经济学课后计算题答案

第四章

3. 已知生产函数Q ＝f(L，K)＝2KL－0.5L2－，假定厂商目前处于短期生产，且K＝10。

(1)写出在短期生产中该厂商关于劳动的总产量TP L函数、劳动的平均产量AP L函数和劳动的边际产量MP L函数。(2)分别计算当劳动的总产量TP L、劳动的平均产量AP L和劳动的边际产量MP L各自达到最大值时的厂商的劳动投入量。(3)什么时候AP L＝MP L它的值又是多少

解答：(1)由生产函数Q ＝2KL－0.5L2－，且K＝10，可得短期生产函数为

Q＝20L－－×102＝20L－－50于是，根据总产量、平均产量和边际产量的定义，有以下函数

劳动的总产量函数：TP L ＝20L－0.5L2－50

劳动的平均产量函数：AP L＝TP L/L＝20－0.5L－50/L

劳动的边际产量函数：MP L＝d TP L/d L＝20－L

(2)关于总产量的最大值：令d TP L/d L＝0，即20－L＝0

解得L＝20且d2TP L/d L2＝－1＜0

所以，当劳动投入量L ＝20时，劳动的总产量TPL 达到极大值。

关于平均产量的最大值：

令d AP L/d L＝0，即d AP L/d L＝－＋50L－2＝0

解得L＝10(已舍去负值) 且d2AP L/d L2＝－100L－3＜0

所以，当劳动投入量L ＝10时，劳动的平均产量AP L达到极大值。

关于边际产量的最大值：

由劳动的边际产量函数MP L＝20－L可知，边际

产量曲线是一条斜率为负

的直线。考虑到劳动投入量

总是非负的，所以，当劳动

投入量L＝0时，劳动的边

际产量MP L达到极大值。

(3)当劳动的平均产量

AP L达到最大值时，一定有

AP L＝MP L。由(2)已知，当L

＝10时，劳动的平均产量

AP L达到最大值，相应的最

大值为AP L的最大值＝20－

×10－50/10＝10;

将L＝10代入劳动的边

际产量函数MP L＝20－L，得

MP L＝20－10＝10。

很显然，当AP L＝MP L

＝10时，AP L一定达到其自

身的极大值，此时劳动投入

量为L=10。

6.假设某厂商的短期

生产函数为Q＝35L＋8L2

－L3。

求：(1)该企业的平均产

量函数和边际产量函数。

(2)如果企业使用的生

产要素的数量为L＝6，是否

处理短期生产的合理区间

为什么

解答：(1)平均产量函

数：AP(L)＝Q(L)/L＝35＋8L

－L2

边际产量函数：MP(L)

＝d Q(L)/d L＝35＋16L－3L2

(2)首先需要确定生产

要素L投入量的合理区间。

在生产要素L投入量的

合理区间的左端，有AP＝

MP，有35＋8L－L2＝35＋

16L－3L2。解得L＝0和L＝

4。L＝0不合理，舍去，故

取L＝4。

在生产要素L投入量的

合理区间的右端，有MP＝

0，于是，有35＋16L－3L2

＝0。解得L＝－5/3和L＝7。

L＝－5/3不合理，舍去，故

取L＝7。

由此可得，生产要素L

投入量的合理区间为[4,7]。

因此，企业对生产要素L的

使用量为6是处于短期生产

的合理区间的。

11.已知生产函数Q

＝AL1/3K2/3。判断：(1)在长期

生产中，该生产函数的规模

报酬属于哪一种类型(2)在

短期生产中，该生产函数是

否受边际报酬递减规律的

支配

解答：(1)因为Q＝f(L，

K)＝AL1/3K2/3

f(λL，λK) =A（λL）1/3（λK）

2/3=λAL1/3K1/3=λf(L,K)所以，此

生产函数属于规模报酬不

变的生产函数。(2)假定在短

期生产中，资本投入量不

变，以K表示；而劳动投入

量可变，以L表示。对于生

产函数Q=AL1/3K2/3，有：

MP L=1/3AL-2/3K2/3，且 d

MP L/dL=-2/9 AL-5/3 K-2/3<0

这表明：在短期资本投

入量不变的前提下，随着一

种可变要素劳动投入量的

增加，劳动的边际产量是递

减的。

相类似，在短期劳动投入量

不变的前提下，随着一种可

变要素资本投入量的增加，

资本的边际产量是递减的。

以上推导过程表明该生产

函数在短期生产中受边际

报酬递减规律的支配。

第五章

3. 假定某企业的短期成本

函数是TC(Q)＝Q3－5Q2＋

15Q＋66。

(1)指出该短期成本函数中

的可变成本部分和不变成

本部分；(2)写出下列相应的

函数：

TVC(Q)、AC(Q)、AVC(Q)、

AFC(Q)和MC(Q)。

解答：(1)在短期成本函数

TC(Q)＝Q3－5Q2＋15Q＋66

中，可变成本部分为TVC(Q)＝Q3－5Q2＋15Q；不变成本部分为TFC＝66。(2)根据已知条件和(1)，可以得到以下相应的各类短期成本函数TVC(Q)＝Q3－5Q2＋15Q AC(Q)＝TC(Q)/Q＝(Q3－5Q2＋15Q＋66)/Q＝Q2－5Q ＋15＋66/Q

