和圆有关的计算
圆的判定和相关计算
圆的判定和相关计算一、圆的定义与特性1.圆是平面上所有与给定点（圆心）距离相等的点的集合。
2.圆心：圆的中心点，用符号“O”表示。
3.半径：从圆心到圆上任意一点的距离，用符号“r”表示。
4.直径：通过圆心，并且两端点都在圆上的线段，用符号“d”表示。
5.圆周：圆的边界，即圆上所有点的集合。
6.圆弧：圆上任意两点间的部分。
7.圆周率（π）：圆的周长与其直径的比值，约等于3.14159。
二、圆的判定1.定理1：如果一个多边形的所有边都相等，那么这个多边形是圆。
2.定理2：到定点的距离等于到定直线的距离的点轨迹是圆。
3.定理3：圆心角相等的两条弧所对的圆周角相等。
4.定理4：同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。
三、圆的计算1.圆的周长（C）：圆的周长等于圆周率乘以直径，即C = πd。
2.圆的面积（A）：圆的面积等于圆周率乘以半径的平方，即A = πr²。
3.圆弧的长度（l）：圆弧的长度等于圆周率乘以圆心角（以弧度为单位）再乘以半径，即l = θr（θ为圆心角的弧度数）。
4.圆的内接多边形面积：圆的内接正多边形面积可以通过半径和边长计算得出，公式为A = (s² * n) / (4 * tan(π/n))，其中s为边长，n为边数。
四、圆与直线的关系1.定理5：直线与圆相交，当且仅当直线的距离小于圆的半径。
2.定理6：直线与圆相切，当且仅当直线的距离等于圆的半径。
3.定理7：直线与圆相离，当且仅当直线的距离大于圆的半径。
五、圆的位置关系1.外切：两个圆的外部边界相切。
2.内切：两个圆的内部边界相切。
3.相离：两个圆的边界没有交点。
4.相交：两个圆的边界有交点。
5.包含：一个圆完全包含在另一个圆内部。
六、圆的特殊性质1.等圆：半径相等的两个圆。
2.同心圆：圆心重合的两个或多个圆。
3.直角圆周角定理：圆周角等于其所对圆心角的一半。
4.四边形内切圆：一个四边形的四个顶点都在圆上，这个圆称为四边形的内切圆。
与圆有关的计算题
与圆有关的计算题（含解析）1. 将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水部分的面积是( )A. (163π−4√3)cm2 B. (163π−8√3)cm2C. (83π−4√3)cm2 D. (43π−8√3)cm22. 如图所示，两个半径均为√3的⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，且每个圆都经过另一个圆的圆心，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）3. 如图所示，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B=135∘，则AC⏜的长为( )A. 2πB. πC. π2D. π34. 如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2，正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切，⋯按这样的规律进行下去，正六边形A10B10C10D10E10F10的边长为( )A. 24329B. 81√329C. 8129D. 81√3285. 如图所示，用一个半径为30cm，面积为300πcm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径r为( )A. 5cmB. 10cmC. 20cmD. 5πcm6. 如图所示，等腰直角△ABC中，AB=AC=8，以AB为直径的半圆O交斜边BC于D，则阴影部分面积为（结果保留π）( )A. 24−4πB. 32−4πC. 32−8π√2D. 167. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB=( )A. 30∘B. 35∘C. 45∘D. 60∘8. 若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心角为240∘的扇形，则这个圆锥的底面半径长是( )A. 6cmB. 9cmC. 12cmD. 18cm9. 如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90∘，以AB的中点D为圆心，作圆心角为90∘的扇形DEF，点C恰在EF⏜上，设∠BDF=α(0∘<α<90∘)，当α由小到大变化时，图中阴影部分的面积( )A. 由小到大B. 由大到小C. 不变D. 先由小到大，后由大到小10. 将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30∘，得正方形AB1C1D1，B1C1交CD于点E，AB=√3，则四边形AB1ED的内切圆半径为( )A. √3+12B. 3−√32C. √3+13D. 3−√3311. 如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O半径为4，则这个正六边形的边心距OM和BC弧线的长分别为( )A. 2，π3B. 2√3，π C. √3，2π3D. 2√3，4π312. 若两个扇形满足弧长的比等于它们的半径的比，则称这两个扇形相似．如图所示，如果扇形OAB与扇形O1A1B1是相似扇形，且半径OA:O1A1=k（k为不等于0的常数），那么下面的四个结论：①∠AOB=∠A1O1B1；②△AOB∽△A1O1B1；③ABA1B1=k；④扇形OAB与扇形O1A1B1的面积之比为k2．成立的个数为( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个13. 如图是一块△ABC余料，已知AB=20cm，BC=7cm，AC=15cm，现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是( )A. πcm2B. 2πcm2C. 4πcm2D. 8πcm214. 已知扇形的圆心角为120∘，所对的弧长为8π3，则此扇形的面积是．15. 如图所示，PA是⊙O的切线，A是切点，PA=4，OP=5，则⊙O的周长为（结果保留π）．16. 如图所示，点A，B，C在⊙O上，⊙O的半径为9，AB⏜的长为2π，则∠ACB的大小是．17. 一个圆锥的底面半径为1厘米，母线长为2厘米，则该圆锥的侧面积是厘米2（结果保留π）．18. 如图所示，在边长为4的正方形ABCD中，先以点A为圆心，AD的长为半径画弧，再以AB边的中点为圆心，AB长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分面积是（结果保留π）．19. 如图，已知C，D是以AB为直径的半圆周上的两点，O是圆心，半径OA=2，∠COD=120∘，则图中阴影部分的面积等于．20. 如图，从直径是2米的圆形铁皮上剪出一个圆心角是90∘的扇形ABC（A，B，C三点在⊙O上），将剪下来的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径是米．⏜于点E．以点O为圆21. 如图，在扇形AOB中，∠AOB=90∘，点C为OA的中点，CE⊥OA交AB⏜交OB于点D．若OA=2，则阴影部分的面积为．心，OC的长为半径作CD22. 如图，菱形OABC的顶点A的坐标为(2,0)，∠COA=60∘，将菱形OABC绕坐标原点O逆时针旋转120∘得到菱形ODEF．（1）直接写出点F的坐标；（2）求线段OB的长及图中阴影部分的面积．23. 如图①所示，半径为R，圆心角为n∘的扇形面积是S扇形=nπR2360．由弧长l=nπR180，得S扇形=nπR2 360=12⋅nπR180⋅R=12lR．通过观察，我们发现S扇形=12lR类似于S三角形=12×底×高．类比扇形，我们探索扇环（如图②所示，两个同心圆围成的圆环被扇形截得的一部分叫做扇环）的面积公式及其应用．（1）设扇环的面积为S扇形，AB⏜的长为l1，CD⏜的长为l2，线段AD的长为ℎ（即两个同心圆半径R与r的差）．