学案2-直线的平行与垂直的判定
人教版数学高一必修2学案两条直线平行与垂直的判定
3.1.2两条直线平行与垂直的判定基础梳理1．两条直线平行的判定．两条不重合的直线平行的条件是(斜率都存在)：它们的斜率相等．即：α1＝α2⇔l1∥l2⇔k1＝k2.上述结论的前提是两条直线不重合并且斜率都存在．例如：已知两不重合直线的倾斜角都为0°，则这两直线平行．已知两不重合直线的倾斜角都为90°，则这两直线平行．2．两条直线垂直的判定．探究两直线l1，l2垂直时，它们的斜率k1，k2的关系．(1)l1，l2的倾斜角α1＝90°，α2＝0°时，斜率k1不存在；k2＝0，此时两直线垂直．(2)两直线的斜率都存在时，两直线垂直，则它们的斜率k1，k2的乘积k1k2＝－1.反之亦然，即：l1⊥l2⇔k1k2＝－1．例如：已知直线l1的斜率为3，l2的斜率为－13，则l1⊥l2.►思考应用1．当两条直线的斜率相等时，两条直线一定平行吗？解析：一定，课本说“两条直线时，一般是指两条不重合的直线”．2．当直线l1⊥l2时，它们的倾斜角α1，α2的关系是什么(α1<α2)? 解析：α2＝90°＋α1.自测自评1．已知A(2，0)，B(3，3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k等于(B)A．－3 B．3 C．－13D.132．过点A(1，2)和B(－3，2)的直线与直线y＝0的位置关系是(B) A．相交B．平行C．重合D．垂直3．直线l1的倾斜角为60°，直线l1⊥l2，则直线l2的斜率为(D) A. 3 B．－ 3C.33D．－334．经过点(m，3)和(－2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相垂直，则m的值是2．题型一两条直线平行与垂直的关系(1)若l1∥l2，则l1的斜率k1＝－a3，题型二两直线平行与垂直的应用基础达标1．下列命题①如果两条不重合的直线斜率相等，则它们平行；②如果两直线平行，则它们的斜率相等；③如果两直线的斜率之积为－1，则它们垂直；④如果两直线垂直，则它们斜率之积为－1.其中正确的为(B )A ．①②③④B ．①③C ．②④D ．以上全错2．给定三点A(1，0)、B(－1，0)、C(1，2)，则过A 点且与直线BC 垂直的直线经过点(A )A ．(0，1)B ．(0，0)C ．(－1，0)D ．(0，－1)解析：∵k BC ＝2－01－（－1）＝1， ∴过A 点且与直线BC 垂直的直线的斜率为－1.又∵k ＝1－00－1＝－1， ∴直线过点(0，1)．3．已知直线l 1经过两点(－1，－2)，(－1，4)，直线l 2经过两点(2，1)，(x ，6)，且l 1∥l 2，则x ＝(A )A ．2B ．－2C ．4D ．14．设点P(－4，2)，Q(6，－4)，R(12，6)，S(2，12)，下面四个结论： ①PQ ∥SR ；②PQ ⊥PS ；③PS ∥QS ；④RP ⊥QS.正确的个数是(C )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由斜率公式知k PQ ＝－4－26＋4＝－35，k SR ＝12－62－12＝－35，k PS ＝12－22＋4＝53，k QS ＝12＋42－6＝－4·k PR ＝6－212＋4＝14，∴PQ ∥SR ，PS ⊥PQ ，RP ⊥QS.而k PS ≠k QS ，所以PS 与QS 不平行，故①②④正确，选C .5．下列各对直线不互相垂直的是(C )A ．l 1的倾斜角为120°，l 2过点P(1，0)，Q(4，3)B ．l 1的斜率为－23，l 2过点A(1，1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12C ．l 1的倾斜角为30°，l 2过点P(3，3)，Q(4，23)D ．l 1过点M(1，0)，N(4，－5)，l 2过点A(－6，0)，S(－1，3)6．以A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)为顶点的三角形是(D )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．以A 为直角顶点的直角三角形D ．以B 为直角顶点的直角三角形7．确定l 1与l 2的位置关系(填“∥”或“⊥”)(1)l 1过点A(2，3)，B(－1，0)，l 2过点P(1，0)且斜率为1，则l 1________l 2.(2)l 1过点C(3，1)，D(－2，0)，l 2过点M(1，－4)且斜率为－5，则l 1________l 2.解析：(1)∵kl 1＝3－02＋1＝1，∴l 1∥l 2. (2)kl 1＝15，∴kl 1·kl 2＝－1，∴l 1⊥l 2. 答案：(1)∥ (2)⊥ 巩固提升8．直线l 1、l 2的斜率k 1、k 2是关于k 的方程2k 2－3k －b ＝0的两根，若l 1⊥l 2，则b ＝________；若l 1∥l 2，则b ＝________．解析：由根与系数的关系可知k 1＋k 2＝32，k 1·k 2＝－b 2， 则当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－b 2＝－1，解得b ＝2； 当l 1∥l 2时，k 1＝k 2＝34， 解得b ＝－2k 1·k 2＝－98. 