3.1.2两条直线平行与垂直的判定课件
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人教版高中数学必修二课件 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
k2=_______.
解：由斜率定义，直线l的斜率k=tan 30°= 3， 3
因为l1∥l，所以k1=k=
3 3
.
因为l2⊥l,所以k2·k=-1,
所以k 2
=
1 k
=
3.
答案： 3
3
3
16
例3 已知A（-6，0），B（3，6），P（0，3），Q（6， -6），试判断直线AB与PQ的位置关系.
C.0
D. 1
2
解：选A.l1,l2的斜率分别为2,-a,由l1∥l2，可知
a=-2.
12
思考3 设两条直线l1,l2的斜率分别为k1,k2 ,
l1 ⊥ l2时，k1与k2满足什么关系？
提示：
如图，α2 =α1 + 90o，
tanα2
=
tan(α1
+ 90o
)=
-
1 tanα1
,
即k1k2 = -1.
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
1
平面内两条直线有哪些位置关系？ 平行或相交
2
为了在平面直角坐标系内表示直线的倾斜程度， 我们引入倾斜角的概念，进而又引入了直线的斜率.
y
.
O
x
能否通过斜率来 判断两条直线的
位置关系？
3
1.理解并掌握两条直线平行与垂直的条件. （重点）
2.会运用条件判断两直线是否平行或垂直. （难点）
反之，成立,可得
y l2
l1
α1 α2
O
x
l1 l2 k1k2 = 1.
13
思考4
设两条直线l1的斜率k1 = 0,l2的斜率不存在,
l1 ⊥ l2吗？
3.1.2两条直线平行与垂直的判定
6 ＝－1， x＋1x－4
∴x＝1 或 x＝2，故所求点为 C(1,0)或 C(2,0)．
(2)当点 C 在 y 轴上时，设 C(0，y)，由 AC⊥BC，
知 kAC· kBC＝－1，故 y－3 y－2 · ＝－1， 0＋ 1 0－ 4
5＋ 17 5－ 17 ∴y＝ 或 y＝ . 2 2 故 C0，
5－ 17 5＋ 17 或 C0， . 2 2
综 上 所 述 ： C(1,0) 或 C0，
C(2,0)
或
C 0，
5－ 17 或 2
5＋ 17 为所求． 2
小结
结论1：对于两条不重合的直线l1和 l 2 : (1)l1 // l2 1 2 ; (2)l1 // l2 k1 k2 或 k1 , k 2 都不存在 . l1∥l2 k1＝k2. 条件：不重合、都有斜率 结论2： 对于任意两条直线 l1和 l 2 :
或 k 1 , k 2 中一个为 0 , 另一个不存在 .
注意： l1⊥l2
k1k2=-1.
条件： 都有斜率
练习
1、下列哪些说法是正确的（ C）
A 、两直线l1和l2的斜率相等，则 l1 ∥ l2； B、若直线l1 ∥ l2，则两直线的斜率相等；
C、若两直线l1和l2中，一条斜率存在，另一条斜率不 存在，则l1和l2相交； D、若直线l1和l2斜率都不存在，则l1 ∥ l2； E、若直线l1 ⊥ l2，则它们的斜率之积为-1；
A. 3 3 C. 3 B．－ 3 3 D．－ 3
3．直线 l 平行于经过两点 A(－4,1)， B(0,－3)的直线，则 直线的倾斜角为( D ) A．30° B．45° C．120° D．135° 4．原点在直线 l 上的射影是 P(－2,1)， 2 则 l 的斜率为___.