类比S梯形=12×（上底+下底）×高，用含l1，l2，ℎ的代数式表示S扇环，并证明．（2）用一段长为40m的篱笆围成一个如图②所示的扇环形花园，线段AD的长ℎ为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少?24. 如图所示，“凸轮”的外围是由以正三角形的顶点为圆心，正三角形的边长为半径的三段等弧组成．已知正三角形的边长为a，则“凸轮”的周长等于( )A. πaB. 2πaC. 12πa D. 13πa25. 如图所示，扇形OAB是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长均为1厘米，则这个圆锥的底面半径为( )A. 12厘米 B. √22厘米 C. √2厘米 D. 2√2厘米26. 如图所示，圆锥底面直径为6cm，母线长为12cm，则其侧面展开图的扇形的圆心角为( )A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘27. 如图是某集合体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积是( )A. acπB. bcπC. 12acπD. 12bcπ28. 如图所示，在 Rt △ABC 中，∠C =90∘，AC =3，BC =4，以直角边为轴，把 △ABC 旋转 1 周，则所得几何体的全面积是 ( )A. 20πB. 36πC. 15π 或 20πD. 24π 或 36π29. 如图所示，在 Rt △ABC 中，∠BAC =90∘，AB =1，如果将该三角形绕点 A 按顺时针方向旋转到 △AB 1C 1 的位置，点 B 1 恰好落在边 BC 的中点处，CC 1⏜ 是点 C 到点 C 1 所经过的路径，阴影部分的面积为 ( )A. π2−√34B. π2+√34C. π−√34D. π4−√3430. 如图所示，四边形OBCA为正方形，图①是以AB为直径画半圆，阴影部分面积记为S1，图②是以O为圆心，OA长为半径画弧，阴影部分面积记为S2，则S1，S2的大小关系为( )A. S1<S2B. S1=S2C. S1>S2D. 无法判断31. 如图所示，已知点A为⊙O内一点，点B，C均在圆上，∠OCB=30∘，∠A=∠ABC=45∘，线段OA=√3−1，则阴影部分的周长为( )A. 4π3+2√3 B. 2π3+2√3 C. 4π3+√3 D. 2π3+√332. 已知正方形的内切圆O的半径为2，如图所示，正方形的四个角上分别有一个直角三角形，如果直角三角形的第三边与圆O相切且分别与正方形的一条对角线平行，那么阴影部分的面积为( )A. 32√2−32−4πB. √2C. 1D. 16−4π33. 如图所示，在平面直角坐标系中，边长为6的正六边形ABCDEF的对称中心与原点O重合，点A在x轴上，点B在反比例函数y=k位于第一象限的图象上，则k的值为( )xA. 9√2B. 9√3C. 3√3D. 3√234. 如图①所示，在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成图②所示的一个圆锥模型，则圆的半径r与扇形的半径R之间的关系为( )A. R=2rB. R=rC. R=3rD. R=4r35. 如图所示，有一个边长为1的正六边形ABCDEF，其中C，D坐标分别为(1,0)和(2,0)，若在无滑动的情况下，将这个正六边形沿着x轴向右滚动，则在滚动过程中，这个正六边形的顶点A，B，C，D，E，F中，会过点(2014,2)的是( )A. 点BB. 点CC. 点DD. 点E36. 如图所示，正六边形ABCDEF的边长为R，分别以点C，F为圆心，R为半径画弧，则图中阴影部分的弧长为．37. 如图所示，一个扇形铁皮OAB．已知OA=6cm，∠AOB=120∘，小华将OA，OB合拢制成了一个圆锥形烟囱帽（接缝忽略不计），则烟囱帽的底面圆的半径为．38. 如图所示，在边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O与大正方形的四个边相切，则图中阴影部分两个小扇形的面积之和为（结果保留π）．39. 如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90∘，AB=2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90∘的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为．40. 如图所示，在边长为2的正六边形ABCDEF中，点P是其对角线BE上一动点，连接PC，PD，则△PCD的周长的最小值是．41. 如图所示，正六边形ABCDEF的边长为2√3cm，点P为六边形内任一点．则点P到各边距离之和为cm42. 如图所示的粮仓可以看成圆柱体与圆锥体的组合体，已知其底面半径为6米，高为4米，下方圆柱高为3米．（1）求该粮仓的容积．（2）求上方圆锥的侧面积．（计算结果保留根号）．43. 如图所示，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF=40∘，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．答案第一部分1. A 【解析】由垂径定理可得 AC =BC ，OC ⊥AB ．∵OA =OB =4，CD =2，∴OC =2．∴∠AOC =60∘，AC =2√3．可得 ∠AOB =120∘，AB =4√3．可得扇形 OAB 的面积为120π⋅42360=163π． S △OAB =12×4√3×2=4√3．∴ 杯底有水部分的面积为 (163π−4√3)cm 2．第二部分2. 2π−3√3【解析】连接 O 1O 2，过点 O 1 作 O 1C ⊥AO 2 于点 C ，由题意得 AO 1=O 1O 2=AO 2=√3，∴△AO 1O 2 是等边三角形．∴CO1=O1O2，sin60∘=√32．∴S△AO1O2=3√34．∴S扇形O1AO2=60π×(√3)2360=π2．∴S弓形AO2=S扇形O1AO2−S△AO1O2=π2−3√34．∴图中阴影部分的面积为4(π2−3√34)=2π−3√3．第三部分3. B 【解析】连接AO，CO．∵∠B=135∘，∴∠D=45∘．∴∠AOC=90∘．根据弧长公式得l=nπr180=90×π×2180=π．4. D 【解析】如图所示：设正六边形A1B1C1D1E1F1相邻两边A1B1和A1F1与⊙O的切点分别为B2和A2，连接OA2，OB2，OA1与A2B2的交点为M，则A2B2=2B2M，A1B1=2A1B2 .由题意可知 ∠A 1B 2M =30∘，OA 1⊥A 2B 2，B 2M =√32A 1B 2 ， 所以 A 2B 2=√32A 1B 1，⋯⋯ 所以 A n B n =(√32)n−1A 1B 1 ， 根据这个规律 A 10B 10=(√32)9A 1B 1=(√32)9×2=81√328. 5. B 【解析】设扇形铁皮的半径和弧长分别为 R ，l ，圆锥形容器底面半径为 r .则由题意得 R =30 .由 12Rl =300π ，得 l =20π．由 2πr =l ，得 r =10 cm ．6. A 【解析】如图所示，连接 AD ，OD ．∵ 等腰直角 △ABC 中，AB =AC =8，∴AD =4√2，AO =DO =4．∴ 阴影部分面积 =S 梯形AODC −S 扇形OAD =(4+8)×42−90π×42360=24−4π．7. A 【解析】连接OA，则∠OAP=90∘．根据正六边形与圆的性质，可知∠OAB=60∘，所以∠PAB=30∘．8. C 【解析】提示：利用扇形的弧长等于圆锥底面周长即可求出圆锥的底面半径长.9. C 【解析】作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，连接DC．∵CA=CB，∠ACB=90∘，∴∠A=∠B=45∘．∴DM=√22AD=√24AB，DN=√22BD=√24AB，∴DM=DN，∴四边形DMCN是正方形，∴∠MDN=90∘．