答案：2 －989．△ABC 的顶点A(5，－1)，B(1，1)，C(2，m)，若△ABC 为直角三角形，求m 的值．解析：若∠A 为直角，则AC ⊥AB ，∴k AC ·k AB ＝－1，即m ＋12－5·1＋11－5＝－1，得m ＝－7；若∠B 为直角，则AB ⊥BC ，∴k AB ·k BC ＝－1，即－12·m －12－1＝－1，得m ＝3；若∠C 为直角，则AC ⊥BC ，∴k AC ·k BC ＝－1，即m ＋1－3·m －12－1＝－1，得m ＝±2.综上可知，m ＝－7或m ＝3或m ＝±2.10．已知四边形MNPQ 的顶点M(1，1)，N(3，－1)，P(4，0)，Q(2，2)，求证：四边形MNPQ 为矩形．证明：∵k MN ＝1＋11－3＝－1，k PQ ＝2－02－4＝－1，∴MN ∥PQ.又∵k MQ ＝2－12－1＝1，k NP ＝0＋14－3＝1，MQ ∥NP ，∴四边形MNPQ 为平行四边形．又∵k MN·k MQ＝－1，∴MN⊥MQ.∴四边形MNPQ为矩形．1．对垂直与平行关系的理解应注意，当两直线的斜率相等时，并不一定两直线平行，还要注意判断一下两直线是否重合．2．无论是判断两条直线平行还是垂直，都需注意对特殊情况的讨论，即注意分类讨论思想方法的运用．3．利用这两个关系判断三角形或四边形形状时首先根据各点坐标求出各边斜率，再根据斜率判断各边所在直线的位置关系，进而得知形状．在求斜率、求点的坐标等问题时经常用到这两类关系．。
两条直线平行与垂直教案
课题 3.1.2两条直线平行与垂直的判定教师年级高一课标要求能根据斜率判定两直线平行或垂直教学目标1.知识与技能：探究两直线平行与垂直的判定，理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，能根据斜率判定两条直线平行或垂直2.过程与方法：体验、经历用斜率研究两条直线的位置关系的过程与方法，体会解析几何用图形直观感知，再用代数严格证明的方法方法。
3、态度情感与价值观：感受坐标法对沟通代数与几何、数与形之间联系的重要作用。
教学重点根据斜率判定两条直线平行和垂直教学难点根据斜率关系判定两条垂直的推导过程教学手段多媒体课件课题类型新授课教学过程师生主要活动设计意图知识储备1，直线倾斜角的定义2．直线倾斜角的取值范围3．直线斜率4.过两点P1 (x1 , y1 )，P2 (x2 , y2 )的直线的斜率：复习所学知识，为新课做准备教学探究一：在给出的直角坐标系中画出两条平行直线12l l，，标出的倾斜角，猜想它们之间斜率的关系？并说明为什么？由1l∥2l⇒21αα=⇒21tantanαα=⇒21kk=反之21kk=⇒21tantanαα=⇒21αα=⇒1l∥2l注意：21kk=⇔1l∥2l或1l与2l重合练习1：已知A(2,3),B(-4,0),C(-3,1),D(-1,2)，试判断直线AB与CD的位置关系，并证明你的结论.探究二：在给出的直角坐标系中画出两条垂直直线12l l，，标出倾斜角，观察倾斜角的关系，猜测它们斜率有什么关系？(1)若直线且的倾斜角为300，的倾斜角为1200，k1与k2的关系12k k1=-(2) 若直线AB的倾斜角为450直线CD的倾斜角为1350，k1与学生动手作图，体验探究两条直线斜率与直线的位置关系的过程。
巩固两直线平行与斜率间的关系符合学生的认知规律：从具体到抽象，从特殊到一般。
验证猜想的可靠性2l1l1α2αYO XyXyX005ααα.sin(90+)= cos(90+)=tan(90+)=过程教学过程k2的关系.(3)若值线且的倾斜角为600，的倾斜角为1500，k1与k2的关系猜想：若两条直线垂直则，利用几何画板直观演示证明：121212=-1l l k k k k⊥⇔或者，中一个为零一个不存在练习2：①已知A（5，-1），B（1，1），C（2，3）三点，试判断△ABC的形状②已知A（-1，1），B（5，1）,C(a，0), 且AB BC⊥，求a的值例题：判断以A(1,0),B(5,-2),C(8,4),D(4,6)为顶点的四边形的形状，并给出证明能力提升：已知A（-1，－2）、B（4，1）、在x轴上求一点C 使得①A,B,C三点共线②△ABC为直角三角形应用新知解决数学问题的思路，同时规范答题过程培养学生逆向思维，以及思维的发散性三、课堂小结：1、两不重合的直线：1l∥2l⇔1212k k k k=或者、都不存在注意：21kk=⇔1l∥2l或1l与2l重合2、121212=-1l l k k k k⊥⇔或者，中一个为零一个不存在小测验：1、若A（-1，2），B（0，-1），且直线AB//l,则直线l的斜率是2、已知A（2，3）、B（-1，1）、在y轴上求一点C 使得①△ABC为直角三角形且角A为直角②△ABC为直角三角形（①②选作一问）作业：习题3.1A组5,6,7,8对所学知识形成全面的认识，养成总结归纳的学习习惯课前知识检测板书设计两条直线平行与垂直的判定平行垂直例题教学反思2190oαα=+()2111tan tan90tanoααα∴=+=-121k k∴=-2l1l1α2αYO X。
平行线与垂直线的判定与证明