必修2课件3.1.2两条直线平行与垂直的判定
两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k 2 则l1 l2 k1 k 2 =-1
例1：已知四条直线l1，l2，l3，l4的倾斜角之比为1:13:4,直线l2过点P:(1,0), : 3 Q:(2, )，求这四条直线的斜率？ 3
3 3 , , 不存在, 3 3 3
例2：过点m: 2,)，作直线l，分别交x轴,y轴的正半轴于A、B两点， ( 1 1：当 AOB面积S最小时，求l方程 2：当 MA MB 最小时，求l方程
例4：l：(2m +m-3)x+(m -m)x-4m+1=0,在下列 条件下分别求m的值：
2
2
1：直线l与2x-3y-5=0垂直？ 2：直线l与2x-3y-5=0平行？ 例5：l1: x-2y=1, l2: 2x+ty-3=0, l3:3tx+4y=5, 三线不能构成三角形，求t的值
3 2 6 4, , , 2 2 3
D
y
E F
C
B A 30
0
O
x
斜率存在， 且两直线不重合
两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k 2 则l1 // l2 k1 =k 2
问题： 1 l1：y k1x b1 , l2 : y k 2 x+b 2 , 则l1//l2 :
k1 =k 2 b b 1 2
2：直线l1，l2平行时，则l1与l2的斜率相等吗？
3.1.2两条直线平行与垂直的判定
1. 倾斜角的定义
2： 一条直线倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率， 常用k来表示.
y2 y1 A k tan x2 x1 B （其中l : Ax+By+C=0）
( x1 x2 )
高一数学 人教A版必修2 第三章 3.1.1、2直线的倾斜角与斜率、两条直线平行与垂直的判定 课件
(2)由斜率的定义 k＝tan α， 得 α＝60°时， k＝tan 60°＝ 3， 当 α＝135°时，k＝tan 135°＝－1，当 k＞0 时， 0°＜α＜90°；当 k＜0 时，90°＜α＜180°. 答案： (1)D (2) 3 －1 0°＜α＜90° 90°＜α＜180°
[归纳升华] 1．根据定义求直线的倾斜角的关键是根据题意画出草图，则直线向上的 方向与 x 轴的正方向所成的角，即为直线的倾斜角． 2．直线的斜率 k 随倾斜角 α 增大时的变化情况： ①当 0°≤α＜90°时，随 α 的增大，k 在[0，＋∞)范围内增大； ②当 90°＜α＜180°时，随 α 的增大，k 在(－∞，0)范围内增大.
[特别提醒] 在[0°，180°)范围内的一些特殊角的正切值要熟记．
倾斜角 α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150°
斜率 k
0
3 3
1
3
－ 3 －1
－
3 3
3．过点 P(0，－2)的直线 l 与以 A(1,1)、B(－2,3)为端点的线段有公共点，
则直线 l 的斜率 k 的取值范围是( )
D．60°或 120°
(2)直线 l 的倾斜角为 α，斜率为 k，则当 k＝________时，α＝60°；当 k＝
________时，α＝135°；当 k＞0 时，α 的范围是____________；当 k＜0 时，α
的范围是________．
解析： (1)如图，直线 l 有两种情况，故 l 的倾斜角为 60°或 120°，故选 D.
[归纳升华] 求过两点的直线的斜率及倾斜角的方法 (1)已知两点坐标求直线的斜率时，首先应检验其横坐标是否相等，若相等， 其斜率不存在；若不相等，可用公式来求． (2)α＝0°⇔k＝0；0°<α<90°⇔k>0；90°<α<180°⇔k<0；α＝90°⇔斜率不存 在；若求 α 的具体值，可用公式 k＝tan α 求解.
[归纳升华] 1．根据定义求直线的倾斜角的关键是根据题意画出草图，则直线向上的 方向与 x 轴的正方向所成的角，即为直线的倾斜角． 2．直线的斜率 k 随倾斜角 α 增大时的变化情况： ①当 0°≤α＜90°时，随 α 的增大，k 在[0，＋∞)范围内增大； ②当 90°＜α＜180°时，随 α 的增大，k 在(－∞，0)范围内增大.
