高中数学 两条直线平行与垂直的判定ppt课件
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【课件】2.1.2 两条直线平行和垂直的判定(PPT)-(新教材人教A版选择性必修第一册)
(1)若 l1∥l2，求 a 的值； (2)若 l1⊥l2，求 a 的值.
探究题 2 将上题中 A，B 两点的坐标分别改为 A(2，a)，B(a －1，3)，则结论将是如何？
探究题 3 直线 l 的倾斜角为 30°，点 P(2，1)在直线 l 上，直 线 l 绕点 P(2，1)按逆时针方向旋转 30°后到达直线 l1 的位置，此时 直线 l1 与 l2 平行，且 l2 是线段 AB 的垂直平分线，其中 A(1，m－1)， B(m，2)，试求 m 的值.
类题通法 1．判定两直线是否平行时，应先看两直线的斜率是否存在，若 都不存在，则平行(不重合的情况下)；若存在，再看是否相等，若相 等，则平行(不重合的情况下). 2．若已知两直线平行，求某参数值时，也应分斜率存在与不存 在两种情况求解．
定向训练 已知 A(－2，m)，B(m，4)，M(m＋2，3)，N(1，1)，若直线 AB∥ 直线 MN，则 m 的值为________．
第二阶段 课堂探究评价
关键能力 素养提升
一两直线平行 典例示范
【例 1】判断下列各题中的直线 l1 与 l2 是否平行： (1)l1 经过点 A(－1，－2)，B(2，1)，l2 经过点 M(3，4)，N(－1， －1);
(2)l1 的斜率为 1，l2 经过点 A(1，1)，B(2，2); (3)l1 经过点 A(0，1)，B(1，0)，l2 经过点 M(－1，3)，N(2，0); (4)l1 经过点 A(－3，2)，B(－3，10)，l2 经过点 M(5，－2)，N(5， 5). 解：(1)k1＝12－ －（ （－ －21） ）＝1，k2＝－ －11－ －43＝54， k1≠k2，l1 与 l2 不平行.
预习验收 衔接课堂
1．已知过 A(－2，m)和 B(m，4)两点的直线与斜率为－2 的直
探究题 2 将上题中 A，B 两点的坐标分别改为 A(2，a)，B(a －1，3)，则结论将是如何？
探究题 3 直线 l 的倾斜角为 30°，点 P(2，1)在直线 l 上，直 线 l 绕点 P(2，1)按逆时针方向旋转 30°后到达直线 l1 的位置，此时 直线 l1 与 l2 平行，且 l2 是线段 AB 的垂直平分线，其中 A(1，m－1)， B(m，2)，试求 m 的值.
类题通法 1．判定两直线是否平行时，应先看两直线的斜率是否存在，若 都不存在，则平行(不重合的情况下)；若存在，再看是否相等，若相 等，则平行(不重合的情况下). 2．若已知两直线平行，求某参数值时，也应分斜率存在与不存 在两种情况求解．
定向训练 已知 A(－2，m)，B(m，4)，M(m＋2，3)，N(1，1)，若直线 AB∥ 直线 MN，则 m 的值为________．
第二阶段 课堂探究评价
关键能力 素养提升
一两直线平行 典例示范
【例 1】判断下列各题中的直线 l1 与 l2 是否平行： (1)l1 经过点 A(－1，－2)，B(2，1)，l2 经过点 M(3，4)，N(－1， －1);
(2)l1 的斜率为 1，l2 经过点 A(1，1)，B(2，2); (3)l1 经过点 A(0，1)，B(1，0)，l2 经过点 M(－1，3)，N(2，0); (4)l1 经过点 A(－3，2)，B(－3，10)，l2 经过点 M(5，－2)，N(5， 5). 解：(1)k1＝12－ －（ （－ －21） ）＝1，k2＝－ －11－ －43＝54， k1≠k2，l1 与 l2 不平行.
