雅克比矩阵知识介绍
雅可比矩阵的应用与求解
雅可比矩阵的应用与求解雅可比矩阵作为数值计算中的一个重要工具，在数学和工程领域中有着广泛的应用。
本文将介绍雅可比矩阵的相关理论和求解方法，并探讨其在实际问题中的应用。
一、雅可比矩阵的定义和性质雅可比矩阵可以被定义为实数域上的一个n阶矩阵，其主对角线上为矩阵函数对应行的一阶偏导数，其余元素为该函数对应行和列的二阶偏导数之积的相反数。
例如，在一个三元函数f(x,y,z)的情况下，对应的雅可比矩阵为：$$J = \begin{bmatrix}\dfrac{\partial f}{\partial x} & \dfrac{\partial f}{\partial y} &\dfrac{\partial f}{\partial z} \\\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} & \dfrac{\partial^2f}{\partial y^2} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial z} \\\dfrac{\partial^2 f}{\partial z\partial x} & \dfrac{\partial^2f}{\partial z\partial y} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial z^2} \\\end{bmatrix}$$雅可比矩阵的一些性质包括：在点$(x_0, y_0)$处的雅可比矩阵，其转置矩阵$J^T$等于这个点处的负梯度，即$-\nabla f(x_0, y_0)$；在对称矩阵的情况下，其对应的特征值是实数；在正定对称矩阵的情况下，其特征值是正实数。
这些性质直接影响了雅可比矩阵在实际应用中的效果和精度。
二、雅可比矩阵的求解方法在实际问题中，要计算雅可比矩阵通常有两种方法：解析方法和数值方法。
解析方法主要针对函数表达式已知、求导比较简单的情况。
机器人雅可比矩阵知识讲解
x6 f6(q1,q2, ,q6)
注意，如果函数 f1(q) 到 f6(q) 是非线性的，则 f q 是q的 函数，写成 xJ(q)q ，式子两边同除以时间的微分，
上式中，66的偏导数x矩阵J(Jq(q)q)叫做雅可比矩阵。其中
Jijq xiqq j
雅可比矩阵
机器人关节数
*雅可比矩阵的行数取决于机器人的类型
雅可比矩阵在机器人中的应用
可以把雅可比矩阵看作是关节的速度 q 变换到 操作速度V的变换矩阵
在任何特定时刻，q具有某一特定值，J(q)就是一个 线性变换。在每一新的时刻，q已改变，线性变换 也因之改变，所以雅可比矩阵是一个时变的线性变 换矩阵。
在机器人学领域内，通常谈到的雅可比矩阵是 把关节角速度和操作臂末端的直角坐标速度联 系在一起的。
假设矢量yRm为uRn的函数
y= y(u)
y1(u) y2(u)
yy12((uu11,,uu22,, ,,uunn))
ym(u) ym(u1,u2,,un)
对于m=1, （标量对矢量的导数）
u y u y1 1
y1 u2
u y1 n
y相对于u的偏导数定义为
u y u u uyyym 1 2(((u u u))) yu yu u ym 1 1 2 1 1
约束函数C(x),
单位圆上的质点位置约束为 C (x ) xx 1
一般情况下，采用位姿矢量q聚合表达n个粒子的位置。在3D 空间，矢量长度为3n。考虑位置约束C是一个关于位姿矢量q 的未知函数，则速度约束
C C q q
矩阵 C/q 被称作C的雅可比矩阵，记作J。为了进行物理
仿真，求微分 C JqJq，根据力学关系，建立微分约束方
雅可比矩阵推导过程