∵∠MDG=90∘−∠GDN，∠NDH=90∘−∠GDN，∴∠MDG=∠NDH．在△DMG和△DNH中，{∠MDG=∠NDH, DM=DN,∠DMG=∠DNH.∴△DMG≌△DNH，∴四边形DGCH的面积=正方形DMCN的面积．∵ 正方形 DMCN 的面积 =DM 2=18AB 2， ∴ 四边形 DGCH 的面积 =18AB 2．∵ 扇形 DEF 的面积 =90π⋅CD 2360=πAB 216，∴ 阴影部分的面积 = 扇形面积 − 四边形DGCH 的面积 =(π−2)AB 216（定值）．10. B 【解析】作 ∠DAB 1 与 ∠AB 1C 1 的角平分线交于点 O ，过 O 作 OF ⊥AB 1，则 ∠OAF =30∘，∠AB 1O =45∘，故 B 1F =OF =12OA ， 设 B 1F =x ，则 AF =√3−x ，故 (√3−x)2+x 2=(2x )2，解得 x =3−√32，负值舍去．∴ 四边形 AB 1ED 的内切圆半径为 3−√32．11. D 【解析】在正六边形中，连接 OB ，OC 可以得到 △OBC 为等边三角形，边长等于半径 4．因为 OM 为边心距，所以 OM ⊥BC .所以在边长为 4 的等边三角形中，边上的高 OM =2√3．BC⏜ 所对的圆心角为 60∘ . 由弧长计算公式得到 BC ⏜ 的长 =60360×2π×4=4π3． 12. D 【解析】由扇形相似的定义可得：nπr 180n 1πr 1180=r r 1，所以 n =n 1，故①正确； 因为 ∠AOB =∠A 1O 1B 1，OA:O 1A 1=k ，所以 △AOB ∽△A 1O 1B 1，故②正确；因为 △AOB ∽△A 1O 1B 1，故AB A 1B 1=OA O 1A 1=k ，故③正确； 由扇形面积公式 S =n 360⋅πr 2 可得到④正确．13. C 【解析】当 △ABC 内的圆与 △ABC 各边相切时面积最大，设 △ABC 的内切圆的半径为 r ．S △ABC =12⋅r ⋅(AB +BC +AC )=12⋅r ⋅42=21r ．过点 A 作 AD ⊥BC 交 BC 的延长线于点 D ．设 CD =x ，由勾股定理得：在 Rt △ABD 中，AD 2=AB 2−BD 2=400−(7+x )2， 在 Rt △ACD 中，AD 2=AC 2−CD 2=225−x 2，∴400−(7+x )2=225−x 2，解得 x =9，∴AD =12，∴S △ABC =12BC ⋅AD =12×7×12=42， ∴r =2，该圆的最大面积为：S =πr 2=π⋅22=4π(cm 2)．第四部分14. 16π3【解析】∵扇形的圆心角为120∘，所对的弧长为8π3，∴l=120π×R180=8π3，解得：R=4，则扇形面积为12Rl=16π3，故答案为：16π3．15. 6π16. 20∘【解析】提示：连接OA，OB .利用弧长公式可以求出∠AOB的度数，然后利用同弧所对的圆心角是圆周角的2倍可求出∠ACB的度数．17. 2π【解析】l底面圆=2π×1=2π .S 侧=12lR=12×2π×2=2π .18. 2π【解析】S阴影=S扇形ADB−S半圆AB=14π×16−12π×4=4π−2π=2π．19. 23π【解析】由题意可知，∠AOC+∠BOD=180∘−120∘=60∘，图中阴影部分的面积等于60×π×22360=23π．20. √24【解析】作OD⊥AC，连接AO．∴∠OAC=∠AOD=45∘．∵AO=1，∴AD=OD=√22，AC=√2．∵l=90π⋅√2180=√22π，∴2πr=√22π，∴r=√24．21. √32+π12【解析】连接OE，∵OC=1，OE=2，∴∠EOC=60∘，∴S阴影=S△ECO+S扇形EOB−S扇形COD=√32+π12．第五部分22. （1）F的坐标为(−2,0)．（2）已知OA=2，∠COA=60∘，则∠AOB=30∘．如图，连接AC，设交OB于G，则易知AC⊥OB．在Rt△OAG中，∠AOB=30∘，OA=2，则AG=1，故 OB =2OG =2×√22−12=2√3．由图易知，扇形 OBE 减去 △OBC 与 △ODE 的面积和即为阴影部分的面积，而其两个三角形的面积之和为菱形 OABC 的面积．S 阴影部分=S 扇形−S 菱形OABC =120∘360∘π⋅OB 2−4×12OG ⋅AG =4π−2√3． 23. （1） S 扇环=12(l 1+l 2)ℎ．证明：S 扇环=S 扇形OAB −S 扇形ODC =nπ360(R +r )(R −r )=12(nπR 180+nπr 180)⋅ℎ=12(l 1+l 2)ℎ.（2） 由 l 1+l 2+2ℎ=40，得 l 1+l 2=40−2ℎ．∴S 扇环=12(l 1+l 2)ℎ=12(40−2ℎ)⋅ℎ=−ℎ2+20ℎ=−(ℎ−10)2+100(0<ℎ<20).∴ 当 ℎ=10 时，S 扇环 有最大值为 100．∴ 当线段 AD 的长 ℎ 为 10 m 时，花园的面积最大，最大面积为 100 m 2．第六部分24. A 【解析】∵△ABC 是等边三角形，∴∠A =∠B =∠C =60∘，AB =CB =AC .∴AB ⏜=AC ⏜=CB ⏜=60⋅π⋅a 180=πa 3， ∴“凸轮”的周长等于 πa 3×3=πa .25. B【解析】提示：理由扇形的弧长等于圆锥的底面周长即可求出底面半径．26. D 【解析】侧面展开图的扇形的弧长等于底面圆的周长为 6π .×π×12 .利用弧长公式可得6π=n180解得n=90∘ .27. D28. D 【解析】∵∠C=90∘，AC=3，BC=4，∴AB=√AC2+BC2=5 .当以AC所在直线为轴，把△ABC旋转1周所得的圆锥的底面圆的半径为4，母线长为5，⋅2π⋅4⋅5=36π；所以圆锥的全面积=π⋅42+12当以BC所在直线为轴，把△ABC旋转1周所得的圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，⋅2π⋅3⋅5=24π，所以圆锥的全面积=π⋅32+12综上所述，所得几何体的全面积为24π或36π．29. A 【解析】连接C1C．由AB1是Rt△ABC的中线得BB1=AB1．又AB1是AB旋转所得，∴AB=AB1 .∴BB1=AB1=AB，∴△ABB1是等边三角形，∴∠B=∠BAB1=60∘．在Rt△ABC中，∠BAC=90∘，AB=1，∠B=60∘，∴AC=√3，BC=2．根据旋转的性质，得B1C1=BC=2，AC1=AC=√3，∠CAC1=∠BAB1=60∘，∴△CAC1是等边三角形，CC1=AC=√3，∵12+(√3)2=22，即 CB 12+CC 12=B 1C 12， ∴△B 1CC 1 是直角三角形．∵∠C 1CB 1=90∘，∴Rt △B 1CC 1 的面积为 12×1×√3=√32． ∵ 扇形 ACC 1 的面积为 60×π×(√3)2360=π2， 等边三角形 △CAC 1 的面积为 34√3．因此阴影部分的面积为 π2−34√3+√32=π2−√34． 30. B【解析】设正方形的边长是 1，则 AB =√2 .则 S 1=12π⋅(√22)2−12×1=π4−12=π−24，S 2=π4−12=π−24 .故 S 1=S 2．31. A 【解析】延长 AO 交 BC 于点 D ，连接 OB ．∵∠A =∠ABC =45∘，∴AD =BD ，∠ADB =90∘，即 AD ⊥BC ．∴BD =CD ．在 Rt △COD 中，设 OD =x ，∵∠OCB =30∘，∴∠COD =60∘，OC =2x ，CD =√3x ．∴∠COB =120∘．AD =√3x ．∴OA=AD−OD=√3x−x=(√3−1)x．而OA=√3−1，∴x=1，即OD=1，OC=2，BC=2CD=2√3．∴阴影部分的周长为120π×2180+2√3=4π3+2√3．32. A 【解析】如图，连接正方形的对角线交BC于D .∵直角三角形的第三边与圆O相切且分别与正方形的一条对角线平行，∴这四个直角三角形是等腰直角三角形．∵⊙O的半径为2，∴OA=2√2 .∴AD=2√2−2 .∴S△ABC=(2√2−2)2=12−8√2 .