AVC(Q)＝TVC(Q)/Q＝(Q3－5Q2＋15Q)/Q＝Q2－5Q＋15 AFC(Q)＝TFC/Q＝66/Q

MC(Q)＝d TC(Q)/d Q＝3Q2－10Q＋15

5. 假定某厂商的边际成本函数MC＝3Q2－30Q＋100，且生产10单位产量时的总成本为1 000。求：(1)固定成本的值。(2)总成本函数、总可变成本函数，以及平均成本函数、平均可变成本函数。

解答：(1) 根据边际成本函数和总成本函数之间的关系，由边际成本函数MC＝3Q2－30Q＋100积分可得总成本函数，即有TC＝∫(3Q2－30Q＋100)d Q＝Q3－15Q2＋100Q＋α(常数)

又因为根据题意有Q＝10时的TC＝1 000，所以有TC ＝103－15×102＋100×10＋α＝1 000

解得α＝500；所以，当总成本为1 000时，生产10单位产量的总固定成本TFC ＝α＝500。

(2) 由(1)可得TC(Q)＝Q3－15Q2＋100Q＋500

TVC(Q)＝Q3－15Q2＋100Q AC(Q)＝TC(Q)/Q＝Q2－15Q ＋100＋500/Q

AVC(Q)＝TVC(Q)/Q＝Q2－15Q＋100

8.已知生产函数Q＝A1/4L1/4K1/2；各要素价格分别为P A＝1，P L＝1，P K＝2；假定厂商处于短期生产，且16

=

k。推导：该厂商短期生产的总成本函数和平均成本函数；总可变成本函数和平均可变成本函数；边

际成本函数。

解答：本题应先运用拉格朗

日函数法，推导出总成本函

数TC(Q)，然后再推导出相

应的其他各类函数。具体地

看，由于是短期生产，且

16

=

k，P A＝1，P L＝1，

P K＝2，故总成本等式C＝

P A·A＋P L·L＋P K·K可以写

成：C＝1·A＋1·L＋32＝A＋L

＋32

生产函数Q＝A1/4L1/4K1/2可以

写成Q＝A1/4L1/4K1/2＝

4A1/4L1/4

而且，所谓的成本函数是指

相对于给定产量而言的最

小成本。因此，根据以上的

内容，相应的拉格朗日函数

法表述如下min,(A，L)A＋L

＋32

.4A1/4L1/4＝Q(其中，Q

为常数) L(A，L，λ)＝A＋L

＋32＋λ(Q－4A1/4L1/4)

将以上拉格朗日函数分别

对A、L、λ求偏导，得最小

值的一阶条件为

L/A＝1－λA－3/4L1/4＝0

(1)

L/L＝1－λA1/4L－3/4＝0

(2)

L/λ＝Q－4A1/4L1/4＝0

(3)由式(1)、式(2)可得：L/A

＝1/1 即L＝A

将L＝A代入约束条件即式

(3)，得：Q－4A1/4A1/4＝0

解得A*＝Q2/16且L*＝

Q2/16

在此略去关于成本最小化

问题的二阶条件的讨论。于

是，有短期生产的各类成本

函数如下

TC(Q)＝A＋L＋32＝Q2/16+

Q2/16＋32＝Q2/8＋32

AC(Q)＝TC(Q)/Q＝Q/8＋

32/Q

TVC(Q)＝Q2/8

AVC(Q)＝TVC(Q)/Q＝Q/8

MC(Q)＝d TC(Q)/d Q＝1/4Q

9. 已知某厂商的生产函数

为Q＝0.5L1/3K2/3；当资本投

入量K＝50时资本的总价格

为500；劳动的价格P L＝5。

求：(1)劳动的投入函数L＝

L(Q)。(2)总成本函数、平均

成本函数和边际成本函数。

(3)当产品的价格P＝100

时，厂商获得最大利润的产

量和利润各是多少

解答：根据题意可知，本题

是通过求解成本最小化问

题的最优要素组合，最后得

到相应的各类成本函数，并

进一步求得相应的最大利

润值。(1)因为当K＝50时的

资本总价格为500，即P K·K

＝P K·50＝500，所以有P K＝

10。根据成本最小化的均衡

条件MP L/MP K＝P L/P K，其

中，MP L＝1/6L－2/3K2/3，MP K

＝2/6L1/3K－1/3，P L＝5，P K＝

10。于是有

10

5

6/2

6/1

3

1

3

1

3

2

3

2

=

-

-

K

L

K

L

整理得

K/L＝1/1即K＝L将K＝

L代入生产函数Q＝L1/3K2/3，

有Q＝3L2/3

得劳动的投入函数L(Q)＝

2Q。

此外，也可以用以下的拉格

朗日函数法求解L(Q)。具体

如下：

min,(L，K)5L＋10K

.0.5L1/3K2/3＝Q(其中Q为

常数)

L(L，K，λ)＝5L＋10K＋λ(Q

－3K2/3)

一阶条件为

L/L＝5－1/6λL－2/3K2/3＝0

(1)

L/K＝10－2/6λL1/3K－1/3＝0

(2)

L/λ＝Q－L1/3K2/3＝0

(3)由式(1)、式(2)可得：K/L

＝1/1 即：K＝L

将K＝L代入约束条件即式

(3)，可得：Q＝L1/3K2得劳

动的投入函数L(Q)＝2Q

(2)将L(Q)＝2Q代入成本等

式C＝5L＋10K得TC(Q)＝