预习验收 衔接课堂
1．已知过 A(－2，m)和 B(m，4)两点的直线与斜率为－2 的直
人教版高中数学必修二课件 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
k2=_______.
解：由斜率定义，直线l的斜率k=tan 30°= 3， 3
因为l1∥l，所以k1=k=
3 3
.
因为l2⊥l,所以k2·k=-1,
所以k 2
=
1 k
=
3.
答案： 3
3
3
16
例3 已知A（-6，0），B（3，6），P（0，3），Q（6， -6），试判断直线AB与PQ的位置关系.
C.0
D. 1
2
解：选A.l1,l2的斜率分别为2,-a,由l1∥l2，可知
a=-2.
12
思考3 设两条直线l1,l2的斜率分别为k1,k2 ,
l1 ⊥ l2时，k1与k2满足什么关系？
提示：
如图，α2 =α1 + 90o，
tanα2
=
tan(α1
+ 90o
)=
-
1 tanα1
,
即k1k2 = -1.
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
1
平面内两条直线有哪些位置关系？ 平行或相交
2
为了在平面直角坐标系内表示直线的倾斜程度， 我们引入倾斜角的概念，进而又引入了直线的斜率.
y
.
O
x
能否通过斜率来 判断两条直线的
位置关系？
3
1.理解并掌握两条直线平行与垂直的条件. （重点）
2.会运用条件判断两直线是否平行或垂直. （难点）
反之，成立,可得
y l2
l1
α1 α2
O
x
l1 l2 k1k2 = 1.
13
思考4
设两条直线l1的斜率k1 = 0,l2的斜率不存在,
l1 ⊥ l2吗？
2.1.2两条直线平行与垂直的判定 课件(共15张PPT)
在同一条直线上,确定常数a的值.
2
复习回顾
复习2：平面上两条直线位置关系
y
o
x
有平行,相交两种
我们设想如何通过直线的斜率
来判定这两种位置关系.
3
学习新知 两条直线平行的判定
思考1:若两条不同直线的倾斜角相等,这两条直线
的位置关系如何？反之成立吗？
y
l1
α1
O
l2
α2
x
4
学习新知
思考2:若两条不同直线的斜率相等,这两
在两种情况求解.
两直线垂直的判定方法
3.两条直线垂直需判定k1k2=-1,使用它的前提条件
是两条直线斜率都存在,若其中一条直线斜率不存
在,另一条直线斜率为零,此时两直线也垂直.
9
例题讲解
例2：已知A(-2,m),B(m,4),M(m+2,3),N(1,1),若
AB∥MN,则m的值为
.
解析:当m=-2时,直线AB的斜率不存在,而直线MN的斜率存
D．若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行
3．若经过点M(m,3)和N(2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相
垂直，则m的值是________．
14
5 [由题意知，直线 MN 的斜率存在，因为 MN⊥l，
m－3 1
14
所以 kMN＝
＝4，解得 m＝ 5 .]
2－m
14
学完一节课或一个内容,
应当及时小结,梳理知识
1
即 1－3k＝0，∴k＝3.]
7
例题讲解
例1 已知A、B、C、D四点的坐标,试判断直线AB与CD
的位置关系.
(1)A(2,3), B(－4,0), C(－3,l), D(－l,2)； 平行
2
复习回顾
复习2：平面上两条直线位置关系
y
o
x
有平行,相交两种
我们设想如何通过直线的斜率
来判定这两种位置关系.
3
学习新知 两条直线平行的判定
思考1:若两条不同直线的倾斜角相等,这两条直线
的位置关系如何？反之成立吗？
y
l1
α1
O
l2
α2
x
4
学习新知
思考2:若两条不同直线的斜率相等,这两
在两种情况求解.
两直线垂直的判定方法
3.两条直线垂直需判定k1k2=-1,使用它的前提条件
是两条直线斜率都存在,若其中一条直线斜率不存
在,另一条直线斜率为零,此时两直线也垂直.
