2020-2021学年度衡水金卷高考模拟数学(文)试题(五)及答案
普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 文数（五） 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集RU，集合10Axx，101xBxx，则图中阴影部分所表示人集合为
A．1xx B．1xx C．11xx D．﹛1xx或1x﹜
2.已知复数123zi，2zai
（aR，i为虚数单位），若1218zzi，则a的值为
A．12 B．1 C．2 D．4 3.已知函数fx的图象关于原点对称，且在区间5,2上单调递减，最小值为5，则fx在区间2,5
上 A．单调递增，最大值为5 B．单调递减，最小值为5 C．单调递减，最大值为5 D．单调递减，最小值为5 4.已知直线231x与x，y轴的正半轴分别交于点A，B，与直线0xy交于点C，若OCOAOBuuuruuuruuur（O为坐标原点），则，的值分别为
A．2，1 B．4，3 C.2，3 D．1，2
5.已知122log3a，22log3b，1232c，32de，则
A．dcab B．dbca C.cdab D．acbd 6.已知0a，0b，则点1,2P在直线byxa的右下方是双曲线22221xyab的离心率e的取值范围
为3,的
A．充要条件 B．充分不必要条件 C.必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 7.已知、是两个不同的平面，给出下列四个条件：①存在一条直线a，a，a；②存在一个平面，，；③存在两条平行直线a、b，a，b，//a，//b；④存在两条异面直线a、b，a，b，//a，//b，则可以推出//的是 A．①③ B．②④ C. ①④ D．②③
8.已知直线2y与函数tan0,2fxx图象的相邻两个交点间的距离为6，点1,3P在函数fx的图像上，则函数12loggxfx的单调递减区间为
A．6,26kkkZ B．,63kkkZ C.11,63kkkZ D．61,26kkkZ 9.在如图所求的程序框图中，若输出n的值为4，则输入的x的取值范围为
A．13,84 B．3,13 C.9,33 D．913,84 10.已知某几何体的三视图如图所求，则该几何体的表面积为
A．295937144a B．2959144a C.29593744a D．295937144a 11.甲、乙两人各自在400米长的直线形跑道上跑步，则在任一时刻两人在跑道上相距不超过50米的概率是 A．18 B．1136 C.1564 D．14
12.已知定义在R上的可导函数fx的导函数为'fx，满足'fxfx
，且102f，则不等式102xfxe的解集为
A．1,2 B．0, C.1,2 D．,0 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知函数2log,2,2,2,xxfxxx则3fff的值为．
14.已知命题:PxR，2
2log0xxa恒成立，命题0:2,2Qx，使得022xa，若命题
PQ
为真命题，则实数a的取值范围为．
15.已知222210xyabab表示的区域为1D，不等式组0,0,0,0bxcybcbxcybcbxcybcbxcybc表示的区域为2D
，其中
2220abcc
，记1D与2D的公共区域为D，且D的面积S为23，圆2234xy内切于区域D的
边界，则椭圆2222:10xyCabab的离心率为．
16.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该三角形沙田外接圆的半径为 米. 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列na满足11a，134nnaa，*nN.
（1）证明：数列2
na是等比数列，并求数列na的通项公式；
（2）设3log22nnnaba，求数列nb的前n项和nT.
18. 现从某医院中随机抽取了七位医护人员的关爱患者考核分数（患者考核：10分制），用相关的特征量y表示；医护专业知识考核分数（试卷考试：100分制），用相关的特征量x表示，数据如下表： 特征量 1 2 3 4 5 6 7 x 98 88 96 91 90 92 96
y 9.9 8.6 9.5 9.0 9.1 9.2 9.8 （1）求y关于x的线性回归方程（计算结果精确到0.01）； （2）利用（1）中的线性回归方程，分析医护专业考核分数的变化对关爱患者考核分数的影响，并估计某医护人员的医护专业知识考核分数为95分时，他的关爱患者考核分数（精确到0.1）； （3）现要从医护专业知识考核分数95分以下的医护人员中选派2人参加组建的“九寨沟灾后医护小分队”培训，求这两人中至少有一人考核分数在90分以下的概率.
附：回归方程$$ybxa$中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为121niiiniixxyybxx$，$$aybx$. 19. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，PD平面ABCD，60BADo，2PDa，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点.
（1）证明：平面EAC平面PBD； （2）若//PD平面EAC，三棱锥PEAD的体积为183，求a的值.
20. 已知动圆C恒过点1,02，且与直线12x相切.
（1）求圆心C的轨迹方程； （2）若过点3,0P的直线交轨迹C于A，B两点，直线OA，OB（O为坐标原点）分别交直线3x
于点M，N，证明：以MN为直径的圆被x轴截得的弦长为定值. 21. 已知函数322316fxxaxax
，aR.
（1）若对于任意的0,x，6lnfxfxx恒成立，求实数a的取值范围； （2）若1a，设函数fx在区间1,2上的最大值、最小值分别为Ma、ma，记haMama，求ha的最小值.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，已知直线11,2:322xtlyt（t为参数），曲线12cos,:22sinxCy（为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系. （1）写出直线l的普通方程与曲线C的极坐标方程； （2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求ABC的面积. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数21fxxx. （1）求不等式2fx的解集； （2）记fx的最大值为k，证明：对任意的正数a，b，c，当abck时，有abck成立.
试卷答案 一、选择题 1-5:BCCCA 6-10:ACDDA 11、12：CB 二、填空题
13.2log3 14.5,24 15.12或32 16.4062.5 三、解答题 17.解：（1）由134nnaa
，
得1232nnaa，
即1232nnaa，且123a
,
所以数列2
na是以3为首项，3为公比的等比数列. 所以12333nnna，
故数列na的通项公式为*32nnanN.
（2）由（1）知，23n
na，
所以3log333n
nnn
nb.
所以1231231233333nnn
nTbbbbLL.①
234111231333333nnnnnTL.②
①-②，得234211111333333nnTL
13nn
11111331113223313nnnnnn
，
所以332323044343443nnnnnnT. 故数列nb的前n项和323443nnnT. 18.解：（1）由题得，98889691909296937x.
9.98.69.59.09.19.29.89.37y.
198939.99.3niiixxyy
88938.69.396939.59.3
91939.09.390939.19.3
92939.29.396939.89.39.9
2
222
1989388939693niixx
2222919390939293969382.
2020-2021学年度衡水金卷高考模拟数学(文)试题(三)及答案
普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文数（三）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{|13}A x x =<≤，{|02}B x x =≤<，则A B =U （ ）A ．{|02}x x ≤<B ．{|03}x x ≤≤C ．{|12}x x <<D ．{|13}x x <≤2.设函数1,0()1,02xx x f x x +≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，则[(1)]f f -=（ ）A ．32B1C ．1 D ．3 3.若向量(1,0)a =r ，(0,1)b =r ，2(2,3)c xa yb =+=r r r(,)x y R ∈，则x y +=（ ）A ．4B ．5C ．3D ．24.若实数x ，y 满足约束条件113x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则y x 的取值范围是（ ）A ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦5.命题p ：若复数21iz i=-（i 为虚数单位），则复数z 对应的点在第二象限，命题q ：若复数z 满足z z ⋅为实数，则复数z 一定为实数，那么（ ）A ．p q ∧是真命题B ．()p q ∧⌝是真命题C ．()p q ⌝∨是真命题D ．()p q ∨⌝是假命题6.执行如图所示的程序框图，若输入的40n =，则输出的S =（ ）A ．80B ．96C ．112D ．120 7.已知函数()cos 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位后，得到的图象对应的函数()g x 为奇函数，则ϕ的最小值为（ ） A ．6π B ．56π C ．3πD ．23π8.《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”.在如图所示的阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，从A ，B ，C ，D 四点中任取三点和顶点P 所形成的四面体中，任取两个四面体，则其中一个四面体为鳖臑的概率为（ ）A ．14 B ．23 C ．35 D ．3109.如图，AB 为经过抛物线22(0)y px p =>焦点F 的弦，点A ，B 在直线2px =-上的射影分别为1A ，1B ，且113AA BB =，则直线AB 的倾斜角为（ ）A ．6π B ．4π C ．3πD ．512π10.一个几何体的三视图如图所示，且该几何体的表面积为3242π++，则图中的x=（）A．1 B．2C．32D．211.已知数列{}na满足2*1232()nna a a a n N⋅⋅⋅=∈，且对任意的*n N∈都有12111nta a a++⋅⋅⋅+<，则t的取值范围为（）A．1,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭B．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭D．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭12.若存在1,x ee⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式22ln30x x x mx+-+≥成立，则实数m的最大值为（）A．132ee+-B．32ee++C．4 D．21e-第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.已知{}na是等差数列，nS是其数列的前n项和，且4103S=-，1221a a+=，则3a=．14.已知圆C的方程为22(2)(1)1x y++-=，则圆上的点到直线0x y-=的距离的最小值为．15.观察三角形数组，可以推测：该数组第八行的和为．16.已知双曲线1C：2212xy-=，曲线2C：1y x=+，P是平面内一点，若存在过点P的直线与1C，2C 都有公共点，则称点P为“差型点”.下面有4个结论：①曲线1C的焦点为“差型点”；②曲线1C与2C有公共点；③直线y kx =与曲线2C 有公共点，则1k >； ④原点不是“差型点”. 其中正确结论的个数是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知ABC ∆的外接圆半径为2，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b =. （1）若2cos cos cos a A c B b C =+，求角C ； （2）若B 为锐角，3a c +=，求ABC ∆的面积.18.已知某地区中小学生人数和近视情况如图1和图2所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生作为样本进行调查.（1）求样本容量和抽取的高中生近视人数分别是多少？（2）在抽取的n 名高中生中，平均每天学习时间超过9小时的人数为310n，其中有12名学生近视，请完成高中生平均每天学习时间与近视的列联表：平均学习时间不超过9小时 平均学习时间超过9小时总计 不近视 近视 总计附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.20()P K k ≥0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 0k2.7063.8415.0246.63510.82819.如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，6DBC ∠=，2BD BC ==，32AB =，E 为AC 的中点，F 在棱CD 上，且BC EF ⊥.（1）求证：BF CF =； （2）求三棱锥A BEF -的体积.20.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点.（1）若直线AB 与椭圆的长轴垂直，12AB a =，求椭圆的离心率； （2）若直线AB 的斜率为1，3222a AB a b =+，求椭圆的短轴与长轴的比值.21.已知曲线()xmx m f x e -=在点(1,(1))f 处的切线斜率为1e-. （1）求函数()f x 的极小值； （2）当(0,)x π∈时，求证：21()cos sin f x x x x e+>-. 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C ，2C 的极坐标方程分别为4cos ρθ=，2sin ρθ=. （1）将直线l 的参数方程化为极坐标方程，将2C 的极坐标方程化为参数方程； （2）当6πα=时，直线l 与1C 交于O ，A 两点，与2C 交于O ，B 两点，求AB .23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()23b cf x x a x =-+++的最小值为7（a ，b ，c 为正数）. （1）求222a b c ++的最小值；（2）求证：444222222a b c a b c b c a++≥++.文数（三）一、选择题1-5: BDAAB 6-10: DCBCA 11、12：DA二、填空题13. 43-14. 12 15. 1296 16. 3三、解答题17.