互质数的规律

互质数专题

甲乙两人做游戏,乙先在一张纸上写好一个两位数,然后甲选择一些两位数，希望选出的数中至少有一个与乙写的数不互质，那么甲最少要选择几个两位数，才能保证做到这一点？

解：

这个解法不对：（两位数分解质因数的结果必然为：

个位质数和两位质数的积、

个位质数和个位质数的积。

也就是说2位数分解质因数必然有个位质数。

个位质数为：2、3、5、7

因此甲只要选择包含：2、3、5、7质数的2位合数就可以了。

因为2×3×5×7=210

所以包含2、3、5、7组成的2位合数至少有2个

例如：

选择30=2×3×5和2×7=14；

或者3×5=15和2×7=14）

11×7=77 5×13=65 2×17=34 3×19=57加上

23、29

31、37

41、43、47

53、59

61、67

71、73、79

83、89

97

所以甲最少要选择21个两位数，才能保证做到这一点.

相同的数不互质

互质数

互质数为数学中的一种概念，即两个或多个整数的公因数只有1的非零自然数。公因数只有1的两个非零自然数，叫做互质数。

中文名互质数

外文名relatively prime

分类数学

公因数只有1的两个非零自然数

目录

1 概念

2 表达运用

3 判定方法

▪概念判断法

▪规律判断法

▪分解判断法

▪求差判断法

▪求商判断法

概念

互质数为数学中的一种概念，即两个或多个整数的公因数只有1的非零自然数。公因数只有1的两个非零自然数，叫做互质数。[1]

互质数具有以下定理：

（1）两个数的公因数只有1的两个非零自然数,叫做互质数；举例：2和3，公因数只有1，为互质数；

（2）多个数的若干个最大公因数只有1的正整数，叫做互质数；

（3）两个不同的质数，为互质数；

（4）1和任何自然数互质。两个不同的质数互质。一个质数和一个合数，这两个数不是倍数关系时互质。不含相同质因数的两个合数互质；

（5）任何相邻的两个数互质；

（6）任取出两个正整数他们互质的概率（最大公约数为一）为6/π^2。

表达运用

这里所说的“两个数”是指除0外的所有自然数。“公因数只有1”，不能误说成“没有公因数。”三个或三个以上自然数互质有两种不同的情况：一种是这些成互质数的自然数是两两互质的。如2、3、5。另一种不是两两互质的。如6、8、9。两个整数（正整数）（N），除了1以外,没有其他公约数时，称这两个数为互质数.互质数的概率是6/π^2。互质的两个数相乘，所得的数不一定是合数。

因为一和任何一个非零的自然数互质，一乘任何非零自然数，所得的积不一定是合数。

如1与17互质，1×17=17，17不是合数。

判定方法

能否正确、快速地判断两个数是不是互质数，对能否正确求出两个数的最大公约数和最小公倍数起着关键的作用。以下是几种判断两个数是不是互质数的方法。[2]

概念判断法

公约数只有1的两个数叫做互质数。根据互质数的概念可以对一组数是否互质进行判断。如：9和11的公约数只有1，则它们是互质数。[3]

规律判断法

根据互质数的定义，可总结出一些规律，利用这些规律能迅速判断一组数是否互质。[4]

（1）两个不相同的质数一定是互质数。如：7和11、17和31是互质数。

（2）两个连续的自然数一定是互质数。如：4和5、13和14是互质数。

（3）相邻的两个奇数一定是互质数。如：5和7、75和77是互质数。

（4）1和其他所有的自然数一定是互质数。如：1和4、1和13是互质数。

（5）两个数中的较大一个是质数，这两个数一定是互质数。如：3和19、16和97是互质数。

（6）两个数中的较小一个是质数，而较大数是合数且不是较小数的倍数，这两个数一定是互质数。如：2和15、7和54是互质数。

（7）较大数比较小数的2倍多1或少1，这两个数一定是互质数。如：13和27、13和25是互质数。

分解判断法

如果两个数都是合数，可先将两个数分别分解质因数，再看两个数是否含有相同的质因数。如果没有，这两个数是互质数。[5]如：130和231，先将它们分解质因数：130=2×5×13，231=3×7×11。分解后，发现它们没有相同的质因数，则130和231是互质数。

求差判断法

如果两个数相差不大，可先求出它们的差，再看差与其中较小数是否互质。如果互质，则原来两个数一定是互质数。如：194和201，先求出它们的差，201－194=7，因7和194互质，则194和201是互质数。

求商判断法

用大数除以小数，如果除得的余数与其中较小数互质，则原来两个数是互质数。如：317和52，317÷52=6……5，因余数5与52互质，则317和52是互质数。

∙ 1. 苏踅汶. 公约数只有1的三个数、四个数……也叫互质数[J]. 湖南教育, 1989(5):33-33.

∙ 2. 李慧贤. 判断互质数的几种方法[J]. 数学小灵通, 2003(11):31-31.

∙ 3. 夏天, 冯治坤. 快速判断互质数[J]. 小学教学参考, 1998(3).

∙ 4. 彭述哗. “互质数定义”教学的商榷[J]. 宁夏教育, 1997(11).

∙ 5. 王秀水. 数的整除(三)——质数、合数、分解质因数[J]. 数学大世界:小学五六年级版, 2004(7): 76-79.

100以内质数歌

二三五七带十一，十三、十七计心里；

十九、二三、二十九，个个都要牢牢记；

三十一来三十七，四一、四三、四十七；

五十三、五十九，六十一来六十七；

七一、七三、七十九，八三、八九、九十七。

100以内有2位质数21个。1位质数4个。

奇数与偶数相加得奇数

奇数与奇数相加得偶数

偶数与偶数相加得偶数

2、3、5、7

11、13、17、19

23、29

31、37