∵⊙O的面积是：4π，则阴影部分的面积=S正方形−4S△ABC−S⊙O=32√2−32−4π．33. B 【解析】提示：连接OB，可求出B点坐标为(3,3√3)，从而求出k的值．34. D 【解析】∵扇形的弧长=90πR180=πR2，圆的周长为2πr，∴πR2=2πr，R=4r．35. B【解析】如图所示，当滚动到AʹD⊥x轴时，E，F，A的对应点分别是Eʹ，Fʹ，Aʹ，连接AʹD，分别过点Fʹ，Eʹ作FʹG⊥AʹD，EʹH⊥AʹD .∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AʹFʹG=30∘．∴AʹG=12AʹFʹ=12，同理可得HD=12，∴AʹD=2．∵D(2,0)，∴Aʹ(2,2)，OD=2．∵正六边形滚动6个单位长度时正好滚动一周，∴从点(2,2)开始到点(2014,2)正好滚动2012个单位长度．∵20126=335⋯⋯2，∴恰好滚动335周多2个，∴会过点(2014,2)的是点C．第七部分36. 4πR337. 2cm【解析】提示：扇形的弧长等于圆锥底面周长．38. π439. π4−12【解析】连接 CD ，作 DM ⊥BC ，DN ⊥AC ．∵CA =CB ，∠ACB =90∘，点 D 为 AB 的中点，∴DC =12AB =1，四边形 DMCN 是 正方形，DM =√22． 则扇形 FDE 的面积是：90π×12360=π4． ∵CA =CB ，∠ACB =90∘，点 D 为 AB 的中点，∴CD 平分 ∠BCA ．∵DM ⊥BC ，DN ⊥AC ，∴DM =DN ．∵∠EDF =∠MDN =90∘，∴∠FDM =∠EDN ．∴△DMG ≌△DNH ，∴S 四边形DGCH =S 四边形DMCN =12． 则阴影部分的面积是：π4−12．40. 6【解析】要使 △PCD 的周长最小，即 PC +PD 最小．利用正多边形的性质可得点 C 关于 BE 的对称点为点 A ，连接 AD 交 BE 于点 Pʹ，那么有PʹC=PʹA，PʹC+PʹD=AD最小．又易知四边形ABCD为等腰梯形，∠BAD=∠CDA=60∘，则作BM⊥AD于点M，CN⊥AD于点N．∵AB=2，AB=1，∴AM=12∴AM=DN=1，从而AD=4，故△PCD的周长的最小值为6．41. 18【解析】过P作AB，DE的垂线，分别交AB，DE于H，K，连接BD．∵六边形ABCDEF是正六边形，∴AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF，且P到AF与CD的距离和及P到EF，BC的距离和均为HK的长，∵BC=CD，∠BCD=∠ABC=∠CDE=120∘，∴∠CBD=∠BDC=30∘，∴BD∥HK，且BD=HK．=6(cm)，过点C作CG⊥BD于点G，则BD=2BG=2×BC×cos∠CBD=2×2√3×√32∴点P到各边距离之和为3BD=3×6=18(cm)．第八部分×π×62×(4−3)=108π+12π=120π（立方米）．42. （1）体积V=π×62×3+13（2）圆锥的母线长为l=√62+12=√37（米）所以圆锥的侧面积为S=π×6×√37=6√37π（平方米）．43. 连接AD，如图所示．∵⊙A与BC相切于点D，∴AD⊥BC，且AD=2．又∠EAF=2∠EPF=80∘，而BC=4，∴S阴影=S△ABC−S扇形AEF=12BC×AD−80π×22360=4−89π．。
圆与圆位置关系以及与圆有关计算
圆与圆的位置关系一、圆与圆的位置关系1. 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系可以是两圆相交、两圆相切(内切或外切)、两圆相离、两圆内含． 设两个圆为1O 、2O ，半径分别为1R 、2R ，且12R R ≥，1O 与2O 间距离为d ，那么就有 12d R R >+⇔两圆相离； 12d R R =+⇔两圆相外切； 12d R R =-⇔两圆相内切； 1212R R d R R -<<+⇔两圆相交； 12d R R <-⇔两圆内含(这里12R R ≠)．2. 连心线的性质连心线是指通过两圆圆心的一条直线．连心线是它的对称轴．两圆相切时，由于切点是它们唯一的公共点，所以切点一定在对称轴上． 如果两圆1O 、2O 相交于A 、B 两点，那么12O O 垂直平分AB ．如果两个半径不相等的圆1O 、圆2O 相离，那么内公切线交点、外公切线交点都在直线12O O 上，并且 直线12O O 上，并且直线12O O 平分两圆外公切线所夹的角和两圆内公切线所夹的角．如果两条外公切线分别切圆1O 于A 、B 两点、切圆2O 于C 、D 两点，那么两条外公切线长相等，且AB 、 CD 都被12O O 垂直平分．题型一：圆与圆位置关系的判定【例1】 若两圆的半径分别是1cm 和4cm ，圆心距为5cm ，则这两圆的位置关系是（ ）A ．内切B ．相交C ．外切D ．外离【例2】 1O 和2O 的直径分别是6cm 和8cm ，若圆心距122O O cm =，则两圆的位置关系是（ ）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切（2014年枣庄）【例3】 在ABC ∆中，9034C AC cm BC cm ∠=︒==，，．若A ，B 的半径分别为，，则A 与B 的位置关系是（ ）A ．外切B ．内切C ．相交D ．外离【例4】 两圆的半径分别为2cm ，3cm ，圆心距为2cm ，则这两个圆的位置关系是（ ）A ．外切B ．内切C ．相交D ．外离【例5】 已知半径分别为3cm 和1cm 的两圆相交，则它们的圆心距可能是（ ）A ．1cmB ．3cmC ．5cmD ．7cm1cm 4cm 例题精讲【例6】 如图，5个圆心在同一条直线上，且两两相切，若大圆直径是12cm ，4个小圆大小相等，则这5个圆的周长之和为（ ）A ．48πcmB ．24πcmC ．12πcmD ．6πcm（2014年昆明一模）【例7】 若有两圆相交于两点，且圆心距离为13公分，则下列哪一选项中的长度可能为此两圆的半径（ ）A ．25公分，40公分B ．20公分，30公分C ．1公分，10公分D ．5公分，7公分【例8】 已知两圆的半径分别为和（），圆心距为．如图，若数轴上的点表示，点表示，当两圆外离时，表示圆心距的点所在的位置是（ ）A ．在点B 右侧B ．与点B 重合C ．在点A 和点B 之间D ．在点A 左侧【例9】 如图，圆A ．圆B 的半径分别为4．2，且．若作一圆使得三圆的圆心在同一直在线，且圆与圆外切，圆与圆相交于两点，则下列哪个是圆的半径长（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【例10】已知1O 与2O 的圆心距为6，两圆的半径分别是方程2550x x -+=的两个根，则1O 与2O 的位置关系是____________（2014年资阳）【例11】两圆的圆心距为3，两圆的半径分别是方程的两个根，则两圆的位置关系是（ ）A ．相交B ．外离C ．内含D ．外切【例12】1O ⊙和2O ⊙相切，1O ⊙的直径为9cm ，2O ⊙的直径为4cm ．则12O O 的长是_________．【例13】若A ⊙和B ⊙相切，它们的半径分别为8cm 和2cm ，则圆心距AB 为_______________．R r R r >d A R r -BR r +dD 12AB =C C A C B C2430x x -+=【例14】如图，45AOB ∠=︒，点1O 在OA 上，17OO =，1O 的半径为2，点2O 在射线OB 上运动，且2O 始终与OA 相切，当2O 和1O 相切时，2O 的半径等于_________（2014年烟台）【例15】 如图所示，点、在直线上，=11，、的半径均为，以每秒的速度自左向右运动，与此同时，的半径也不断增大，其半径（）与时间（秒）之间的关系式为（），当点出发后__________秒两圆相切．【例16】如图，已知矩形ABCD 中，68BC AB ==，，延长AD 到点E ，使15AE =，连接BE 交AC 于点P ．（1）求AP 的长；（2）若以点A 为圆心，AP 为半径作A ，试判断线段BE 与A 的位置关系并说明理由；（3）已知以点A 为圆心，1r 为半径的动A ，使点D 在动A 的内部，点B 在动A 的外部．