带有安全距离约束的无交叉岸桥调度问题

第38卷第2期 杭州电子科技大学学报（自然科学版" Vol. 38N%. 22018 年 3 月 Journal of Hangzhou Dianzi University (Natural Sciences) Mar. 2018

DOI：10. 13954/j. cnki. hdu. 2018. 02. 018

带有安全距离约束的无交叉岸桥调度问题宣蠢乐，张安，陈永，陈光手(杭州电子科技大学理学院，浙江杭州310018)

摘要：研究了带有安全距离约束的无交叉岸桥调度问题。其中，安全距离指相邻岸桥同时作业时 必须间隔一定数量的船舱，目标是极小化轮船的装卸时间。并对岸桥带有1个船舱安全距离的2 台和3台情景设计了调度算法，并证明了算法的最坏情况界分别为4/3和3/2。关键词：安全距离；无交叉作业（周度；近似算法；最坏情况分析中图分类号：〇221. 7 文献标志码：A 文章编号！001-9146(2018)02-0089-04

!引言停靠码头的集装箱货轮通常用岸桥起重机（简称岸桥）负责装卸，其调度是否合理直接影响集装箱 货轮的运输效率。在实际情况中，为了保证调度过程的安全性，通常使两台岸桥保持一定的距离，称为 “安全距离（safety margins)”。同时为了装卸时的准确率更高，规定一个船舱只能由一台岸桥进行作业 直到完成。此外，岸桥通常共用同一个滑行轨道，为使作业安全，严禁岸桥交叉作业，即当一台岸桥在某 个船舱进行装卸作业时，该船舱右侧的岸桥无法对其左侧的船舱进行作业，同时该船舱左侧的岸桥无法 对其右侧的船舱进行作业，称为“无交叉作业（non-crossing operation)”12*。即使只有两台岸桥作业， 极小化装（卸）载总耗时的优化问题也是NP-harF的。在没有安全距离约束的情景下，LIU M.等[3]得 出了 2台以及3台岸桥的最坏情况界分别为4/3,5/3;张文帅等[4]得出了 3台以及4台岸桥的最坏情况 界分别为3/2,8/5;ZHANG A.等[5*得出了 m台岸桥下的最坏情况界为2 — 2/(rn + 1)。本文将安全距 离设定为1个船舱，即当一台岸桥在处理某个船舱时，其他岸桥不能处理其相邻船舱。利用分割船舱和 定向作业的思想，设计了 2台和3台岸桥最坏情况界分别为4/3和3/2的调度算法。

1岸桥调度算法船舱与岸桥的分布如图1所示。记船头到船尾的船 舱依次为^1，^2，…，^，船舱^内的集装箱所需的总处 理时间为岛(岛> 0,7' , 1，2,…，)(包含装载、卸载等任 务）岸桥按船头到船尾的顺序依次记为QC1，QC2,…，

QCm，同时记P= /九，并且记为算法装（卸）载总耗时，C5为最优装(卸）载总耗时。1.1 2台岸桥的分割船舱算法A1

Kh“h^/+1

K

VHLMRT

QC,QC2QCm

图1 船舱与码头起重机的分布 情况及岸桥作业示意图

先找到将处理时间总和二等分点所在的船舱，然后比较分割后的区块处理时间大小确定岸桥作业 方向。算法步骤如下：

收稿日期！017-03-31基金项目：国家自然科学基金资助项目（11571252,11401149);浙江省自然科学基金资助项目（LY16A010015)作者简介：宣鑫乐（994一），男，研究方向：组合优化。E-mail: 553731693!qq. com。通信作者：陈光亭，教授，研究方向：

组合优化及其应用。E-mail :gtchen@hdu. edu. cn。90杭州电子科技大学学报（自然科学版)

2018 年

!)首先从整艘船中找到处理时间二等分的船舱^，即/九<# $ /九，记船头到船尾前* — 2

.一1 .一1

个船舱的集合为H =认1，2，…，/^—2}，二等分船舱记为M = {&}，其前一个船舱为L = {/^—1}，后一个

船舱为只一 {/i,+i}，其余船舱记为T= {/^，…，/〇。为方便起见，仍用H，L，M，_R，T表示其对应集合中 所包含的船舱总处理时间，从而有：

H + L + M + R + T — P,H + L ： #LUT ,H + L + M 4 # !)⑵若4 + LLUT

本文算法的思想前提是确定了岸桥同向作业，因为，如果不确定岸桥同向作业方向时，存在最坏情 况界大于4/3。采用如下实例来验证。共有4个船舱^^，3，其处理时间依次为1，，，，则可知H — 0，L 一 1，M= 1 R — 1，T= 1，此时若QC1，QC#相向作业，则QC1处理M，而由于安全距离限制QC#不 能处理R，或者QC#处理R，则由于安全距离限制《1不能处理M，因此需消耗时间为CA — LUMUR

