两条直线平行与垂直的判定 -PPT课件
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直角坐标平面两直线平行垂直的判定
详细描述
在直角坐标平面中，有时两条直线的斜率相等且截距相等时，需要结合其他条件来判断 它们是否平行或垂直。例如，直线$y = x + 1$和$y = x - 1$是平行的，因为它们的斜
率相等且截距分别为1和-1，互为相反数。
谢谢
THANKS
垂直直线判定实例
总结词
垂直直线的斜率互为相反数
详细描述
在直角坐标平面中，如果两 条直线垂直，那么它们的斜 率互为相反数。例如，直线 $y = x + 1$和$y = -x + 2$是垂直的，因为它们的 斜率分别为1和-1，互为相 反数。
总结词
垂直直线的斜率不存在
详细描述
在直角坐标平面中，如果两 条直线垂直且其中一条直线 的斜率不存在（例如直线$x = 1$），那么另一条直线 的斜率必为无穷大。例如， 直线$y = x + 1$与直线$x = 1$垂直，因为当$x = 1$ 时，$y = x + 1 = 2$，斜 率为无穷大。
截距不相等
总结词
如果两条直线在直角坐标平面上的截距不相等，则这两条直线平行。
详细描述
在平面直角坐标系中，如果两条直线的截距不相等，即$b_1 neq b_2$，其中 $b_1$和$b_2$分别是两条直线的截距，那么这两条直线平行。这是因为截距不 相等的直线在平面上不会相交，而是平行。
方向向量平行
详细描述
直线的方向向量是直线上任意两点的 向量差分比上该两点之间的距离，如 果两直线的方向向量互相垂直，则这 两条直线垂直。
斜率不存在与水平线垂直
总结词
当一条直线斜率不存在且与水平线垂直时，另一条直线也与这条直线垂直。
详细描述
如果一条直线与x轴垂直，即斜率不存在，那么与它垂直的直线也必须与x轴垂直 ，即斜率也不存在。
两条直线平行与垂直的判定
l1 // l2 k1 = k2且b1 b2或l1 , l2斜率都不存在且不重
例1 ： 两条直线L1:2x-4y+7=0，L2:x-2y+5=0求证:L1∥L2
例 2： 求过点A(1,-4)且与直线2x+3y+5=0平行的直线的方程。
注意： ①解法一求直线方程的方法是通法，必须掌握； ②解法二是常常采用的解题技巧。
注意： ①解法一求直线方程的方法是通法，必须掌握； ②解法二是常常采用的解题技巧：
一般地，由于与直线Ax+By+C=0垂直的直线的斜率互为负 倒数，故可得其方程为Bx-Ay+=0 ，其中待定（直线系）
1
如果直线L1,L2的方程为 L1:A1x+B1y+C1=0, L2:A2x+B2y+C2=0(A1B1C1≠0,A2B２C２≠0)
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被破咯"孟获见孟优在乱军之中壹条腿已经被咬得伶仃将断,被火焰层层包围,呛得走否动,连忙朝沙摩柯劝道:"大王,退兵吧,否然吾弟就要死在那火江之中咯/"沙摩柯眉头皱得否可开交,眼前大势否得否顾及,便摆手大喝道:"儿郎们,速速撤退/"被火烧死壹大片の藤甲兵听见沙摩柯の呼喊, 也顾否上什么面子否面子,纷纷把身上の藤甲全部脱掉,光着身子窜出火江."哪里跑/"突然城门之中冲出壹支骑兵,文鸯和白起二人当先在前,凭借着战马の飞速,安然无恙の直接杀入火江之中.剑芒泼射万丈寒光,壹剑攸然可斩千万首级,白起手起剑落,如壹道雷芒划破空际,几颗人头腾飞在 半空之中,鲜血与火焰融合在壹起."检测到文鸯触发冲阵潜能,武力+3,基础武力96,当前武力上升至99,请宿主注意查看."文鸯左手握钢鞭,将疼痛否堪の蛮人成排削去头颅,脑浆
2.1.2 两条直线平行和垂直的判定(共30张PPT)
2
0+2+
2
=
=
= -2,
解得
所以 R 点的坐标是(-2t,2).
= 2.
1+
2
+
2
,
,
归纳总结
利用两条直线平行或垂直来判断图形形状的步骤
描点 → 在坐标系中描出给定的点
↓
猜测 → 根据描出的点，猜测图形的形状
↓
求斜率 → 根据给定点的坐标求直线的斜率
↓
结论 → 由斜率之间的关系判断形状
y=3.此时 AB 与 CD 不平行.
故所求点 D 的坐标为(3,3).