① 求动A 的半径1r 的取值范围；② 若以点C 为圆心，2r 为半径的动C 与动A 相切，求2r 的取值范围．（2014年永州模拟）A B MN AB cm A B 1cm A 2cmB r cm t 1r t =+1t …A【例17】如图，扇形OAB ，90AOB ∠=︒，P 与OA OB ，分别相切于点F E ，，并且与弧AB 切于点C ，则扇形OAB 的面积与P 的面积比是__________（2014年定陶县模拟）【例18】已知如图，直角三角形中，9068C AC BC ∠=︒==，，，若要在纸片中剪出两个相外切的等圆，则圆的半径最大为_______________（2014年宜兴市模拟）【例19】 如图，12360AOB O O O ∠=︒，，，…是AOB ∠平分线上的点，其中12OO =，若分别以123O O O ，，…为圆心作圆，使得123O O O ，，…均与AOB ∠的两边相切，且相邻两圆相外切，则2014O 的面积是_____________（结果保留π）（2014年龙岩）【例20】如图，已知1sin 3ABC ∠=，O 的半径为2，圆心O 在射线BC 上，O 与射线BA 相交于E F 、两点，EF =。
关于圆的公式定理
关于圆的公式定理圆是数学中一个非常重要的几何形状，具有许多有用的定理和公式。
在此，我们将深入探讨关于圆的定理和公式，并了解它们在实际生活中的应用。
首先，让我们来了解一些基本的定义。
圆是指由一条完全相同距离中心点的点组成的闭合曲线。
圆上的每个点到中心的距离称为半径，我们用字母r表示。
圆的周长称为圆周长，用C表示。
圆的面积称为圆面积，用A表示。
那么，我们来看一下圆的一些重要定理和公式。
1. 圆的直径定理（Diameter Theorem）：直径是通过圆心的线段，并且是圆周长的两倍。
也就是说，d = 2r，其中d是直径长度。
这个定理在实际生活中有很多应用。
例如，在建筑领域，我们常常使用直径来计算门或窗户的宽度，确保它们能够完美地安装在开口上。
2. 圆周长公式（Circumference Formula）：圆周长等于直径乘以π（pi），即C = 2πr或C = πd。
圆周长公式非常有用，因为它可以帮助我们计算任何给定半径的圆的周长。
我们可以使用这个公式来确定绕行园艺装饰圆形花坛所需的木质栅栏的长度。
3. 圆面积公式（Area Formula）：圆的面积等于半径的平方乘以π（pi），即A = πr²。
圆面积公式在解决各种实际问题时非常有用。
例如，在制作饼或蛋糕时，我们可以使用这个公式来计算需要的面团或面糊的总量。
除了这些基本定理和公式之外，还有一些其他有用的圆的性质和应用。
4. 弧长公式（Arc Length Formula）：弧长可以通过半径和圆心角的关系来计算。
如果我们知道圆心角的度数为θ（以弧度表示），那么弧长等于θ乘以半径的长度。
弧长公式在地理学、导航和航空导航中经常被使用。
例如，在航空导航中，我们可以使用这个公式来计算一架飞机在特定角度上行驶的距离。
5. 弧度公式（Radian Formula）：弧度是一种介于0和2π之间的度量单位。
弧度可以通过将圆周长除以半径来计算。
弧度在物理学中非常常见，并且与角速度、圆周率等概念紧密相连。
圆的弧长和面积计算
圆的弧长和面积计算圆是数学中的一个基础几何图形，具有很多重要的性质和特征。
在计算圆的弧长和面积时，我们需要了解一些相关的公式和概念。
本文将介绍如何准确计算圆的弧长和面积，并提供一些实际应用的例子。
1. 圆的弧长计算圆的弧长是指圆周上一段弧与圆心所对的圆心角所对应的弧长。
当我们知道圆的半径r和所对应的圆心角θ时，可以通过以下公式计算圆的弧长：弧长= 2πr(θ/360°)其中，π是一个常数，约等于3.14159。
举个例子，假设有一个半径为5cm的圆，它的圆心角为60°，我们可以计算出这段弧的弧长：弧长= 2π × 5cm × (60°/360°)= 2π × 5cm × (1/6)≈ 5π/3 cm≈ 5.24 cm因此，这段弧的弧长约为5.24 cm。
2. 圆的面积计算圆的面积是指圆内部的所有点组成的区域的大小。
当我们知道圆的半径r时，可以通过以下公式计算圆的面积：面积= πr²同样地，π是一个常数，约等于3.14159。
举个例子，假设有一个半径为3cm的圆，我们可以计算出这个圆的面积：面积= π × (3cm)²= 9π cm²≈ 28.27 cm²所以，这个圆的面积约为28.27 cm²。
3. 实际应用圆的弧长和面积计算在实际中有广泛的应用。
以下是一些例子：3.1 环形跑道长度计算假设一个田径场有一个内半径为30m，外半径为40m的环形跑道。
我们可以计算出这条跑道的长度：内环长= 2π × 30m≈ 188.5m外环长= 2π × 40m≈ 251.3m环形跑道长度 = 外环长 - 内环长≈ 251.3m - 188.5m≈ 62.8m所以，这个环形跑道的长度约为62.8m。
3.2 扇形面积计算假设你要制作一个扇形形状的餐桌布料，桌子为圆形，半径为80cm，你希望餐桌布料能够覆盖半圆形区域。
圆的有关计算
圆的有关计算考点一1．如果弧长为l，圆心角为n°，圆的半径为r，那么弧长的计算公式为：l＝nπr 180.2．由组成圆心角的两条半径和圆心角所对弧围成的图形叫做扇形．若扇形的圆心角为n°，所在圆半径为r，弧长为l，扇形面积为S，则S＝nπr2360，或S＝12lr.考点二1．圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的长等于圆柱的底面周长c，宽是圆柱的母线长l，如果圆柱的底面半径是r，则S圆柱侧＝cl＝2πrl.2．圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的弧长等于圆锥的底面周长c，半径等于圆锥的母线长l.若圆锥的底面半径为r，这个扇形的圆心角为α，则α＝rl·360°，S圆锥侧＝12cl＝πrl.考点三1．规则图形：按规则图形的面积公式去求．2．不规则图形：采用“转化”的数学思想方法．把不规则图形的面积采用“割补法”、“等积变形法”、“平移法”、“旋转法”等转化为规则图形的面积．(1)(2010·昆明)如图，已知圆锥侧面展开图的扇形面积为65π cm2，扇形的弧长为10π cm，则圆锥母线长是()A．5 cm B．10 cm C．12 cm D．13 cm(2)(2010·兰州)现有一个圆心角为90°，半径为8 cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面(接缝处忽略不计)．该圆锥底面圆的半径为()A．4 cm B．3 cm C．2 cm D．1 cm(3)(2010·哈尔滨)将一个底面半径为5 cm，母线长为12 cm的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，所得的侧面展开图的圆心角是________度．(4)(2010·龙岩)如图是圆心角为30°，半径分别是1、3、5、7、……的扇形组成的图形，阴影部分的面积依次记为S1、S2、S3、……，则S50＝________(结果保留π)．例二图(2010·宁波)如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF 与半径OB相交于点P，连结EF、EO，若DE＝23，∠DPA＝45°.(1)求⊙O的半径；(2)求图中阴影部分的面积．举一反三1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（）(结果保留π)(第1题)(第2题)2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝23，⊙A与BC相切于点D，且交AB、AC于M、N两点，则图中阴影部分的面积是（）(结果保留π)3．一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥母线长与底面半径之比为()A．2∶1B．1∶2C．3∶1D．1∶34．