矩阵秩重要知识点总结_考研必看
矩阵的秩及其求法-求秩的技巧
第五节：矩阵的秩及其求法之五兆芳芳创作一、矩阵秩的概念 1. k 阶子式 定义1 设 在A 中任取k 行k 列穿插处元素按原相对位置组成的阶行列式，称为A 的一个k 阶子式.例如共有个二阶子式，有 个三阶子式矩阵 A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素所组成的二阶子式为 而为 A 的一个三阶子式.显然， 矩阵 A 共有 个k 阶子式.2. 矩阵的秩 定义2 设 有r 阶子式不为0，任何r +1阶子式(如果存在的话)全为0 ,称r 为矩阵A 的秩，记作R (A )或秩(A ).规则： 零矩阵的秩为 0 .注意：(1) 如 R ( A ) = r ，则 A 中至少有一个 r 阶子式所有 r + 1 阶子式为 0，且更高阶子式均为 0，r 是 A 中不为零的子式的最高阶数，是唯一的 .(2) 有行列式的性质，(3) R(A ) ≤m , R (A ) ≤n , 0 ≤R (A ) ≤min { m , n } .(4) 如果An ×n , 且 则 R ( A ) = n .反之，如 R()nm ij a A ⨯={}),min 1(n m k k ≤≤43334=C C 1015643213-=D nm ⨯()nm ij a A ⨯=0,r D ≠()().T R A R A =0,A ≠0.A ≠( A ) = n ,则因此，方阵 A 可逆的充分需要条件是 R ( A ) = n . 二、矩阵秩的求法 1、子式判别法(定义).例1 设 为阶梯形矩阵，求R (B ). 解 由于 存在一个二阶子式不为0，而任何三阶子式全为0，则R (B ) = 2.结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数.例如 一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”——非零行的行数. 例2 设 如果 求a .解 或例3则 2、用初等变换法求矩阵的秩定理2矩阵初等变换不改动矩阵的秩. 即则注： 只改动子行列式的符号. 是 A 中对应子式的k 倍.2021≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010*********A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001021B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010011C 125034000D ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭21235081530007200000E ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a A 111111(),3<A R ()3<A R 1=∴a 2-=a ()3=A R =K 3-BA →)()(B R A R =ji r r ↔.1irk .2是行列式运算的性质.求矩阵A 的秩办法：1）利用初等行变换化矩阵A 为阶梯形矩阵B 2）数阶梯形矩阵B 非零行的行数即为矩阵A 的秩. 例4求 解R(A ) = 2例5三、满秩矩阵定义3A 为n 阶方阵时，称 A 是满秩阵，（非奇异矩阵） 称 A 是降秩阵，（奇异矩阵） 可见：对于满秩方阵A 施行初等行变换可以化为单位阵E ,又按照初等阵的作用：每对A 施行一次初等行变换，相当于用一个对应的初等阵左乘A,由此得到下面的定理. 定理3设A 是满秩方阵，则存在初等方阵 使得对于满秩矩阵A ，它的行最简形是n 阶单位阵 E . 例如A 为满秩方阵.关于矩阵的秩的一些重要结论：ji krr +.3().A R μλμλ,2,6352132111，求）（且设=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=A R A (),n A R =(),n A R <()0≠⇔=A nA R EA P P P P s s =-121,定理5R (AB )R (A ),R (AB )R (B ),即R (AB )min{R (A )，R (B )}设A 是 矩阵，B 是 矩阵， 性质1性质2 如果 A B = 0 则性质3 如果 R (A )= n, 如果A B = 0 则 B = 0. 