雅可比矩阵推导过程雅可比矩阵（Jacobian matrix）是微分几何和向量微积分中的一个重要工具，用于描述多元函数的变换关系。
在本文中，我们将详细介绍雅可比矩阵的定义、性质和推导过程。
1. 雅可比矩阵的定义考虑一个从n维欧几里得空间到m维欧几里得空间的映射，即有一个函数F: R^n -> R^m。
假设F的每个分量函数都是连续可微的，那么对于给定的输入向量x ∈R^n，可以将F在该点处进行泰勒展开：F(x + Δx) = F(x) + J(x)Δx + O(‖Δx‖)其中，J(x)是一个m×n的矩阵，称为雅可比矩阵。
它由F的各个分量函数对输入向量x中各个变量求偏导数而组成。
具体地说，如果F = (f₁, f₂, …, fₘ)，则雅可比矩阵J(x)按行排列如下：J(x) = [∂f₁/∂x₁∂f₁/∂x₂ ... ∂f₁/∂xₘ][∂f₂/∂x₁∂f₂/∂x₂ ... ∂f₂/∂xₘ][... ... ... ... ][∂fₘ/∂x₁∂fₘ/∂x₂ ... ∂fₘ/∂xₘ]2. 雅可比矩阵的性质雅可比矩阵具有以下几个重要的性质：•雅可比矩阵的行数等于映射的目标空间维度m，列数等于映射的源空间维度n。
•如果F是一个线性映射，那么雅可比矩阵是一个常数矩阵。
•如果F是一个非线性映射，那么雅可比矩阵的每个元素都依赖于输入向量x。
•雅可比矩阵可以用来描述函数在某一点处的局部线性逼近，即泰勒展开式中的一次项。
3. 雅可比矩阵的推导过程为了推导雅可比矩阵，我们将以二维向量值函数为例。
假设有一个函数F: R² ->R²，表示为F(x, y) = (u(x, y), v(x, y))。
我们需要求解F在某一点(x₀, y₀)处的雅可比矩阵。
首先，我们对F的每个分量函数进行偏导数计算。
对于u(x, y)，其偏导数为：∂u/∂x = lim(Δx→0) [u(x + Δx, y) - u(x, y)] / Δx同理，对于v(x, y)，其偏导数为：∂v/∂x = lim(Δx→0) [v(x + Δx, y) - v(x, y)] / Δx类似地，我们可以计算出u和v关于y的偏导数：∂u/∂y = lim(Δy→0) [u(x, y + Δy) - u(x, y)] / Δy∂v/∂y = lim(Δy→0) [v(x, y + Δy) - v(x, y)] / Δy将上述四个偏导数整理成矩阵形式，即得到雅可比矩阵J：J = [∂u/∂x ∂u/∂y][∂v/∂x ∂v/∂y]这就是二维向量值函数F在点(x₀, y₀)处的雅可比矩阵。
简述机器人雅可比矩阵的概念
简述机器人雅可比矩阵的概念机器人雅可比矩阵是机器人控制理论中的一个重要概念，它描述了机器人末端执行器在关节空间和笛卡尔空间中的运动学关系。
本文将从机器人运动学的基本概念入手，介绍雅可比矩阵的定义、性质和应用，以及在机器人控制中的重要作用。
一、机器人运动学基本概念机器人运动学是研究机器人运动规律和运动参数的学科，它是机器人控制理论的重要组成部分。
机器人运动学主要分为正运动学和逆运动学两个部分。
正运动学是指通过机器人关节角度计算机器人末端执行器的位置和姿态，即把关节空间的运动状态转换为笛卡尔空间的运动状态。
逆运动学则是指通过机器人末端执行器的位置和姿态计算机器人关节角度，即把笛卡尔空间的运动状态转换为关节空间的运动状态。
正逆运动学是机器人控制中的基本问题，也是机器人实际应用中必须解决的问题。
机器人运动学中的基本概念包括机器人坐标系、机器人关节角度、机器人末端执行器的位置和姿态等。
机器人坐标系是机器人运动学中的一个基本概念，它是描述机器人运动状态的基础。
机器人坐标系可以分为基座坐标系和工具坐标系两种类型。
基座坐标系是机器人的固定参考系，通常与机器人底座相对应。
工具坐标系则是机器人末端执行器的参考系，通常与机器人末端执行器的位置和姿态相对应。