[特别提醒] 在[0°，180°)范围内的一些特殊角的正切值要熟记．
倾斜角 α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150°
斜率 k
0
3 3
1
3
－ 3 －1
－
3 3
3．过点 P(0，－2)的直线 l 与以 A(1,1)、B(－2,3)为端点的线段有公共点，
则直线 l 的斜率 k 的取值范围是( )
D．60°或 120°
(2)直线 l 的倾斜角为 α，斜率为 k，则当 k＝________时，α＝60°；当 k＝
________时，α＝135°；当 k＞0 时，α 的范围是____________；当 k＜0 时，α
的范围是________．
解析： (1)如图，直线 l 有两种情况，故 l 的倾斜角为 60°或 120°，故选 D.
[归纳升华] 求过两点的直线的斜率及倾斜角的方法 (1)已知两点坐标求直线的斜率时，首先应检验其横坐标是否相等，若相等， 其斜率不存在；若不相等，可用公式来求． (2)α＝0°⇔k＝0；0°<α<90°⇔k>0；90°<α<180°⇔k<0；α＝90°⇔斜率不存 在；若求 α 的具体值，可用公式 k＝tan α 求解.
高一数学必修二312两条直线平行与垂直的判定课件新人教A版必修2
答案:D
27
5.l1⊥l2,直线l1的倾斜角为45°,那么直线l2的倾斜角为( )
A.45°
B.135°
C.-45°
D.120°
解析:由l1⊥l2及k1=tan45°=1,知l2的斜率k2=-1,∴l2的倾斜角 为135°.
答案:B
28
6.满足以下条件的l1与l2,其中l1⊥l2的是( )
(1)l1的斜率为- 2 ,l2经过点A(1,1),B(0,- 1 ); (2)l1的倾斜角为43 5°,l2经过点P(-2,-1),Q(23,-5);
能力提升 9.A(1,5),B(-1,1),C(3,2),假设四边形ABCD是平行四边形,求D 点的坐标.
33
解
:设 D x,y ,则 k AB
51 1 (1)
2, kCD
y2, x3
由 A B //C D 得 , y 2 2 ,即 y 2 x 4.① x3
又 k AD
y 5 ,kBC x 1
B ( 2 ,2 ),C (0 ,2 22 ),D (4 ,2 ),求 证 四 边 形 A B C D 为 矩 形 .
解: kAB
2 , kBC 2
2, kCD
2 , kAD 2
2.
kAB kCD, kBC kAD,AB//CD, BC//AD.
四边形ABCD为平行四边形.
又kAB kBC
l1l2 k1k21
注意:上面的等价是在两直线斜率存在的前提下才成立的， 缺少这个前提，结论并不存立． 特殊情况下的两直线垂直． 当两条直线中有一条直线没有斜率时：
当另一条直线的斜率为0时， 那么一条直线的倾斜角为900,另一条直线的倾斜角为0° 0°， 两直线互相垂直
人教A版数学必修二课件：3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
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α2tan α1=-1,
1
所以 tan α2=-tan
1
.
又0°≤α1<180°,0°≤α2<180°,
所以tan α2=tan(90°+α1),
则α2=90°+α1,所以l1⊥l2.
3.对任意两条直线,如果l1⊥l2,一定有k1·k2=-1吗?为什么?
提示:不一定,因为如果直线l1和l2分别平行于x,y轴,则k2不存在,所
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综上所述,a的值为0或5.
反思感悟反思感悟两直线垂直的判定方法
两条直线垂直需判定k1k2=-1,使用它的前提条件是两条直线斜率
都存在,若其中一条直线斜率不存在,另一条直线斜率为零,此时两
直线也垂直,注意讨论的全面性.
-14-
3.1.2
两条直线平行与垂直的判定
探究一
探究二
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α2tan α1=-1,
1
所以 tan α2=-tan
1
.
又0°≤α1<180°,0°≤α2<180°,
所以tan α2=tan(90°+α1),
则α2=90°+α1,所以l1⊥l2.
3.对任意两条直线,如果l1⊥l2,一定有k1·k2=-1吗?为什么?