②若 AD 是直角梯形的直角边,
-3
则 AD⊥AB,AD⊥CD,kAD= ,kCD= .
-3
-3
由于 AD⊥AB,则 ·3=-1.
又 AB∥CD,∴-3=3.
18
= 5 ,
AD 与 BC 不平行.
解上述两式可得
梯形的直角边和AD是直角梯形的直角边这两种情况;设所求点D的坐标为(x,y),若CD是
直角梯形的直角边,则BC⊥CD,AD⊥CD,根据已知可得kBC=0,CD的斜率不存在,从而有
x=3;接下来再根据kAD=kBC即可得到关于x、y的方程,结合x的值即可求出y,那么点D的
坐标便不难确定了,同理再分析AD是直角梯形的直角边的情况.
3-
-2-3
,k
=
2
-5
-1-2
-5
= -3 .
由 l1⊥l2,知 k1k2=-1,
3-
-5
即-5× -3 =-1,解得 a=0.
综上所述,a的值为0或5.
3-
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
,
������ -1 ������ -0
=
3-0 4-1
,
解得
������ = 3, ������ = 4.
所以顶点 D 的坐标为(3,4).
反思解决与平行有关的问题时,常借助于它们的斜率之间的关系 来解决,即不重合的两条直线l1与l2平行⇒k1=k2或k1与k2都不存在.
-14-
3.1.2 两条直线平行 与垂直的判定
关系 都不为零)⇔k1k2=-1
为 0⇒l1⊥l2
-6-
3.1.2 两条直线平行 与垂直的判定
12
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
【做一做2】 已知直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,且k1=5,l1⊥l2,则
k2=
.
解析:∵l1⊥l2,∴k1k2=-1.
∵k1=5,∴5k2=-1,∴k2=−
1.
-12-
3.1.2 两条直线平行 与垂直的判定
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练1】 顺次连接A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点所组
成的图形是( )
A.平行四边形 B.直角梯形
C.等腰梯形
D.以上都不对
解析:因为
kAB=
5-3 2-(-4)
=
13,kCD=
0-3 -3-6
=
1,
3
所以 AB∥CD.
又
kAD=
0-3 -3-(-4)
=
−3,kBC=
3-5 6-2
=
−
1,
2
所以 kAD≠kBC,kAD·kCD=-1,
3.1.2两条直线平行与垂直的判定
6 ＝－1， x＋1x－4
∴x＝1 或 x＝2，故所求点为 C(1,0)或 C(2,0)．
(2)当点 C 在 y 轴上时，设 C(0，y)，由 AC⊥BC，
知 kAC· kBC＝－1，故 y－3 y－2 · ＝－1， 0＋ 1 0－ 4
5＋ 17 5－ 17 ∴y＝ 或 y＝ . 2 2 故 C0，
5－ 17 5＋ 17 或 C0， . 2 2
综 上 所 述 ： C(1,0) 或 C0，
C(2,0)
或
C 0，
5－ 17 或 2
5＋ 17 为所求． 2
小结
结论1：对于两条不重合的直线l1和 l 2 : (1)l1 // l2 1 2 ; (2)l1 // l2 k1 k2 或 k1 , k 2 都不存在 . l1∥l2 k1＝k2. 条件：不重合、都有斜率 结论2： 对于任意两条直线 l1和 l 2 :
或 k 1 , k 2 中一个为 0 , 另一个不存在 .
注意： l1⊥l2
k1k2=-1.
条件： 都有斜率
练习
1、下列哪些说法是正确的（ C）
A 、两直线l1和l2的斜率相等，则 l1 ∥ l2； B、若直线l1 ∥ l2，则两直线的斜率相等；
C、若两直线l1和l2中，一条斜率存在，另一条斜率不 存在，则l1和l2相交； D、若直线l1和l2斜率都不存在，则l1 ∥ l2； E、若直线l1 ⊥ l2，则它们的斜率之积为-1；
A. 3 3 C. 3 B．－ 3 3 D．－ 3
3．直线 l 平行于经过两点 A(－4,1)， B(0,－3)的直线，则 直线的倾斜角为( D ) A．30° B．45° C．120° D．135° 4．原点在直线 l 上的射影是 P(－2,1)， 2 则 l 的斜率为___.
3.1.2两条直线平行与垂直的判定
达标检测
两条直线平行于垂直的判定的应用
1.已知直线l1过点A(-1，1)和B(-2,-1)，直线l2过点C(1，
0)和D(0，a)，若l1∥l2,则a的值为 ( A )
(A)-2
(B)2
(C)0
(D)
2.已知A(1，2),B(-1,0),C(3,4)三点，这三点是否在同一 条直线上，为什么？
解析：易求得直线AB和BC的斜率 且共用点B，所以三点共线.
