机器人雅可比矩阵求法
机器人雅可比矩阵知识讲解
x6 f6(q1,q2, ,q6)
注意，如果函数 f1(q) 到 f6(q) 是非线性的，则 f q 是q的 函数，写成 xJ(q)q ，式子两边同除以时间的微分，
上式中，66的偏导数x矩阵J(Jq(q)q)叫做雅可比矩阵。其中
Jijq xiqq j
雅可比矩阵
机器人关节数
*雅可比矩阵的行数取决于机器人的类型
雅可比矩阵在机器人中的应用
可以把雅可比矩阵看作是关节的速度 q 变换到 操作速度V的变换矩阵
在任何特定时刻，q具有某一特定值，J(q)就是一个 线性变换。在每一新的时刻，q已改变，线性变换 也因之改变，所以雅可比矩阵是一个时变的线性变 换矩阵。
在机器人学领域内，通常谈到的雅可比矩阵是 把关节角速度和操作臂末端的直角坐标速度联 系在一起的。
假设矢量yRm为uRn的函数
y= y(u)
y1(u) y2(u)
yy12((uu11,,uu22,, ,,uunn))
ym(u) ym(u1,u2,,un)
对于m=1, （标量对矢量的导数）
u y u y1 1
y1 u2
u y1 n
y相对于u的偏导数定义为
u y u u uyyym 1 2(((u u u))) yu yu u ym 1 1 2 1 1
约束函数C(x),
单位圆上的质点位置约束为 C (x ) xx 1
一般情况下，采用位姿矢量q聚合表达n个粒子的位置。在3D 空间，矢量长度为3n。考虑位置约束C是一个关于位姿矢量q 的未知函数，则速度约束
C C q q
矩阵 C/q 被称作C的雅可比矩阵，记作J。为了进行物理
仿真，求微分 C JqJq，根据力学关系，建立微分约束方
机器人现场编程-机器人运动奇异点的产生与处理方法
一、奇异位形
二、雅克比矩阵
操作空间速度与关节空间速度之间的线性变换。
x x( q )
操作臂的运动学方程，描述机器人操作臂的位移关 系，建立了操作空间与关节空间的映射关系。
J (q)q x
操作臂的雅可比矩阵J(q)，建立了从关节速度向操 作速度的映射关系。进行机器人操作臂的速度分析。
雅克比矩阵的列数决定了关节数 雅克比矩阵的行数决定了机器人的类型
三、奇异点的产生
在
J (q)q 中，如果雅克比矩阵为零，那么不论关节给多大的速度， x
机器人末端都不将有速度和角速度产生，我们把这种点称为奇异点。把操作 臂的这种位形称之为奇异位形。 在数学上，指的是操作臂雅克比矩阵秩减少的形位。 在物理上，指的是操作臂的自由度减少。
二、雅克比矩阵
v x V y V z W x W y W z
J (q )
1 2 3 4 5 6
四、奇异点的处理方法
1.在轨迹规划时，避免机器人运动机器人的奇异位形。
2.针对6自由度川崎机器人运动到奇异位形处，处理方法为换到关节坐标系， 调整各轴，转过奇异位形。
三、奇异点的产生
例：如图所示的两自由度机器人，其雅克比矩阵为 (x,y)
பைடு நூலகம்
y
求其行列式
l2
l1 1
2
x
当2＝90或2 ＝0时,机械手的雅可比行列式为0．矩阵的秩为1，因而处于奇 异状态。从几何上看机械手完全伸直(2 ＝0)或完全缩回(2 ＝180)时，机械 手末端丧失了径向自由度．仅能沿切向运动，在奇异形位时，机械手在操作 空间的自由度将减少。
34机器人运动学雅可比矩阵
3．把握文章的艺术特色，理解虚词在文中的作用。
4．体会作者的思想感情，理解作者的政治理想。一、导入新课范仲淹因参与改革被贬，于庆历六年写下《岳阳楼记》，寄托自己“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的政治理想。实际上，这次改革，受到贬谪的除了范仲淹和滕子京之外，还有范仲淹改革的另一位支持者——北宋大文学家、史学家欧