性质4 设A,B 均为矩阵，则例8 设A 为n 阶矩阵，证明R （A+E ）+R （A-E ）≥n 证： ∵ （A+E ）+（E-A ）=2E∴R （A+E ）+ R （ E-A ）≥ R （2E ）=n而 R （ E-A ）=R （ A-E ） ∴ R （A+E ）+R （A-E ）≥n≤nm ⨯tn ⨯).()()(AB R n B R A R ≤-+.)()(n B R A R ≤+nm ⨯).()()(B R A R B A R +≤±。
矩阵秩的证明方法及技巧
矩阵秩的证明方法及技巧矩阵的秩是描述矩阵行（列）向量空间维数的重要指标，广泛应用在线性代数和矩阵理论中。
下面将介绍矩阵秩的定义、性质以及一些证明方法和技巧。
一、矩阵秩的定义和性质：1. 矩阵秩的定义：对于任意一个m×n矩阵A，它的秩(rank)定义为其所有非零行（列）向量的极大无关组的向量个数，即r(A) = r(A^T），其中A^T为A的转置矩阵。
2.矩阵秩的基本性质：a) r(A) ≤ min(m, n)，即矩阵秩r(A)不会超过矩阵的行数m和列数n的较小值。
b)如果r(A)=m，即矩阵的秩与行数相等，则称矩阵为满秩矩阵。
c)两个矩阵的行等价（列等价），它们的秩相等。
d)对于一个n阶方阵A，如果A可逆，则r(A)=n，即满秩方阵。
e)若A和B为同型矩阵，则r(A+B)≤r(A)+r(B)。
二、矩阵秩的证明方法和技巧：1.行变换法证明矩阵秩：行变换可以通过初等行变换来实现，包括交换两行、行乘以一个非零常数、行加上另一行的k倍。
行变换不改变矩阵的秩，因此可以通过行变换来找到矩阵的极大无关组，从而确定矩阵的秩。
2.列空间法证明矩阵秩：列空间是由矩阵的所有列向量张成的向量空间，可以通过检查矩阵的列向量组是否线性无关来确定矩阵的秩。
如果列向量组线性无关，则矩阵的秩等于列向量组的向量个数；否则，删除线性相关的列向量，再次检查新的列向量组是否线性无关，直至找到一个线性无关的列向量组为止。
3.奇异值分解法证明矩阵秩：对于任意一个m×n矩阵A，可以进行奇异值分解为A=UΣV^T，其中U和V为正交矩阵，Σ为对角矩阵，其对角元素为矩阵A的奇异值。
矩阵A的秩等于非零奇异值的个数。
4.行列式法证明矩阵秩：矩阵A的秩等于其最高阶非零子式的阶数。
通过计算矩阵A的各个阶数的子式的行列式是否为零，可以确定矩阵的秩。
5.矩阵的分解法证明矩阵秩：常用的矩阵分解方法包括LU分解、QR分解和SVD分解等。
通过对矩阵进行适当的分解，可以得到新的矩阵形式，从而更容易确定矩阵的秩。
矩阵秩重要知识点总结_考研必看
矩阵秩重要知识点总结_考研必看一．矩阵等价行等价：矩阵A经若干次初等行变换变为矩阵B列等价：矩阵A经若干次初等列变换变为矩阵B矩阵等价:矩阵A经若干次初等行变换可以变为矩阵B，矩阵B经若干次初等行变换可以变成矩阵A，则成矩阵A和B等价矩阵等价的充要条件1. 存在可逆矩阵P和Q,PAQ=B2. R(A)=R(B)二．向量的线性表示Case1：向量b能由向量组A线性表示: b=λ1α1+λ2α2+λ3α3+⋯+λmαm充要条件:1.线性方程组Ax=b有解2.R(A)=R(A,b)Case2：向量组B能由向量组A线性表示充要条件：R(A)=R(A,B)推论∵R(A)=R(A,B),R(B) ≤R(A,B) ∴R(B) ≤R(A)Case3：向量组A能由向量组B线性表示充要条件：R(B)=R(B,A)推论∵R(B)=R(A,B),R(A) ≤R(A,B) ∴R(A) ≤R(B)Case4：向量组A和B能相互表示，即向量组A和向量组B等价充要条件:R(A)=R(B)=R(A,B)=R(B,A)Case5：n维单位坐标向量组En能由矩阵A的列向量组线性表示充要条件是:R(A)=R(A,E)n=R(E)=n，所以R(A)=n=R(A,E)三．线性方程组的解1. 非齐次线性方程组（1） R(A)=R(A,B),方程有解.（2） R(A)=R(A,B)=n，解唯一.（3） R(A)=R(A,B)（4）R(A) ≠R(A,B)2．齐次线性方程组（1）一定有解（2）有非零解的充要条件R(A)四．向量组线性相关性向量组线性相关：存在不全为0的实数λ1、λ2，λ3…λn,满足λ1α1+λ2α2+λ3α3+⋯+λnαn=0充要条件:（1） R(A)（2）向量组中至少有一个向量能由其余n-1个向量线性表示（3） n 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解．Case1：向量组A要么线性相关，要么线性无关，两者必居其一Case2：向量组A只包含一个向量α，α是零向量，向量组A线性无关; α是非零向量，向量组A线性无关。