机器人关节角度是机器人运动学中的另一个基本概念，它是描述机器人关节运动状态的参数。
机器人关节角度通常用关节角度向量表示，例如q=[q1, q2, ..., qn]T，其中n是机器人关节数量。
机器人关节角度向量是机器人控制中的重要参数，它可以用来控制机器人的关节运动状态。
机器人末端执行器的位置和姿态是机器人运动学中的另一个基本概念，它是描述机器人末端执行器运动状态的参数。
机器人末端执行器的位置通常用位置向量表示，例如p=[x, y, z]T，其中x、y、z 是机器人末端执行器在笛卡尔空间中的位置坐标。
机器人末端执行器的姿态通常用姿态矩阵或欧拉角表示，例如R=[r11, r12, r13; r21, r22, r23; r31, r32, r33]，其中r11、r12、r13、r21、r22、r23、r31、r32、r33是姿态矩阵的元素。
机器人运动学雅可比矩阵
05 雅可比矩阵的优化与改进
雅可比矩阵的稳定性分析
稳定性分析的重要性
在机器人运动控制中，雅可比矩阵的稳定性对机器人的运动性能 和动态响应具有重要影响。
稳定性判据
通过分析雅可比矩阵的特征值和特征向量，可以确定机器人的运动 稳定性，并为其运动控制提供依据。
通常使用齐次变换矩阵来表示机器人的位姿，该矩阵包含 了平移和旋转信息，能够完整地描述机器人在空间中的位 置和方向。
坐标系与变换
01
坐标系是用来描述物体在空间中位置和姿态的参照框架。
02
在机器人学中，通常使用固连于机器人基座的坐标系作为全局 参考坐标系，以及固连于机器人末端执行器的坐标系作为局部
参考坐标系。
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雅可比矩阵的物理意义
雅可比矩阵描述了机械臂末端执行器 的位置和姿态随关节变量变化的规律， 是机械臂运动学分析中的重要概念。
通过雅可比矩阵，可以分析机械臂的 可达工作空间、奇异性、运动速度和 加速度等运动学性能。
雅可比矩阵的计算方法
雅可比矩阵可以通过正向运动学和逆 向运动学两种方法计算得到。
在计算雅可比矩阵时，需要使用到线 性代数、微分方程等数学工具。
正向运动学是根据关节变量求解末端 执行器在参考坐标系中的位置和姿态； 逆向运动学是根据末端执行器的位置 和姿态求解关节变量。
04 雅可比矩阵在机器人运动 学中的应用
机器人的关节与连杆
关节
机器人的每个关节都有一个自由 度，决定了机器人的运动方式。 常见的关节类型包括旋转关节和 移动关节。
连杆
电力系统雅可比矩阵
电力系统雅可比矩阵电力系统雅可比矩阵电力系统中，雅可比矩阵是一种常用的描述系统状态的工具。
它能够对电力系统的各个节点进行连通性分析，进而求解系统的各种物理量，如电压、电流等。
本文将从以下方面详细介绍电力系统雅可比矩阵。
一、雅可比矩阵的定义电力系统雅可比矩阵是指根据各节点的连通性及其电气量之间的关系，形成的一个n×n矩阵。
其中n为电力系统节点数。
其主要作用是描述电力系统的复杂结构，为后续的系统分析和控制提供基础。
二、雅可比矩阵的构成雅可比矩阵由两部分构成：节点导纳矩阵和潮流方程的导数矩阵。
具体构成如下：1.节点导纳矩阵节点导纳矩阵是由电源节点、负荷节点和导纳节点构成的。
电源节点是指系统中生成电能的节点，负荷节点是指系统中消耗电能的节点，而导纳节点是指系统中连接元件的节点。
节点导纳矩阵的主要作用是描述电力系统的电路拓扑结构。
2.潮流方程的导数矩阵潮流方程的导数矩阵又称潮流矩阵，描述了电力系统的电气量间的关系。
其中，潮流方程是指系统中各节点的电流和电压之间的关系式。
潮流矩阵是潮流方程对各电气量求偏导数得到的矩阵。
三、雅可比矩阵的应用雅可比矩阵是电力系统中的常用工具，其应用涉及广泛。