提示:不一定,因为如果直线l1和l2分别平行于x,y轴,则k2不存在,所
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反思感悟反思感悟两直线垂直的判定方法
两条直线垂直需判定k1k2=-1,使用它的前提条件是两条直线斜率
都存在,若其中一条直线斜率不存在,另一条直线斜率为零,此时两
直线也垂直,注意讨论的全面性.
-14-
3.1.2
两条直线平行与垂直的判定
探究一
探究二
两条直线平行与垂直的判定 课件
课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
试一试：两条直线 l1，l2，l1 的斜率为－10，l2 经过点 A(10,2)， B(20,3)，试判断 l1，l2 的位置关系． 提示 k1＝－10，k2＝230－ －210＝110， ∴k1·k2＝－1.∴l1⊥l2.
课前探究学习
课堂讲练互动
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名师点睛 1．两条直线的平行必须注意的两个问题 (1)两条直线平行的条件是斜率都存在且不重合，即两条直线都 不垂直于 x 轴，否则推导中 α1＝α2 tan α1＝tan α2(∵此时 tan α1，tan α2 均无意义)． (2)当 l1，l2 都垂直于 x 轴且不重合时，由于垂直于同一条直线 的两条直线平行，可推得 l1∥l2，这样两条不重合直线平行的判 定的一般结论就是：l1∥l2⇔k1＝k2 或 l1，l2 斜率都不存在．
课前探究学习
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想一想：若两条直线平行，斜率一定相等吗？ 提示 不一定，垂直于 x 轴的两条直线，虽然平行，但斜率不 存在．
课前探究学习
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2．两直线垂直的判定 (1)如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率 之积等于 －1 ；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们 互相垂直，即 l1⊥l2⇔k1k2＝－1 . (2)若两条直线中的一条没有斜率，另一条的斜率为 0 时，它们 互相垂直．
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题型一 两条直线的平行关系 【例 1】 判断下列各小题中的直线 l1 与 l2 是否平行： (1)l1 经过点 A(－1，－2)，B(2,1)，l2 经过点 M(3,4)，N(－1，－ 1)； (2)l1 的斜率为 1，l2 经过点 A(1,1)，B(2,2)； (3)l1 经过点 A(0,1)，B(1,0)，l2 经过点 M(－1,3)，N(2,0)； (4)l1 经过点 A(－3,2)，B(－3,10)，l2 经过点 M(5，－2)，N(5,5)． [思路探索] 求出斜率，利用“l1∥l2⇔k1＝k2”判断，注意公式 成立的条件．
高中数学 两条直线平行与垂直的判定 PPT课件 图文
【解析】1.根据题中的条件及斜率公式得 (1)kl15 4,kl2 2,所 以 kl1kl2,所以直线l1与l2不平行. (2)kl1 3kl2,所以l1∥l2或l1与l2重合. (3)l1斜率不存在，且直线l1与y轴不重合，而l2的斜率也不存 在，且恰好是y轴，所以l1∥l2． 答案：(3)
2.“练一练”尝试知识的应用点(请把正确的答案写在横线上).
(1)直线l1,l2满足l1⊥l2,若直线l1的倾斜角为30°,则直线l2的斜
率为
.
(2)直线l1过点A(0,3),B(4,-1),直线l2的倾斜角为45°,则直
线l1与l2的位置关系是
.
(3)直线l1过A(-2,m)和B(m,4),直线l2的斜率为-2,且l1∥l2,则
所以C点坐标为 (0,5 17)或(0， 5 17).
2
2
【技法点拨】使用斜率公式判定两直线垂直的步骤 (1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直 线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步. (2)二用：就是将点的坐标代入斜率公式. (3)求值：计算斜率的值，进行判断.尤其是点的坐标中含有 参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论.