平行线与垂直线的判定与证明在几何学中，平行线和垂直线是基本概念，它们在直角三角形、平行四边形等形状的研究和解题过程中扮演着重要角色。
本文将介绍如何判断两条线是否平行或垂直，并给出相应的证明方法。
一、平行线的判定与证明平行线是指在同一平面内永远不相交的两条直线。
以下介绍几种常用的判定方法及其证明过程。
1. 两条直线的斜率相等判定方法：设有两条直线L1和L2，如果它们的斜率分别为k1和k2，并且k1 = k2，那么L1与L2是平行线。
证明：首先，我们假设L1和L2的斜率分别为k1和k2，且k1 = k2。
设L1和L2上存在两个不同的点P1和P2。
点P1的坐标为(x1, y1)，点P2的坐标为(x2, y2)。
根据斜率的定义，k1 = (y2 - y1) / (x2 - x1)，即(y2 - y1) = k1 * (x2 - x1)。
同理，k2 = (y2 - y1) / (x2 - x1)。
由于k1 = k2，所以(y2 - y1) = k1 * (x2 - x1)，即点P1和P2满足L1和L2的直线方程，因此L1和L2是平行线。
2. 两条直线的法向量相同判定方法：设有两条直线L1和L2，如果它们的法向量分别为n1和n2，并且n1 = n2，那么L1与L2是平行线。
证明：首先，我们假设L1和L2的法向量分别为n1和n2，且n1 = n2。
设L1上存在一点P0，并且L1的法向量n1与点P0的向量p1垂直，即n1·p1 = 0。
设L2上任意一点P2，并且L2的法向量n2与点P2的向量p2垂直，即n2·p2 = 0。
由于n1 = n2，所以n1·p1 = n2·p2。
即n1·(p1 - p2) = 0。
因此，向量(p1 - p2)与n1垂直，即向量(p1 - p2)与L1平行。
由此可知，L1与L2是平行线。
二、垂直线的判定与证明垂直线是指在同一平面内相交成直角的两条直线。
两条直线平行和垂直的判定
两条直线平行和垂直的判定以两条直线平行和垂直的判定为题，我们来探讨一下如何判断两条直线的关系。
在几何学中，直线的平行和垂直是两种重要的关系，它们的判定方法可以通过几何性质和特定条件来得出。
我们先来讨论两条直线平行的判定方法。
在平面几何中，有以下三种常见的判定方法。
1. 通过斜率判定：两条直线平行的条件是它们的斜率相等。
斜率是直线上两个不同点的纵坐标之差与横坐标之差的比值。
如果两条直线的斜率相等，那么它们就是平行的。
例如，直线y = 2x + 3和直线y = 2x - 1的斜率都是2，所以它们是平行的。
2. 通过法向量判定：两条直线平行的条件是它们的法向量平行。
法向量是垂直于直线的向量，可以通过直线的一般式方程求得。
如果两条直线的法向量平行，那么它们就是平行的。
例如，直线2x - 3y + 4 = 0和直线2x - 3y - 2 = 0的法向量都是(2, -3)，所以它们是平行的。
3. 通过截距判定：两条直线平行的条件是它们的截距比相等。
截距是直线与坐标轴的交点的纵坐标或横坐标。
如果两条直线的截距比相等，那么它们就是平行的。
例如，直线3x + 2y - 1 = 0和直线6x + 4y - 2 = 0的截距比都是1/2，所以它们是平行的。
接下来，我们来讨论两条直线垂直的判定方法。
在平面几何中，有以下两种常见的判定方法。
1. 通过斜率判定：两条直线垂直的条件是它们的斜率的乘积为-1。
即如果直线L1的斜率为k1，直线L2的斜率为k2，那么k1 * k2 = -1，则直线L1和直线L2垂直。
例如，直线y = 2x + 3和直线y = -1/2x + 1的斜率分别为2和-1/2，而2 * (-1/2) = -1，所以它们是垂直的。
2. 通过方向向量判定：两条直线垂直的条件是它们的方向向量垂直。
方向向量是直线的一个向量，可以通过直线的一般式方程求得。
如果两条直线的方向向量垂直，那么它们就是垂直的。
例如，直线2x - 3y + 4 = 0和直线3x + 2y - 1 = 0的方向向量分别为(2, -3)和(3, 2)，而(2, -3)·(3, 2) = 0，所以它们是垂直的。
《两条直线平行与垂直的判定》教学设计
《两条直线平行与垂直的判定》教学设计一：教学目标：1：知识与技能通过本节课的学习，学生掌握用代数的方法判定两直线平行或垂直的方法，并能熟练运用。
2：过程与方法利用两条直线平行，倾斜角相等这一性质，推出两条直线平行的判定方法，即∥又利用两条直线垂直时，倾斜角的关系“和几何画板进行验证得到两条直线垂直的判定方法，即并且对特殊情况进行研究3：情感、态度与价值观通过本节课的学习，可以增强我们用“联系”的观点看问题，进一步增强代数与几何的联系，培养学生学好数学的信心。
二：教学重难点重点：揭示“两条直线平行（垂直）”与“斜率”之间的关系难点：“两条直线平行（垂直）”与“斜率”之间关系的探究三：授课类型：新授课四：教学方法与教学手段教学方法：启发探究式教学教学手段：黑板和多媒体相结合，利用几何画板等教学工具演示五：课时安排：1课时六：教学过程环节一：设置情境，尝式探究设计意图：学生在初中已经学习了两条直线平行（垂直）的判断方法，本节课直接从直线的斜率入手引问是否能判定两条直线的位置关系，使学生很自然的进入今天学习的内容问题：我们在初中已经学习了同一平面内两条直线的位置关系并且学习两条直线平行（垂直）的判定方法，为了在平面直角坐标系内表示直线的倾斜程度，我们引入了直线倾斜角与斜率的概念，并导出了计算斜率的公式，即把几何问题转化为代数问题。