在综合实践活动课上，小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型，如图所示．它的底面半径OB＝6 cm，高OC＝8 cm.则这个圆锥漏斗的侧面积是()A．30 cm2B．30π cm2C．60π cm2D．120 cm2(第4题) (第5题)5．如图，已知菱形ABCD的边长为1.5 cm，B、C两点在扇形AEF的EF上，求BC的长度及扇形ABC的面积．圆的有关计算经典练习弧长的计算公式为：l ＝nπr 180 .扇形面积为S ，则S ＝nπr 2360，或S ＝12lr. S 圆锥侧＝12cl ＝πrl.1．如图，若圆锥底面圆的半径为3，则该圆锥侧面展开图扇形的弧长为( ) A ．2π B ．4π C ．6π D ．9π3图4图1图2．如图，一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径是( )A ．1 B.34 C.12 D.133．如图，5个圆的圆心在同一条直线上，且互相相切，若大圆直径是12,4个小圆大小相等，则这5个圆的周长的和为( )A ．48πB ．24πC ．12πD ．6π 4．△ABC 中，∠A ＝30°，∠C ＝90°，作△ABC 的外接圆，如图，若AB 的长为12 cm ，那么AC 的长是( )A ．10 cmB ．9 cmC ．8 cmD ．6 cm5图6图7图5．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AB ＝8，BC ＝12，分别以AB 、AC 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是 ( )A ．64π－127B ．16π－32C ．16π－247D ．16π－1276．如图，已知点A 、B 、C 、D 均在已知圆上，AD ∥BC ，AC 平分∠BCD ，∠ADC ＝120°，四边形ABCD 的周长为10 cm ，则图中阴影部分的面积为 ( )A.32 B.3 C ．2 3 D ．4 37．如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分的包装纸的面积(接缝忽略不计)是( )A ．20 cm 2B ．40 cm 2C ．20π cm 2D ．40π cm 28图9图10图8．如图，A 是半径为2的⊙O 外的一点，OA ＝4，AB 是⊙O 的切线，点B 是切点，弦BC ∥OA ，连结AC ，则图中阴影部分的面积等于( )A.23πB.83π C ．π D.23π＋ 39．如图，将圆沿AB 折叠后，圆弧恰好经过圆心，则AMB 的度数等于( ) A ．60° B ．90° C ．120° D ．150°10．在综合实践活动课上，小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型，如图所示，它的底面半径OB ＝6 cm ，高OC ＝8 cm ，则这个圆锥漏斗的侧面积是( )A ．30 cm 2B ．30π cm 2C ．60π cm 2D ．120 cm 211．如图，现有30%圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为40 cm ，小红同学为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10 cm 的圆锥形纸帽(接缝处不重叠)，那么剪去的扇形纸片的圆心角为( )11图12图A ．9°B ．18°C ．63°D ．72° 12．如图，圆柱的高线长为10 cm ，轴截面的面积为240 cm 2，则圆柱的侧面积是( ) cm 2. A ．240 B ．240π C ．480 D ．480π 二、填空题13．已知扇形的面积为12π，半径等于6，则它的圆心角等于________度． 14．若一个圆锥的侧面积是18π，侧面展开图是半圆，则该圆锥的底面圆半径是________．15．如图，在4×4的方格纸中(共有16个小方格)，每个小方格都是边长为1的正方形，O 、A 、B 分别是小正方形的顶点，则扇形OAB 的弧长等于________．(结果保留根号及π)15图16图16．如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝90°，⊙P 与OA 、OB 分别相切于点F 、E ，并且与弧AB 切于点C ，则扇形OAB 的面积与⊙P 的面积比是________．三、解答题17．(10分)如图，线段AB与⊙O相切于点C，连结OA、OB，OB交⊙O于点D，已知OA＝OB＝6 cm，AB＝6 3 cm.求：(1)⊙O的半径；(2)图中阴影部分的面积．19．(10分)如图所示，AC与⊙O相切于点C，线段AO交⊙O于点B.过点B作BD∥AC 交⊙O于点D，连结CD、OC，且OC交DB于点E.若∠CDB＝30°，DB＝5 3 cm.(1)求⊙O的半径长；(2)求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积．(结果保留π)20．(12分)如图，PA、PB是半径为1的⊙O的两条切线，点A、B分别为切点，∠APB ＝60°，OP与弦AB交于点C，与⊙O交于点D.(1)在不添加任何辅助线的情况下，写出图中所有的全等三角形；(2)求阴影部分的面积．(结果保留π)圆的有关计算例一答案【解答】(1)∵12lr ＝S 扇形，∴12×10π×r ＝65π，∴r ＝13，故选D.(2)∵2πr ＝90180π×8，∴r ＝2，故选C.(3)∵nπ360×122＝π×5×12，∴n ＝150(4)设每个扇形大圆半径为R ，小圆半径为r ，则R 1＝3，R 2＝7，R 3＝11，……，R n ＝4n －1，r 1＝1，r 2＝5，r 3＝9，……，r n ＝4n －3.则当n ＝50时，S 50＝30360π(R 250－r 250)＝π12×[(4×50－1)2－(4×50－3)2]＝66π. 例二、【解答】(1)∵直径AB ⊥DE ，∴CE ＝12DE ＝ 3.∵DE 平分AO ，∴CO ＝12AO ＝12OE.又∵∠OCE ＝90°，∴∠CEO ＝30°.在Rt △COE 中，OE ＝CEcos30°＝ 3 32＝2.∴⊙O 的半径为2.(2)连结OF ，如图所示．在Rt △DCP 中，∵∠DPC ＝45°， ∴∠D ＝90°－45°＝45°， ∴∠EOF ＝2∠D ＝90°.∵S 扇形OEF ＝90360×π×22＝π，S △OEF ＝12×OE ×OF ＝12×2×2＝2.∴S 阴影＝S 扇形OEF －S △OEF ＝π－2. 举一反三答案： 1、52π－4.2、3－π3.3、A 4、C 5、BC 的长为π2 cm ，S 扇形ABC ＝38π cm 2练习1-12 CCBCD ＢＣＡＣＣ BB 5、【解析】由题意可知，该图形关于直线AD 成轴对称，所以AD ⊥BC ，BD ＝DC.因为BC ＝12，所以BD ＝6，在Rt △ABD 中，AD ＝AB 2－BD 2＝82－62＝27，所以S △ABD ＝12AD·BD ＝12×27×6＝67.由于阴影部分的面积即为半圆ADB 的面积减去△ABD 面积的2倍，所以S 阴影＝2×(12π×42－S △ABD )＝2(8π－67)＝16π－127.6、【解析】设圆心为O ，由题意得∠B ＝60°，∠ACB ＝30°，∴∠BAC ＝90°.∴BC 为⊙O 的直径，连结OA 、OD ，则S 阴影＝S 等边△OAD ＝34×22＝ 3. 9、【解析】由圆的轴对称性得，过O 作OC ⊥AB 于C ，连结OA ，则OC ＝12OA ，∴∠OAB ＝30°，∴∠AOB＝120°，∴AMB 的度数是120°.11、【解析】设剩下的纸片的圆心角为n°，则nπ180×40＝2π×10，∴n ＝90，∴剪去的圆心角为360°×30%－90°＝108°－90°＝18°.13、【解析】∵nπ×62360＝12π，∴n ＝120.14、【解析】设圆锥的底面圆的半径是r 1，圆锥母线长为l ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧πrl ＝18π，2πr ＝12×2πl.