解：（1）∵2cos cos cos a A c B b C =+，由正弦定理，可得2sin cos sin cos sin cos A A C B B C =+， 即2sin cos sin()sin A A B C A =+=. ∵sin 0A ≠，∴1cos 2A =. ∵0A π<<，∴3A π=.又2sin bR B=（R 为外接圆半径），2b =，R =∴sin 2B =，∴4B π=或34π（舍）. ∴5()12C A B ππ=-+=. （2）由（1）知，4B π=或34π， 又B 为锐角，∴4B π=.由余弦定理，可得2222cos b a c ac B =+-，即24()2a c ac =+-.∵3a c +=，∴49(2ac =-+，∴(25ac =， ∴ac =∴1sin24ABC S ac B ∆===. 18.解：（1）由图1可知，高中生占学生总数的20%，∴学生总数为300020%15000÷=人， ∴样本容量为150002%300⨯=.∵抽取的高中生人数为30002%60⨯=人， 由于近视率为60%，∴抽取的高中生近视人数为6060%36⨯=人. （2）列联表如下：平均学习时间不超过9小时 平均学习时间超过9小时总计 不近视 18 6 24 近视 24 12 36 总计421860（3）由列联表可知，260(1812246)0.47624364218K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯， ∵0.476 3.841<，∴没有95%的把握认为高中生平均每天学习时间与近视有关. 19.解：（1）取BC 的中点G ，连接EG ，GF .∵E 为AC 的中点，∴//EG AB . ∵AB ⊥平面BCD ，∴EG ⊥平面BCD ，∴EG BC ⊥. 又∵BC EF ⊥，EF EG E =I ， ∴BC ⊥平面EFG ，∴BC GF ⊥. 又∵G 是BC 的中点， ∴BF CF =.（2）由图可知，三棱锥A BEF -体积与三棱锥F ABE -体积相等. ∵FG BC ⊥，FG AB ⊥，AB BC B =I ， ∴FG ⊥平面ABC .∵150DBC ∠=o，且2BD BC ==，∴15BCD ∠=o.在Rt FGC ∆中，1CG =，∴tan152GF ==o∴13A BEF F ABE ABE V V S FG --∆-=⨯⨯11111232322ABC S FG ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯1(2(26⨯⨯=， 即三棱锥A BEF -的体积为16. 20.解：（1）由题意，直线AB 的方程为x c =-,∴2212b AB a a ==， 即224a b =，故2c e a ====. （2）设1(,0)F c -，则直线AB 的方程为y x c =+，联立22221y x c x y a b=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22222222()20a b c a cx a c a b +++-=，42222222444()()8a b a a b c b a b ∆=-+-=.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则212222a c x x a b +=-+，2221222()a cb x x a b-=+.∴12AB x =-==22222242ab a a b a b ==++. ∴222a b =，∴2212b a =，∴b a =. 21.解：（1）由题得，()f x 的定义域为R ，(2)'()xm x f x e --=，∴'(1)mf e=.∵曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线斜率为1e-， ∴1m e e=-，∴1m =-. ∴1()x x f x e -=，2'()xx f x e-=， 当2x >时，'()0f x >，()f x 单调递增， 当2x <时，'()0f x <，()f x 单调递减， ∴()f x 的极小值为21(2)f e=-. （2）由（1）可知，21()f x e +在2x =处取得最小值0， 设()cos sin g x x x x =-，(0,)x π∈， 则'()cos sin cos sin g x x x x x x x =--=-， ∵(0,)x π∈，∴'()0g x <， ∴()g x 在区间(0,)π上单调递减， 从而()(0)0g x g <=， ∴21()cos sin f x x x x e+>-. 22.解：（1）由直线l 的参数方程cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），得直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈. 由曲线2C 的极坐标方程2sin ρθ=， 得直角坐标方程为22(1)1x y +-=，∴曲线2C 的参数方程为cos 1sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数）.（2）当6πα=时，直线l 的极坐标方程为()6R πθρ=∈.当6πθ=时，4cos6OA π==2sin16OB π==，∴1AB OA OB =-=. 23.解：（1）∵2323b c b c x a x a -+++≥++（当且仅当()023b c x a x ⎛⎫-++≤ ⎪⎝⎭时取等号），由题意，得723b ca ++=. 根据柯西不等式，可知22222211()123a b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦24923b c a ⎛⎫≥++= ⎪⎝⎭，∴22236a b c ++≥. ∴222a b c ++的最小值为36.（2）∵42222a b a b +≥，42222b c b c +≥，42222c a c a +≥，∴444222222a b c a b c b c a +++++2222()a b c ≥++， ∴444222222a b c a b c b c a++≥++.。
2020-2021学年衡水中学高考数学复习冲刺阶段精选汇编(文科)模拟试题 (51)
课时作业(四十四)直线、平面垂直的判定和性质一、选择题1．（2020-2021学年衡水中学高考数学复习冲刺阶段精选汇编（文科）模拟试题）(2020模拟·浙江，2)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则() A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n解析：对于A，m与l可能平行或异面，故A错；对于B、D，m与n可能平行、相交或异面，故B、D错；对于C，因为n⊥β，l⊂β，所以n⊥l，故C正确．故选C.答案：C2．直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的关系为()A．a⊥b，且a与b相交B．a⊥b，且a与b不相交C．a⊥b D．a与b不一定垂直解析：∵b∥α，∴b平行于α内的某一条直线，设为b′，∵a⊥α，且b′⊂α，∴a⊥b′，∴a⊥b，但a与b可能相交，也可能异面．答案：C3．(2020模拟·宝鸡质检)对于四面体ABCD，给出下列四个命题：①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD；②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD；③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；④若AB⊥CD，AC⊥BD，则BC⊥AD.其中为真命题的是()A．①②B．②③C．②④D．①④解析：①如图，取BC的中点M，连接AM，DM，由AB＝AC⇒AM⊥BC，同理DM⊥BC⇒BC⊥平面AMD，而AD⊂平面AMD，故BC⊥AC.④设A在平面BCD内的射影为O，连接BO，CO，DO，由AB⊥CD⇒BO⊥CD，由AC⊥BD⇒CO⊥BD⇒O为△BCD的垂心⇒DO⊥BC⇒AD⊥BC.答案：D4．(2020模拟·福建宁德二模，6)设m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是()A．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥nB．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥nC．m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βD．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β解析：对于A，条件为m∥α，n∥β且α∥β，其对m、n之间的位置关系没有限制，即该位置关系可以是平行、相交或异面，故A错；对于B，由m⊥α，n⊥β且α⊥β，知m与n一定不平行(否则有α∥β，与α⊥β矛盾)，不妨令m与n相交(若其不相交，可通过平移使得相交)，且设m与n确定的平面为γ，则γ与α和β的交线所成的角即为α与β所成的角的平面角，因为α⊥β，所以m与n所成的角为90°，故命题B正确；对于C，α与β可以平行，故C不正确；对于D，少了条件m与n相交，所以D不成立．故选B.答案：B5．(2020模拟·贵阳二模)在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则下列四个结论中不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面P AEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面P AE⊥平面ABC解析：如图，∵D、F分别为AB、CA的中点，∴DF∥BC.∴BC∥平面PDF，故A正确．∵四面体P－ABC为正四面体，∴P在底面ABC内的射影O在AE上．∴PO⊥平面ABC，∴PO⊥DF.又E为BC的中点，∴AE⊥BC，∴AE⊥DF.又PO∩AE＝O，∴DF⊥平面P AE，故B正确．∵PO⊂平面P AE，PO⊥平面ABC，∴平面P AE⊥平面ABC，故D正确．∴四个结论中不成立的是C.答案：C6．在直角梯形ABCD中，AB＝AD，AD∥BC，∠BCD＝45°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，则下列命题正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC解析：∵AB＝AD，∠BCD＝45°，∴BD⊥CD；∵平面ABD⊥平面BCD，∴CD⊥平面ABD，∴CD⊥AB.又∵AB⊥AD，CD∩AD＝D，∴AB⊥平面ACD.又AB⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC.答案：D二、填空题7．(2020模拟·青岛一模)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)解析：如图，连接AC，∵四边形ABCD的各边都相等，∴四边形ABCD为菱形，∴AC ⊥BD，又P A⊥平面ABCD，∴P A⊥BD，又AC∩P A＝A，∴BD⊥平面P AC，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC等)时，有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD .答案：DM ⊥PC (或BM ⊥PC 等)(不唯一) 8.(2020模拟·山东菏泽一模，13)如图，正方形BCDE 的边长为a ，已知AB ＝3BC ，将△ABE 沿边BE 折起，折起后A 点在平面BCDE 上的射影为D 点，关于翻折后的几何体有如下描述：①AB 与DE 所在角的正切值是2；②AB ∥CE ；③V B －ACE ＝16a 3；④平面ABC ⊥平面ADC .其中正确的有________．(填写你认为正确的序号) 解析：作出折叠后的几何体直观图如图所示：∵AB ＝3BC ＝3a ，BE ＝a ，∴AE ＝2a .∴AD ＝AE 2－DE 2＝a .∴AC ＝CD 2＋AD 2＝2a .在△ABC 中，cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ×BC ＝3a 2＋a 2－2a 223a 2＝33.∴sin ∠ABC ＝1－cos 2∠ABC ＝63.∴tan ∠ABC ＝sin ∠ABCcos ∠ABC＝ 2.∵BC ∥DE ，∴∠ABC 是异面直线AB ，DE 所成的角，故①正确．连接BD ，CE ，则CE ⊥BD ，又AD ⊥平面BCDE ，CE ⊂平面BCDE ，∴CE ⊥AD ，又BD ∩AD ＝D ，BD ⊂平面ABD ，AD ⊂平面ABD ，∴CE ⊥平面ABD ，又AB ⊂平面ABD ，∴CE ⊥AB .故②错误．V B －ACE＝V A －BCE ＝13S △BCE ·AD ＝13×12×a 2×a ＝a 36，故③正确．∵AD ⊥平面BCDE ，BC ⊂平面BCDE ，∴BC ⊥AD ，又BC ⊥CD ，CD ∩AD ＝D ，CD ，AD ⊂平面ACD ，∴BC ⊥平面ACD ，∵BC ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面ACD ，故④正确．答案：①③④ 9．(2020模拟·河北五个一名校联考，15)在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是AC 1，A 1B 1的中点，点P 在其表面上运动，则总能使MP 与BN 垂直的点P 的轨迹的周长等于________．解析：分别取BB 1，CC 1的中点E ，F ，连接AE 、EF 、FD ，则BN ⊥平面AEFD ，设M 在平面ABB1A1中的射影为O，过MO且与平面AEFD平行的平面为α，所以能使MP与BN垂直的点P的轨迹为矩形，其周长与矩形AEFD的周长相等，又矩形AEFD的周长为2＋5，所以所求轨迹的周长为2＋ 5.答案：2＋ 5三、解答题10.如图，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.证明：(1)在四棱锥P－ABCD中，∵P A⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴P A⊥CD.∵AC⊥CD，且P A∩AC＝A，∴CD⊥平面P AC.而AE⊂平面P AC，∴CD⊥AE.(2)由P A＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝P A.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵P A⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴P A⊥AB.又∵AB⊥AD且P A∩AD＝A，∴AB⊥平面P AD，而PD⊂平面P AD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.11．（2020-2021学年衡水中学高考数学复习冲刺阶段精选汇编（文科）模拟试题）如图所示的几何体由一个直三棱柱ADE－BCF和一个正四棱锥P－ABCD组合而成，AD⊥AF，AE＝AD＝2.(1)证明：平面P AD⊥平面ABFE；(2)求正四棱锥P－ABCD的高h，使得该四棱锥的体积是三棱锥P－ABF体积的4倍．解析：(1)证明：直三棱柱ADE－BCF中，AB⊥平面ADE，因为AD⊂平面ADE，所以AB⊥AD，又AD⊥AF，AF∩AB＝A，所以AD⊥平面ABFE，又AD⊂平面P AD，所以平面P AD⊥平面ABFE.(2)由题意得P到平面ABF的距离d＝1，所以V P －ABF ＝13S △ABF d ＝13×12×2×2×1＝23，所以V P －ABCD ＝13S 正方形ABCD h ＝13×2×2h ＝4V P －ABF ＝83，所以h ＝2.12．如图，AB 为圆O 的直径，点E ，F 在圆O 上，AB ∥EF ，矩形ABCD 和圆O 所在的平面互相垂直．已知AB ＝2，EF ＝1.(1)求证：平面DAF ⊥平面CBF ；(2)求直线AB 与平面CBF 所成角的大小；(3)当AD 的长为何值时，二面角D －FE －B 的大小为60°. 解析：(1)证明：因为平面ABCD ⊥平在ABEF ，CB ⊥AB ， 平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ， 所以CB ⊥平面ABEF .因为AF ⊂平面ABEF ，所以AF ⊥CB ， 又因为AB 为圆O 的直径，所以AF ⊥BF ，所以AF ⊥平面CBF .因为AF ⊂平面ADF ，所以平面DAF ⊥平面CBF . (2)根据(1)的证明，有AF ⊥平面CBF ， 所以FB 为AB 在平面CBF 上的射影，所以∠ABF 为直线AB 与平面CBF 所成的角， 因为AB ∥EF ，所以四边形ABEF 为等腰梯形， 过点F 作FH ⊥AB ，交AB 于H .已知AB ＝2，EF ＝1，则AH ＝AB －EF 2＝12.在Rt △AFB 中，根据射影定理AF 2＝AH ·AB ，得AF ＝1.sin ∠ABF ＝AF AB ＝12，所以∠ABF＝30°.所以直线AB 与平面CBF 所成角的大小为30°.(3)过A 作AG ⊥EF 于G ，连线DG ，则∠AGD 是二面角D －FE －B 的平面角．所以∠AGD ＝60°.由AG ⊥EF 和AB ∥EF 知，AG ⊥AB .所以∠F AG ＝∠ABF ＝30°.在Rt △AFG 中，AF ＝1，则AG ＝AF cos30°＝32.在Rt △AGD 中，AG ＝32，则AD ＝AG tan60°＝32·3＝32.因此，当AD 的长为32时，二面角D －FE －B 的大小为60°.。