3.4 机器人的雅可比矩阵
1、 微分运动与速度
微分运动指机构的微小运动，可用来推导不 同部件之间的速度关系。
机器人每个关节坐标系的微分运动，导致机 器人手部坐标系的微分运动，包括微分平移与微 分旋转运动。将讨论指尖运动速度与各关节运动 速度的关系。
前面介绍过机器人运动学正问题
r f ( )
一般情况：
n
Rmn
fm
n
2、与平移速度有关的雅可比矩阵
相对于指尖坐标系的平移速度，是通过把坐标 原点固定在指尖上，指尖坐标系相对于基准坐 标系的平移速度来描述
O0 x0 y0 z0 ：基准坐标系 Oe xe ye ze ：指尖坐标系
ze
z0
Pe
Oe
ye
xe
O0
r f ( )
r r1, r2,
, rm T Rm1
1,2 , , n Rn1
rj f j (1,2, ,n ) j 1, 2, , m
若n>m，手爪位置的关节变量有无限 个解，通常工业用机器人有3个位置变量 和3个姿态变量，共6个自由度（变量）。
阳修。他于庆历五年被贬谪到滁州，也就是今天的安徽省滁州市。也是在此期间，欧阳修在滁州留下了不逊于《岳阳楼记》的千古名篇——《醉翁亭记》。接下来就让我们一起来学习这篇课文吧！【教学提示】结合前文教学，有利于学生把握本文写作背景，进而加深学生对作品含义的理解。二、教学新
g2o计算雅可比矩阵
g2o计算雅可比矩阵
G2O (Generalized 2nd-Order Optimization) 是一个通用的二阶优化库，可以用于解决各种优化问题，包括机器人定位、图形重建、传感器融合等。
在G2O中，雅可比矩阵的计算通常用于描述误差项的偏导数，对于非线性优化问题，雅可比矩阵的自动求导可以提高优化的速度。
假设有误差函数E(x)，其中x是优化变量，E(x)的雅可比矩阵J(x)可以计算如下：
首先计算E(x)关于x的梯度（或者偏导数）：
gradE = [E_x1, E_x2, ..., E_xn]
然后，J(x)就是gradE的转置：
J(x) = [E_x1, E_y1, ..., E_z1;
E_x2, E_y2, ..., E_z2;
...
E_xn, E_yn, ..., E_zn]
注意：这里的E_xi表示E(x)关于第i个优化变量的偏导数。
在G2O中，可以使用内置的函数来自动计算雅可比矩阵，这样可
以避免手动编写雅可比矩阵的计算代码，提高代码的效率和准确性。
具体的计算方法可以参考G2O的官方文档和示例代码。
机器人雅可比矩阵
根据机器人运动状态和任务需求，动态调整雅可比矩阵的维度， 以适应不同情况下的计算需求。
雅可比矩阵的奇异性问题
1 2
奇异值分解
利用奇异值分解（SVD）等技术处理雅可比矩阵 的奇异性问题，提高矩阵的稳定性和可靠性。
冗余自由度
合理配置机器人的冗余自由度，避免产生奇异位 姿，提高机器人的运动能力和灵活性。
。
逆向运动学
03
已知机器人在笛卡尔空间中的位姿，求解关节空间的运动变量
，进而得到雅可比矩阵。
03
雅可比矩阵的应用
机器人的运动学正解与逆解
01
02
03
运动学正解
通过给定的关节角度，计 算机器人末端执行器的位 置和姿态。
运动学逆解
已知末端执行器的位置和 姿态，反推出各关节角度 。
求解方法
通过几何学和线性代数的 方法，建立机器人运动学 模型，并使用数值计算方 法求解正解和逆解。
3
动态调整
根据机器人运动状态和任务需求，动态调整雅可 比矩阵的结构，以避免奇异性问题。
雅可比矩阵的实时计算优化
并行计算
采用并行计算技术，将雅可比矩阵的计算任务分解为多个子任务， 提高计算效率。
预计算和缓存
对雅可比矩阵进行预计算和缓存，减少实时计算量，提高计算速度 。