常见的应用包括：1.电力系统负荷流量分析通过分析系统的雅可比矩阵，可以确定系统中各节点的电流和电压。
从而实现对电力系统中各元件负荷流量的分析。
2.电力系统优化调整雅可比矩阵可以通过对系统的结构和状态进行分析，使得系统能够更好地适应外部负荷和变化。
从而实现电力系统的优化调整。
3.电力系统稳定分析雅可比矩阵可以通过对系统的节点状态进行分析，使得系统更好地实现电力平衡，进而保持系统的稳定性。
四、总结电力系统雅可比矩阵是电力系统中的一种常用工具，在对电气量的计算和系统优化调整过程中发挥着重要作用。
它的构成和应用均非常广泛，能够为电力系统的稳定性和运行效率提供支持。
雅可比矩阵_灵敏度矩阵_解释说明以及概述
雅可比矩阵灵敏度矩阵解释说明以及概述1. 引言1.1 概述雅可比矩阵是数学中一种重要的矩阵形式，用于描述多元函数的局部性质和关系。
灵敏度矩阵则是一种衡量系统响应对输入参数变化的敏感程度的工具。
本文将深入探讨雅可比矩阵和灵敏度矩阵的定义、计算方法、性质以及它们在实际问题求解中的潜在应用。
1.2 文章结构本文分为五个主要部分来展开对雅可比矩阵和灵敏度矩阵的介绍和解释。
首先，我们将给出本文的概述，明确文章主题和目标；其次，我们将详细介绍雅可比矩阵包括其定义、基本概念、计算方法以及应用领域；随后，我们将深入探讨灵敏度矩阵，包括其意义定义、计算方法和性质，并通过实际案例来展示其运用；接着，我们将进一步解释说明雅可比矩阵在问题求解中的作用与意义以及灵敏度矩阵在问题求解中的应用举例；最后，我们将总结全文内容，并对雅可比矩阵及其应用进行展望。
1.3 目的本文旨在系统介绍雅可比矩阵和灵敏度矩阵的相关概念、计算方法以及实际应用，帮助读者全面了解它们在数学和工程领域的重要性和作用。
同时，通过详细解释说明它们在问题求解中的具体应用案例，期望读者能够理解如何应用雅可比矩阵和灵敏度矩阵来分析和优化复杂系统中的相互关系。
最后，我们希望通过本文对雅可比矩阵与灵敏度矩阵的深入探讨，为进一步研究提供启示和方向。
2. 雅可比矩阵:2.1 定义和基本概念:雅可比矩阵是数学中的一种线性变换矩阵，用于描述多元函数的导数。
对于一个具有n个自变量和m个因变量的向量值函数，其雅可比矩阵是一个m×n的矩阵，其中每个元素表示因变量关于自变量之间的偏导数。
设函数f(x1, x2, ..., xn) = (y1, y2, ..., ym)，则该函数的雅可比矩阵J就是一个m ×n矩阵，其中每个元素Jij表示yj关于xi的偏导数。
2.2 计算方法和性质:计算雅可比矩阵的方法通常即是求各偏导数。
对于一个标量场(只有一个因变量)来说，其雅可比行列式称为该函数的梯度，也就是常说的向量场。
机器人雅可比矩阵
根据机器人运动状态和任务需求，动态调整雅可比矩阵的维度， 以适应不同情况下的计算需求。
雅可比矩阵的奇异性问题
1 2
奇异值分解
利用奇异值分解（SVD）等技术处理雅可比矩阵 的奇异性问题，提高矩阵的稳定性和可靠性。
冗余自由度
合理配置机器人的冗余自由度，避免产生奇异位 姿，提高机器人的运动能力和灵活性。
。
逆向运动学
03
已知机器人在笛卡尔空间中的位姿，求解关节空间的运动变量
，进而得到雅可比矩阵。
03
雅可比矩阵的应用
机器人的运动学正解与逆解
01
02
03
运动学正解
通过给定的关节角度，计 算机器人末端执行器的位 置和姿态。
运动学逆解
已知末端执行器的位置和 姿态，反推出各关节角度 。
求解方法
通过几何学和线性代数的 方法，建立机器人运动学 模型，并使用数值计算方 法求解正解和逆解。
3
动态调整
根据机器人运动状态和任务需求，动态调整雅可 比矩阵的结构，以避免奇异性问题。
雅可比矩阵的实时计算优化
并行计算
采用并行计算技术，将雅可比矩阵的计算任务分解为多个子任务， 提高计算效率。