3-1 矩阵的秩
第三章
秩与方程组
第一节
矩阵的秩
秩的概念 秩的计算
一、矩阵秩的概念
定义1 在m×n 矩阵A中任取 k行 k列(k ≤ m, k ≤ n), 位于这些行列交叉处的k 2 个元素，不改变 它们在A中所处的位置次序而得到的 k 阶行 列式称为矩阵A的k 阶子式．
k k m×n 矩阵A的k 阶子式共有 C m 个． Cn
*
(要牢记)
A 1 A* A
1 A A
A可逆
A 1 A
n 1
1
|A|≠0，且
A* A
n1
A*
1
kA k
A ,
*
A
*
*
A
n 2
A (不太常用)
(2)克拉默法则 ①方程个数等于未知量个数;
②系数行列式不等于零.
第三章
矩阵的秩与 线性代数方程组
矩阵的秩 齐次线性方程组 非齐次线性方程组
1 0 0 0 1 0 0 0
2 4 0 0 0 1 0 0ຫໍສະໝຸດ 1 2 0 0 1 2 0 0
0 3 5 0 0 0 1 0
2 1 3 0 2 1 3 0
行梯形阵
行最简形矩阵．
定理1 对于任何矩阵 Am n ，总可经过有限次行 初等变换化为行梯形阵． 例
~
0 0 0 0 0
1 0 0 0 0
1 0 0 0 0
1 1 1 2 1
1 1 1 2 1
1 1 2 3 1
~
~
0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 B 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
矩阵秩重要知识点总结_考研必看复习课程
] ]
b1
3 1
4 6
2
1
5
3
1 1
4 1 1 1
b3
a3
[b1 , a3 [b1 , b1
] ]
b1
[b2 [b2
, ,
a3 b2
] ]
b2
1
0
1 3
2 1
5
3
1 1
2
0
1
第二步单位化，令
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1 e1 || b1 || b1
精品文档 一． 矩阵等价
行等价：矩阵 A 经若干次初等行变换变为矩阵 B 列等价：矩阵 A 经若干次初等列变换变为矩阵 B 矩阵等价:矩阵 A 经若干次初等行变换可以变为矩阵 B，矩阵 B 经若干次初等行变换可 以变成矩阵 A，则成矩阵 A 和 B 等价 矩阵等价的充要条件 1. 存在可逆矩阵 P 和 Q,PAQ=B 2. R(A)=R(B) 二． 向量的线性表示
Case1：向量 b 能由向量组 A 线性表示:
充要条件:
1.线性方程组 A x =b 有解
2.R(A)=R(A,b) Case2：向量组 B 能由向量组 A 线性表示 充要条件：
R(A)=R(A,B) 推论 ∵R(A)=R(A,B),R(B) ≤R(A,B) ∴R(B) ≤R(A) Case3：向量组 A 能由向量组 B 线性表示 充要条件：
R(B)=R(B,A) 推论 ∵R(B)=R(A,B),R(A) ≤R(A,B) ∴R(A) ≤R(B) Case4：向量组 A 和 B 能相互表示，即向量组 A 和向量组 B 等价 充要条件:
R(A)=R(B)=R(A,B)=R(B,A) Case5：n 维单位坐标向量组 能由矩阵 A 的列向量组线性表示 充要条件是:
矩阵的秩