自适应算法
采用自适应算法优化雅可比矩阵的计算过程，根据机器人运动状态和 任务需求动态调整计算参数，提高计算精度和响应速度。
力矩控制
通过调节施加在机器人关节上的力矩，实现对机器人运动的精确控 制。
控制方法
基于反馈的力/力矩控制方法，如PID控制器、模糊控制器等。
04
雅可比矩阵的优化与改进
雅可比矩阵的降维处理
使用标准dh参数推导雅可比矩阵
使用标准dh参数推导雅可比矩阵【知识文章标题】深入探讨：使用标准DH参数推导雅可比矩阵【引言】在机器人学中，雅可比矩阵是一个非常重要的概念。
它能够反映机器人末端执行器速度和关节速度之间的关系，是运动学分析和控制中的关键工具。
而使用标准DH参数推导雅可比矩阵是机器人学的基础知识之一。
本文将深入探讨这个主题，帮助读者更加深入地理解标准DH 参数和雅可比矩阵之间的联系。
【正文】1. 什么是DH参数？DH参数全称为Denavit-Hartenberg参数，是机器人学中用于描述机器人关节和连接之间几何关系的工具。
通过使用标准DH参数，我们可以简化机器人的运动学建模，并推导出各关节之间的变换矩阵。
2. DH参数的意义和应用DH参数的主要作用是将机器人的运动学问题转化为代数问题，简化了运动学分析和控制的过程。
通过设定好DH参数，并建立了各关节的坐标系，我们可以根据这些参数和坐标系关系推导出从关节空间到运动空间的变换矩阵。
3. 推导DH参数推导DH参数需要遵循一定的步骤和规则，下面是一个简单的推导过程：步骤一：确定机器人的坐标系和基准坐标系。
根据机器人的结构和任务，我们需要确定机器人的坐标系以及一个基准坐标系作为参考。
步骤二：为机器人的每个关节定义坐标轴和坐标系。
为机器人的每个关节定义一个坐标轴，并建立相应的关节坐标系。
这些坐标轴和坐标系将用于描述机器人连接之间的几何关系。
步骤三：确定DH参数的定义规则。
根据DH参数的定义规则，我们可以确定每个关节坐标系之间的变换矩阵所需要的DH参数。
步骤四：根据DH参数推导变换矩阵。
利用DH参数和所定义的坐标系，我们可以逐步推导出机器人关节空间到运动空间的变换矩阵。
根据链式求导法则，我们可以将这些变换矩阵求导，从而得到雅可比矩阵。
4. 什么是雅可比矩阵？雅可比矩阵是描述机器人运动学中末端执行器速度和关节速度之间关系的矩阵。
通过雅可比矩阵，我们可以计算出机器人末端执行器在不同关节速度下的运动速度。
基于矢量积法的六自由度工业机器人雅可比矩阵求解及奇异位形的分析
１２ ５
Ｍａ ｈ ｎ ｒ Ｄｅ ｉｎ ｃ ｉ ｅｙ ｓｇ
＆
Ｍａ ｕ ａ ｔ ｒ ｎ ｆ ｃｕ ｅ
第 ８期 ２ １ 年 ８月 ０１
文章编号 ：０ １ ３ ９ （ ０ １０ — １ ２ ０ １０ — ９ ７ ２ １ ）８ ０ ５ — ３
基 于 矢量积 法 的六 自由度 工业机 器人 雅 可 比矩 阵
求解及奇异位形的分析 冰
张鹏程 张 铁
（ 华南 理工大学 机械 与汽车工 程学院 ， 广州 ５０４ ） ６ ０ １
Ａ ａ ｓ ｆｓ ｌ ｉ ｆ Ｄｏ ｂ ｔａ ｏ ｉ ｔｘａ ｄｓ ｇ ｌｒｙ ｎ ｌ ｉＯ ｏｕｏ ｏ ６ ｆｏ ｏ ｃ ｂ ｎｍａｒ ｎ ｉ ｕ ｉ ｙｓ ｔｎ ｒ ｊ ａ ｉ ｎ ａｔ
ｊｉｔｐ ｅｖｌ ｉ ， ｅｖ ｃ ｒ ｒｄ ｃ ｍ ｔｏ ｐ ｌ ｄｉ ｏ ｔｉｉ ｏ ｉｎｍａ ｉ，ｈｃ ｅ ａｔ ｏｎ ａ ｅｏ ｔ ｔ ｅｔ ｏ ｕ ｔ ｅｈ ｄｉ ａｐ ｉ ｂａ ｎ Ｊ ｂａ ｔｘ ｗ ｉ ｉ ｔ ｎｐ ｒ — ｓｃ ｃｙ ｈ ｏｐ ｓ ｅ ｎ ｎ ｇ ａ ｃ ｒ ｈ ｓｈ ｉ
部奇异 ， 由关节角的极限范围得边界奇异。最后仿真得出奇异位姿所对应的关节转角及其关系式 ， 为示 教、 轨迹规划及其动力学分析提供 了可靠的依据。