=3,而最优解与分割船舱算法A1的算法解相同，，卩《1先处理L，QC#先处理R，然后同向作业，即每

台序桥都从左到右加工，则= LUM = 2 ,此时^^ = 33 + 3。引理1 2台岸桥带有1个船舱安全距离且无交叉作业时，若HUL < RUT，有C5 4max^’M+HU^’M+L’M + R};若 R + T< H + L，有 C*4 max!#’M+^UT M+L，MUR}。证明 当H + L成后，此时，无论另一台岸桥加工H还是T，且无论完成与否，都有C54 min{M+ H + L+R , M +

T + #+R} 4min|M+H2L，M+T2R} = M+H2L，且对于岸桥拥有1个船舱安全距离约朿， 同时 <* 4 2 <* 4 M+L，C* 4 M + R，则可得 C* 4 max{ 2’M+HU^M + LM + r}，同理也可 以证明 RUT: H + L 时，有 C*4 max^M + l+T M+L，M + r}。证毕。1.2 3台岸桥的分割船舱算法A2先找到将处理时间二等分点所在的船舱，然后确定岸桥作业方向。算法步骤如下：(1)同分割船舱算法A1的步骤1。!)若T: H，则QC1将按顺序先后装卸H，L，QC2将按顺序先后装卸M，R，QC3将按顺序先后装 卸T;若H: T，则T将按顺序先后装卸H，QC#将按顺序先后装卸M，L，QC3将按顺序先后装卸T R。算法思想同算法A1。因为当不确定岸桥作业方向时，存在最坏情况界大于3/2,因此需要确定岸桥 同向作业的方向。根据实例:共有8个船舱^8，其处理时间依次为1，1，6，4，6，2，2，2，此时H = 2， L = 6，M= 4，R = 6，T= 6,此时若〇将 按顺序先后装卸T，R，则此时由于安全距离的限制，处理时间为CA =L + M+R = 16,而最优解为〇< 先后处理H(先再/^)，L，QC2先后处理M，R，QC!处理T(先再Zh最后Zi8)，即每台岸桥始终从

左到右作业<*= M + R = 10， 2而根据分割船舱算法A2可得算法解CA = R + T

=12，而 C*= 10，此时<* = 1 = C$ 吾。引理2 带有1个船舱安全距离的3台岸桥时，C*4max|3，M + L，M + R}。2 岸桥调度算法的最坏情况分析2.1 2台岸桥时算法的最坏情况分析定理1对于带有1个船舱安全距离的2台岸桥，分割船舱算法A1最坏情况界不超过4/3，且是紧的。第2期宣鑫乐，等:带有安全距离约朿的无交叉岸桥调度问题91

证明 情形1当H + L情形1. 1当H + L

分割船舱算法A1描述有CA =M +只，则由引理1可得= 1<|。情形1.2:当H + L>只时，由算法描述和式（1)得：CA = H + L + M。当M4#时，由式(1)和引理1可得^5$ H + H+_L $C

〇<¥，由式(1)可知!$¥<2，寻$只+〇<2，只+1H + L^r,mCA ^P- (R + T) ^ 4

胃 $ —p$ — $ !

情形2:当R + O < H + L时，有：

情形2. 1:当R + O

4法描述有ca = m+l，则由引理1可得<5$M+L

1<

情形2.2:当R + O>L时，由算法描述和式（1)得^ = O + R+M。当M4#时，由弓丨理1可得<5 $1+|2〇 $ R

P P，uir zP，1下，P .口 曰 CA，O + R+ M，

4

2，D$ h + l< 2,r + o$ 了，由引理 1 可得<5$----〇-+ R $ !;右

2,由引理1可得<5$则由式！）可3!$M<

R + O

P/2

$

4。。

采用如下紧例验证：共有8个船舱^，/^，…，/^，其中每个船舱的处理时间分别为1，1，s，2，s，1，s，

1(0

<*=3 + &，此时<5 = 4+|$4。

2.2 3台岸桥时算法的最坏情况分析定理2 对于带有1个船舱安全距离的3台岸桥，分割船舱算法A2最坏情况界至多是3/2，且是紧的。 证明 情景1当〇

情形11当〇1 L，由算法描述可知CA =M + R，由引理2可得:夢$豈车養=1 <3。情形1.2:当O可得:C^ $ H/L < 3若H + L 1 < 3 < 2。

情形1.3:当M

得:多$ O+R $ 3若h+l > 〇+r，由算法描述可知:ca=h+l，由引理2可得:多$ H/L