9
例题讲解
例2：已知A(-2,m),B(m,4),M(m+2,3),N(1,1),若
AB∥MN,则m的值为
.
解析:当m=-2时,直线AB的斜率不存在,而直线MN的斜率存
D．若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行
3．若经过点M(m,3)和N(2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相
垂直，则m的值是________．
14
5 [由题意知，直线 MN 的斜率存在，因为 MN⊥l，
m－3 1
14
所以 kMN＝
＝4，解得 m＝ 5 .]
2－m
14
学完一节课或一个内容,
应当及时小结,梳理知识
1
即 1－3k＝0，∴k＝3.]
7
例题讲解
例1 已知A、B、C、D四点的坐标,试判断直线AB与CD
的位置关系.
(1)A(2,3), B(－4,0), C(－3,l), D(－l,2)； 平行
《平行与垂直》课件
物的高度、柱子和横梁等元素可以保持垂直，以实现视觉上的突出和力
量感。
02
城市规划
在城市规划中，垂直线用于划分不同的功能区域和空间层次。例如，商
业区、住宅区和公园等区域可以沿着垂直轴线进行布局，以实现空间的
有效利用和城市的可持续发展。
03
交通工程
在道路和桥梁设计中，垂直线用于支撑和连接不同的交通层面。这样可
如果一条直线与平面内的一条直 线垂直，那么这条直线与该平面
垂直。
斜线与平面
如果一条直线与平面内的两条相交 的直线都垂直，那么这条直线与该 平面垂直。
三垂线定理
如果平面内的一条直线与平面的一 条斜线在平面内的射影垂直，那么 这条直线与斜线垂直。
04
平行与垂直的应用
平行的应用
建筑学
在建筑设计中，平行线可以用来 构建对称、平衡和和谐的外观。 例如，窗户、门和墙面的线条可 以保持平行，以实现视觉上的统
填空题：若直线a与直线b平 行，且被直线c所截，则同位 角____，内错角____，同旁内
角____。
答案
判断题：错。应该是两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
选择题：B。
填空题：相等，相等，互补。
THANKS
感谢观看
一和美感。
交通工程
在道路和轨道设计中，平行线用 于规划车辆行驶的方向和路线。 这样可以确保交通流畅，减少事
故风险，并提高运输效率。
艺术与设计
在绘画、摄影和图形设计中，平 行线可以用来创造平衡、稳定和 动态的效果。艺术家可以利用平 行线来表达特定的主题和情感。
垂直的应用
01
建筑学
在建筑设计中，垂直线用于构建高大、雄伟和稳定的外观。例如，建筑
两条直线平行与垂直的判定 课件
又∵kBC＝3－2（－－572）＝－163， kDA＝2－－（3－－44）＝－76， ∴kBC≠kDA，从而直线 BC 与 DA 不平行． ∴四边形 ABCD 是梯形．
题型二 两直线垂直
例 2 已知直线 l1 经过点 A(3，a)，B(a－1，2)，直线 l2 经过 点 C(1，2)，D(－2，a＋2)．
两条直线平行与垂直的判定
要点 1 两条直线平行的条件 (1)设两条不重合的直线 l1 和 l2 的斜率分别为 k1 和 k2，则 l1 ∥l2⇔k1＝k2． (2)若两条不重合直线 l1 与 l2 都没斜率，则直线 l1 与 l2 平行．
要点 2 两条直线垂直的条件 (1)设直线 l1 和 l2 的斜率分别为 k1 和 k2，则 l1⊥l2⇔k1·k2＝ －1． (2)两条直线中，一条斜率不存在，同时另一条斜率等于 0， 则两条直线垂直．
(2)若 l1⊥l2， ①当 k2＝0 时，此时 a＝0，k1＝－12，不符合题意； ②当 k2≠0 时，l2 的斜率存在， 此时 k1＝2a－－4a. ∴由 k2k1＝－1，可得 a＝3，或 a＝－4.