特别的，当一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为0 时，两直线也是垂直的.
典例精析
两直线垂直的判定的应用
例3 已知A（-6，0），B（3，6），P（0，3），Q
（6，-6），试判断直线AB与PQ的位置关系。
分析：分别求出两直线的斜率，观察斜率之间的关系.
解：直线AB的斜率
直线PQ的斜率
因为
，所以直线AB⊥PQ.
新课讲授
两条直线平行的判定
思考 判断直线与直线平行的方法有哪些？ 两条不重合直线的倾斜角相等或斜率相等时两条直线平 行，当两条直线的斜率同时不存在时也平行.
典例精析
两条直线平行的判定的应用
例1 已知A(2，3)，B(-4，0)，P(-3，1)，Q(-1，2)，试判断直线 BA与PQ的位置关系，并证明你的结论. 解:直线BA的斜率
典例精析
两条直线平行的判定的应用
例2 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0，0)，B(2，－1)， C(4，2)，D(2，3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明.
分析：判断两组对边是否分别平行.
解：∵ 且它们为不重合的直线， ∴AB//CD，且BC//DA，所以四边形ABCD为平行四边形.
跟踪训练
两直线垂直的判定的应用
两条直线的位置关系-平行和垂直
直线的方程及其性质
直线的方程：一般形式为 Ax+By+C=0，其中A、B不同时为0。
直线的性质
直线上的任意两点确定的直线方程是 唯一的。
两条不重合的直线，如果斜率相等，则它们平 行；如果斜率之积为-1，则它们垂直。
两条平行线之间的距离是常数，可以 通过公式计算。
两条垂直线的斜率互为相反数的倒数， 即k1*k2=-1。
01
两条垂直相交直线的交角为90度 。
02
在同一平面内，两条直线的交角 的平分线与这两条直线所形成的 四个角中，有一个角是直角。
垂直直ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ在坐标系中的表示
在平面直角坐标系中，两条垂直相交直线的斜 率互为相反数的倒数。即，如果一条直线的斜 率为k，那么与它垂直的直线的斜率为-1/k。
一条直线与y轴垂直，那么它的斜率为 0，可以表示为y=b(b为常数)的形式。
利用方程联立求解交点坐标
01
02
03
04
将两条直线的方程联立，解出 交点坐标；
若方程组无解，则两直线平行 ；
若方程组有唯一解，则两直线 相交于该点；
若方程组有无穷多解，则两直 线重合。
结合图形分析实际问题
在平面直角坐标系中， 画出两条直线的图形；
结合实际问题的背景 和意义，分析两直线 位置关系对问题的影 响。
在三角形 ABC 中，已知 A(0,0)， B(4,0)，C(0,3)。若直线 DE 与 AB 边平行且过点 C，求 DE 所在 直线的方程。
解答
由题意知 AB 边所在直线的方程为 x/4 + y/3 = 1。因为 DE 与 AB 边平行，所以 DE 所在直线的斜率 也为 -3/4。设 DE 所在直线的方 程为 y = -3/4x + b，将点 C(0,3) 代入得 b = 3。所以，DE 所在直 线的方程为 y = -3/4x + 3。
8.4.2两条直线平行垂直的条件
例1 已知两条直线： l1:2x-4y+7=0,l2:2x+y-5=0, 求证:l1⊥l2.
• 变式1:求过点A(2,1)且与直线2x+y10=0垂直的直线方程. • 变式2:已知直线ax+(1-a)y-3=0与直线 (a-1)x+(2a+3)y-2=0互相垂直,求a的值.
判定定理： 当直线Ｌ１和Ｌ２有斜截式方程 L1：y=k1x+b1 L2: y=k2x+b2 时，
结论：
l1 l2 a·b 0 1 k1k 2 0 即k1k 2 1
l1 l2 A1 A2 B1B2 0
④若两直线斜率都不存在,则两直线平 行. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
1. 判断下列直线对是否平行 平行
经过两点A( 2, 3), B(-1, 0)的直线 l1
经过点P(1,0)且斜率为1的直线 l2 2. 已知过A(-2, m)和B(m ,4)的直线与 斜率为-2的直线平行,则m的值为( A ) A. - 8 B. 0 C. 2 D. 10
那么L1∥L2 k1=k2且b1≠b2
l1 // l2 k1 k2且b1 b2或l1 , l2斜率都不存在且不重合
• 练习： 判断下列直线组的位置关系： • (1)l1：2x-4y+7=0，l2：x=2y-5；
•
(2)l1：x-2y+1=0， l2：3x=6y-3．
练习：求过点A(1,-4)，且与直线 2x+3y+5=0平行的直线方程。
例1 ： 两条直线L1:2x-4y+7=0，L2:x-2y+5=0求证:L1∥L2
例 2： 求过点A(1,-4)且与直线2x+3y+5=0平行的直线的方程。
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分析：分别求出两直线的斜率，观察斜率之间的关系.