关键词 ： 自由度工 业机 器人 ， 积法 ； 六 Ｉ 矢量 雅克 比矩阵 ； 奇异位 形
【 ｂｔ ｃ】Ｔｅ ｏａｏ ｉ ｕａ ｔ ａｄ ｏ ｕｅｓ ｇｌ ｉ ｒ ｌ ｓｏ ｅ６ Ｄ Ｆｉ ｕｔａ ｒ ｏ Ａ ｓ ａｔ ｈ ｌ ｔ ｎｓ ｇｌ ｉ ｎ ｓ ｒ ｉ ｕ ｒｙ ｏ ｅ ｔ － Ｏ ｄｓ ｉ ｂｔ ｒ ｃ ｉ ｎ ｒｙ ｐ ｔ ｎ ａ ｔｐ ｂ ｍ ｆ ｈ ｎ ｒｌｏ
机器人速度分析和雅可比矩阵
[]
x6 z2 x3 z0 z1 ③ o2 o0 o1 x0 x1 x2 ② o3 Ⅳ ④ Ⅱ Ⅲ Ⅰ ① z3 x5 z5 ⑤ x4 z4 ⑥ 6 Ⅵ
6
υz
z6
o4 Ⅴ o5 o6 2、末杆速度的定义： 、末杆速度的定义：
ωz
沿末杆坐标轴的速度矢量
绕末杆坐标轴的角速度矢量
6 υx 6 υ y υ 6 υz6 6 = 6 ω ωx ω6 y 6 ωz
0 0 0 0 0 1
全转动关节机器人计算公式
1 1 v 6 ( p6 × n6 ) z x 6 1 1 v y ( p6 × o6 ) z 1 1 v z6 ( p6 × a6 ) z 6 = 1 ω x ( n6 ) z ω 6 (o1 ) 6 z y 1 6 ω z (a6 ) z 2 2 ( p6 × n6 ) z 2 2 ( p6 × o6 ) z 2 2 ( p6 × a6 ) z 2 ( n6 ) z 2 (o6 ) z 2 (a6 ) z 3 3 ( p6 × n6 ) z 3 3 ( p6 × o6 ) z 3 3 ( p6 × a6 ) z 3 ( n6 ) z 3 (o6 ) z 3 (a6 ) z 4 4 ( p6 × n6 ) z 4 4 ( p6 × o6 ) z 4 4 ( p6 × a6 ) z 4 ( n6 ) z 4 (o6 ) z 4 (a6 ) z 5 5 ( p6 × n6 ) z 5 5 ( p6 × o6 ) z 5 5 ( p6 × a6 ) z 5 ( n6 ) z 5 (o6 ) z 5 (a6 ) z
6 υ x nx υ 6 o y 6 x υz ax 6 = ω x 0 ω 6 0 y ω 6 0 z
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机器人雅可比矩阵求法
机器人雅可比矩阵求法是机器人运动学中的重要内容。
雅可比矩阵描述了机器人末端执行器的速度与关节运动的速度之间的关系。
在机器人运动控制中，通过雅可比矩阵可以快速地计算机器人末端执行器的速度与关节速度之间的对应关系，从而实现机器人的控制。
在机器人的运动学模型中，雅可比矩阵是一个矩阵，它的行数等于机器人末端执行器的自由度，列数等于机器人各个关节的自由度。
雅可比矩阵中的每个元素表示机器人末端执行器中的一个自由度对
于机器人各个关节中一个自由度的影响程度。
雅可比矩阵的求解方法可以通过数值方法和解析方法两种途径。
数值方法是通过数值微分来近似计算雅可比矩阵。
解析方法则是通过对机器人的运动学模型进行求导来求解雅可比矩阵。
在实际应用中，解析方法更为常用，因为它具有计算量小、计算速度快、精度高等优点。
机器人雅可比矩阵求解的过程中，需要注意机器人的运动学模型是否具有奇异点，对于奇异点的处理需要格外注意。
此外，由于机器人的运动学模型是非线性的，因此在求解雅可比矩阵时需要进行线性化处理，以便更好地适应控制器的需求。
总之，机器人雅可比矩阵是机器人运动学中的重要内容，掌握雅可比矩阵的求解方法对于机器人的运动控制具有重要的意义。
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