2021届河北衡水金卷新高考模拟试卷(二十)数学(文科)试题
2021届河北衡水金卷新高考模拟试卷（二十）数学（文科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
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9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I 卷 选择题（共60分）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集U =R ，集合{}(4)(1)0A x x x =-+≥，则UA（ ）A. (1,4]-B. [1,4)-C. (1,4)-D. [1,4]-【答案】C 【解析】 【分析】由一元二次不等式求解可得集合A,求其补集即可. 【详解】因为(4)(1)0x x -+≥， 所以1x ≤-或4x ≥， 即{|1A x x =≤-或4}x ≥，所以(1,4)UA =-，故选：C【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，集合的补集运算，属于容易题.2.复数1z 在复平面内对应的点为(2,3)，22z i =-+（i 为虚数单位），则复数12z z 的虚部为（ ）A.85B. 85-C.85i D. 85i -【答案】B 【解析】 【分析】根据复数对应的点知123z i =+，利用复数的除法法则计算12z z ，即可求解. 【详解】因为复数1z 在复平面内对应的点为(2,3)， 所以123z i =+，则122+3(23)(2)18182(2)(2)555z i i i i i z i i i +----====---+-+--， 所以复数的虚部为85-. 故选：B【点睛】本题主要考查了复数的几何意义，复数的除法运算，复数的虚部，属于容易题. 3.在ABC 中，AB c =，AC b =，若点D 满足12BD DC =，则AD =（ ） A.1233+b c B.2133b c + C. 4133b c - D. 1122b c +【答案】A 【解析】 【分析】由条件即得()11123333AD AB BD AB BC AB AC AB AC AB =+=+=+-=+. 【详解】12BD DC =，13BD BC ∴=，故有()11123333AD AB BD AB BC AB AC AB AC AB =+=+=+-=+. 故选：A【点睛】本题主要考查了向量的线性表示，向量的加减运算，是基础题.4.南北朝时代的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为1V ，2V ，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为1S 、2S ，则“1S 、2S 不总相等”是“1V ，2V 不相等”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】先得到命题：如果“1S 、2S 不总相等”，那么“1V ，2V 不相等”的等价命题：命题：如果“1V ，2V 相等”，那么“1S 、2S 总相等”，然后根据祖暅原理结合充分，必要条件的定义判断.【详解】命题：如果“1S 、2S 不总相等”，那么“1V ，2V 不相等”的等价命题是： 命题：如果“1V ，2V 相等”，那么“1S 、2S 总相等”，根据祖暅原理，当两个截面的面积1S 、2S 总相等时，这两个几何体的体积1V ，2V 相等， 所以逆命题为真，则是必要条件，当两个三棱台，一正一反的放在两个平面之间时，此时体积相等，但截得截面面积未必相等，故不充分， 所以“1S 、2S 不总相等”是“1V ，2V 不相等”的必要不充分条件. 故选：B【点睛】本题主要考查逻辑条件的判断以及等价命题，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题. 5.鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所作. 下图是经典的六柱鲁班锁及六个构件的图片，下图是其中一个构件的三视图，则此构件的体积为A. 334000mmB. 333000mmC. 332000mmD. 330000mm【答案】C 【解析】 【分析】由三视图得鲁班锁的其中一个零件是长为100，宽为20，高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40，宽为20，高为10的小长体的一个几何体，由此能求出该零件的体积． 【详解】由三视图得鲁班锁的其中一个零件是：长为100，宽为20，高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40，宽为20，高为10的小长体的一个几何体，如图，∴该零件的体积：V ＝100×20×20﹣40×20×10＝32000（mm 3）．故选C ．【点睛】本题考查几何体的体积的求法，考查几何体的三视图等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．6.在正项等比数列{}n a 中，2224159002a a a a +=-，649a a =，则2020a 的个位数字是（ ）A. 1B. 7C. 3D. 9【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质可得1524a a a a =，根据条件求得2430a a +=，又由539a a =，利用等比数列的通项公式求出基本量1a 和q ，即可求出n a ，再对等比数列各项个位数进行分析推理，从而得出2020a 的个位数字. 【详解】解：根据题意，由等比数列的性质可得1524a a a a =，因为2224159002a a a a +=-，所以2224249002a a a a +=-， 所以2222424242()900a a a a a a ++=+=，又因为{}n a 为正项等比数列，则0n a >，0q >， 所以2430a a +=，又由于649a a =，则3115311309a q a q a q a q ⎧+=⎨=⎩，即()2121309a q q q ⎧+=⎪⎨=⎪⎩， 解得：11,3==a q ， 故13-=n n a ，可知234123451,3,39,327,381a a a a a ========可得n a 的个位数以4为周期不断循环，所以20192019450434504202013(3)3(3)27a a q===⨯=⨯， 所以2020a 的个位数字是7. 故选：B .【点睛】本题考查等比数列的性质和等比数列的通项公式，考查推理与运算能力，属于基础题.7.关于圆周率π,数学发展史上出现过许多很有创意的求法,如著名的蒲丰试验.受其启发,我们也可以通过设计下面的试验来估计π的值,试验步骤如下：①先请高三年级1000名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对(,)(01,01)x y x y <<<<； ②若卡片上的x ,y 能与1构成锐角三角形,则将此卡片上交；③统计上交的卡片数,记为m；④根据统计数m估计π的值.假如本次试验的统计结果是218m=,那么可以估计π的值约为（）A. 389124B.391124C.389125D.391125【答案】D【解析】【分析】根据x,y能与1构成锐角三角形可求得,x y满足的不等式,进而利用几何概型的方法列式求解π即可. 【详解】因为实数对(,)(01,01)x y x y<<<<与1构成锐角三角形,设边长为1的边对应的角度为θ,则2221cos02x yxyθ+-=>,即221x y+>.根据几何概型的方法可知22112184110001π⨯=-,故218782411003025091125π⎛⎫=⨯-==⎪⎝⎭.故选：D【点睛】本题主要考查了随机模拟法与几何概型求解圆周率值的问题,需要根据题意确定,x y满足的不等式,再根据面积的比列式化简求解.属于中档题.8.已知双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的一条渐近线过点(3,2)，且双曲线的一个焦点在抛物线27y x=的准线上，则双曲线的方程为（）A.2212128x y-= B.2212821x y-= C.22134x y-= D.22143x y-=【答案】C【解析】【分析】由题意可得渐近线的斜率，即为,a b的关系式，再根据抛物线的准线方程解得c，由a b c，，的关系，解方程可得,a b 进而得到所求双曲线的方程．【详解】解：双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线过点(2)，可得渐近线的斜率为b k a =-=双曲线的一个焦点在抛物线2y =的准线x =可得c =即227a b +=，解得2b =，a =则双曲线的方程为：22134x y -=． 故选：C ．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，以及抛物线的方程和性质，运用渐近线方程和斜率公式是解题的关键，属于基础题．9.已知三棱锥A-BCD 的四个顶点都在球O 的表面上，且AB BC ⊥，AB CD ⊥，2BCD 3π∠=，若2BC CD ==，AB =O 的表面积为（ ）A. 20πB. 24πC. 28πD. 32π【答案】C 【解析】 【分析】先确定三角形BCD 外接圆半径，再解方程得外接球半径，最后根据球表面积公式得结果. 【详解】因为AB BC ⊥，AB CD ⊥，所以AB ⊥面BCD 因为2BC CD ==，2BCD 3π∠=所以22212cos 44222122BD BC CD BC CD BCD ⎛⎫=+-⋅∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭,即BD =因此三角形BCD 外接圆半径为122sin BDBCD=∠,设外接球半径R ，则222224374282AB R S R ππ⎛⎫=+=+=∴== ⎪⎝⎭.【点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解. 10.将函数4sin()(0)3y x πωω=->的图像分别向左、向右各平移6π个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则ω的最小值为（ ） A. 3 B. 2C. 4D. 6【答案】A 【解析】 【分析】根据平移后的两个图象对称轴重合，求得ω的表达式，进而求得ω的最小值. 【详解】由于函数4sin()(0)3y x πωω=->的图象分别向左、向右各平移6π个单位长度后分别得到4sin 63x ππω⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦和4sin 63x ππω⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即4sin 63x ππωω⎛⎫+- ⎪⎝⎭和4sin 63x ππωω⎛⎫-- ⎪⎝⎭.依题意平移后两个图象对称轴重合，所以()26k k Z πωπ⨯=∈，即3k ω=，由于0,k Z ω>∈，所以当1k =时ω取得最小值为3. 故选：A【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，考查三角函数的图象与性质，属于基础题.11.已知函数()y f x =满足(1)(1)f x f x +=-，当[1,1]x ∈-时2()f x x =，则方程()lg f x x =实根共有（ ） A. 10个B. 9个C. 18个D. 20个【解析】 【分析】由题意，()y f x =为周期2的偶函数，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，结合图的交点的个数，得到答案．【详解】函数()()y f x x R =∈满足：()()f x 2f x +=，()f x ∴是周期为2的周期函数， 当[]x 1,1∈-时，()2f x x =，∴作出()y f x =和()lg f x x =两个函数的图象，lg101=,lg91,lg111∴<>，11x ≥时，无交点.如图所示，结合图象，得方程()lg f x x =的解的个数为20个． 故选D ．【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中得到函数()y f x =是周期为2的函数，在同一个坐标系中作出两个函数的图象，把方程解得个数转化为图象的交点的个数是解答的关键，着重考查了数形结合思想的应用．12.已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与圆22223:4b x y C +=，若在椭圆1C 上不存在点P ，使得由点P所作的圆2C 的两条切线互相垂直，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（ ） A. 3(0,3B. 2(0,2C. 22D. 3[,1)3【答案】A 【解析】画出图象，根据图像判断出2232b a >，由此求得离心率的取值范围，进而求得离心率的最小值.【详解】由题意，如图，若在椭圆1C 上不存在点P ，使得由点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直， ，则只需090APB ∠>，即045APO α=∠>，0322sin sin 452ba α=>=，即2232b a >，因为222a b c =+解得：223a c >.∴213e <，即33e <，而01e <<，∴303e <<，即30,3e ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭∈. 