探究 2 由 C，D 两点的横坐标可知 l2 的斜率一定存在，由 A，B 两点的横坐标可知 l1 的斜率可能存在也可能不存在，因此 应注意对 a 的取值的讨论．
(2)由题意知，k1＝tan60°＝ 3，k2＝－－2 23－－1 3＝ 3， 因为 k1＝k2，所以，l1∥l2 或 l1 与 l2 重合． (3)由题意知，l1 的斜率不存在，且不是 y 轴，l2 的斜率也不 存在，恰好是 y 轴，所以 l1∥l2. (4)由题意知，k1＝－ －12－ －10＝1，k2＝32－ －43＝1，所以 l1 与 l2 重 合或平行，需进一步研究 E、F、G、H 四点是否共线． kFG＝43－ －（ （－ －12） ）＝1，∴E、F、G、H 四点共线． ∴l1 与 l2 重合．
两条直线的平行与垂直的判定PPT演示文稿
练习:P98 6/
两条直线垂直 l1 l2
l1 l2 k1k2 1
或一条直线斜率不存在,
同时另一条斜率等于零.
1. 判断下列直线对是否垂直 垂直 经过两点C(3, 1), D(-2, 0) 的直线 经过点M(1, - 4)且斜率为- 5的直线 2. 经过点A(1, 2)和点B(3,- 2)的直线 与经过点C(4, 5)和点(a, 7)的直线垂 4 直,则a=________.
•两条直线垂直,它们的斜率之积一定等 于-1吗?为什么?
两条直线平行 l1 // l2
l1 // l2 k1 k2
前提条件: •两条直线的斜率都存在,分别为 k1 , k2
• l1 , l2 不重合
下列说法正确的有( A )
①若两直线斜率相等,则两直线平行;
②若 l // l ,则 k1 k2 ; 1 2 √ ③若两直线中有一条的斜率不存在,另 一条直线的斜率存在,则两直线相交;
练习: P99 7
判断长方形ABCD的三个顶点的坐标 分别为A(0,1), B(1,0), C(3,2),求第四 个顶点D的坐标
(2, 3)
练习: P99 8
作业:
同步 P54----P56
的平 两 判行 条 定与 直 垂线 直的
相 (重合)
相交
•直线的斜率与倾斜角的关系
k tan
( 90 )
•三角形内角和定理及外角定理 •内角和定理:三角形的三个内角之和为180 •外角定理:三角形的一个外角等于不相邻的 两个内角之和
阅读课本P95—P97,并思考以下问题: •两条直线平行的充要条件及其证明 •两条直线平行,斜率一定相等吗?为什 么? •两条直线垂直的充要条件及其证明
两条直线平行与垂直的判定 课件
课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
试一试：两条直线 l1，l2，l1 的斜率为－10，l2 经过点 A(10,2)， B(20,3)，试判断 l1，l2 的位置关系． 提示 k1＝－10，k2＝230－ －210＝110， ∴k1·k2＝－1.∴l1⊥l2.