∵r 、l 都是正数，∴r ＝3，l ＝6.15、【解析】易知∠AOB ＝90°，则扇形OAB 的弧长为14圆周长，扇形OAB 的半径r ＝22＋22＝2 2.即扇形OAB 的弧长为14×2πr ＝14×2π×22＝2π.16、【解析】设⊙O 半径为R ，则扇形的半径为(1＋2)R ，则扇形OAB 的面积与⊙P 的面积比为14π(1＋2)2R 2：πR 2＝3＋224.18、解：(1)连结OC ，则OC ⊥AB ，∵OA ＝OB ，∴BC ＝12AB ＝12×63＝3 3 cm.在Rt △OCB 中，OC ＝OB 2－BC 2＝62－(33)2＝3，即⊙O 的半径为3 cm.(2)在Rt △OCB 中，sin ∠COB ＝BC OB ＝336＝32，∴∠COB ＝60°，∴S 阴影＝S △OBC －S 扇形COD ＝12×OC ×BC －nπr 2360＝12×3×33－60π×32360＝923－32π.即图中阴影部分的面积为(923－32π)cm 2.19、解：(1)∵AC 与⊙O 相切于点C ，则OC ⊥AC ，∴BD ∥AC ，∴OE ⊥DB ，则EB ＝12BD ＝523cm.∵∠CDB ＝30°，∴∠O ＝60°，在Rt △OEB 中，sinO ＝EB OB ，∴OB ＝EBsinO ＝523sin60°＝5 (cm)．即⊙O 的半径长为5 cm.(2)在Rt △OEB 中，OE ＝OB 2－EB 2＝52，∴CE ＝5－52＝52，即CE ＝OE.又∵∠CED ＝∠OEB ，ED ＝EB ，∴△CED ≌△OEB ，∴S 阴影＝S 扇形BOC ＝60π×52360＝256π (cm 2)．20、解：(1)△ACO ≌△BCO ，△APC ≌△BPC ，△PAO ≌△PBO. (2)∵PA 、PB 为⊙O 的切线，∴PO 平分∠APB ，PA ＝PB ， ∠PAO ＝90°，∠PBO ＝90°，PO ⊥AB.于是由圆的对称性可知：S 阴影＝S 扇形AOD .∵在Rt △PAO 中，∠APO ＝12∠APB ＝12×60°＝30°，∴∠AOP ＝90°－∠APO ＝90°－30°＝60°. ∴S 阴影＝S 扇形AOD ＝60×π×12360＝π6.。
圆的体积公式和面积公式
圆的体积公式和面积公式圆是一个几何图形，它是指平面上到一些固定点距离相等的所有点的集合。
圆是几何学中的基本概念，由于它的特殊性质，被广泛应用于数学、物理、工程等领域。
本文将介绍圆的体积公式和面积公式。
一、圆的面积公式圆的面积公式就是计算圆形面积的公式。
设圆的半径为r，则圆的面积S可以通过公式S=πr²来计算，其中π（pi）是一个无理数，近似值为3.14、这个公式也可以写成S=πd²/4，其中d是圆的直径。
圆的面积公式可以通过推导得到。
我们可以将圆按照半径等分成多个扇形，就像把一个圆形的比萨切成多块一样。
如果我们把这些扇形按照半径方向展开，就得到了一个近似的长方形。
当我们越细分这些扇形，得到的近似长方形就越接近圆形，面积也越准确。
通过这个近似长方形，可以得到圆的面积公式。
二、圆的体积公式圆的体积公式主要用于求解与圆相关的立体体积，例如球体的体积。
球体是由一个二维圆绕着一些轴旋转形成的立体图形。
设球体的半径为r，则球体的体积V可以通过公式V=4/3πr³来计算，其中π是一个无理数，近似值为3.14圆的体积公式可以通过对球体进行等分求和得到。
我们将球体等分成多个小球形部分，然后对这些小球形进行求和。
随着小球形的个数越来越多，得到的体积也越接近真实的球体体积。
通过这个等分求和的方式，可以得到圆的体积公式。
三、圆的应用圆的面积和体积公式在数学和工程领域有着广泛的应用。
下面将介绍一些常见的应用。
1.圆的面积公式可以用于计算圆形的面积。
例如，在建筑设计中，需要计算一个圆形花坛的面积，可以利用圆的面积公式直接计算。
另外，在土地测量中，也常用圆的面积公式计算土地面积。
2.圆的体积公式可以用于计算球体的体积。
例如，对于一个容器内装有液体的问题，可以通过球的体积公式计算液体的体积，从而确定容器所能容纳的液体量。
3.圆的面积和体积公式也被广泛应用于科学研究中的计算。
例如，在物理学中，有时需要计算球体的质量密度，可以通过球的质量和体积公式进行计算。
关于圆形的数学问题
关于圆形的数学问题
1. 请问圆的直径和半径有什么关系？
圆的直径是一个通过圆心的线段，它等于圆半径的两倍。
换句话说，圆的直径是圆的半径的两倍。
表达式为：直径 = 2 ×半径。
2. 如何计算圆的周长和面积？
圆的周长可以通过公式C = 2πr 来计算，其中 r 为圆的半径，π 是一个无限不循环小数，约等于3.14159。
圆的面积可以通过公式A = πr² 来计算，其中 r 为圆的半径，π 同上。
3. 如何计算圆的弧长和扇形面积？
圆的弧长可以通过公式L = θ/360 × 2πr 来计算，其中θ 为弧度数，r 为圆的半径。
圆的扇形面积可以通过公式A = θ/360 × πr² 来计算，其中θ 为
弧度数，r 为圆的半径。
4. 如果已知一个圆的周长，如何计算其半径和直径？
圆的周长可以用公式C = 2πr 表示，其中 r 为圆的半径。
因此，如果已知圆的周长 C，可以通过C = 2πr 计算半径 r。
圆的直径可以直接通过公式 D = 2r 计算，其中 r 为圆的半径。
5. 如果已知一个圆的面积，如何计算其半径和直径？
圆的面积可以用公式A = πr² 表示，其中r 为圆的半径。
因此，如果已知圆的面积 A，可以通过A = πr² 计算半径 r。
圆的直径可以直接通过公式 D = 2r 计算，其中 r 为圆的半径。
这是一些关于圆形的常见数学问题和公式。
如果您有其他问题，请随时提问。
与圆有关的计算
与圆有关的计算主讲：黄冈中学数学高级教师李平友考点回顾：1、如果弧长为l，圆心角的度数为n，弧所在的圆的半径为r，那么弧长的计算公式为；2、设扇形的圆心角为n°，扇形的半径为r，扇形的面积为s，则扇形的面积的计算公式为或（其中l表示扇形的弧长）；3、圆柱的侧面展开图为矩形，圆锥的侧面展开图是扇形；4、设圆柱的底面半径为R，圆柱的高为h，则圆柱的侧面积为S＝2πRh，圆柱的全面积为S＝2πR2＋2πRh；5、设圆锥的底面半径为r，母线长为a，则圆锥的侧面积为S＝πar，圆锥的全面积为S＝πr2＋πar．考点精讲精练：例1、如图，在矩形ABCD中，AD＝2，以B为圆心，BC长为半径画弧交AD于F．（1）若弧CF长为，求圆心角∠CBF的度数；（2）求圆中阴影部分的面积（结果保留根号及π的形式）．（1）设∠FBC的度数为n，则，∴n＝60．∴∠CBF＝60°．（2）由（1）知，∠CBF＝60°，∴∠ABF＝30°，又∵BF＝BC＝2，变式练习1、如图，半径OA＝6cm，C为OB的中点，∠AOB＝120°，求阴影部分面积．答案：作AD⊥OC，与BO延长线交于D．S阴影ABC＝S扇形ABO－S△ACO，，∵∠DOA＝60°，OA＝6，∴∠DAO＝30°，OD＝3，．例2、如图，AB切⊙O于点B，，AB＝3，弦BC∥OA，则劣弧的长为（）A．B．C．π D．解：连OB、OC．∵AB为⊙O的切线，∴∠ABO＝90°．，，∴∠A＝30°，∠AOB＝60°．∵CB∥OA，∴∠CBO＝∠AOB＝60°，∵OB＝OC，∴△BOC为等边三角形．∴∠BOC＝60°，，故选A．变式练习2、如图，AB为⊙O的切线，半径OA＝2，OB交⊙O于点C，∠B＝30°，则劣弧的长是__________．答：∠AOB＝60°，．例3、如图，一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径为（）A．1 B．C． D．解：设圆锥底面圆的半径为r，则，，故选C．变式练习3、如果圆锥的底面周长为20π，侧面展开后所得扇形的圆心角为120°，则圆锥的母线长为________．答：设圆锥的母线长为l，则，∴l＝30．例4、如图，已知AB为⊙O的直径，CD为弦，AB⊥CD于E，OF⊥AC于F，BE＝OF．（1）证明：△AFO≌△CEB；（2）若EB＝5cm，，设OE＝x，求x的值及阴影部分的面积．