第3章雅可比矩阵和动力学解析

n自由度机器人J 阵 关节变量用广义关节变量q表示：
q = [q1, q2, …, qn]T 当关节为转动关节时qi=θ i； 当关节为移动关节时qi=di
关节空间的微小运动： dq = [dq1，dq2, … , dqn]T
机器人末端在操作空间的位姿X表示，它是关节 变量的函数，X=X(q)，是一个6维列矢量。
l2s12 l2 c12
J
1
1 l1l2s 2
θ J 1v 且vX=1 m/s，vY=0，因此
微分得
X 1 dX dY Y 1 X 2 d1 Y d 2 2
写成矩阵形式为
X 1 dX dY Y 1
X J 1 Y 1
1 qJ V
式中：J-1称为工业机器人逆速度雅可比。 当工业机器人手部在空间按规定的速度进行作 业，用上式可以计算出沿路径上每一瞬时相应 的关节速度。
例1 如图示的二自由度机械手，手部沿固定坐标系 X0轴正向以1.0 m/s的速度移动，杆长l1=l2=0.5 m。 求当θ1=30°，θ2=60°时的关节速度。 解 由推导知，二自由度机械手速度雅可比为
对dX = J示为
v X J (q)q
式中：v为机器人末端在操作空间中的广义速度；
q 为机器人关节在关节空间中的关节速度； J(q)为确定关节空间速度 q
与操作空间速度v之间关系的雅可比矩阵。
反之，假如给定工业机器人手部速度，可解出 相应的关节速度，即：
l2 s12 l2 c12
dX=J dθ
v X J (q)q
已知关节θ和角速度,可求出该机器人手部速度。 若J1，J2分别为雅可比的第1列矢量和第2列矢量，则:
v J11 J 22
右边第一项表示仅由第一个关节运动引起的端点速度； 右边第二项表示仅由第二个关节运动引起的端点速度； 总的端点速度为这两个速度矢量的合成。 因此，机器人速度雅可比的每一列表示其他关节不动而 某一关节运动产生的端点速度。
3.1 机器人速度雅可比与速度分析
一、机器人速度雅可比
y1 f1 ( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ) y f (x , x , x , x , x , x ) 2 2 1 2 3 4 5 6 y6 f 6 ( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 )
第3章 雅可比矩阵和动力学分析
上一章讨论了刚体的位姿描述、齐次变换，机器 人各连杆间的位移关系，建立了机器人的运动学 方程，研究了运动学逆解，建立了操作空间与关 节空间的映射关系。 本章将在位移分析的基础上，进行速度分析，研 究操作空间速度与关节空间速度之间的线性映射 关系——雅可比矩阵(简称雅可比)。 雅可比矩阵不仅用来表示操作空间与关节空间之 间的速度线性映射关系，同时也用来表示两空间 之间力的传递关系。
X q2 Y q 2 Z q2 X q2 Y q2 Z q2
X qn Y qn Z qn X qn Y qn Z qn
二、机器人速度分析
也可简写成：
F dY dX X
雅可比矩阵 用J表示
二自由度平面关节型机器人
端点位置X、Y与关节θ1、θ2的关系为
X l1c1 l2 c12 Y l1s1 l2 s12
即
X X (1 , 2 ) Y Y (1 , 2 )
X X dX d1 d 2 1 2 dY Y d Y d 1 2 1 2
可写成：Y＝F(X) 将其微分，得：
f1 f1 f1 dy1 x dx1 x dx2 x dx6 1 2 6 f 2 f 2 f 2 dx1 dx 2 dx6 dy 2 x1 x2 x6 f 6 f 6 f 6 dy 6 x dx1 x dx 2 x dx6 1 2 6
X 2 d1 Y d 2 2
X 2 Y 2
关节空间微小运 动dθ与手部作业 空间微小位移 dX的关系。
令
简写为： dX=J dθ
2R机器人的速度雅可比矩阵为：
l1s1 l2 s12 J l1c1 l2 c12
X q 1 d X = J (q ) d q Y J（q）：反映了关节空间微 q1 小运动dq与手部作业空间微 Z 小运动dX之间的关系。 q1 X J(q) T q dX=[dX，dY，dZ， X q φX，φY，φZ]T 1 反映了操作空间的微小运动， Y 由机器人末端微小线位移和微 q1 小角位移(微小转动)组成。 Z q1
l1s1 l2s12 J l1c1 l2 c12
l2s12 l2 c12
二自由度机械手手爪沿X0方向运动示意图
逆雅可比为
l1s1 l2s12 J l1c1 l2 c12
l2 c12 l c l c 1 1 2 12 l2s12 l1s1 l2s12