课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
名师点睛 1．两条直线的平行必须注意的两个问题 (1)两条直线平行的条件是斜率都存在且不重合，即两条直线都 不垂直于 x 轴，否则推导中 α1＝α2 tan α1＝tan α2(∵此时 tan α1，tan α2 均无意义)． (2)当 l1，l2 都垂直于 x 轴且不重合时，由于垂直于同一条直线 的两条直线平行，可推得 l1∥l2，这样两条不重合直线平行的判 定的一般结论就是：l1∥l2⇔k1＝k2 或 l1，l2 斜率都不存在．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
想一想：若两条直线平行，斜率一定相等吗？ 提示 不一定，垂直于 x 轴的两条直线，虽然平行，但斜率不 存在．
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课堂讲练互动
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2．两直线垂直的判定 (1)如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率 之积等于 －1 ；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们 互相垂直，即 l1⊥l2⇔k1k2＝－1 . (2)若两条直线中的一条没有斜率，另一条的斜率为 0 时，它们 互相垂直．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
题型一 两条直线的平行关系 【例 1】 判断下列各小题中的直线 l1 与 l2 是否平行： (1)l1 经过点 A(－1，－2)，B(2,1)，l2 经过点 M(3,4)，N(－1，－ 1)； (2)l1 的斜率为 1，l2 经过点 A(1,1)，B(2,2)； (3)l1 经过点 A(0,1)，B(1,0)，l2 经过点 M(－1,3)，N(2,0)； (4)l1 经过点 A(－3,2)，B(－3,10)，l2 经过点 M(5，－2)，N(5,5)． [思路探索] 求出斜率，利用“l1∥l2⇔k1＝k2”判断，注意公式 成立的条件．
两条直线平行与垂直的判定 课件
[典例精析] 已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2，－3)，直线l2经过点 C(2,3)，D(－1，a－2)，如果l1⊥l2，求a的值． [解] 设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2. ∵直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，且2≠－1， ∴l2的斜率存在． 当k2＝0时，a－2＝3，则a＝5，此时k1不存在，符合题 意．当k2≠0时，即a≠5，此时k1≠0， 由k1·k2＝－1，得a－－32－－a3·a－－12－－23＝－1，解得a＝－6. 综上可知，a的值为5或－6.
[典例精析] 根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2的位置关系． (1)l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)； (2)l1的倾斜角为60°，l2经过点M(3,2 3)，N(－2，－3 3)． [解] (1)由题意知k1＝－5－3－12＝－45，k2＝－87－＋33＝－45. 因为k1＝k2，且A，B，C，D四点不共线，所以l1∥l2. (2)由题意知k1＝tan 60°＝ 3，k2＝－3－32－－23 3＝ 3. 因为k1＝k2，所以l1∥l2或l1与l2重合．
[类题通法] 利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤
[课堂归纳领悟] 1．本节课的重点是理解两条直线平行或垂直的判定条件，会利
用斜率判断两条直线平行或垂直，难点是利用斜率判断两条 直线平行或垂直． 2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)判断两条直线平行的步骤，见探究点一． (2)利用斜率公式判断两条直线垂直的方法，见探究点二． (3)判断图形形状的方法步骤，见探究点三． 3．本节课的易错点是利用斜率判断含字母参数的两直线平行或 来自直时，对字母分类讨论，如探究点二．
2．两直线垂直的判定 (1)如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的 斜率之积等于 －1；反之，如果它们的斜率之积等于－1， 那么它们 垂直 ，即 l1⊥l2⇔k1k2＝－1 . (2)若两条直线中的一条直线没有斜率，另一条直线的斜率 为 0 时，它们互相垂直．
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_k_1_·__k_2=_-_1_．
1.“判一判”理清知识的疑惑点(正确的打“√”,错误的打 “×”). (1)互相平行的两条直线斜率相等.( ) (2)若直线l1,l2互相垂直,则其斜率满足k1·k2=-1.( ) (3)斜率都为0的两条直线平行.( )
提示：(1)错误.有时斜率不一定存在,只有斜率都存在 时,相互平行的两条直线的斜率才相等. (2)错误.只有斜率都存在时,相互垂直的两条直线的斜率才满 足k1·k2=-1. (3)正确.斜率都为0的两条直线,倾斜角都为0°,故两直线平行. 答案：(1)× (2)× (3)√
m=
.
【解析】(1)因为直线l1的倾斜角为30°,所以其斜率k1=
.3
3
又因为l1⊥l2,所以k1·k2=-1,所以k2=- 3.
答案：- 3
(2)因为直线l1过点A(0,3),B(4,-1),则直线l1的斜率 k1 30(41直) 线1l2，的斜率k2=tan 45°=1, 因为k1·k2=-1,所以l1⊥l2.
,即k 2
1 k1
, 所以k1 gk 2
1.
(2)当直线l1,l2中有一条直线与x轴垂直时,问题(1)中的结论 还成立吗? 提示：不成立,当直线与x轴垂直时,其斜率不存在.此时一条直 线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0.