那么，我们能否通过直线的斜率k1、k2来判断两条直线的位置关系呢？（说明：我们约定：若没有特别说明，说“两条直线与”时，一般是指两条不重合的直线）环节二：两条直线平行的探究设计意图;此环节通过学生观察两条直线平行倾斜角相等探究两条直线平行与斜率之间的关系，学生通过观察，探究与讨论的方式，调动了学生的积极性，激发学生的思维，体会解析几何的思想。
在平面直角坐标系中任意做两条平行直线与探究1：这两条直线的倾斜角有什么关系？由此我们可以得到怎样的结论？∥探究2：这两条直线的斜率有什么关系？∥活动：教师指出如何利用学习的知识证明这个结论？学生以小组为单位探究讨论完成证明并且展示结果，互相做出评价由∥反之∥问题：上面的结论恒成立吗？有没有特例？学生探究画出图形：问题：那么上面的结论需要添加什么条件？活动：学生以小组为单位探究，教师给予指导，学生展示结果，并且相互评价结论1：如果与不重合，且两条直线都存在斜率，∥2:与可能重合时且两条直线都存在斜率，∥或与重合环节三：两条直线垂直的探究设计意图:学生从熟知的两条直线垂直的图形，利用三角形的外角和定理，找到两条直线的倾斜角之间的关系，探究出两条直线垂直与斜率之间的关系。
两条直线平行和垂直的判定教学设计
环节二 两条直线平行和垂直的判定【引入新课】为了在平面直角坐标系中用代数方法表示直线，我们从确定直线位置的几何要素出发，引入直线的倾斜角，再利用倾斜角与直线上点的坐标系引入直线的斜率，从数的角度刻画了直线相对于x 轴的倾斜程度，并导出了用直线上任意两点的坐标计算斜率的公式，从而把几何问题转化为代数问题．下面，我们通过直线的斜率判断两条直线的位置关系．【课堂探究】问题1：我们知道，平面中的两条直线有两种位置关系：相交、平行. 当两条直线l 1与l 2平行时，它们的斜率k 1与k 2满足什么关系？答案：如图，假设两条直线均有斜率.若l 1∥l 2，则l 1与l 2的倾斜角α1与α2相等，由α1=α2，可得tan α1=tan α2，即k 1=k 2．因此，若l 1∥l 2，则k 1=k 2．反之，当k 1=k 2时，tan α1=tan α2，由倾斜角的取值范围及正切函数的单调性可知，α1=α2，因此l 1∥l 2．于是，对于斜率分别为k 1，k 2的两条直线l 1，l 2，有问题2：两条直线平行还有没有别的情形？答案：当α1=α2=90°时，直线的斜率不存在，此时l 1∥l 2．若直线l 1，l 2重合，此时仍然有k 1=k 2．用斜率证明三点共线时，常常用到这个结论． 问题3：显然，当两条直线相交时，它们的斜率不相等；反之，当两条直线的斜率不相等时，它们相交．在相交的位置关系中，垂直是最特殊的情形．当直线l 1，l 2垂直时，它们的斜率除了不相等外，是否还有特殊的数量关系？l 2l 1Oyx答案：设两条直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，则直线l 1，l 2的方向向量分别是 a =（1，k 1），b =（1，k 2），于是， 即.也就是说，． 问题4：两条直线垂直还有没有别的情形？ 答案：如图，当直线l 1或l 2的倾斜角为90°时，若l 1⊥l 2，则另一条直线的倾斜角为0°；反之亦然．由上我们得到，如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于；反之，如果两条直线的斜率之积等于，那么它们互相垂直．即【知识应用】例1已知，，，，试判断直线AB 与PQ 的位置关系，并证明你的结论．解：如图，直线BA 的斜率k BA ==，直线PQ 的斜率k PQ ==．因为k BA =k PQ ，所以直线AB ∥PQ ．例2 已知四边形ABCD 的四个顶点分别为，，，，试12120110l l k k ⊥⇔⊥⇔⋅=⇔⨯+=a b a b 121k k =-12121⊥⇔=-l l k k l 2l 1Oyx1-1-(2,3)A (4,0)B -(3,1)P -(1,2)Q -()3024---122113----（）12(0,0)A (2,1)B -(4,2)C (2,3)D判断四边形ABCD 的形状，并给出证明．解：如图，AB 边所在直线的斜率k AB =， CD 边所在直线的斜率k CD =， BC 边所在直线的斜率k BC =， DA 边所在直线的斜率k DA =． 因为k AB =k CD ，k BC =k DA ，所以AB ∥CD ，BC ∥DA ． 因此四边形ABCD 是平行四边形．例3 已知，，，，试判断直线AB 与PQ 的位置关系．解：直线AB 的斜率k AB =， 直线PQ 的斜率k PQ =． 因为k AB k PQ =×=，所以直线AB ⊥PQ ．例4 已知，，三点，试判断的形状． 分析：如图，猜想AB ⊥BC ，是直角三角形．DCBA xyO12-12-3232(6,0)A -(3,6)B (0,3)P (6,6)Q -2332-233()2-1-(5,1)A -(1,1)B (2,3)C ABC ∆ABC ∆解：边AB 所在直线的斜率k AB =，边BC 所在直线的斜率k BC =2． 由k AB k BC =，得AB ⊥BC ，即∠ABC =90°． 所以是直角三角形．12-1-ABC ∆。