故选：A【点睛】本小题主要考查椭圆离心率最值的求法，考查圆的切线的几何性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13.已知函数3()1f x ax x =++的图像在点(1, (1))f 处的切线过点（2，11），则a =____． 【答案】2 【解析】 【分析】求出函数的导数2()31f x ax '=+，(1)31f a '=+，而(1)2f a =+,根据点斜式得到直线方程，利用切线的方程经过的点求解即可．【详解】函数3()1f x ax x =++的导数为：2()31f x ax '=+，(1)31f a '=+，而(1)2f a =+，切线方程为：()()2311y a a x --=+-，因为切线方程经过（2，11），所以()()1123121a a --=+-解得2a =．故答案为：2.【点睛】这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.14.若实数x ，y 满足约束条件1330y xx y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，则5z x y =+的最小值为______．【答案】3【解析】【分析】先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z 的最小值．【详解】作出约束条件1330.y xx y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，，，表示的平面区域（如图示：阴影部分）：由10y x x y =⎧⎨+-=⎩得A （12,12），由5z x y =+得5y x z =-+，平移5y x =-，易知过点A 时直线在y 上截距最小，此时，产生5Min y x z =-+所以5Min z x y =+的最小值为115322Min z =⨯+=． 故答案为：3【点睛】本题考查了简单线性规划问题，关键是画出可行域并理解目标函数的几何意义．15.设函数22()4x x f x e e x -=--，则不等式2()(56)f x f x +--<0的解集是_______．（用区间表示）【答案】(1,6)-【解析】【分析】可判断出函数()f x 为奇函数，且函数()f x 为增函数，从而可解不等式.【详解】函数22()4x x f x e e x -=--，()2222()4=4()x x x x f x e e x e e x f x ---=-+---=- 所以函数()f x 为奇函数.又()()22222()224=22=20x x x x x x f x e e e e e e ---'=+-+--≥ 所以()0f x '≥在R 上恒成立，所以函数()f x 在R 上是增函数.不等式2()(56)f x f x +--<0即2()(56)f x f x <+所以256x x <+，解得16x -<<所以不等式的解集是(1,6)-.故答案为：(1,6)-【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，属于中档题.16.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且BC 边上的高为4a ，则cb bc +的最大值是______．【答案】【解析】【分析】由面积公式可得2sin a A =，再用余弦定理可得22sin 2cos b c A bc A +=+，即)c b A b cϕ+=+≤.【详解】由题，三角形的面积：2211sin sin 242S a bc A a A =⋅=∴= . 由余弦定理：222cos 2b c a A bc+-=，可得：2222cos sin 2cos b c a bc A A bc A +=+=+ .所以222cos )c b b c A A A b c bc ϕ++==+=+≤tan =2ϕ. 所以b c c b+的最大值为故答案为：【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形，将边的关系转化为三角函数是解题的关键，属于较难题.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.已知数列{}n a 满足：212231n a a a n n n ++⋅⋅⋅+=++()n N +∈． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设1n n b a =，若数列{}n b 的前n 项和为n S ，求满足1940n S >的最小正整数n ． 【答案】（Ⅰ）2(1)n a n n =+（Ⅱ）20【解析】 【分析】（Ⅰ）因为212231n a a a n n n ++⋯+=++，所以2112(1)123n a a a n n n -++⋯+=-+-，两式作差，并进行整理即可得解；（Ⅱ）求出数列{}n b 的通项公式，通过裂项相消法进行求和，解不等式即可得到答案. 【详解】（Ⅰ）212231n a a a n n n ++⋯+=++① ∴当1n =时，可得14a =，当2n ≥时，2112(1)123n a a a n n n-++⋯+=-+-，②①-②可得：(21)121n a n n n =-+=+， 2(1)n a n n ∴=+，1n =时也满足，2(1)n a n n ∴=+. （Ⅱ）111112(1)21n n b a n n n n ⎛⎫===- ⎪++⎝⎭1111111111122223121n S n n n ⎛⎛⎫∴=-++-+⋯+-=- ⎪ ++⎝⎭⎝， 又1940n S >，111912140n ⎛⎫-> ⎪+⎝⎭，解得19n >， 所以满足1940n S >的最小正整数n 为20. 【点睛】本题主要考查通项公式的求法及裂项相消法求和的应用，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题.当数列出现前后项差的时候，可考虑裂项相消求和法.使用裂项法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点. 18.在直角梯形ABCD 中（如图1），//AB DC ，90BAD ∠=︒，5AB =，2AD =，3CD =，点E 在CD 上，且2DE =，将ADE 沿AE 折起，使得平面ADE ⊥平面ABCE （如图2），G 为AE 中点．（Ⅰ）求四棱锥D ABCE -的体积；（Ⅱ）在线段BD 上是否存在点P ，使得//CP 平面ADE ？若存在，求BP BD 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（Ⅰ）2245【解析】【分析】（Ⅰ）根据平面与平面垂直的性质定理得到DG ⊥平面ABCE ，再根据椎体的体积公式计算可得结果； （Ⅱ）过点C 作//CF AE 交AB 于点F ，过点F 作//FP AD 交DB 于点P ，连接PC ，可证得平面//CFP平面ADE ，再根据平面与平面平行的性质可得//CP 平面ADE ，最后根据平面几何知识可求得比值.【详解】（Ⅰ）证明：因为G 为AE 中点，2AD DE ==，所以DG AE ⊥．因为平面ADE ⊥平面ABCE ，平面ADE 平面ABCE AE =，DG ⊂平面ADE ，所以DG ⊥平面ABCE ．在直角三角形ADE 中，易求22AE =， 则2AD DE DG AE⋅==， 所以四棱锥D ABCE -的体积1(15)222232D ABCE V -+⨯=⨯⨯=． （Ⅱ）在BD 上存在点P ，使得//CP 平面ADE 且45BP BD =， 过点C 作//CF AE 交AB 于点F ，过点F 作//FP AD 交DB 于点P ，连接PC ，如图所示：因为//CF AE ，AE ⊂平面ADE ．CF ⊄平面ADE ，所以//CF 平面ADE ，同理//FP 平面ADE ，又因为CF PF F ⋂=，所以平面//CFP 平面ADE ．因为CP ⊂平面CFP ，所以//CP 平面ADE ．所以在BD 上存在点P ，使得//CP 平面ADE ．因为四边形AECF 为平行四边形．所以1AF CE ==，即4BF =，故45BP BF BD AB ==. 所以在BD 上存在点P ，使得//CP 平面ADE 且45BD =. 【点睛】本题考查了平面与平面垂直的性质定理、平面与平面平行的判定与性质，考查了椎体的体积公式，属于中档题.19.某快递公司招聘快递骑手，该公司提供了两种日工资方案：方案（1）规定每日底薪50元，快递骑手每完成一单业务提成3元：方案（2）规定每日底薪100元，快递业务的前44单没有提成，从第45单开始，每完成一单提成5元．该快递公司记录了每天骑手的人均业务量．现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[)[)[)[)[)[)[]25,35,35,45,45,55,55,65,65,75,75,85,85,95七组，整理得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）随机选取一天，估计这一天该快递公司的骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率；（Ⅱ）若骑手甲、乙、丙选择了日工资方案（1），丁、戊选择了日工资方案（2）．现从上述5名骑手中随机选取2人，求至少有1名骑手选择方案（2）的概率；（Ⅲ）若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）【答案】（Ⅰ）0.4；（II ）710（Ⅲ）选择方案（1），理由见解析 【解析】【分析】 （Ⅰ）将[)[)[]65,75,75,85,85,95这三组的频率求出，再相加即可得到答案；（Ⅱ）利用列举法和古典概型的概率公式计算可得结果；（Ⅲ）利用频率分布直方图计算出快递公司人均日快递量的平均数，根据平均数计算出两种方案下骑手的人均日收入，比较可得结果.【详解】（Ⅰ）设事件A 为“随机选取一天．这一天该快递公司的骑手的人均日快递业务量不少于65单” 依题意，快递公司的人均日快递业务量不少于65单的频率分别为：0.2、0.15、0.05，因为0.20.150.050.4++=，所以()P A 估计为0.4．（Ⅱ）设事件B 为“从五名骑手中随机选取2人．至少有1名骑手选择方案（2）”从五名骑手中随机选取2名骑手，有10种情况，即{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{甲，戊}，{乙，丙}，{乙，丁}，{乙，戊}，{丙，丁}，{丙，戊}，{丁，戊}其中至少有1名骑手选择方案（2）的情况为{甲，丁}，{甲，戊}，{乙，丁}，{乙，戊}，{丙，丁}，{丙，戊}，{丁，戊}共7种情况，所以7()10P B =． （Ⅲ）快递公司人均日快递量的平均数是：300.05400.05500.2600.3700.2800.15900.0562⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=因此，方案（1）日工资约为50623236+⨯=元，方案（2）日工资约为()10062445190+-⨯=元236<元，故骑手应选择方案（1）.【点睛】本题考查了利用频率分布直方图计算频率、平均数，考查了古典概型的概率公式，属于基础题. 20.设函数2()ln f x x ax x =-+．（Ⅰ）若当1x =时()f x 取得极值，求a 的值及()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明：2121()()42f x f x a x x a ---＞． 【答案】（Ⅰ）3a =．单调增区间为1(0,),(1,)2+∞，单调减区间为1(,1)2．（Ⅱ）见解析【解析】【分析】（1）求导数'()f x ，由题意可知1x =为方程()0f x '=的根，求解a 值，再令导数()0f x '>，()0f x '<，分别求解单调增区间与单调减区间，即可.（2）函数()f x 存在两个极值点，等价于方程()0f x '=即2210x ax -+=在(0,)+∞上有两个不等实根，则>0∆，即可，再将()()2121f x f x x x --变形整理为2121ln ln 2x x a x x --+-；若证明不等式()()212142f x f x a x x a >---，则需证明2121ln ln 4x x x x a ->-，由1202a x x +=>变形为212121ln ln 2x x x x x x ->-+，不妨设210x x >>，即证2212111ln 21x x x x x x ->+，令211x t x =>，则()()21ln 1t h t t t -=-+，求函数()h t 的取值范围，即可证明.【详解】（Ⅰ）2121()2,(0)x ax f x x a x x x-+'=-+=> ∵1x =时，()f x 取得极值，∴()10f '=，3a =． ∴2231(21)(1)()x x x x f x x x-+--'== 由()0f x '>得102x <<或1x >， 由()0f x '<得112x << ∴()f x 的单调增区间为1(0,)2和(1,)+∞，单调减区间为1(,1)2． （Ⅱ）221(),(0)x ax f x x x-+'=> ∵()f x 存在两个极值点，∴方程()f x '即2210x ax -+=在(0,)+∞上有两个不等实根∴280a ∆=->且1212a x x +=>， ()()22212221112121ln ln f x f x x ax x x ax x x x x x --+-+-=-- 2121212121ln ln ln ln 2x x x x a x x a x x x x --=+-+=-+-- ∴所证不等式2121()()42f x f x a x x a ->--等价于2121ln ln 4x x x x a ->- 即变形为212121ln ln 2x x x x x x ->-+ 不妨设210x x >>，即变形为2212111ln 21x x x x x x ->+令211x t x =>，2212111ln 21x x x x x x ->+变形为2(1)ln 01t t t -->+， 令2(1)()ln 1t h t t t -=-+ 则22214(1)'()0(1)(1)t h t t t t t -=-=>++， ∴()h t 在(1,)+∞上递增．∴()()10h t h >=， ∴2212111ln 21x x x x x x ->+成立， ∴2121()()42f x f x a x x a ->--成立． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，以及根据极值求参数取值范围，证明不等式.属于难题. 21.已知圆22(2):4F x y -+=，动点()(),0Q x y x ≥，线段QF 与圆F 相交于点P ，线段PQ 的长度与点Q 到y 轴的距离相等．（Ⅰ）求动点Q 的轨迹W 的方程；（Ⅱ）过点()2,4A 作两条互相垂直的直线与W 的交点分别是M 和N （M 在N 的上方，A ，M ，N 为不同的三点），求向量NM 在y 轴正方向上的投影的取值范围．【答案】（Ⅰ）28y x =（Ⅱ）(16,)+∞【解析】【分析】（Ⅰ）由题意可得点Q 的轨迹满足抛物线的定义，确定定点及定直线即可求得轨迹方程；（Ⅱ）设出直线AM 的方程，与抛物线方程联立得关于y 的一元二次方程，利用韦达定理可得184y m =-，由AM AN ⊥可得284y m =--，利用对勾函数的单调性可求得向量NM 在y 轴正方向上的投影1218()y y m m-=+的范围.【详解】（Ⅰ）由题知点Q 到F 的距离QF 等于Q 到y 轴的距离加2 所以QF 等于Q 到直线2x =-的距离，由抛物线的定义可知：点Q 的轨迹W 是以(2,0)F 为焦点，2x =-为准线的抛物线，所以动点Q 的轨迹W 的方程为28y x =．