【解析】1.直线PQ的斜率kPQ= 2 ，当m≠-1时，直线AB的斜率
7
kAB
3m2 ． 22m
(1)因为AB∥PQ，所以kAB=kPQ,
即 3m 2 2 ,
2 2m 7
解得 m
2. 5
(2)因为AB⊥PQ,所以kAB·kPQ=-1,
即 3m2 21,
22m 7
解得 m 9 .
【探究提升】两条直线垂直的等价条件
(1)直线的斜率存在时,l1⊥l2则
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2.如果L1与L2的斜率都不存在呢？
结论1: 前提:两条直线不重合
L1// L2 直线倾斜角相等
L1// L2 k1=k2 或k1，k2都不存在
两条直线平行，它们的斜率相等吗？
例1，求证：顺次连结（A 2， 3）、B（5，- 7 ）、C（2，3） 2
D（ 4，4）四点所得的四边形是梯形。 y
例题讲解
例1 已知A、B、C、D四点的坐标， 试判断直线AB与CD的位置关系. （1）A（2，3）， B（－4，0），
C（－3，l）, D（－l，2）； （2）A（－3，2），B（－3，10），
C（5，－ 2 ）, D（5，5）.
（3）A（－6，0），B（3，6）， C（0，3）， D（6，－6）
分析:1.什么是梯形?
D●
C
3
●
-4
2.怎么样处理直线平行?
o2
5x
-3
●
A
●B
解：
k AB
7 (3) 2 52
1 6
D●
y
C
3
●
kBC
3 ( 7) 2
25
13 6
-4
o
2
5x
kCD
43 4 2
1 6
-3
●
A
●B
kDA
3 4 2 (4)
7 6
kAB kCD , kBC kDA
思考1:若两条不同直线的倾斜角相 等，这两条直线的位置关系如何？
反之成立吗？
y
l1
l2
α1 α2
O
x
思考2:若两条不同直线的斜率相等， 这两条直线的位置关系如何？反之 成立吗？
结论：
如果L1与L2不重合，那么
l1 // l2 k1 k2 (k1, k2均存在)
注意：
1.两条直线平行的条件是在斜率存在且不重合 的情况下得到的，所以“斜率存在”和“不重 合”缺一不可。
例5、已知A（5，-1），B（1，1）， C（2，3）三点，试判断△ABC的形 状。
￥
例6 已知点A（m，1),B(-3，4), C（1，m),D（－1，m＋1),分别 在下列条件下求实数m的值: （1）直线AB与CD平行； （2）直线AB与CD垂直.
学完一节课或一个内容，
应当及时小结，梳理知识
一、知识内容上
L1// L2 k1=k2 （前提:两条直线不重合,斜率都
存在）
L1⊥
L2
k1k2=
-1 （前提：两条直线都有斜率，
并且都不等于零.）
二、思想方法上
（1）运用代数方法研究几何性质及其相互位置关系
（2）数形结合的思想
3.1.2 两条直线平行 与垂直的判定
复习1：
直线的倾斜角
定义 三要素
斜率
斜率公式
k tan ( 90 )
k
y2 x2
y1 x1
( x1
x2 )
范围 0,180 k , k ,
复习2：平面上两条直线位置关系
y
o x
有平行,相交两种
我们设想如何通过直线的斜率 来判定这两种位置关系.
探究（一）：两条直线平行的判定
直线AB CD，而直线BC与DA不平行。
探究（二）两条直线垂直的判定
当L1// L2时，有k1=k2，或k1，k2都不存
在，那么L1⊥ L2时，k1与k2满足什么
关系？
y
1
2
x
结论2:
L1 ⊥ L2
k1k2=－1
或直线L1 与 L2中有 一条斜率为零,另一条 斜率不存在
两条直线垂直，一定是它们的斜率 乘积为－1这种情况吗？
（4）A（ 3 ，4）， B（3，100）， C（－10，40）, D（10，40）.