〖2021年整理〗《学案2.1.2两条直线平行和垂直的判定》优秀教案
两条直线平行和垂直的判定学习目标核心素养1理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件．2．能根据已知条件判断两直线的平行与垂直．3．能应用两条直线的平行或垂直解决实际问题通过对两条直线平行与垂直的学习，提升直观想象、逻辑推理和数学运算的数学素养魔术师的地毯有一天，著名魔术大师拿了一块长宽都是13分米的地毯去找地毯匠，要求把这块正方形的地毯改制成宽8分米，长21分米的矩形，地毯匠对魔术师说：这不可能吧，正方形的面积是169平方分米，而矩形的面积只有168平方分米，除非裁去1平方分米．魔术师拿出事先准备好的两张图，对地毯匠说：“你就按图1的尺寸把地毯分成四块，然后按图2的样子拼在一起缝好就行了，我不会出错的，你尽管放心做吧”．地毯匠照着做了，缝了一量，果真是宽8分米，长21分米．魔术师拿着改好的地毯得意洋洋地走了．而地毯匠还在纳闷哩，这是什么回事呢？1 2为了破解这个谜底，今天我们学习直线的平行与垂直．1．两条直线平行与斜率之间的关系类型斜率存在斜率不存在条件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°对应关系1∥2⇔1＝21∥2⇔两直线斜率都不存在图示思考：如果两条直线平行，那么这两条直线的斜率一定相等吗？[提示]不一定．只有在两条直线的斜率都存在的情况下斜率才相等．2．两条直线垂直与斜率之间的关系图示对应关系1⊥2两条直线的斜率都存在，且都不为零⇔12＝－11的斜率不存在，2的斜率为0⇒1⊥21．思考辨析正确的打“√”，错误的打“×”1平行的两条直线的斜率一定存在且相等．2斜率相等的两条直线两直线不重合一定平行．3只有斜率之积为－1的两条直线才垂直．4若两条直线垂直，则斜率乘积为－1．[提示]1×2√3×4×2．已知A2,0，B3,3，直线∥AB，则直线的斜率等于A．－3B．3C．－错误!D．错误!B[AB＝错误!＝3，∵∥AB，∴＝3]3．若直线1，2的方向向量分别为1，－3和1，，且1⊥2，则＝________错误![由于1⊥2，则1，－3·1，＝0，即1－3＝0，∴＝错误!]4．教材，当1⊥2时，m的值为________．－错误![由条件1⊥2得－错误!×错误!＝－1，解得m＝－错误!]两直线平行的判定及应用12①1经过点A2,3，B－4,0，2经过点M－3,1，N－2,2；②1的斜率为－错误!，2经过点A4,2，B2,3；③1平行于轴，2经过点的值，使过点Am＋1,0，B－5，m的直线与过点C－4,3，D0,5的直线平行．[思路探究]1先求出两直线的斜率，再利用斜率进行判断；2利用两直线平行的条件建立方程，解方程求得．[解]1①AB＝错误!＝错误!，MN＝错误!＝1，AB≠MN，所以1与2不平行．②1的斜率1＝－错误!，2的斜率2＝错误!＝－错误!，1＝2，所以1与2平行或重合．③由题意，知1的斜率不存在，且不与轴重合，2的斜率也不存在，且与轴重合，所以1∥2④由题意，知EF＝错误!＝1，GH＝错误!＝1，EF＝GH，所以1与2平行或重合．需进一步研究E，F，G，H四点是否共线，FG＝错误!＝1所以E，F，G，H四点共线，所以1与2重合．2由题意知CD的斜率存在，则与其平行的直线AB的斜率也存在，AB＝错误!，CD＝错误!＝错误!由于AB∥CD，所以AB＝CD，即错误!＝错误!解得m＝－2经验证m＝－2时，直线AB的斜率存在，故m的值为－2判断两条不重合直线是否平行的步骤[跟进训练]1．已知▱ABCD的三个顶点的坐标分别为A0,1，B1,0，C4,3，求顶点D的坐标．[解]设Dm，n，由题意，得AB∥DC，AD∥BC，则有AB＝DC，AD＝BC所以错误!解得错误!所以顶点D的坐标为3,4两直线垂直的判定及应用12①1经过点A－1，－2，B1,2；2经过点M－2，－1，N2,1；②1的斜率为－10；2经过点A10,2，B2021；③1经过点A3,4，B3,10；2经过点M－10,40，N10，40．2已知直线1经过点A3，a，Ba－2,3，直线2经过点C2,3，D1，a－2，如果1⊥2，求a的值．[思路探究]1判断两直线垂直，当斜率存在时，利用12＝－1，若有一条斜率不存在时，判断另一条斜率是否为02含字母的问题判断要分存在和不存在两种情况来解题．[解]1①1＝错误!＝2，2＝错误!＝错误!，＝1，∴1与2不垂直．12②1＝－10，2＝错误!＝错误!，12＝－1，∴1⊥2③由A，B的横坐标相等得的倾斜角为90°，则1⊥轴．1＝错误!＝0，则2∥轴，∴1⊥222因为直线2经过点C2,3，D1，a－2，所以2的斜率存在，设为2当2＝0，即a－2＝3，亦即a＝5时，A3,5，B3,3，显然直线1的斜率不存在，满足1⊥2；当2≠0，即a－2≠3，亦即a≠5时，显然1的斜率存在，设为1，要满足题意，则12＝－1，得错误!·错误!＝－1，解得a＝2综上可知，a的值为5或2利用斜率公式来判定两直线垂直的方法1一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在只需看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步．