（Ⅱ）设直线AM 的方程为()()420x m y m =-+>，与28y x =联立，得 2832160y my m -+-=，则2644(3216)0m m ∆=-⨯->，即2210m m -+>，∵0m >，∴01m <<或1m ，设()()1122,,,M x y N x y ，则148y m +=，即184y m =-，AM AN ⊥，∴直线AN 的方程为()()1420x y m m =--+>，则284y m=--， 则向量NM 在y 轴正方向上的投影为1218()y y m m-=+ 因为函数1()8()f m m m=+在()0,1上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 所以()()116f m f >=，即1218()(16,)y y m m -=+∈+∞， 向量NM 在y 轴正方向上的投影的取值范围为(16,)+∞.【点睛】本题考查利用抛物线的定义求动点的轨迹、直线与抛物线的综合应用、韦达定理，涉及向量的投影、对勾函数的单调性，属于中档题.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22312sin ρθ. （1）求曲线1C 的极坐标方程与曲线2C 的直角坐标方程；（2）设A 、B 为曲线2C 上位于第一，二象限的两个动点，且2AOB π∠=，射线OA ，OB 交曲线1C 分别于点D ，C .求AOB 面积的最小值，并求此时四边形ABCD 的面积. 【答案】（1）1C ：sin 26πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2C ：2213x y +=.（2）AOB 面积的最小值：34，四边形ABCD 的面积为：294. 【解析】【分析】（1）将曲线1C 消去参数即可得到1C 的普通方程，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入曲线2C 的极坐标方程即可；（2）由（1）得曲线1C 的极坐标方程，设1,()A ρθ，2(,)2B πρθ+，3(,)D ρθ，4(,)2C πρθ+利用方程可得22121143p ρ+=，再利用基本不等式得121324AOB S ρρ=≥△，根据题意知ABCD COD AOB S S S =-△△，进而可得四边形ABCD 的面积.【详解】（1）由曲线1C的参数方程为112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）消去参数得40x +-=即曲线1C的极坐标方程为：cos sin 40ρθθ+-=，化简为：sin 26πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 2C 的极坐标方程为22312sin ρθ 可得22(12sin )3ρθ+=，根据极坐标与直角坐标的互化公式：222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩故：2233x y +=， 曲线2C 的直角坐标方程：2213x y +=.（2）设()()1231,,,,,,,22A B D C ππρθρθρθρθ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2C ：2213x y += ∴222211cos sin 13ρθρθ+=，222222sin cos 13ρθρθ+=， 故22121143p ρ+= 根据均值不等式可得：22121221143ρρρρ≤+=， 当且仅当12ρρ=（即4πθ=）时取“=”.121324AOB S ρρ=≥△， 此时3411224822cos sin cos 34646COD S ρρπππππ==⋅⋅==⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故所求四边形的面积为329844ABCD COD AOB S S S =--==△△. 【点睛】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.已知a ，b ，c 均为正实数，函数222111()4f x x x a b c=+-++的最小值为1.证明： （1）22249a b c ++≥；（2）111122ab bc ac++≤. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）先分析得到22211114a b c ++=，再利用柯西不等式证明22249a b c ++≥；（2）将三个不等式22221121114a b ab b c bc +≥+≥，，221114a cac +≥相加即得证.【详解】证明（1）∵,,0a b c >， ∴222111()||||4x x x a f c b=+++- 222222111111|()|44x x c b a a b c≥+--+=++ ∴22211114a b c ++=. 由柯西不等式得2222222111(4)()(111)94a b c a b c++++≥++=当且仅当2a b c ===时取“=”∴22249a b c ++≥.（2）∵22221121114a b ab b c bc +≥+≥，，221114a c ac+≥，（以上三式当且仅当2a b c ===时同时取“=”） 将以上三式相加得2222111112()24ab bc ac a b c++≤++=. 所以111122ab bc ac ++≤. 【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式的应用，考查基本不等式和柯西不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
2020-2021学年（新课标i卷）高考数学文科模拟试题及答案解析
2020-2021学年（新课标i卷）⾼考数学⽂科模拟试题及答案解析绝密★启封并使⽤完毕前试题类型：普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试⽂科数学注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(⾮选择题)两部分.第Ⅰ卷1⾄3页，第Ⅱ卷3⾄5页. 2.答题前，考⽣务必将⾃⼰的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上⽆效.4.考试结束后，将本试题和答题卡⼀并交回.第Ⅰ卷⼀. 选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.（1）设集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =≤≤，则A B =I（A ）{1,3}（B ）{3,5}（C ）{5,7}（D ）{1,7}(2)设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a=（A ）－3（B ）－2（C ）2（D ）3（3）为美化环境，从红、黄、⽩、紫4种颜⾊的花中任选2种花种在⼀个花坛中，余下的2种花种在另⼀个花坛中，则红⾊和紫⾊的花不在同⼀花坛的概率是（A ）13（B ）12（C ）13（D ）56（4）△ABC 的内⾓A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =2c =，2cos 3A =，则b=（A （B C ）2（D ）3（5）直线l 经过椭圆的⼀个顶点和⼀个焦点，若椭圆中⼼到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离⼼率为（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34（6）若将函数y=2sin (2x+π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（A ）y=2sin(2x+π4) （B ）y=2sin(2x+π3) （C ）y=2sin(2x –π4) （D ）y=2sin(2x –π3)（7）如图，某⼏何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该⼏何体的体积是28π3，则它的表⾯积是（A ）17π（B ）18π（C ）20π（D ）28π（8）若a>b>0，0（A ）log a c（D ）c a>c b（9）函数y=2x 2–e |x|在[–2,2]的图像⼤致为（A ）（B ）（C ）（D ）（10）执⾏右⾯的程序框图，如果输⼊的0,1,x y ==n=1,则输出,x y 的值满⾜（A ）2y x =（B ）3y x = （C ）4y x = （D ）5y x =（11）平⾯α过正⽂体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A 11//CB D α平⾯,ABCD m α=I 平⾯，11ABB A n α=I 平⾯，则m ，n 所成⾓的正弦值为（A ）3（B ）22（C ）3（D ）13（12）若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是（A ）[]1,1-（B ）11,3??-（C ）11,33??-（D ）11,3--第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考⽣都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考⽣根据要求作答. ⼆、填空题：本⼤题共3⼩题，每⼩题5分（13）设向量a=(x ，x+1)，b=(1，2)，且a ⊥b ，则x=. （14）已知θ是第四象限⾓，且sin(θ+π4)=35，则tan(θ–π4)=. （15）设直线y=x+2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay-2=0相交于A ，B 两点，若，则圆C 的⾯积为。
2020-2021学年衡水中学高考数学复习冲刺阶段精选汇编(文科)模拟试题 (56)
5．某学校为了了解该校学生对某项运动的爱好是否与性别有关，通过随机抽查110名学生，得到如下2×2列联表：男 女 总计爱好 40 20 60不爱好 20 30 50总计 60 50 110由公式K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，算得K 2＝110×(40×30－20×20)260×50×60×50≈7.8. 附表(临界值表)：P (K 2≥k 0) 0.050 0.010 0.001k 0 3.841 6.635 10.828参照附表，以下结论正确的是( )A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．只有不超过1%的把握认为“爱好该项运动与性别有关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”解析：因为7.8＞6.635，所以有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”． 答案：C6．(2020模拟·河南省八市重点高中质量检测)为了研究某大型超市开业天数与销售额的情况，随机抽取了5天，其开业天数与每天的销售额的情况如下表所示：开业天数 10 20 30 40 50销售额/天(万元) 62 75 81 89 根据上表提供的数据，求得y 关于x 的线性回归方程为y ^＝0.67x ＋54.9，由于表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为( )A ．67B ．68C ．68.3D ．71解析：设表中模糊看不清的数据为m .因为x －＝10＋20＋30＋40＋505＝30，又样本中心(x －，y －)在回归直线y ^＝0.67x ＋54.9上，所以y －＝m ＋3075＝0.67×30＋54.9，得m ＝68，故选B.答案：B二、填空题7．已知x ，y 的取值如下表：x 2 3 4 5y 2.2 3.8 5.5 6.5从散点图分析，y ^与x 线性相关，且回归方程为y ^＝1.46x ＋a ^，则实数a ^的值为__________．解析：x －＝2＋3＋4＋54＝3.5，y －＝2.2＋3.8＋5.5＋6.54＝4.5，回归方程必过样本的中心点(x －，y －)．把(3.5，4.5)代入回归方程，计算得a ^＝－0.61.答案：－0.618．(2020模拟·湖北优质高中联考，13)某单位为了了解用电量y (度)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表如下：气温(℃) 18 13 10 －1用电量(度) 24 34 38 64。
2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷(五)数学(文)试题
2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷（五）数学(文科)★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合()(){}160A x x x =-->，{}20B x x =->，则A B =（ ）A. {}6x x > B. {}12x x <<C. {}1x x <D. {}26x x <<【答案】C 【解析】 【分析】解出集合A 、B ，然后利用交集的定义可得出集合A B .【详解】()(){}{1601A x x x x x =-->=<或}6x >，{}{}202B x x x x =->=<，因此，{}1A B x x ⋂=<. 故选：C.【点睛】本题考查交集的运算，同时也考查了一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于基础题.2.121212ii i+=+-（ ） A. 35B. 1C. 35i -D. i【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法和加法法则可计算出所求复数. 【详解】()()()()()21212121224312121212121255i i i i i i i i i i i i +--+-+=+==-+-+--+. 故选：A.【点睛】本题考查复数的除法与加法计算，考查计算能力，属于基础题.3.某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）A. 6.25%B. 7.5%C. 10.25%D. 31.25%【答案】A 【解析】 【分析】由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费开支占总开支的百分比. 【详解】水费开支占总开支百分比为25020% 6.25%250450100⨯=++.故选：A【点睛】本题考查折线图与柱形图，属于基础题. 4.若,x y 满足约束条件04x y x y -≤⎧⎨+≥⎩，且2z x y =+，则（ ）A. z 的最大值为6B. z 的最大值为8C. z 的最小值为6D. z 的最小值为8【答案】C 【解析】 【分析】作出可行域，即可由平移法求出2z x y =+的最值． 【详解】作出可行域，如图所示：由图可知，当直线2z x y =+经过点()2,2时， z 取得最小值为6，无最大值．故选：C ．【点睛】本题主要考查简单线性规划问题的解法，属于基础题． 5.