探究2：当k1·k2=-1时,l1⊥l2成立吗? 提示：成立,由k1·k2=-1,可知直线l1,l2的倾斜角α1,α2满足 α2=α1+90°,故直线l1,l2垂直.
1.已知直线l1与直线l2,满足下列条件：
(1)l1经过点A(2,1),B(-3,5),l2经过点C(-1,1),D(-3,5).
(2)l1的倾斜角为60°,l2经过点M( 3 ,0),N(2 3 ,3).
(3)l1平行于y轴,l2经过点P(0,1),Q(0,5).
其中l1∥l2的序号是
.
2.已知直线l1经过点A(2,a),B(a-1,3),l2经过点C(1,2), D(-2,a+2),若l1∥l2,求a的值. 【解题指南】1.两条直线斜率相等或斜率都不存在时,两条直 线平行. 2.根据题意可知两条直线的斜率相等,找到关于a的方程,从而 求出a的值.
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
1.掌握两条直线平行与垂直的条件,会运用条件判断两条直线 是否平行或垂直. 2.通过两条直线斜率之间的关系判断其几何关系,初步体会数 形结合思想.
1.两条直线的平行
(1)如果两条直线的斜率存在,设这两条直线的斜率分别为 k1,k2.若两条直线平行,则它们的斜率_相__等__;反之,若两条直 线的斜率相等,则它们_平__行__,即l1∥l2⇔_k_1=_k_2_. (2)如果两条直线的斜率都不存在,那么这两条直线的倾斜角 都为__9_0_°_,这两条直线互相_平__行__.
【探究提升】两条直线垂直的等价条件 (1)直线的斜率存在时,l1⊥l2则 k2 即k1k1 ,1·k2=-1. (2)k1,k2中一个不存在,一个为0⇒l1⊥l2.
(3)解决直线垂直的问题时,不要忽略斜率不存在的情况.
类型 一 直线的平行
尝试解答下列问题,体会寻找直线平行条件的过程,掌握
两条直线平行的等价条件及判断技巧.
(2)直线l1的斜率k1与直线l2的斜率k2的关系如何? 提示：①当两条直线的倾斜角都为90°时,两直线的斜率都不 存在;②当两条直线的斜率都存在时,直线l1的倾斜角α1与直线 l2的倾斜角α2相等,故tanα1=tanα2,即k1=k2.
探究2：设直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,思考下列问题： (1)平面内两条直线的位置关系有哪些? 提示：平面内两条直线的位置关系有：相交、平行及重合. (2)若k1=k2,直线l1,l2的位置关系如何? 提示：若k1=k2,即tanα1=tanα2,又直线倾斜角的范围是 0°≤α<180°,所以α1=α2,故直线l1,l2平行或重合.
二、两直线垂直的条件 探究1：如图,直线l1,l2满足l1⊥l2,请根据图形,探究下面的问 题：
(1)斜率都存在的两条直线l1,l2,若l1⊥l2(如图(1)),则其倾斜 角有何关系?斜率有何关系?
提示：由图可知倾斜角的关系为α2=α1+90°,所以tanα2=
t1⊥l2
(3)由题知直线l1的斜率存在,则直线l1的斜率
k l1
m因为4 ,
2 m
直线l2的斜率 kl2=-2,
且l1∥l2，所以 k=l1 -2，即
m 4所以2m, =-8.
2 m
答案：-8
一、两直线平行的条件 探究1：已知两直线l1与l2平行,请根据两条直线平行的条件思 考下列问题： (1)直线l1的倾斜角α1与直线l2的倾斜角α2相等吗? 提示：直线l1,l2满足l1∥l2,即两条直线向上方向与x轴正向夹角 相等,故直线l1,l2的倾斜角相等.