第一章 矩阵的秩矩阵理论是高等代数的主要内容之一, 在数学及其它科学领域中有着广泛的应用.在矩阵理论中, 矩阵的秩是一个重要的概念. 它是矩阵的一个数量特征, 而且是初等变换下的不变量. 本文归纳了矩阵的秩与向量的线性关系; 线性方程组的求解; 空间中点面位置关系; 二次型; 线性变换等问题的密切的联系.1 矩阵的秩的定义及简单的公式1.1 矩阵的秩的定义定义1一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩. 所谓矩阵的行秩就是矩阵的行向量组的秩, 矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩. 矩阵的行秩等于矩阵的列秩, 并统称为矩阵的秩. 另外, 矩阵的秩等于它的不为零的子式的最高阶数, 这是矩阵的秩的行列式定义.定义2设()n m a A ij ⨯=有r 阶子式不为0，任何r +1阶子式(如果存在的话)全为0 , 称r 为矩阵A 的秩，记作()A R 或。
定义3 矩阵A 经过初等变换所化成的阶梯型中非零行的个数称为矩阵A 的秩． 矩阵A 的秩为r ，记为()r A R =.特别，零矩阵的秩()00=R1.2 矩阵的秩的几个简单性质性质1 ()0=A r , 当且仅当A 是零矩阵 性质2 ()n A r =, 当且仅当|A |≠0性质3 设A 是m ×n 矩阵, 则()}{n m A r ,min 0≤≤ 性质4 ()()()B r A r B A r +≤+性质5 ()()TA rank A rank =1.3矩阵秩的求法（1）定义法找出矩阵A 中不为零的最高子式，算出它的阶数． （2）初等变换法用初等变换（行、列均可）将矩阵A 化为标准形r E O O O ⎛⎫⎪⎝⎭，即可得出()R A r =；或化成阶梯形矩阵，其非零行的个数即为秩．例设6117404112901316124223A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭, 求秩(A) 解 A →1290404161171316124223-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭→1290084010115570525108403-⎛⎫⎪- ⎪⎪- ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭→12900151015711015150153-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-- ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭→12900151000458800034000014-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭所以()3R A =.第二章 矩阵的秩的相关问题1 矩阵的秩在向量组线性相关性问题中的应用向量组的线性相关性是线性代数中一个较为抽象的概念, 它既是线性代数的重点, 又是一个难点。
2-4矩阵的秩
（3）非零常数k乘以第i行后加到第j行上
1 1 显然， 3 中的行向量组 A i i 可以由 A 的行向量组线性表示 rj kri A A3 j j k i 而 A 的行向量组可以由 A 中的行向量组线性表示。 3 m m
0 r ( A) min m , n
当r(A)=m，A的行向量组一定线性无关，称A为行 满秩矩阵;当r(A)=n, A的列向量组一定线性无关， 称A为列满秩矩阵 行满秩矩阵和列满秩矩阵统称为满秩矩阵
例1 化矩阵A为等价标准形并求秩R A） （ . 1 2 1 4 A 2 5 3 5 1 1 6 7
r列
1 a12 0 a 22 0 am 2
a1n a2 n
1 0 0 0 1 0 ＝ 0 0 1 A 0 0 0 0 0 0
r列
T 1 T 2
a1 n a2n a in a mn
T m
T 2
T 1
T i
T m
向量组 , , …， 称为矩阵A的行向量组．
定义1：矩阵的行向量的秩，就称为矩阵的行秩; 矩阵的列向量的秩，就称为矩阵的列秩。
1 2 s
1
2
s
1
2
s
j k1 j k2 j k s j
1 2
s
则 A1 的列向量组 1, 2 , , n 中，对应的向量 j 可 由其中的 , , , 线性表示： j j j
第七节 矩阵的秩
显然,有一个 k阶 子式不为零. 而所有 k 1 阶子式 全为零.
即A
r A k
且 (aii 0 , i 1, 2, , k )
2、初等变换求秩法
定理 定理
阶梯形矩阵的秩等于其非零行个数 任意矩阵都可以只通过初等行变换 1 2 3 1
化成阶梯形矩阵.
