经典概率题

十个人做，五个人错——经典概率题！

昨天出了这个题目，到现在有很多朋友跟了帖子，不过依旧有很多人不理解答案。现在我把第一题的相关内容做一个最终阐述，希望能对大家有一点儿帮助。

原题：

1. 有三张纸片，第一张纸片两面都是黑色的，第二张两面都是白色的，第三张一面是黑色的，另一面是白色的。用三个碗把他们遮盖住。随机移开一个碗，发现看到的这张纸片的上面是黑色的。求这张纸片下面也是黑色的概率是多少？

2.有三张纸片，第一张纸片两面都是黑色的，第二张两面都是白色的，第三张一面是黑色的，另一面是白色的。用三个碗把他们遮盖住。求随机移开一个碗，发现看到的这张纸片两面都是黑色的概率是多少？

答案与解释：

第二个题答案是1/3，属于概率论里面基础中的基础，大家基本上都算对了。

第一个题答案是2/3 。

有的朋友也算对了，并且解释得还很好。下面我再给分析一下。

经典解释：

一共有6个面，3黑色，3白色。题目中已经说到，我们看到的是黑色的，所以就只需要考虑这3份黑色了。我们把这3个黑色分别称作1号，2号，3号。不妨假设1号和2号都是属于那张两面全是黑色的纸片，而3号属于那张一面黑色一面白色的纸片。这样，其实我们在移开碗之后看到的这个黑色的面，它是1，2，3号的概率都是1/3.如果我们看到的是1号，那么它的对面是2号，也是黑色的，这个时候有（1/ 3）*1=1/3；同理如果看到的是2号，也可以得出1/3；如果看到的是3号，那么它的对面是白色的，所以

有（1/3）*0=0. 最终有两面都是黑色的概率是1/3+1/3+0=2/3

终极解释：

移开碗之前，如果让你算一下我们移开碗之后看到的这张纸片两面颜色相同的概率是多少，你应该能够很快的就知道是2/3.

（这个2/3概率是利用数学中公认的定理计算出来的，同时也确实符合现实生活的规律，这是不以我们人的意志为转移的。所以，只要这3张纸片的结构不改变，依旧是两面全黑，两面全白和一黑一白这3张，那么这个2/3便是不会改变的，除非我们对纸片做出破坏性的改变。）

当你把手随机放到一个碗的上面的时候，这个2/3不会改变，因为此时和你没把手放在上边并无本质差别；当你闭着眼睛把碗移开，如果让你猜一猜看到的这张纸片两面颜色是相同的概率是多少，你应该还知道依旧是2/3；

当你把眼睛睁开，注意，此时你并没有对纸片做什么破坏性动作，所以这个2/3依旧是不会改变的。如果你看到的是黑色，那么这个2/3就是它对面是黑色的概率；如果你看到的是白色，那么这个2/3就是它对面是白色的概率。

释疑解惑：

有的朋友认为，既然看到的这一面是黑色的，那么这张纸片不是第一张就是第三张，而这两张纸片出现的概率是相等的，所以最终答案是1/2 。

确实，第一张纸片和第三张纸片出现的概率是相等的。但是，需要考虑的是，由于第三张纸片有黑色和白色两个面，它并不一定百分百会出现黑色在上边。事实上，第三张纸片出现黑色朝上的概率是50%，这个应该好理解。而第一张纸片由于两面都是黑色，所以它必然是黑色朝上。这就是冒然判断最终答案为1/2而解错的原因。

（此时，你可以把第一张和第三张的四个面分成四份，算一算如果已经确定是黑色朝上，你看到第一张和第三张的概率究竟是不是相等。）

可以是1/2吗？

反证法：

假设第一题的答案是1/2。

那么就是说，这个时候看到下面是白色的概率也是1/2。换句话说，如果我们看到上面是黑色的，那么我们最终看到的这张纸片上下两面颜色不相同的概率是1/2；

同理，如果我们看到的这张纸片上面是白色的，那么我们最终看到的这张纸片上下两面颜色不相同的概率也是1/2；

由于总共有6个面，3黑，3白，所以我们第一眼看到的这个面是黑色或白色的概率是相等的，都是1/2；所以，我们看到的这张纸片它上下两面颜色不相同的概率=第一眼看到的这一面是黑色的时候上下两面颜色不相同的概率+第一眼看到的这一面是白色的时候上下两面颜色不相同的概率=（1/2）*（1/2）+（1/2）*（1/2）=1/2；

但是用另外一种思考方法来检验一下——由于三张纸片只有第三张是一黑一白，所以我们看到的这张纸片上下两面颜色不相同的概率=1/3，而事实上这个时候我们算出的这个1/3是我们可以十分容易就理解的；由于1/2不等于1/3，所以一开始假设的1/2是错误的。

答：不可以是1/2.

写在最后：

如果到这个时候，你还没能理解为什么第一题等于2/3，或者确实不相信它等于2/3，那么你可以拿出3张纸，分别用1和2来代表黑色和白色稍微测试一下。

你会有新的发现！