预计算和缓存
对雅可比矩阵进行预计算和缓存，减少实时计算量，提高计算速度 。
自适应算法
采用自适应算法优化雅可比矩阵的计算过程，根据机器人运动状态和 任务需求动态调整计算参数，提高计算精度和响应速度。
力矩控制
通过调节施加在机器人关节上的力矩，实现对机器人运动的精确控 制。
控制方法
基于反馈的力/力矩控制方法，如PID控制器、模糊控制器等。
04
雅可比矩阵的优化与改进
雅可比矩阵的降维处理
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雅可比矩阵(Jacobi方法)Jacobi 方法Jacobi方法是求对称矩阵的全部特征值以及相应的特征向量的一种方法，它是基于以下两个结论1) 任何实对称矩阵A可以通过正交相似变换成对角型，即存在正交矩阵Q,使得Q T AQ = diag(λ1 ,λ2,…,λn) (3.1)其中λi(i=1,2,…,n)是A的特征值，Q中各列为相应的特征向量。
2) 在正交相似变换下,矩阵元素的平方和不变。
即设A=(aij )n×n,Q交矩阵,记B=Q T AQ=(bij )n×n, 则Jacobi方法的基本思想是通过一次正交变换,将A中的一对非零的非对角化成零并且使得非对角元素的平方和减小。
反复进行上述过程,使变换后的矩阵的非对角元素的平方和趋于零，从而使该矩阵近似为对角矩阵，得到全部特征值和特征向量。
1 矩阵的旋转变换设A为n阶实对称矩阵，考虑矩阵易见 Vij(φ)是正交矩阵, 记注意到B=VijA的第i,j行元素以及的第i,j列元素为可得≠0，取φ使得则有如果aij对A(1)重复上述的过程，可得A(2) ,这样继续下去, 得到一个矩阵序列{A(k) }。
可以证明，虽然这种变换不一定能使矩阵中非对角元素零元素的个数单调增加，但可以保证非对角元素的平方和递减，我们以A与A(1)为例进行讨论。
设由式(3.4)可得这表明,在上述旋转变换下,非对角元素的平方和严格单调递减,因而由(3.2)可知，对角元素的平方和单调增加。
2. Jacobi方法通过一系列旋转变换将A变成A(k+1) ,求得A的全部特征值与特征向量的方法称为Jacobi方法。
计算过程如下1)令k=0, A(k) =A2) 求整数i,j, 使得3) 计算旋转矩阵4) 计算A(k+1)5) 计算6) 若E(A(k+1))<ε, 则为特征值，Q T = (V(0) V(1)…V(k+1))T的各列为相应的特征向量；否则，k+1=>k返回2,重复上述过程。
例5 用Jacobi方法求矩阵的特征值和特征向量。
一般地，Jacobi法不能在有限步内将A化成对角阵，但有下面的定理。
定理3 设A为n阶使对称矩阵，对A用Jacobi法得到序列{A(k)}, 其中A(0) = A, 则证明由Jacobi法计算过程故有(3.5)另一方面，有计算A 的公式可以得到于是有, 代入式(3.5)得因为所以/zhanshi/shuzhifenxi/shuzhifenxi/4.3/szfx043.h tm雅可比矩阵以m个n元函数u i=u i(x1,x2,…,x n)(i=1,2,…,m)的偏导数(j=1,2,…,n)为元素的矩阵如果把原来的函数组看作由点x=(x1,x2,…,x n)到点u=(u1,u2,…,u m)的一个变换T,则在偏导数都连续的前提之下，u随x的变化由相应的微分方程组来描述。
这是一个关于微分的线性方程组，其系数矩阵便是雅可比矩阵(J)，因而可写成矩阵形式这隐含着(J)具有微分系数的某些性质,类似于一元函数的导数。
而在m=n=1的情形,它又恰好是一个一元函数的导数；所以它也是一个一元函数的导数到m个n 元函数的一种推广。
因此，(J)作为微分系数或导数的推广,有时也被当作变换T 的“导数”看待并记为T┡(x)=(J)。