若双曲线221mx ny +=(0m >)的5mn=（ ） A.14B. 14-C. 4D. 4-【答案】D 【解析】 【分析】将双曲线的方程化成标准形式，再利用离心率公式得到关于,m n 的方程，即可得答案；【详解】因为221mx ny +=(0m >)可化为22111x y m n-=-(0m >)， 所以2215b e a =+=22141b n a m-==，即4m n =-.故选：D.【点睛】本题考查已知双曲线的离心率求参数值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意双曲线方程先化成标准形式.6.如图，在等腰直角ABC ∆中，D ，E 分别为斜边BC 的三等分点（D 靠近点B ），过E 作AD 的垂线，垂足为F ，则AF =（ ）A. 3155AB AC + B.2155AB AC + C. 481515AB AC + D. 841515AB AC +【答案】D 【解析】 【分析】设出等腰直角三角形ABC 的斜边长，由此结合余弦定理求得各边长，并求得cos DAE ∠，由此得到45AF AD =，进而利用平面向量加法和减法的线性运算，将45AF AD =表示为以,AB AC 为基底来表示的形式.【详解】设6BC =，则32,2AB AC BD DE EC =====，22π2cos4AD AE BD BA BD BA ==+-⋅⋅10=，101044cos 2105DAE +-∠==⨯， 所以45AF AF AD AE ==，所以45AF AD =. 因为()1133AD AB BC AB AC AB =+=+-2133AB AC =+， 所以421845331515AF AB AC AB AC ⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎝⎭. 故选：D【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查利用基底表示向量，属于中档题.7.已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P -ABC 的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则（ ）A. P A ，PB ，PC 两两垂直B. 三棱锥P -ABC 的体积为83C. ||||||6PA PB PC ===D. 三棱锥P -ABC 的侧面积为35【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图，可得三棱锥P -ABC 的直观图，然后再计算可得. 【详解】解：根据三视图，可得三棱锥P -ABC 的直观图如图所示，其中D 为AB 的中点，PD ⊥底面ABC . 所以三棱锥P -ABC 的体积为114222323⨯⨯⨯⨯=， 2AC BC PD ∴===，2222AB AC BC ∴=+=，||||||2DA DB DC ∴===()22||||||226,PA PB PC ∴===+=222PA PB AB +≠，PA ∴、PB 不可能垂直，即,PA ,PB PC 不可能两两垂直，1222222PBAS ∆=⨯=()22161252PBC PAC S S ∆∆==-=∴三棱锥P -ABC 的侧面积为2522故正确的为C. 故选：C.【点睛】本题考查三视图还原直观图，以及三棱锥的表面积、体积的计算问题，属于中档题. 8.已知0.64a =， 1.12b =，4log 12c =，则（ ）A. c b a <<B. b a c <<C. a b c <<D. c a b <<【答案】A 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性比较c 与2的大小关系，再利用指数函数的单调性得出2a b >>，即可得出a 、b 、c 三个数的大小关系.【详解】指数函数2x y =为增函数，则 1.2 1.1222a b =>=>，对数函数4log y x =是()0,∞+上的增函数，则44log 12log 162c =<=，因此，c b a <<. 故选：A.【点睛】本题考查指数与对数的大小比较，一般利用指数函数与对数函数的单调性，结合中间值法来得出各数的大小关系，考查推理能力，属于中等题.9.已知函数()sin (0)f x x x ωωω=+>的图象关于直线8x π=对称，则ω的最小值为（ ）A.13B.23C.43D.83【答案】C 【解析】 【分析】利用辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简为()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，根据题意得出()832k k Z πππωπ+=+∈，可得出关于ω的表达式，即可求出正数ω的最小值.详解】()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由于该函数的图象关于直线8x π=对称，则()832k k Z πππωπ+=+∈，得()483k k Z ω=+∈， 0ω>，当0k =时，ω取得最小值43.故选：C.【点睛】本题考查利用正弦型函数的对称性求参数，解题时要将三角函数的解析式利用三角恒等变换思想化简，并通过对称性列出参数的表达式求解，考查计算能力，属于中等题.10.若曲线43y x x ax =-+(0x >)存在斜率小于1的切线，则a 的取值范围为（ ）A. 3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. 5,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D. 1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】对函数进行求导，将问题转化为不等式有解问题，再构造函数利用导数研究函数的最值，即可得答案； 【详解】由题意可得32431y x x a '=-+<在()0,x ∈+∞上有解，设()3243f x x x a =-+(0x >)，()()2126621f x x x x x '=-=-，令()0f x '<，得102x <<；令()0f x '>，得12x >， ∴()f x 在1(0,)2单调递减，在1(,)2+∞单调递增，∴()min 11124f x f a ⎛⎫==-< ⎪⎝⎭，解得：54a <.故选：C.【点睛】本题考查导数的几何意义、不等式有解问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.11.设n S 是{}n a 的前n 项和，12a =，且1113n n n a S S ++=-，则1222111S S S ++⋅⋅⋅+=( ) A. -66 B. 77C. 88D. 99【答案】C 【解析】 【分析】由n S 与n a 的关系可得1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，13为公差的等差数列，再由等差数列前n 项和公式求解即可.【详解】解：因为1113n n n a S S ++=-， 所以1113n n n n S S S S ++-=-，所以11113n n S S +-=. 又1112S =，所以1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，13为公差的等差数列，所以12221111222112288223S S S ⨯++⋅⋅⋅+=⨯+⨯=. 故选：C.【点睛】本题考查了n S 与n a 的关系，重点考查了等差数列前n 项和公式，属基础题.12.已知直线y ＝k （x ﹣1）与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，直线y ＝2k （x ﹣2）与抛物线D ：y 2＝8x 交于M ，N 两点，设λ＝|AB |﹣2|MN |，则（ ） A. λ＜﹣16 B. λ＝﹣16C. ﹣12＜λ＜0D. λ＝﹣12【答案】D 【解析】 【分析】分别联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理，可得244AB k =+，244AB k =+，然后计算，可得结果. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ， 联立()2222212404y k x k x k x k y x=-⎧⇒-++=⎨=⎩（） 则212222442k x x k k++==+， 因为直线()1y k x =-经过C 的焦点， 所以12244x x kA pB =++=+. 同理可得228MN k =+， 所以41612λ=-=- 故选：D.【点睛】本题考查的是直线与抛物线的交点问题，运用抛物线的焦点弦求参数，属基础题。
2020-2021学年最新高考总复习数学(文)高考模拟训练试题及答案解析
最新高考模拟训练试题文科数学(一)本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共5页，满分为150分，考试用时120分钟，考试结束后将答题卡交回．注意事项：1．答卷前，考生务必用0.5毫米规格黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米规格黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案，不得使用涂改液，胶带纸、修正带和其他笔．4．不按以上要求作答以及将答案写在试题卷上的，答案无效．第I 卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}1,2,3,5,7,21,,M N x x k k M M N ===-∈⋂=则 A.{}123，，B.{}135，，C.{}235，，D.{}1357，，， 2.i 为虚数，()2133ii-=+ A.1344i + B.1322i + C.1322i -- D.1344i -- 3.点()()1,0,0,1A B ，点C 在第二象限内，已知5,2,6AOC OC OC OA πλ∠===+uuu r uu r 且 OB μuu u r ，则λμ，的值分别是A.13-，B.31-， C.13，- D.31-， 4.ABC ∆中，“sin sin A B =”是“ABC ∆为等腰三角形”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.已知,a b 表示两条直线，M 表示平面，给出下列四个命题：①若//,//,//a M b M a b 则；②若,,//,//b M a M a b a M ⊂⊄则；③若,,a b b M a M ⊥⊂⊥则；④若,//a M a b b M ⊥⊥则.其中正确命题的个数为A.0B.1C.2D.36.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S 的值为A.20122B.20132C.20142D.201312 7.若变量,x y 满足条件0,21,43y x y z x y x y ≥⎧⎪+≥=+⎨⎪+≤⎩则，的取值范围是A.(]3-∞，B.[)3+∞，C.[]03，D.[]13， 8.已知函数()()21,0,1,0,x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩则方程()()12log 1f x x =+的根的个数为 A.0 B.1C.2D.39.已知定义在()3,3-上的函数()f x 满足()()()311,0f x f x x f x x -=--≥=且时，，则()()2710f x f x +->的解集为A.∅B.13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.32,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ D.3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ 10.椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P ∆为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是A.12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C.2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D.111,,1322⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 第II 卷（非选择题 共100分）注意事项：将第II 卷答案用0.5mm 规格的黑色签字笔答在答题卡的相应位置上.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知等差数列{}n a 的前n 项和为132591278n S S a a a a =+++=，若，则___________.12.将一批工件的尺寸在（40~100mm 之间）分成六段，即[)[)[)40,50,50,60,,90,100⋅⋅⋅，得到如图的频率分布直方图，则图中实数a 的值为____________.13.若直线22680y kx x y x =+-+=与圆相切，且切点在第四象限，则k=_________.14.已知函数()214f x x ax b =+-+（,a b 为正实数）只有一个零点，则12a b +的最小值为__________.15.设M 是一个非空集合，#是它的一个代数运算（例如：+，×），如果满足以下条件： （I ）对M 中任意元素,,a b c ，都有()()####a b c a b c =；（II ）对M 中任意两个元素,a b ，满足#a b M ⊂.则称M 对代数运算#形成一个“可#集合”.下列是“可#集合”的为__________.①{}2,1,1,2-- ②{}1,1,0- ③Z ④Q三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. （本小题满分12分）已知向量()()()22cos ,3,1,sin 22a x b x f x a b ===⋅-函数. （I ）求函数()f x 在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值； （II ）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角A,B,C 的对边，若()1,1,23,f C c ab a b ===>且，求边,a b 的值.17. （本小题满分12分）如图所示，1111ABFC A B FC -为正四棱柱，D 为BC 上一点，且1//A B 平面1111,AC D D B C 是的中点，1111,BC AB BC AC ⊥⊥.求证：（I ）平面11//A BD 平面1AC D ;（II ）11BC B D ⊥.18. （本小题满分12分）已知函数()()[]()22,ln 1,2,,0f x ax bx g x b x a b R b =+=+∈-∈≠.（I ）求命题A ：“()f x +∃∈∀∈x R,对于m R ,=m ”为真命题的概率；（II ）若{},2,1,1,2a Z b ∈∈--，写出所有的数对(),a b .设函数()()(),1,,1,f x x xg x x ϕ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩记“()()()12121212,,,,0x x x x x x x x ϕϕ-∀∈-∞+∞≠>-”为事件B ，求事件B 发生的概率P （B ）.19. （本小题满分12分）的数列{}n a ，将正奇数组成按下表排成5列：（I ）求第五行到第十行的所有数的和；（II ）已知点()()()111222,,,,,,n n n A a b A a b A a b ⋅⋅⋅在指数函数2x y =的图象上，如果，以12,,,n A A A ⋅⋅⋅为一个顶点，x y 轴轴为邻边构成的矩形面积为12n,12,,n S S S S S S ⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+求的值n T .20. （本小题满分13分）已知函数()()ln 1x f x e x x =--.（I ）求函数()f x 的单调区间；（II ）是否存在实数(),1,,a b a b ∈+∞<，使得函数()[],f x a b 在上的值域也是[],a b ？并说明理由.21. （本小题满分14分）已知焦点在x 轴上的椭圆C 过点（0，1），且离心率为3,Q 为椭圆C 的左顶点. （I ）求椭圆C 的标准方程； （II ）已知过点6,05N ⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线l 与.椭圆C 交于A,B 两点. （i ）若直线l 垂直于x 轴，求AQB ∠的大小；（ii ）若直线l 与x 轴不垂直，是否存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形？如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由.。