例2.已知A（2，3），B（-4，0），P（-3，1）， Q（-1，2），试判断直线BA与PQ的位置关系， 并证明你的结论。
Y
Q P
B
A X
例3 已知四边形ABCD的四个顶点 分别为A（0，0），B（2，－1）， C（4，2），D（2，3），试判断四 边形ABCD的形状，并给出证明.
结论1: 前提:两条直线不重合
L1// L2 直线倾斜角相等
L1// L2 k1=k2 或k1，k2都不存在
两条直线平行，它们的斜率相等吗？
例1，求证：顺次连结（A 2， 3）、B（5，- 7 ）、C（2，3） 2
D（ 4，4）四点所得的四边形是梯形。 y
例题讲解
例1 已知A、B、C、D四点的坐标， 试判断直线AB与CD的位置关系. （1）A（2，3）， B（－4，0），
C（－3，l）, D（－l，2）； （2）A（－3，2），B（－3，10），
C（5，－ 2 ）, D（5，5）.
（3）A（－6，0），B（3，6）， C（0，3）， D（6，－6）
分析:1.什么是梯形?
D●
C
3
●
-4
2.怎么样处理直线平行?
o2
5x
-3
●
A
●B
解：
k AB
7 (3) 2 52
1 6
D●
y
C
3
●
kBC
3 ( 7) 2
25
13 6
-4
o
2
5x
kCD
43 4 2
1 6
-3
●
A
●B
kDA
3 4 2 (4)
7 6
kAB kCD , kBC kDA
思考1:若两条不同直线的倾斜角相 等，这两条直线的位置关系如何？
反之成立吗？
y
l1
l2
α1 α2
O
x
思考2:若两条不同直线的斜率相等， 这两条直线的位置关系如何？反之 成立吗？
结论：
如果L1与L2不重合，那么
l1 // l2 k1 k2 (k1, k2均存在)
注意：
1.两条直线平行的条件是在斜率存在且不重合 的情况下得到的，所以“斜率存在”和“不重 合”缺一不可。
例5、已知A（5，-1），B（1，1）， C（2，3）三点，试判断△ABC的形 状。
￥
例6 已知点A（m，1),B(-3，4), C（1，m),D（－1，m＋1),分别 在下列条件下求实数m的值: （1）直线AB与CD平行； （2）直线AB与CD垂直.
学完一节课或一个内容，
应当及时小结，梳理知识
一、知识内容上
L1// L2 k1=k2 （前提:两条直线不重合,斜率都
存在）
L1⊥
L2
k1k2=
-1 （前提：两条直线都有斜率，
并且都不等于零.）
二、思想方法上
（1）运用代数方法研究几何性质及其相互位置关系
（2）数形结合的思想
3.1.2 两条直线平行 与垂直的判定
复习1：
直线的倾斜角
定义 三要素
斜率
斜率公式
k tan ( 90 )
k
y2 x2
y1 x1
( x1
x2 )
范围 0,180 k , k ,
复习2：平面上两条直线位置关系
y
o x
有平行,相交两种
我们设想如何通过直线的斜率 来判定这两种位置关系.
探究（一）：两条直线平行的判定
直线AB CD，而直线BC与DA不平行。
探究（二）两条直线垂直的判定
当L1// L2时，有k1=k2，或k1，k2都不存
在，那么L1⊥ L2时，k1与k2满足什么
关系？
y
1
2
x
结论2:
L1 ⊥ L2
k1k2=－1
或直线L1 与 L2中有 一条斜率为零,另一条 斜率不存在
两条直线垂直，一定是它们的斜率 乘积为－1这种情况吗？
（4）A（ 3 ，4）， B（3，100）， C（－10，40）, D（10，40）.
例2.已知A（2，3），B（-4，0），P（-3，1）， Q（-1，2），试判断直线BA与PQ的位置关系， 并证明你的结论。
Y
Q P
B
A X
例3 已知四边形ABCD的四个顶点 分别为A（0，0），B（2，－1）， C（4，2），D（2，3），试判断四 边形ABCD的形状，并给出证明.