2.两条直线的垂直 (1)当一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在时,这两 条直线_互__相__垂__直__. (2)当两条直线的斜率都存在时,设斜率分别为k1,k2.若两条直 线互相垂直,则它们的斜率_互__为__负__倒__数__;反之,若两条直线的 斜率互为负倒数,则它们_互__相__垂__直__, l1⊥l2 _k_2____k1_1_
【探究提升】直线l1,l2平行的等价条件及符号表示 (1)等价条件：
①两直线不重合；
②斜率都不存在或斜率相等．
(2)符号：l1∥l2
k1=k2, 或α1=α2=90°.
【拓展延伸】用倾斜角来刻画平面上两条直线的三种关系 若考虑两条直线可能重合,则平面上两条直线的位置关系共有 三种：平行、相交、重合.借助于倾斜角,它们之间的关系是： (1)平行：倾斜角相同,没有公共点. (2)相交：倾斜角不同,只有一个公共点. (3)重合：倾斜角相同,有无数多个公共点.
2.“练一练”尝试知识的应用点(请把正确的答案写在横线
上).
(1)直线l1,l2满足l1⊥l2,若直线l1的倾斜角为30°,则直线l2的斜
率为
.
(2)直线l1过点A(0,3),B(4,-1),直线l2的倾斜角为45°,则直
线l1与l2的位置关系是
.
(3)直线l1过A(-2,m)和B(m,4),直线l2的斜率为-2,且l1∥l2,则
1.“判一判”理清知识的疑惑点(正确的打“√”,错误的打 “×”). (1)互相平行的两条直线斜率相等.( ) (2)若直线l1,l2互相垂直,则其斜率满足k1·k2=-1.( ) (3)斜率都为0的两条直线平行.( )
提示：(1)错误.有时斜率不一定存在,只有斜率都存在 时,相互平行的两条直线的斜率才相等. (2)错误.只有斜率都存在时,相互垂直的两条直线的斜率才满 足k1·k2=-1. (3)正确.斜率都为0的两条直线,倾斜角都为0°,故两直线平行. 答案：(1)× (2)× (3)√
m=
.
【解析】(1)因为直线l1的倾斜角为30°,所以其斜率k1=
.3
3
又因为l1⊥l2,所以k1·k2=-1,所以k2=- 3.
答案：- 3
(2)因为直线l1过点A(0,3),B(4,-1),则直线l1的斜率 k1 30(41直) 线1l2，的斜率k2=tan 45°=1, 因为k1·k2=-1,所以l1⊥l2.
,即k 2
1 k1
, 所以k1 gk 2
1.
(2)当直线l1,l2中有一条直线与x轴垂直时,问题(1)中的结论 还成立吗? 提示：不成立,当直线与x轴垂直时,其斜率不存在.此时一条直 线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0.
探究2：当k1·k2=-1时,l1⊥l2成立吗? 提示：成立,由k1·k2=-1,可知直线l1,l2的倾斜角α1,α2满足 α2=α1+90°,故直线l1,l2垂直.
1.已知直线l1与直线l2,满足下列条件：
(1)l1经过点A(2,1),B(-3,5),l2经过点C(-1,1),D(-3,5).
(2)l1的倾斜角为60°,l2经过点M( 3 ,0),N(2 3 ,3).
(3)l1平行于y轴,l2经过点P(0,1),Q(0,5).
其中l1∥l2的序号是
.
2.已知直线l1经过点A(2,a),B(a-1,3),l2经过点C(1,2), D(-2,a+2),若l1∥l2,求a的值. 【解题指南】1.两条直线斜率相等或斜率都不存在时,两条直 线平行. 2.根据题意可知两条直线的斜率相等,找到关于a的方程,从而 求出a的值.
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
1.掌握两条直线平行与垂直的条件,会运用条件判断两条直线 是否平行或垂直. 2.通过两条直线斜率之间的关系判断其几何关系,初步体会数 形结合思想.