2二代：就是将点的坐标代入斜率公式．3三求：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．[跟进训练]2．已知A－m－3,2，B－2m－4,4，C－m，m，D3,3m＋2，若直线AB⊥CD，求m的值．[解]∵A，B两点纵坐标不相等，∴AB与轴不平行．∵AB⊥CD，∴CD与轴不垂直，∴－m≠3，m≠－3①当AB与轴垂直时，－m－3＝－2m－4，解得m＝－＝－1时C，D两点的纵坐标均为－1∴CD∥轴，此时AB⊥CD，满足题意．②当AB与轴不垂直时，由斜率公式得＝错误!＝错误!，AB＝错误!＝错误!CD∵AB⊥CD，∴AB·CD＝－1，即错误!·错误!＝－1，解得m＝1综上，m的值为1或－1两直线平行与垂直的综合应用[探究问题]1．两直线1∥2⇔1＝2成立的前提条件是什么？[提示]1两条直线的斜率存在；2两直线不重合．2．对任意两条直线，如果1⊥2，一定有12＝－1吗？为什么？[提示]不一定．当两条直线的斜率都存在时，12＝－1，还有另一种情况就是，一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为零．【例3】△ABC的顶点A5，－1，B1,1，C2，m，若△ABC是以点A为直角顶点的直角三角形，求m的值．[思路探究]由A为直角顶点可得AB·AC＝－1[解]因为∠A为直角，则AC⊥AB，所以AC·AB＝－1，即错误!·错误!＝－1，得m＝－71．[变条件]本例中，将“C2，m”改为“C2,3”，你能判断三角形的形状吗？[解]如图，AB边所在的直线的斜率AB＝－错误!，BC边所在直线的斜率BC＝·BC＝－1，得AB⊥BC，即∠ABC＝90°∴△ABC是以点B为直角顶点的直角三角形．2．[变条件]本例中若改为∠A为锐角，其他条件不变，如何求解m的值？[解]由于∠A为锐角，故∠B或∠C为直角．若∠B为直角，则AB⊥BC，所以AB·BC＝－1，则错误!·错误!＝－1，得m＝3若∠C为直角，则AC⊥BC，所以AC·BC＝－1，即错误!·错误!＝－1，得m＝±2综上可知，m＝3或m＝±23．[变条件]若将本例中的条件“点A为直角顶点”去掉，改为若△ABC为直角三角形，如何求解m的值？[解]若∠A为直角，则AC⊥AB，所以AC·AB＝－1，即错误!·错误!＝－1，得m＝－7；若∠B为直角，则AB⊥BC，所以AB·BC＝－1，即错误!·错误!＝－1，得m＝3；若∠C为直角，则AC⊥BC，所以AC·BC＝－1，即错误!·错误!＝－1，得m＝±2综上可知，m＝－7或m＝3或m＝±2利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤1．两直线平行或垂直的判定方法斜率直线斜率均不存在平行或重合一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在垂直相等平行或重合斜率均存在积为－1垂直2在两条直线平行或垂直关系的判断中体会分类讨论的思想．1．下列说法正确的是A．若直线1与2倾斜角相等，则1∥2B．若直线1⊥2，则12＝－1C．若直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于轴D．若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行D[对A，两直线倾斜角相等，可能重合；对B，若1⊥2，1与2中可能一条斜率不存在，另一条斜率为0；对C，若直线斜率不存在，可能与轴重合；对D，若两条直线斜率不相等，则两条直线一定不平行，综合可知D正确．]2．若直线1的斜率为a，1⊥2，则直线2的斜率为A．错误!B．aC．－错误!D．－错误!或不存在D[由1⊥2，当a≠0时，2＝－错误!，当a＝0时，2的斜率不存在，故应选D]3．若经过点Mm,3和N2，m的直线与斜率为－4的直线互相垂直，则m的值是________．错误![由题意知，直线MN的斜率存在，因为MN⊥，所以MN＝错误!＝错误!，解得m＝错误!]4．若两条直线1，2的方向向量分别为1,2和1，，当1∥2时，的值为________．2[1∥2时1＝2或斜率均不存在，由条件可知＝2]5．直线1经过点Am,1，B－3,4，直线2经过点C1，m，D－1，m＋1，当1∥2或1⊥2时，分别求实数m的值．[解]直线1的方向向量为－3－m,3，直线2的方向向量为－2,1．当1∥2时错误!＝错误!，得m＝3；当1⊥2时，－2－3－m＋3＝0得m＝－错误!，故1∥2时m＝3，1⊥2时m＝－错误!。
高二数学学案 必修2 直线与直线的平行
