ()f x be defined on the closed interval [],a b , and let ∆ be an arbitrary partitionof [],a b ,011n n a x x x x b -=<<<<=, where i x ∆ is the width of the i th subinterval. Ifi c is any point in the i th subinterval, then the sum()1niii f c x =∆∑，1i i i xc x -≤≤,Is called a Riemann sum for the partition ∆.二、定积分的定义（Definition of Definite Integral ） 定义 定积分（Definite Integral ）设函数()f x 在区间[],a b 上有界，在[],a b 中任意插入若干个分点011n n a x x x x b -=<<<<=，把区间[],a b 分成n 个小区间：[][][]01121,,,,,,,n n x x x x x x -各个小区间的长度依次为110x x x ∆=-，221x x x ∆=-，…，1n n n x x x -∆=-。
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F ' ( x) 0 .
2
高等数学Ⅰ作业
班级：
学号：
姓名：
第三节 定积分的换元法和分部积分法 一、计算下列定积分 1.
2 0
2 x 2 dx ；
2.
1
1
x dx ； 5 4x
3.
xe
0
1
x
dx ；
4.
e
1
x ln xdx ；
5. 2 sin cos 3 d .
3
高等数学Ⅰ作业
班级：
学号：
姓名：
第四节 反常积分 判定下列各反常积分的收敛性，如果收敛，计算反常积分的值 1.
1
1 dx ； x4
2.
ax 0
e
dx (a 0) ；
3.
1 dx ； x 2 x 2
2
4.
1 0
x 1 x2ຫໍສະໝຸດ dx ；5.1 dx . 0 (1 x ) 2
0
二、设 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续，证明
b a
f ( x)dx f (a b x)dx .
a
b
三、 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续， f ( x ) 0 ，证明： F ( x)
x a
f (t )dt
x b
1 dt 0 在 [ a, b] 内只有一个实根. f (t )
2.
a dx ； ( x a)(x 2a)
3.
4 0
tan 2d ；
4.
2
0
x 1 x 1 f ( x ) dx , 其中 f ( x ) 1 2 . x x 1 2
二、解答下列问题 1.求
d x2 1 t 2 dt ； 0 dx
2.求
d x 2 t 2 e dt . dx x
2
4
ex
2
x
dx .
三、证明：
4 1 1 dx 1 . 1 2 x 2
四、求极限： lim(
n
1 4n 1
2
1 4n 2
2 2
1 4n n 2
2
).
1
高等数学Ⅰ作业
班级：
学号：
姓名：
第二节 微积分基本公式 一、计算下列定积分 1.
a 2 0
3
0
( 2 x ) 2 dx ；
高等数学Ⅰ作业
班级：
学号：
姓名：
第五章 定积分 第一节 定积分的概念与性质 一、 比较定积分的大小 1.
2 1
ln xdx 与 (ln x ) 3 dx ；
1
2
2.
0 e
1 x
dx 与 0 (1 x)dx ；
1
二、估计定积分的取值范围 1. 1 ( x 2 1)dx ；
4
2.
2 0
3.求极限 lim
x 0
x
0
cost 2 dt x
；
4.求极限： lim
( 0 e t dt) 2
2t 0 te dt x
2
x
2
x 0
.
三、设 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续，在 ( a, b) 内可导 , 且 f ' ( x) 0 , F ( x )
x 1 f (t )dt . 证明在 (a, b) 内有 x a a