解：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OF⊥AC，∴∠AFO＝90°，∴OF∥BC，∴∠AOF＝∠ABC，∵AB⊥CD，∴∠CEB＝90°．∴∠AFO＝∠CEB，又∵OF＝BE，∴△AFO≌△CEB．（2）∵AB⊥CD，．设OE＝x，则OB＝5＋x＝OC，在Rt△OCE中，OC2＝OE2＋EC2．．∴x＝5．在Rt△OCE中，OC＝5＋x＝5＋5＝10，OE＝5，，∴∠OCE＝30°．∴∠COE＝60°．由圆的轴对称性可知阴影部分的面积为．变式练习4、如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧上一点，连BD，AD，OC，∠ADB＝30°．（1）求∠AOC的度数；（2）若弦BC＝6cm，求图中阴影部分的面积．解：（1）∵弦BC垂直于半径OA，∴BE＝CE，．又∵∠ADB＝30°，∴∠AOC＝60°．（2）由（1）知EB＝EC．∵BC＝6，．在Rt△OCE中，∠OCE＝30°，OC＝2OE．又∵OE2＋CE2＝OC2，∴OE2＋32＝（2OE）2，．连接OB．，∴∠BOC＝2∠AOC＝120°．OC＝2OE＝．．例5、如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁从A点出发，绕侧面一周又回到A点，它爬行的最短路线长是多少？解：圆锥的侧面展开图是扇形，如图，展开后扇形的弧长是圆锥底面圆的周长，，∴n＝90．即∠APA′＝90°．A点的对应点为A′，所要求的最短线路长即为线段AA′的长，连AA′．∵AP＝4，∠APA′＝90°，，∴最短路线长为．- 返回 -备考模拟一、选择题1、若一个圆锥的底面圆的周长为4π cm，母线长为6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为（）A．40° B．80°C．120°D．150°2、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝6cm，CD⊥AB于D，以C为圆心，CD为半径画弧，交BC于E，则图中阴影部分的面积为（）cm2．A．B．C． D．3、已知圆锥的底面半径为5cm，侧面积为65πcm2，设圆锥的母线与高的夹角为θ，如图，则sinθ的值为（）A．B．C．D．4、将直径为60cm的圆形铁皮，做成三个相同的圆锥容器的侧面（不计接缝处的材料损耗），那么每个圆锥容器的底面半径为（）cm．A．10 B．30C．45 D．3005、如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，若把△ABC绕边AB所在的直线旋转一周，所得的几何体的表面积为（）A．4πB．C．8πD．二、填空题6、如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＝8，BC＝12．分别以AB、AC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为__________．7、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，分别以A、C为圆心，以的长为半径作圆，将Rt△ABC截去两个图形，则剩余（阴影）部分的面积为__________cm2．8、如图，在正方形ABCD内有一折线段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，且AE＝6，EF ＝8，FC＝10，则正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为__________．9、如图，在Rt△A BC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积为__________．10、用一个半径为8，圆心角为90°的扇形围成一个圆锥的侧面，则圆锥的高为__________．隐藏答案答案：6、7、8、80π－160 9、10、三、综合题11、如图，已知AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠AOC＝60°，OC＝2．（1）求OE和CD的长；（2）求图中阴影部分的面积．隐藏答案解：（1）在△OCE中，∵∠CEO＝90°，∠EOC＝60°，OC＝2，∵OA⊥CD，∴CE＝DE，．12、如图，已知点A，B，C，D均在已知图上，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠BAD ＝120°，四边形ABCD的周长为15．（1）求此圆的半径；（2）求图中阴影部分的面积．隐藏答案解：（1）∵AD∥BC，∠BAD＝120°，∴∠ABC＝60°，又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝∠ADB＝30°，，∠BCD＝60°．∴AB＝AD＝DC，∠BDC＝90°．在Rt△BDC中，BC为圆的直径，BC ＝2DC，，∴BC＝6，∴圆的半径为3．（2）设BC的中点为O，由（1）知O为圆心，连OA，OD，过O作OE⊥AD于E，在Rt△AOE中，∠AOE＝30°，，，．13、如图，AB为⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB交于点P，连EF，EO，若，∠DPA＝45°．（1）求⊙O的半径；（2）求图中阴影部分的面积．隐藏答案解：（1）∵直径AB⊥DE，．∵DE平分AO，，又∵∠OCE＝90°，∴∠CEO＝30°．在Rt△COE中，，∴⊙O的半径为2．（2）连OF，在Rt△DCP中，∵∠DPC＝45°，∴∠D＝90°－45°＝45°，∴∠EOF＝2∠D＝90°．．14、如图，在△ABC中，∠A＝90°，O为BC边上一点，以O为圆心的半圆分别与AB，AC边相切于D，E两点，连OD，已知BD＝2，AD＝3，求：（1）tanC 的值；（2）图中两部分阴影的面积之和．隐藏答案解：（1）连OE．∵AB，AC分别切⊙O于D，E两点，∴∠ADO＝∠AEO＝90°．又∵∠A＝90°，∴四边形ADOE为矩形．∵OD＝OE，∴四边形ADOE为正方形．∴OD∥AC，OD＝AD＝3，∴∠BOD＝∠C，在Rt△BOD中，（2）由（1）得，四边形ADOE为正方形．∴∠DOE＝90°，∴∠COE＋∠BOD＝90°．在Rt△EOC中，，OE＝3，，-END-。
和圆有关的计算问题归类
责任 编 辑 ： 王二 喜
与 圆 有 关 的计 算 问题 包 括 弧 长 、 形 面 积 、 柱 和 圆 锥 侧 （ ） 扇 圆 全
面积 及 简 单 组 合 图形 面 积 的计 算 ．现 归 类 举 例 如 下 ：
一
、
有 关 弧 长 的 计 算
．
例 １ 已 知 圆 的 面 积 为 ８ ￣ ｍ ． 圆 周 上 一 段 弧 长 为 ３ ｃ 那 １ｃ 其 竹 ｍ，
分 别 为 ４ ５ ３ 圆 心 角 均 为 ９ 。 三 段 弧 组 成 ．路 线 长 ＝ 、、 ， ０ 的
９ ＇（ ＋ ＋ ， ０ｒ ４ ５ ３） ｒ
— — 广一 。 。
二 、 关 扇 形 面 积 的 计 算 有
例 ３ （ ） 已 知 一 个 扇 形 的半 径 等 于 一 个 圆 的 半 径 的 ２ ， １ 倍 且
９ ． ０。
． 以盯 ２ 所 ｒ ＝
，￣ ｎ ９ ，即 圆心 角 为 ＝０
（由形 积 式＝ 得＝＝ ｒ４ ） ２ 扇 面 公 ｓ ， 芋—４＝（ ． ） 吉 ２ ０ ２ｃ ｘ７ ｍ ２ 再 弧 公 等 ＝ ＝ －． 由长 １ ５ ０ ：
即 圆心 角 为 １ ０ ． ５。
Ａ 图 Ｂ Ｅ ２
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２ ．等 积 变 形 求 面 积 ．在 不 改 变 原 图 形 的 面 积 的 前 提 下 ，把 不 规 则 图 形 转 化 为 规 则 图形 ， 而 达 到 简 化 计 算 的 目的 ． 从
例５ 如 图３ ｏ０ 的弦Ａ 为 Ｏ ０的切线 ， Ｂ ／ ， Ｂ ： Ａ ／ ００ ，如果Ａ ＝ Ｂ
三 、 关 简 单 组 合 图 形 面 积 的计 算 有