【高中教育】2020(衡水金卷)普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题五理
（1）求椭圆的标准方程；
（2）动直线交椭圆于，两径为，且，求
21。已知函数，，其中为常数。
（1）当，且时，求函数的单调区间及极值；
（2）已知，，若函数有2个零点，有6个零点，试确定的值。
A． B． C。 或或不存在 D．或
10。 已知抛物线的焦点为,双曲线的右焦点为，过点的直线与抛物线在第一象限的交点为，且抛物线在点处的切线与直线垂直，则的最大值为（ ）
A． B． C。 D．2
11。 已知函数的导函数 (其中为自然对数的底数)，且，为方程的两根，则函数，的值域为（ ）
A． B． C。 D．
19。 解：（1）由频率分布直方图可知，得分在的频率为，故抽取的学生答卷数为，又由频率分布直方图可知，得分在的频率为0。2，所以。
又，得，所以。
。
（2）“合格”与“不合格”的人数比例为，因此抽取的10人中“合格”有6人，“不合格”有4人，所以有40，35，30，25，20共5种可能的取值。4
，，
，，
A．8 B．10 C。 12 D．16
7。 下列函数在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（ ）
A． B． C。 D．
8。下面推理过程中使用了类比推理方法，其中推理正确的个数是
①“数轴上两点间距离公式为，平面上两点间距离公式为”，类比推出“空间内两点间的距离公式为“；
AB|=√(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)
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2020-2021学年最新高考总复习数学(文)高考全真模拟训练试题及答案解析
最新高考数学全真模拟试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|﹣2≤x ＜0}，B={x|x ＜﹣1}，则A ∩B=（ ） A ．（﹣∞，﹣2]∪（﹣1，+∞） B ．[﹣2，﹣1） C ．（﹣∞，﹣1） D ．（﹣2，+∞） 2．等差数列{a n }中，a 4+a 8=﹣2，则a 6（a 2+2a 6+a 10）的值为（ ） A ．4 B ．8 C ．﹣4 D ．﹣8 3．定义：=ad ﹣bc ，若复数z 满足=﹣1﹣i ，则z 等于（ ）A ．1+iB ．1﹣iC ．﹣iD ．3﹣i4．在1，2，3，4四个数中随机地抽取一个数记为a ，再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b ，则“不是整数”的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．5．设命题p ： =（m ，m+1），=（2，m+1），且∥；命题q ：关于x 的函数y=（m ﹣1）log a x （a ＞0且a ≠1）是对数函数，则命题p 成立是命题q 成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不重充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不不要条件6．执行如图所示程序图，若N=7时，则输出的结果S 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上过F 的两个端点，设线段AB 的中点M 在l 上的摄影为N ，则的值是（ ）A ．B ．1C ．D ．28．已知函数f （x ）=，则f （f （））=（ ）A ．3B ．1C ．﹣1D ．﹣39．△ABC 中，，，D 是BC 边中垂线上任意一点，则的值是（ ）A ．1B ．C ．D ．﹣1 10．已知F 1，F 2分别是双曲线﹣=1（a ＞0）的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，若∠F 1PF 1=60°，则△F 1PF 2的面积是（ ）A．B．4 C．2 D．11．已知正四面体的棱长，则其外接球的表面积为（）A．8πB．12π C．πD．3π12．如图为一半径是4米的水轮，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每分钟旋转5圈，水轮上的点P到水面的距离y（米）与时间x（秒）满足函数关系y=Asin（ωx+φ）+1，则（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若函数为奇函数，则实数a=_______．14．某师傅用铁皮制作一封闭的工件，其直观图的三视图如图示（单位长度：cm，图中水平线与竖线垂直），则制作该工件用去的铁皮的面积为_______cm2．（制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不计）15．若实数x，y满足，则的最大值是_______．16．已知数列{an }的前n项和为Sn，若2Sn+3=3an（n∈N*），则数列{an}的通项公式an=_______．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2acosB=2c﹣b．（1）求角A；（2）若a是b，c的等比中项，判断△ABC的形状，并说明理由．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PDC是正三角形，底面ABCD是边长为的菱形，∠DAB=120°，且侧面PDC与底面垂直，M为PB的中点．（1）求证：PA⊥CD；（2）求三棱锥A﹣CDM的体积．19．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米及其以上空气质量为超标．某试点城市环保局从该市市区2011年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取6天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶），若从这6天的数据中随机抽出2天．（Ⅰ）求恰有一天空气质量超标的概率；（Ⅱ）求至多有一天空气质量超标的概率．20．过椭圆的右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，F1为其左焦点，已知△AF1B的周长为，椭圆的离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）设P为椭圆C的下顶点，椭圆C与直线相交于不同的两点M、N．当|PM|=|PN|时，求实数m的值．21．已知函数f（x）=4lnx+a（1﹣x）．（1）若f（x）的单调性；（2）当f（x）有最大值，且最大值大于a﹣4时，求实数a的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB，且（1）证明：直线AC与△BDE的外接圆相切；（2）求EC的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立平面直角坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=﹣4cosθ．（1）求曲线C1和C2交点的直角坐标；（2）A、B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x|，g（x）=﹣|x﹣a|+m．（1）解关于x的不等式g[f（x）]+2﹣m＞0；（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求实数m的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|﹣2≤x＜0}，B={x|x＜﹣1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，﹣2]∪（﹣1，+∞）B．[﹣2，﹣1）C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣2，+∞）【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A=[﹣2，0），B=（﹣∞，﹣1），∴A∩B=[﹣2，﹣1），故选：B．2．等差数列{an }中，a4+a8=﹣2，则a6（a2+2a6+a10）的值为（）A．4 B．8 C．﹣4 D．﹣8 【考点】等差数列的通项公式．【分析】由等差数列性质得a4+a8=2a6=﹣2，解得a6=﹣1，由此能求出结果．【解答】解：∵等差数列{an }中，a4+a8=﹣2，∴a4+a8=2a6=﹣2，解得a6=﹣1，∴a6（a2+2a6+a10）=a6×4a6=4．故选：A．3．定义： =ad﹣bc，若复数z满足=﹣1﹣i，则z等于（）A．1+i B．1﹣i C．﹣i D．3﹣i【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用新定义直接化简=﹣1﹣i，则iz=1，求出复数z，它的分子、分母同乘分母的共轭复数，进行化简可得答案．【解答】解：根据定义=﹣zi﹣i=﹣1﹣i，则iz=1，∴．故选：C．4．在1，2，3，4四个数中随机地抽取一个数记为a，再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b，则“不是整数”的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数，再求出“不是整数”包含的基本事件个数，由此能求出“不是整数”的概率．【解答】解：∵在1，2，3，4四个数中随机地抽取一个数记为a，再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b，∴基本事件总数n=4×3=12，“不是整数”包含的基本事件有，，，，，，，，共8个，∴“不是整数”的概率p==．故选：C．5．设命题p： =（m，m+1），=（2，m+1），且∥；命题q：关于x的函数y=（m﹣1）x（a＞0且a≠1）是对数函数，则命题p成立是命题q成立的（）logaA．充分不必要条件B．必要不重充分条件C．充要条件 D．既不充分也不不要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】命题p： =（m，m+1），=（2，m+1），且∥，利用向量共线定理即可得出mx（a＞0且a≠1）是对数函数，可得m﹣1=1，的值．命题q：关于x的函数y=（m﹣1）logax＞0，解得m．即可判断出结论．【解答】解：∵命题p： =（m，m+1），=（2，m+1），且∥，∴2（m+1）﹣m（m+1）=0，和化为（m+1）（m﹣2）=0，解得m=﹣1或2；x（a＞0且a≠1）是对数函数，∴m﹣1=1，x＞0，解命题q：关于x的函数y=（m﹣1）loga得m=2．则命题p成立是命题q成立的必要不充分条件．故选：B．6．执行如图所示程序图，若N=7时，则输出的结果S的值为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】该算法的功能是求S=…的值，由裂项法即可求得S的值．【解答】解：由程序框图知：该算法的功能是求S=…的值，跳出循环时的k值为7，输出的S=…=1﹣++…+=1﹣=．故选：C．7．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上过F的两个端点，设线段AB的中点M在l上的摄影为N，则的值是（）A．B．1 C．D．2【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的性质和梯形的中位线定理可得出|MN|=（|AF|+|BF|）=|AB|．【解答】解：过A作AP⊥l于P，过B作BQ⊥l于Q，则|AP|=|AF|，|BQ|=|BF|．∵M为AB的中点，∴|MN|=（|AP|+|BQ|）=（|AF|+|BF|）=|AB|．∴=．故选：A．8．已知函数f（x）=，则f（f（））=（）A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3【考点】分段函数的应用；函数的值．【分析】利用分段函数的解析式，由里及外逐步求出函数值即可．【解答】解：函数f（x）=，则f（f（））=f（ln）=f（﹣1）=﹣1﹣2=﹣3．故选：D．9．△ABC中，，，D是BC边中垂线上任意一点，则的值是（）A．1 B．C．D．﹣1【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意作图辅助，设BC的中点为E，从而可得=（﹣）•=•=（+）•（﹣），从而解得．【解答】解：由题意作图如右图，设BC的中点为E，则=（﹣）•=•﹣•=•=（+）•（﹣）=（﹣）=1，故选：A ．10．已知F 1，F 2分别是双曲线﹣=1（a ＞0）的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，若∠F 1PF 1=60°，则△F 1PF 2的面积是（ ） A ．B ．4C ．2D ．【考点】双曲线的简单性质． 【分析】由题意可得F 2（，0），F 1（﹣，0），由余弦定理可得 PF 1•PF 2=16，由S=PF 1•PF 2sin60°，即可求得△F 1PF 2的面积． 【解答】解：由题意可得F 2（，0），F 1（﹣，0），在△PF 1F 2中，由余弦定理可得F 1F 22=16+4a 2=PF 12+PF 22﹣2PF 1•PF 2cos60° =（PF 1﹣PF 2）2+PF 1•PF 2=4a 2+PF 1•PF 2， 即有PF 1•PF 2=16． 可得S △=PF 1•PF 2sin60°=×16×=4．故选：B ．11．已知正四面体的棱长，则其外接球的表面积为（ ） A ．8π B ．12π C ．πD ．3π【考点】球的体积和表面积．【分析】将正四面体补成一个正方体，正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，即可得出结论．【解答】解：将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为1，正方体的对角线长为， ∵正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长， ∴正四面体的外接球的半径为∴外接球的表面积的值为4πr 2=4=3π．