0 3 1 4 r A 3 定理 初等变换不改变矩阵的秩 A 0 0 2 1 0 0 0 0 这三个定理解决了一般矩阵求秩的问题 0 0 0 0
结论：任何矩阵与可逆矩阵相乘其秩不变. 即
r ( B) r ( AB) r ( BC ) r ( ABC ) 其中B为n×m矩阵, A为n阶可逆矩阵, C是m阶可逆矩阵.
A O 例4 已知 r A r1 ，（B） r2 ， 求证 r （） r r1 r2 O B
分块对角阵的秩等于各子块的秩之和
A1 A A2 r ( A) r ( A ) r ( A ) r ( A ) 1 2 s As
例5
设n阶矩阵Байду номын сангаас
a 1 A 1
1 1 1 a 1
1 a 1
1 3 2 2 A 0 2 1 3 2 0 1 5
求 r ( A)
1 0 3 2 20
1阶子式: 1 1 0
2阶子式:
3阶子式:
1 0 2 3 2 0 2 1 0 1
1 3 2 2 A 0 2 1 3 2 0 1 5
各行都加到 第 n 行上
1 n 1 1 0
1 1 n 1 0
线性代数-矩阵的秩-PPT-期末复习资料
0
0 1 0 0
3 7
5, 1
3 2
2 5
4 3
00
矩阵，容易看出它的4阶子式
全为零，而以三个非零行的
首非零元为对角元的3阶子式 不等于零， 2 1 3
这里的两个行列
式分别是A 和B 的
0 3 2 24 0
最高阶非零子式
00 4
因此 R(B) 3.
4
说明
✓根据行列式的展开法则知，在 A中当所有r 1
第三节 矩阵的秩
主要内容
❖矩阵的秩的概念； ❖初等变换不改变矩阵的秩的原理，以及矩阵
的秩的求法； ❖矩阵的秩的基本性质.
基本要求
❖理解矩阵的秩的概念，知道初等变换不改变 矩阵的秩的原理；
❖掌握用初等变换求矩阵的秩的方法； ❖知道矩阵的标准形与秩的联系； ❖知道矩阵的秩的基本性质.
1
一、k 阶子式
定义1 在 m n 矩阵 A中任取 k 行 k 列（k m,
行阶梯形矩阵.
3
A
3 2 1
2 2 0 6
0 3 1 4
5 6 5 1
0 1
r1 r2
r4 r4
1 0
3 4
r3 r4
2r1 3r1
0 0
6 4 12 16
4 3 9 12
1 1 7 8
4
1
1121
8
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1
0 0
12 16
说明
➢分块矩阵只是形式上的矩阵；
➢分块法的优越之处是：
•把大矩阵的运算化为小矩阵的运算. •矩阵分块后，能突出该矩阵的结构，从而可利 用它的特殊结构，使运算简化.
•可为某些命题的证明提供方法.
矩阵的秩
（ 1 ）
a1n a2 n asn
n 的行秩 r ，那么它有非零解．
, , , 的秩为r，且不妨设 为其一个极大无关组. 1 2 r
证：设矩阵 A 的行向量组 ( a , a , , a ) , i 1 , 2 , , s i i 1 i 2 i n
, , , , , , 由于向量组 与向量组 等价， 1 2 s 1 2 r
于是方程组(1)与方程组(1')是同解的.
a a 1 1x 1 a 1 2x2 1nx n 0 a a 2 1x 1 a 2 2x 2 2nx n 0 0 a x a x a x 0 rn n r1 1 r2 2
a a n 1 2 1 k k 0 , 2 2 1 n n 1 1 1 1 1 a a
改写一下，有
不全为零的n个数
, ,, 线性相关 R ( A ) n . 1 2 n
a a n 1 2 1 k k k 0 , k 2 n 1 22 n n a a 1 1 1 1
=0
R ( A ) n .
( ) 只有零解 A 0 R ( A ) n .
推论2
n 个 n 维向量
i
( a , a , , a ) , i 1 , 2 , , n i 1 i 2 i n
a11 a12 a 21 a 22 a n1 a n 2 a1 n a2n a nn a1 n a2n a nn 0. 0.