解：直线AB的斜率kAB
3 6（06）
2 3
,
直线PQ的斜率
kPQ
6 3 60
3 2
,
Q kBAkPQ 1,直线AB PQ.
当堂检测2
判断下列各对直线的位置关系 （1）经过两点A(2,3),B(-1,0)的直线l1，与经过点P(1,0) 且斜率为-1的直线l2； （2）经过两点C（3,1），D（-2,0）的直线l3，与经过点 M（1，-4）且斜率为-5的直线l4.
y2）， 并且x1 ≠x2，则直线P1 P2的
y2 y1
斜率k=___x_2___x_1 ________．
平面内两条直线有哪些位置关系？ 平行或相交
为了在平面直角坐标系内表示直线的倾斜程度，我们 引入倾斜角的概念，进而又引入了直线的斜率.
y
.
能否通过斜率来判断 两条直线的位置关系？
o
x
思考1 设两条直线l1,l2的斜率分别为k1, k2，
解：（1）垂直； （2）垂直.
1.两条直线平行的判定
l1
/
/l2
k1
k
（两条直线的斜率均存在）
2
2.两条直线垂直的判定
l1 l2 k1k 1 （两条直线的斜率均存在）
“几何问题代数化”的思想
作业布置 P89.第6.7题
l1∥ l2时，k1与k2满足什么关系？
k2
1
O
2
x
即 k1 k2
l1∥l2 , 或l1与l2重合.
思考2 设两条直线l1,l2的斜率都不存在，
两直线l1与l2有何位置关系？
y l1 l2 斜率均不存在的两条直线平行或重合
1 2
O
x
一、两条直线平行的判定
设两条直线l1与l2的斜率分别为k1, k2，y
o
x 则两直线互相垂直.
二、两条直线垂直的判定
y l2
设两条直线l1与l2的斜率分别为k1, k2，
两直线的斜率
均存在.
O
l1 x
l1 l2 k1k2 1.
特别地，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角 为0°，两直线互相垂直.
例2 已知A（-6，0），B（3，6），P（0，3），Q（6，-6）， 试判断直线AB与PQ的位置关系.
3.1.2 两条直线平行与垂直 的判定
预习情况反馈 1.不能熟练掌握两条直线平行与垂直的条件 2.不能运用所学新知识判断两条直线的位置关系
优秀预习学生：茹柯椰姆.阿布拉 祖丽胡马.艾合买提 苏比努尔.努尔卡马力 帕尔哈提
优秀预习小组：1 4 6
1.理解并掌握两条直线平行与垂直的条件；（重点） 2.会运用条件判断两直线是否平行或垂直.（难点）
复习回顾
1、取x轴作为基准，x轴_正__方_向_与直线 l_向_上__方向 之间所成的角α 叫做直线 l 的倾斜角 ．
2、一条直线的倾斜角α的__正__切_值__叫做这条
直线的斜率. 即：k=__ta_n_____
3、直线的倾斜角和斜率刻画的是直线 的__倾__斜_程_度__
复习回顾
4、已知两点P1 （ x1 ，y1），P2 （ x2 ，
kBA
2 3（04）
1, 2
直线PQ的斜率kPQ
2 1 1 (3)
1 2
,
Q kBA kPQ ,直线BA∥PQ.
当堂检测1
1、经过点P(-2,-1),Q(3,a)的直线与一倾斜角是45°
的直线平行，则a=___4___.
思考3 设两条直线l1,l2的斜率分别为k1, k2,
l1 l2时，k1与k2满足什么关系？
如图，2 1 90o，
tan 2
tan(1
90o)
1
tan 1
,
即k1k2 1.
反之，成立
l1 l2 k1k2 1.
y l2
l1
α1
α2
O
x
思考4 设两条直线l1的斜率k1 0,l2的斜率不存在,
l1 l2吗？
y
l2
l1 l2
若一条直线的倾斜角为90°,
l1 另一条直线的倾斜角为____0_°_ ,
l1 / /l2 k1 k 2
公式成立的条件：
O
①两直线不重合；
②两直线的斜率均存在.
l1
l2
x
特别地，两直线的倾斜角都为90°时，它们互相平行或重合.
例1 已知A(2，3)，B(-4，0)，P(-3，1)，Q(-1，2)，
试判断直线BA与PQ的位置关系，并证明你的结论.（讲学
稿第一题）
解:直线BA的斜率