故选：D ．12．如图为一半径是4米的水轮，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每分钟旋转5圈，水轮上的点P到水面的距离y（米）与时间x（秒）满足函数关系y=Asin（ωx+φ）+1，则（）A．B．C．D．【考点】在实际问题中建立三角函数模型．【分析】由题意可得：T==，可得ω，由图象可知：y的最大值为5，sin（ωx+φ）=1时取得最大值，可得5=A+1，解得A．故选：A．【解答】解：由题意可得：T==，可得ω=，由图象可知：y的最大值为5，sin（ωx+φ）=1时取得最大值，∴5=A+1，解得A=4．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若函数为奇函数，则实数a= 1 ．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据奇函数的性质得f（﹣x）=﹣f（x），代入解析式化简后求出a的值．【解答】解：因为函数为奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），即，化简得，，则a=1，故答案为：1．14．某师傅用铁皮制作一封闭的工件，其直观图的三视图如图示（单位长度：cm，图中水平线与竖线垂直），则制作该工件用去的铁皮的面积为cm2．（制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不计）【考点】由三视图求面积、体积．【分析】本题以实际应用题为背景考查立体几何中的三视图．由三视图可知，该几何体的形状如图，它是底面为正方形，各个侧面均为直角三角形[的四棱锥，用去的铁皮的面积即该棱锥的表面积【解答】解：由三视图可知，该几何体的形状如图，它是底面为正方形，各个侧面均为直角三角形的四棱锥，用去的铁皮的面积即该棱锥的表面积，其底面边长为10，故底面面积为10×10=100与底面垂直的两个侧面是全等的直角，两直角连年长度分别为10，20，故它们的面积皆为100另两个侧面也是全等的直角三角形，两直角边中一边是底面正方形的边长10，另一边可在与底面垂直的直角三角形中求得，其长为=10，故此两侧面的面积皆为50故此四棱锥的表面积为cm2．故答案为：15．若实数x，y满足，则的最大值是 2 ．【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合的几何意义求出其最大值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得A（1，2），而的几何意义表示平面区域内的点到原点0的斜率，显然OA的斜率最大，故的最大值是2，故答案为：2．16．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若2S n +3=3a n （n ∈N *），则数列{a n }的通项公式a n = 3n ．【考点】数列递推式．【分析】通过2a n+1=2S n+1﹣2S n 整理得a n+1=3a n ，进而可知数列{a n }是首项、公比均为3的等比数列，计算即得结论．【解答】解：∵2S n +3=3a n （n ∈N *），∴2S n+1+3=3a n+1（n ∈N *），两式相减得：2a n+1=3a n+1﹣3a n ，整理得：a n+1=3a n ，又∵2S 1+3=3a 1，即a 1=3，∴数列{a n }是首项、公比均为3的等比数列，∴a n =3n ，故答案为：3n ．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足2acosB=2c ﹣b ．（1）求角A ；（2）若a 是b ，c 的等比中项，判断△ABC 的形状，并说明理由．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由已知等式及正弦定理，结合两角和的正弦函数公式化简可得2cosAsinB=sinB ，又sinB ≠0，可得cosA=，结合范围0＜A ＜π，即可求得A 的值．（2）由（1）知，由余弦定理，得a 2=b 2+c 2﹣bc ．又a 是b ，c 的等比中项，可得bc=b 2+c 2﹣bc 即解得b=c ，从而得解．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵2acosB=2c ﹣b ，由正弦定理，得2sinAcosB=2sinC ﹣sinB …而sinC=sin （A+B ）=sinAcosB+cosAsinB …∴2cosAsinB=sinB ，在△ABC ，sinB ≠0，故cosA=，∵0＜A ＜π，∴A=…（2）△ABC 是等边三角形，…理由如下：由（1）可知，在△ABC 中，由余弦定理，得a 2=b 2+c 2﹣bc ． … 由a 是b ，c 的等比中项，得a 2=bc ，所以bc=b 2+c 2﹣bc 即（b ﹣c ）2=0，从而b=c … 故△ABC 是等边三角形． …18．如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，侧面PDC 是正三角形，底面ABCD 是边长为的菱形，∠DAB=120°，且侧面PDC 与底面垂直，M 为PB 的中点．（1）求证：PA ⊥CD ；（2）求三棱锥A ﹣CDM 的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）由已知结合面与面垂直的性质可得CD⊥平面APO，再由线面垂直的定义得到PA⊥CD；（2）由题意求得P到底面的距离，然后把三棱锥A﹣CDM的体积转化为三棱锥M﹣ACD的体积求解．【解答】（1）证明：取DC的中点O，连接OP，OA，由△PDC是正三角形，有PO⊥DC．在菱形ABCD中，由于∠ADC=60°，，，有AO⊥CD．又PO⊥CD，OA∩OP=O，则CD⊥平面APO，PA⊂平面APC，即CD⊥PA；（2）解：∵PO⊥CD，平面PCD⊥平面ABCD，∴PO⊥底面ABCD，∵PDC是正三角形，且PD=，∴PO=．∵M是PB的中点，∴M到底面ABCD的距离，．19．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米及其以上空气质量为超标．某试点城市环保局从该市市区2011年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取6天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶），若从这6天的数据中随机抽出2天．（Ⅰ）求恰有一天空气质量超标的概率；（Ⅱ）求至多有一天空气质量超标的概率．【考点】茎叶图；古典概型及其概率计算公式．【分析】先由茎叶图求出：6天有4天空气质量未超标，有2天空气质量超标，记未超标的4天为a，b，c，d，超标的两天为e，f．从而可求从6天抽取2天的情况的事件数（Ⅰ）求出6天中抽取2天，恰有1天空气质量超标的事件数，代入等可能事件的个数即可求解（Ⅱ）记至多有一天空气质量超标为事件B，2天都超标”为事件C，利用对立事件的概率P （B）=1﹣P（C）可求【解答】解：由茎叶图知：6天有4天空气质量未超标，有2天空气质量超标．…记未超标的4天为a，b，c，d，超标的两天为e，f．从6天抽取2天的情况：ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef，基本事件数为15（Ⅰ）记“6天中抽取2天，恰有1天空气质量超标”为事件A，可能结果为：ae，af，be，bf，ce，cf，de，df，基本事件数为8．∴；…（Ⅱ）记“至多有一天空气质量超标”为事件B，“2天都超标”为事件C，其可能结果为ef，…故，…∴．…20．过椭圆的右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，F1为其左焦点，已知△AF1B的周长为，椭圆的离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）设P为椭圆C的下顶点，椭圆C与直线相交于不同的两点M、N．当|PM|=|PN|时，求实数m的值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆定义可得：4a=，离心率计算公式，及其，即可得出．（2）直线方程与椭圆方程联立，利用根与系数的关系、中点坐标公式、等腰三角形的性质即可得出．【解答】解：（1）由椭圆定义知，，由，得c=， =1．椭圆C的方程为．（2）由方程组，设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为E（x，y），则．∴∴由|PM|=|PN|得PE⊥MN，又P（0，﹣1）∴，∴m=1．满足△=12m2﹣24（m2﹣1）＞0．综上m=1．21．已知函数f（x）=4lnx+a（1﹣x）．（1）若f（x）的单调性；（2）当f（x）有最大值，且最大值大于a﹣4时，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；（2）求出f（x）的最大值，得到关于a的不等式，求出a的范围即可．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），对f（x）求导得…①当a≤0时，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增；②当a＞0时，，若，f'（x）＞0，f（x）单调递增．若，f'（x）＜0，f（x）单调递减．…综上，a≤0时，f（x）在（0，+∞）单调递增；a＞0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减…（2）由（1）a＞0且时，f（x）取得最大值故．…＞a﹣4得，，解得0＜a＜4，又由f（x）max故所求a的取值范围为（0，4）．…请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB，且（1）证明：直线AC与△BDE的外接圆相切；（2）求EC的长．【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．【分析】（1）取BD的中点为O，连接OE，由角平分线的定义和两直线平行的判定和性质，结合圆的切线的定义，即可得证；（2）设△BDE的外接圆的半径为r，运用直角三角形的勾股定理，和直角三角形的性质，即可得到所求EC的长．【解答】解：（1）证明：取BD的中点为O，连接OE，由BE平分∠ABC，可得∠CBE=∠OBE，又DE⊥EB，即有OB=OE，可得∠OBE=∠BEO，可得∠CBE=∠BEO，即有BC∥OE，可得∠AEO=∠C=90°，则直线AC与△BDE的外接圆相切；（2）设△BDE的外接圆的半径为r，在△AOE 中，OA 2=OE 2+AE 2， 且即（r+2）2=r 2+62，解得r=2，OA=4，由OA=2OE ，可得∠A=30°，∠AOE=60°，可得∠CBE=∠OBE=30°，BE=2rsin60°=r ，则EC=BE=•r=××2=3．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C 1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立平面直角坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ=﹣4cos θ．（1）求曲线C 1和C 2交点的直角坐标；（2）A 、B 两点分别在曲线C 1与C 2上，当|AB|最大时，求△OAB 的面积．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）由得，两式平方作和可得直角坐标方程，由ρ=﹣4cos θ可得：ρ2=ρcos θ，把ρ2=x 2+y 2，x=ρcos θ，代入可得直角坐标方程，联立解得交点坐标．（2）由平面几何知识可知，当A 、C 1、C 2、B 依次排列且共线时|AB|最大，此时，O 到直线AB 的距离为，即可得出．【解答】解：（1）由得两式平方作和得：x 2+（y ﹣2）2=4，即x 2+y 2﹣4y=0．①由ρ=﹣4cos θ⇒ρ2=ρcos θ，即x 2+y 2=﹣4x ②②﹣①：x+y=0，代入曲线C 1的方程得交点为（0，0）和（﹣2，2）．（2）由平面几何知识可知，当A 、C 1、C 2、B 依次排列且共线时|AB|最大，此时，O 到直线AB 的距离为，∴△OAB 的面积为：．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f （x ）=|x|，g （x ）=﹣|x ﹣a|+m ．（1）解关于x 的不等式g[f （x ）]+2﹣m ＞0；（2）若函数f （x ）的图象恒在函数g （x ）图象的上方，求实数m 的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数的值域；分段函数的应用．【分析】（1）根据绝对值不等式的解法进行求解即可．（2）若函数f （x ）的图象恒在函数g （x ）图象的上方，等价为f （x ）＞g （x ）恒成立，利用绝对值的运算性质进行求解即可．【解答】解：（1）由g[f （x ）]+2﹣m ＞0得||x|﹣a|＜2，∴﹣2＜|x|﹣a ＜2，∴a ﹣2＜|x|＜a+2故：当a ≥2时，不等式的解集为{x|﹣a ﹣2＜x ＜﹣a+2或a ﹣2＜x ＜a+2}当﹣2＜a ＜2时，不等式的解集为{x|﹣a ﹣2＜x ＜a+2}当a ≤﹣2时，不等式的解集为空集． …（2）∵函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方∴f（x）＞g（x）恒成立，即m＜|x﹣a|+|x|恒成立…∵|x﹣a|+|x|≥|（x﹣a）﹣x|=|a|．∴m的取值范围为（﹣∞，|a|）．…2016年9月9日。
2020-2021学年最新高考总复习数学(文)高考模拟试题及答案解析一高考模拟题
2
B．
2015
4
C．
2015
D．
4030
12 ．对于函数 f (x) ，若存在区间 A [ m， n] ，使得 y | y f ( x)，x A A ，则称函
数 f ( x) 为“可等域函数” ，区间 A 为函数 f (x) 的一个“可等域区间” ．下列函数中存在
唯一“可等域区间”的“可等域函数”为 (
11 若 a ,d ,
34 求证： 2 M .
b | b ai a j ak ,i , j, k N *,1 i j k 16 }
A
C D
B
20. （本小题满分 12 分）
x2 已知椭圆 C 的方程为 m2
y2 4 m2
1(m 0) ，如图所示，在平面直角
坐标系 xoy 中， ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(1,0),B(0,2), C(1,2)
最新高考模拟考试卷
数 学 （文科）
本试卷分第Ⅰ卷 （选择题） 和第第Ⅱ卷 （非选择题） 两部分 .满分 150 分,考试时间 120 分钟 .
第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分)
一. 选择题 : 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中 ,只
有一项符合题目要求的 .
2
①当
2
m 1 时， M , N 在线段 A, B 上，此时 S S ABC 1
当且仅当 M , N 分别与 A, B 重合时等号成立
②当 1 m 2 时，点 M , N 分别在线段 BC, AC 上易得 M ( m2 1,2) ，
( a,c),( a, d ),( a, e),( a, f ),( b, c),( b, d),( b,e),( b, f ) 共 8 种