1.两条直线的平行
(1)如果两条直线的斜率存在,设这两条直线的斜率分别为 k1,k2.若两条直线平行,则它们的斜率_相__等__;反之,若两条直 线的斜率相等,则它们_平__行__,即l1∥l2⇔_k_1=_k_2_. (2)如果两条直线的斜率都不存在,那么这两条直线的倾斜角 都为__9_0_°_,这两条直线互相_平__行__.
【探究提升】两条直线垂直的等价条件 (1)直线的斜率存在时,l1⊥l2则 k2 即k1k1 ,1·k2=-1. (2)k1,k2中一个不存在,一个为0⇒l1⊥l2.
(3)解决直线垂直的问题时,不要忽略斜率不存在的情况.
类型 一 直线的平行
尝试解答下列问题,体会寻找直线平行条件的过程,掌握
两条直线平行的等价条件及判断技巧.
(2)直线l1的斜率k1与直线l2的斜率k2的关系如何? 提示：①当两条直线的倾斜角都为90°时,两直线的斜率都不 存在;②当两条直线的斜率都存在时,直线l1的倾斜角α1与直线 l2的倾斜角α2相等,故tanα1=tanα2,即k1=k2.
探究2：设直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,思考下列问题： (1)平面内两条直线的位置关系有哪些? 提示：平面内两条直线的位置关系有：相交、平行及重合. (2)若k1=k2,直线l1,l2的位置关系如何? 提示：若k1=k2,即tanα1=tanα2,又直线倾斜角的范围是 0°≤α<180°,所以α1=α2,故直线l1,l2平行或重合.
二、两直线垂直的条件 探究1：如图,直线l1,l2满足l1⊥l2,请根据图形,探究下面的问 题：
(1)斜率都存在的两条直线l1,l2,若l1⊥l2(如图(1)),则其倾斜 角有何关系?斜率有何关系?
提示：由图可知倾斜角的关系为α2=α1+90°,所以tanα2=
t1⊥l2
(3)由题知直线l1的斜率存在,则直线l1的斜率
k l1
m因为4 ,
2 m
直线l2的斜率 kl2=-2,
且l1∥l2，所以 k=l1 -2，即
m 4所以2m, =-8.
2 m
答案：-8
一、两直线平行的条件 探究1：已知两直线l1与l2平行,请根据两条直线平行的条件思 考下列问题： (1)直线l1的倾斜角α1与直线l2的倾斜角α2相等吗? 提示：直线l1,l2满足l1∥l2,即两条直线向上方向与x轴正向夹角 相等,故直线l1,l2的倾斜角相等.
2.两条直线的垂直 (1)当一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在时,这两 条直线_互__相__垂__直__. (2)当两条直线的斜率都存在时,设斜率分别为k1,k2.若两条直 线互相垂直,则它们的斜率_互__为__负__倒__数__;反之,若两条直线的 斜率互为负倒数,则它们_互__相__垂__直__, l1⊥l2 _k_2____k1_1_
【探究提升】直线l1,l2平行的等价条件及符号表示 (1)等价条件：
①两直线不重合；
②斜率都不存在或斜率相等．
(2)符号：l1∥l2
k1=k2, 或α1=α2=90°.
【拓展延伸】用倾斜角来刻画平面上两条直线的三种关系 若考虑两条直线可能重合,则平面上两条直线的位置关系共有 三种：平行、相交、重合.借助于倾斜角,它们之间的关系是： (1)平行：倾斜角相同,没有公共点. (2)相交：倾斜角不同,只有一个公共点. (3)重合：倾斜角相同,有无数多个公共点.
2.“练一练”尝试知识的应用点(请把正确的答案写在横线
上).
(1)直线l1,l2满足l1⊥l2,若直线l1的倾斜角为30°,则直线l2的斜
率为
.
(2)直线l1过点A(0,3),B(4,-1),直线l2的倾斜角为45°,则直
线l1与l2的位置关系是
.
(3)直线l1过A(-2,m)和B(m,4),直线l2的斜率为-2,且l1∥l2,则