变换T的进一步的数量描述需要雅可比行列式。
定义任给一个n维向量X，其范数‖X‖是一个满足下列三个条件的实数：（1）对于任意向量X，‖X‖≥0，且‖X‖＝0óX＝0;（2）对于任意实数λ及任意向量X，‖λX‖＝｜λ｜‖X‖；（3）对于任意向量X和Y，‖X＋Y‖≤‖X‖＋‖Y‖；对于这样的,叫雅克比矩阵定义。
雅克比矩阵证明关于这个的一般性证明稍微复杂点，现在就给你证明为什么二维的dx(u,v)dy(u,v)=Jdudv成立证明：对于曲面x=x(u,v),y=y(u,v),取它的微元，即小曲边四边形ABCD，其中A(u,v),B(u+△u,v),C(u+△u,v+△v),D(u,v+△v),那么这个曲边四边形ABCD可以近似看成是微小向量B(u+△u,v)-A(u,v)和D(u,v+△v)-A(u,v)张成的。
利用中值定理可知：(u+△u,v)-(u,v)=Mdu(u,v+△v)-(u,v)=Ndv这里的M，N是偏导数的形式，不好打出，你可以自己算出来，很简单的。
当变化量很小时，我们把(u+△u,v)-(u,v)近似看成dx(u,v)，(u,v+△v)-(u,v)看成dy(u,v)，所以，dx(u,v)dy(u,v)=M*Ndudv而其中的M*N刚好就是二维Jacobi行列式的展开形式。
由此问题得证。
雅可比矩阵在向量微积分中，雅可比矩阵是一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵，其行列式成为雅可比行列式。
还有，在代数几何中，代数曲线的雅可比量表示雅可比簇：伴随该曲线的一个群簇，曲线可以嵌入其中。
它们全部都以数学家雅可比命名；英文雅可比量"Jacobian"可以发音为[ja ˈko bi ən]或者[ʤəˈko bi ən]。
雅可比矩阵的重要性在于它体现了一个可微方程与给出点的最优线性逼近。
因此，雅可比矩阵类似于多元函数的导数。
雅可比矩阵定义：雅可比矩阵定义为向量对向量的微分矩阵，定义式如下：见所附jpg 图片。
例：MATLAB中jacobian是用来计算Jacobi矩阵的函数。
syms r l fx=r*cos(l)*cos(f);y=r*cos(l)*sin(f);z=r*sin(l);J=jacobian([x;y;z],[r l f])结果：J = [ cos(l)*cos(f), -r*sin(l)*cos(f), -r*cos(l)*sin(f)] [ cos(l)*sin(f), -r*sin(l)*sin(f), r*cos(l)*c os(f)] [ sin(l),r*cos(l), 0 ]Hessian 矩阵就是一个多元实函数的二阶导数，设f=f(x1,x2..xn) 二阶导数（d^2f/d(xi)d(xj)）构成矩阵,在优化分析中常用到。
Jacobi矩阵就是一个多元矢量函数的一阶导数，如f=(f1(x1,x2..xn),...,fm(x1,x2..xn)),相应矩阵元素为d(fi)/d(xj)。
在稳定点附近的稳定性分析常用到它。
本质上说，以上两者是相关的Jacobi可以看作是一个多元实函数的梯度（一阶导数）的导数。
在向量微积分中，雅可比矩阵是一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵，其行列式称为雅可比行列式。
还有，在代数几何中，代数曲线的雅可比量表示雅可比簇：伴随该曲线的一个代数群，曲线可以嵌入其中。
它们全部都以数学家卡尔·雅可比命名；英文雅可比量"Jacobian"可以发音为[jaˈko bi ən]或者[ʤəˈko bi ən]。
雅可比矩阵雅可比矩阵的重要性在于它体现了一个可微方程与给出点的最优线性逼近。
因此，雅可比矩阵类似于多元函数的导数。