高二数学学案 必修2 直线与直线的平行 班级 姓名 我的学习目标1．能掌握用斜率判定两条直线平行的方法，并会根据直线方程判断两条直线是否平行；2．通过分类讨论、数形结合等数学思想的应用，逐渐了解思维的严谨性和辨证性．新授课：能否用斜率刻画两条直线的位置关系？两条直线（斜率都存在）：1l ：11,y k x b =+2l ：22,y k x b =+判定直线1l 与2l 平行的前提是：①12l l 、是不重合的两条直线；②如果1l 、2l 斜率都存在，则直线平行能得到斜率相等，反之，斜率相等也能得到直线平行； 如果1l 、2l 斜率都不存在，那么两直线都垂直于x 轴，故它们 平行 ．例1：已知直线方程1l ：,0742=+-y x 2l ：052=+-y x ，证明：1l //2l ．分析：在两条直线斜率都存在的情况下，若要证明两直线平行，即证斜率相等.【证明】把1l 和2l 的方程写成斜截式1l ：4721+=x y ，1l ：2521+=x y ， ∵21k k =，21b b ≠，∴1l //2l ．点评:(1)判定两直线平行的条件是直线的斜率和截矩，因此，要把方程化为斜截式；(2)判定两直线平行，首先判断斜率相等，若两直线斜率相等，则两直线可能平行也可能重合，还需再进一步判断截距不相等；如果两条直线斜率不存在，两条直线为12,x a x a ==，只需12a a ≠即可．(3)判定两直线重合，首先判断两条直线斜率相等，再判定截距相等．如果两条直线斜率都不存在，两直线12,x a x a ==，只需12a a =即可．例2：求证：顺次连结7(2,3),(5,),(2,3),(4,4)2A B C D ---四点所得的四边形是梯形．分析：判断一个四边形是梯形，不仅要判断一组对边平行，还要判断另一组对边不平行．【证明】∵7(3)12526AB k ---==--， 431426CD k -==---， ∴AB CD k k =，从而//AB CD ． 又∵73()132256BC k --==--，3472(4)6DA k --==---，∴BC DA k k ≠， 从而直线BC 与DA 不平行，∴四边形ABCD 是梯形．点评：在判断哪组对边平行时，不妨先在坐标系中将各点画出，结合图形作判断，再进行证明．例3：（1）两直线02=+-k y x 和0124=+-y x 的位置关系是 平行或重合．（2）若直线1l ：013=++y ax 与2l ：01)1(2=+++y a x 互相平行，则a 的值为3a =-． 分析：（1）若两直线斜率不等，必定相交；若两直线斜率相等，则平行或重合；（2）在两直线斜率存在的前提下，若两直线平行，则斜率相等，可以此来求直线方程中的字母系数.【解】(2)①当1a ≠-时，122,31l l a k k a =-=-+ 21//l l ，∴12l l k k =，∴(1)60a a +-=，即062=-+a a ，解得3-=a 或2=a ，当时3-=a 两方程化为0133=++-y x 与0122=+-y x 显然平行，当时，2=a 两方程化为0132=++y x 与0132=++y x 两直线重合，∴2=a 不符合，②当1a =-时，两直线不平行，∴3a =-．点评: 1．已知两直线的方程，判断它们位置关系的方法；2．已知两直线的位置关系，求字母系数值的方法（注意：要对直线斜率不存在的情况进行讨论）． 例4：求过点(2,3)A -，且与直线250x y +-=平行的直线方程．分析：抓住题目中的有效信息，直线平行则斜率相等，然后结合点(2,3)A -，利用点斜式便能求出直线方程．【解】已知直线的斜率2k =-，∵两直线平行，∴所求直线的斜率也为2k =-，所以，所求直线的方程为：32(2)y x +=--，即210x y +-=．另解：设与直线250x y +-=平行的直线l 的方程为：20x y m ++=， l 过点(2,3)A -，∴22(3)10m ⨯+-⨯+=，解之得1m =-，所以，所求直线的方程为210x y +-=．点评:（1）一般地与直线0=++C By Ax 平行的直线方程可设为0=++m By Ax ，其中m 待定；（2）把上题改为求与直线250x y +-=平行，且在两坐标轴上的截距之和为32的直线l 的方程．（210x y +-=）后记：高二数学学案 必修2 直线与直线的平行 班级 姓名 我的学习目标1．能掌握用斜率判定两条直线平行的方法，并会根据直线方程判断两条直线是否平行；2．通过分类讨论、数形结合等数学思想的应用，逐渐了解思维的严谨性和辨证性．新授课：能否用斜率刻画两条直线的位置关系？例1：已知直线方程1l ：,0742=+-y x 2l ：052=+-y x ，证明：1l //2l ．例2：求证：顺次连结7(2,3),(5,),(2,3),(4,4)2A B C D ---四点所得的四边形是梯形．例3：（1）两直线02=+-k y x 和0124=+-y x 的位置关系是 ．（2）若直线1l ：013=++y ax 与2l ：01)1(2=+++y a x 互相平行，则a 的值为 ．例4：求过点(2,3)A -，且与直线250x y +-=平行的直线方程．高二数学作业 必修2 直线与直线的平行 班级 姓名1. 有下列命题：①若12//l l ，则斜率相等；②若斜率相等，则12//l l ；③若12//l l ，则倾斜角相等； ④若倾斜角相等，则12//l l ．其中，正确的命题有 个．2.直线220ax y ++=与直线320x y --=平行，则a =3.直线1:30l x ay ++=和直线2:l (2)a x -+30y a +=互相平行,则a 的值为4． 直线Ax ＋4y －1＝0与直线3x －y －C ＝0重合的条件是5． 下列说法中正确的有①若两条直线斜率相等，则两直线平行．