也线性无关． 于是矩阵A的列秩 r1 r ． 同理可证 r1 r . 所以 r1 r ．
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一． 矩阵等价
行等价：矩阵A 经若干次初等行变换变为矩阵B
列等价：矩阵A 经若干次初等列变换变为矩阵B
矩阵等价:矩阵A 经若干次初等行变换可以变为矩阵B ，矩阵B 经若干次初等行变换可以变成矩阵A ，则成矩阵A 和B 等价
矩阵等价的充要条件
1. 存在可逆矩阵P 和Q,PAQ=B
2. R(A)=R(B)
二． 向量的线性表示
Case1：向量b r 能由向量组A 线
性表示:
充要条件:
1.线性方程组A x r =b 有解
(A)=R(A,b)
Case2：向量组B 能由向量组A 线性表示
充要条件：
R(A)=R(A,B)
推论 ∵R(A)=R(A,B),R(B) ≤R(A,B) ∴R(B) ≤R(A)
Case3：向量组A 能由向量组B 线性表示
充要条件：
R(B)=R(B,A)
推论 ∵R(B)=R(A,B),R(A) ≤R(A,B) ∴R(A) ≤R(B)
Case4：向量组A 和B 能相互表示，即向量组A 和向量组B 等价
充要条件:
R(A)=R(B)=R(A,B)=R(B,A)
Case5：n 维单位坐标向量组能由矩阵A 的列向量组线性表示
充要条件是:
R(A)=R(A,E)
n=R(E)<=R(A),又R(A)>=n ，所以R(A)=n=R(A,E)
三． 线性方程组的解
1. 非齐次线性方程组
（1） R(A)=R(A,B),方程有解.
（2） R(A)=R(A,B)=n ，解唯一.
（3） R(A)=R(A,B) <n,无穷多解.解向量的个数=n-R(A)
（4） R(A) ≠R(A,B)
2．齐次线性方程组
（1） 一定有解
（2） 有非零解的充要条件R(A)<n
四．向量组线性相关性 向量组线性相关： 存在不全为0的实数、,满
足=0
充要条件:
（1） R(A)<n
（2） 向量组中至少有一个向量能由其余n-1个向量线性表示
（3） n 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解．
Case1：向量组A 要么线性相关，要么线性无关，两者必居其一
Case2：向量组A 只包含一个向量αr ，αr 是零向量，向量组A 线性无关;
αr 是非零向量，向量组A 线性无关。
Case3：两个向量线性相关，向量的分量对应成比例
Case4：三个向量线性相关，向量共面
向量组线性无关
向量组 A ：a 1, a 2, …, a m 线性无关
如果 k 1a 1 + k 2a 2 + … + k m a m =0（零向量），则必有k 1 = k 2 = … = k m =0 ．
充要条件
（1）m 元齐次线性方程组 Ax = 0 只有零解．
（2）矩阵A = (a 1, a 2, …, a m ) 的秩等于向量的个数 m ．
（3）向量组 A 中任何一个向量都不能由其余 m －1 个向量线 性表示．
重要推论：
1.若向量组 A ：a1, a2, …, am 线性相关， 则向量组 B ：a1, a2, …, am, am+1 也线性相关．其逆否命题也成立，即若向量组 B 线性无关，则向量组 A 也线性无关． 个 n 维向量组成的向量组，当维数 n 小于向量个数 m 时，一定线性相关．
3.特别地， n + 1个 n 维向量一定线性相关．
设向量组 A ：a1, a2, …, am 线性无关， 而向量组 B ：a1, a2, …, am, b 线性相关，则向量 b 必能由向量组 A 线性表示，且表示式是唯一的．
五.斯密特正交化 11
1222111132333121122111[,]45321[,]631114111[,][,]1512120[,][,]330111b a b a b a b b b b a b a b a b b b b b b =--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--=--+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
第二步单位化，令
111
222
333112||||1111||||111
0||||1e b b e b b e b b ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭
六、正交阵
n阶矩阵A是正交阵的充要条件是A的列向量都是单位向量且两两正交;A的行向量都是单位向量且两两正交。