假设F:R n→R m是一个从欧式n维空间转换到欧式m维空间的函数。
这个函数由m 个实函数组成: y1(x1,...,xn), ..., ym(x1,...,xn). 这些函数的偏导数(如果存在)可以组成一个m行n列的矩阵，这就是所谓的雅可比矩阵：此矩阵表示为：，或者这个矩阵的第i行是由梯度函数的转置y(i=1,...,m)表示的i中的一点，F在p点可微分，那么在这一点的导数由J F(p)给出(这是如果p是Rn求该点导数最简便的方法)。
在此情况下，由(p)描述的线性算子即接近点p的FF的最优线性逼近，x逼近与p例子由球坐标系到直角坐标系的转化由F函数给出:R× [0,π] × [0,2π] → R3此坐标变换的雅可比矩阵是R4的f函数:其雅可比矩阵为:此例子说明雅可比矩阵不一定为方矩阵。
在动力系统中考虑形为x' = F(x)的动力系统，F : R n→ R n。
如果F(x0) = 0，那么x0是一个驻点。
系统接近驻点时的表现通常可以从J F(x0)的特征值来决定。
雅可比行列式如果m = n，那么F是从n维空间到n维空间的函数，且它的雅可比矩阵是一个方块矩阵。
于是我们可以取它的行列式，称为雅可比行列式。
在某个给定点的雅可比行列式提供了F在接近该点时的表现的重要信息。
例如，如果连续可微函数F在p点的雅可比行列式不是零，那么它在该点附近具有反函数。
这称为反函数定理。
更进一步，如果p点的雅可比行列式是正数，则F在p 点的取向不变；如果是负数，则F的取向相反。
而从雅可比行列式的绝对值，就可以知道函数F在p点的缩放因子；这就是为什么它出现在换元积分法中。
例子设有函数F : R3→ R3，其分量为：则它的雅可比行列式为：从中我们可以看到，当x1和x2同号时，F的取向相反；该函数处处具有反函数，除了在x1 = 0和x2= 0时以外。
参看海森矩阵Jacobi阵和Hessian阵可谓是用途广泛。
不仅是在优化问题中常用，在各种多元问题中一般都常遇到。
比如在求解非线性方程组时，两者会经常被使用。
关于它们的定义和用法，推荐参看李庆扬等写的《非线性方程组的数值解法》。
楼主可参看R.A.Horn的矩阵分析卷一雅可比矩阵雅可比矩阵定义：雅可比矩阵定义为向量对向量的微分矩阵，定义式如下：见所附jpg图片。
雅克比矩阵在有限单元法中指的是全局坐标对局部坐标的偏导数，我们在由节点位移求解节点应变的时候会碰到形函数对整体坐标的偏导问题，即求解B矩阵，由于形函数对整体坐标的偏导比较难求，我们可以先求形函数对局部坐标的偏导数，然后利用雅克比矩阵转化为形函数对整体坐标的偏导数。
雅克比矩阵其实质和泛函求导数中泛函中的变量对自变量的导数是一样的。
只不过一个是矩阵，一个数数值而已。
在空间问题8节点的线性单元中，雅克比矩阵是3*3得矩阵。
我们在计算过程中还经常用到雅克比行列式的值，它用来判断单元是否畸形，一般雅克比行列式为正，则说明单元形态较好，反之单元形态不好。
雅克比方法是解决线性方程组的一种迭代方法，当现行方程组的阶数较高时，用直接法解方程组时可能误差较大，就要采用迭代方法。
不过雅克比迭代不是一种很高效的迭代方法，高斯 -塞德尔迭代方法较其效率要高。
雅克比矩阵必然是n*n的矩阵，因为局部坐标和全局坐标之间的变量的数量永远是相同的在一般的应用过程中，局部坐标和整体坐标线性无关且数目相等，所以雅克比矩阵是方阵，并且行列式不恒为零。
但是，从纯数学的角度讲，如果允许广义坐标之间线性相关，那么雅克比矩阵可能不是方阵，即使是方阵，行列式也可能恒为零。
讨论Jacobi矩阵不能仅限于有限元。
应用数学上是这样定义的：设有n个变元的m个函数yi=fi(x1,x2,......,xn) (i=1,2,......,m)，A=D(y1,...,ym)/D(x1,...xn)称为上式的Jacobi矩阵。