②若l 1∥l 2，则k 1＝k 2.③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交．④若两条直线的斜率都不存在，则两直线平行．6. 根据条件，判断直线1l 与2l 是否平行：（１）1l 的方程21y x =+，2l 经过点(1,3)A ，(4,9)B ：（２）1l 的斜率为12，2l 在x 轴、y 轴的截距分别是１，２： 7.两直线20()x y k k R -+=∈和51070x y -+=的位置关系是 .8. 当直线:(2)50l m x y n +-+-=与x 轴平行且与x 轴相距为5时, m = , n = .9． 设集合A ＝{(x ，y )|y －3x －1＝2，x ，y ∈R }，B ＝{(x ，y )|4x ＋ay －16＝0，x ，y ∈R }，若A ∩B ＝∅，则a 的值为10． 过l 1：3x －5y －10＝0和l 2：x ＋y ＋1＝0的交点，且平行于l 3：x ＋2y －5＝0的直线方程为____________________________．11． P 1(x 1，y 1)是直线l ：f (x ，y )＝0上一点，P 2(x 2，y 2)是直线l 外一点，则方程f (x ，y )＋f (x 1，y 1)＋f (x 2，y 2)＝0所表示的直线与l 的关系是12．直线x ＋2ay －1＝0与(a －1)x ＋ay ＋1＝0平行，则a 的值为13． 判断四边形ABCD 的形状，其中(1,1)A -，(2,3),(1,0),(2,2)B C D --．14.已知直线1:40l mx ny ++=和2:(1)0l m x y n -++=，1l 经过(1,1)--且12//l l ，求实数,m n 的值．15.求经过点(2,1)M -且与点(1,2),(3,0)A B -距离相等,又不与直线AB 相交的直线方程.16.求与直线3410x y ++=平行且在两坐标轴上截距之和为73的直线l 的方程．17.已知直线l 的方程为8610x y -+=,求与直线l 平行并且与两条坐标轴围成的三角形的面积为8的直线方程.。
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李林中学高二年级（上）数学学案 编号
两条直线平行与垂直的判定
制作人：贾胜如 审核人：郭建伟 时间：2014年10月
一.学习目标
1．明确直线平行与垂直的条件.
2．利用直线的平行与垂直解决有关问题.
二.导学
问题探究1：
（1）平面内两条直线的位置关系
（2）若两条直线平行,这两条直线的倾斜角关系如何?斜率呢?
(3) 若两条直线的倾斜角相等，这两条直线位置关系如何？若两直线斜率相等呢？ 总结归纳：直线与直线平行的判定方法：
（1）若两条直线垂直,这两条直线的倾斜角关系如何?斜率呢?
（2）如何利用直线的斜率判定两条直线垂直？
总结归纳：直线与直线垂直的判定方法：
三.导练
1．判断下列各小题中的直线1l 与2l 是否平行或垂直.
（1）1l 经过点(1,2),(2,1)A B --, 2l 经过点(3,4),(1,1)M N --
（2）1l 经过点(0,1),(1,0)A B , 2l 经过点(1,3),(2,0)M N -
（3）1l 经过点(1,2),(1,2)A B --, 2l 经过点(2,1),(2,1)M N --
（4）1l 经过点(3,4),(3,100)A B , 2l 经过点(10,40),(10,40)M N -
（5）1l 经过点)1,0(),0,1(B A -，2l 经过点)3,2(),2,1(N M
变式：试确定m 的值，使过点(1,0),(5,)A m B m +-的直线与过点(4,3),(0,5)C D -的直线平行.
2．已知点(2,5),(6,6)A B --，点P 在x 轴上，且︒
=∠90APB ，试求点P 的坐标。
变式：已知定点(1,3),(4,2)A B -，以,A B 为直径的端点，作圆与x 轴有交点C ，求交点C 的坐标。
3．已知一直线l 恒过定点(2,1)A ，直线外有一点(3,2)B -，问当直线l 的斜率为多少时，点(3,2)B -到直线l 的距离最大？最大距离是多少？
变式：已知定点(0,1)A ，点B 在斜率为—1且过原点的直线上运动，则当线段AB 最短时，点B 的坐标是__________
四.当堂检测
1.有如下几种说法：
①若直线1l ，2l 都有斜率且斜率相等，则1l //2l ;
②若直线1l ⊥2l ，则他们的斜率之积为1-
③两条直线的倾斜角的正弦值相等，则两直线平行。
以上三种说法中，正确的个数是
A. 1
B.2
C.3
D.0
2.顺次连接)6,3(),5,5(),1,2(,0,0(D C B A -）
四点所组成的图形是 A.平行四边形 B.直角梯形 C.矩形 D.以上都不对
3.已知直线1l 的斜率为3，直线2l 经过点(1,2),(2,)A B a .若直线1l //2l ,则a = ______;若1l ⊥2l ，则a =______
4.已知(1,1),(2,2),(3,0)A B C -三点，求点D 使CD AB ⊥且//CB AD
5.已知)3,0(A ，)0,1(-B ，)0,3(C ，求D 点的坐标，使四边形ABCD 为等腰梯形．。