金融工程与金融数学的期末考试要点总结

第一章金融市场

§1-1 基本思想——复制技术与无套利条件

§1-2 股票及其衍生产品

§1-3 债券市场

§1-4 利率期货

§1-2 股票及其衍生产品

股票衍生产品：是一个特定的合约，其在未来某一天的价值完全由股票的未来价值决定。

卖方(writer)：制定并出售该合约的个人或公司。

买方(holder)：购买该合约的个人或公司。

标的资产：股票。

远期合约：在交割日T，以执行价格X买入一单位标的资产的合约。

f t＝S t－Xe－rT

卖空条款：

1．某人(通常从经纪人)借入具体数量的股票，今天出售这些股票。

2．借的股票在哪一天归还必须还未被指定。

3．如果借出股份的买方想出售股票，卖空者必须借其他股份以归还第一次借得的股份。

期货合约定价

期货合约是购买者和出售者双方的协议，约定在未来某一具体时间完成一笔交易。

X＝S0e rT

看涨期权到期时损益：Call=(S T－X)＋

看跌期权到期时损益：Put = (X －S T)＋

§1-3 债券市场

票面利率：以债券面值的百分比形式按年计算的定期支付。

即期利率：以当前市场价格的百分比的形式计算的每年支付。到期收益率：如果购买并持有至到期，债券支付的收益的百分比率。

若债券面值为1，到期日为T，其现值为P(t，T)。

到期收益率R为：

利率与远期利率：

f（T1,T2）=（r2T2－r1T1）/（T2－T1）

§1-4 利率期货

国债期货定价

F t＝(P－C) e r(T－t)

C表示债券所有利息支付的现值．

P为债券的现在价格。

第二章二叉树、资产组合复制和套利

§2-1 博弈法

§2-3 概率法

§2-2 资产组合复制

§2-4 多期二叉树和套利

§2-1 博弈法

假设：

●v市场无摩擦

●v存在一种无风险证券

●v投资者可用无风险利率r > 0不受限制地借或贷

●v股票的价格运动服从二叉树模型

无风险组合：选择a使得这个投资组合在t =1的两种状态下取值相等，即

U－aS u＝D－aS d

无套利机会：这个投资组合的期末价值必须等于e rT(V0－aS)，

e rT(V0－aS )= U－aS u＝D－aS d

要点：构造一个无风险投资组合

§2-2 资产组合复制

思想：构造资产组合复制衍生产品。

投资组合：a单位的股票＋b单位的债券（债券的面值为1美元。）

∏0＝aS0+b

复制衍生资产：选择a和b，使得组合在期末的价值与衍生资产

的价值相等，即

U ＝aS u +be rT D ＝aS d +be rT

由于组合与衍生资产在期末的现金流一样，则在期初的价值也应该相等，即

V 0＝aS 0+b=aS 0+(U-aS u )e -rT

将衍生产品的定价公式整理可得

-=+V {qU 1q D}rT e （-）

-=

-0q rT d

u d

e S S S S

§2-3 概率法 1、购买一股股票

在期末， E[S T ]＝S u q ＋S d （1－q ）

2、以无风险利率投资，期末可得

S 0e rT

两种投资方式在风险中性投资者眼里是一样的。

E[S T ]＝S u q ＋S d （1－q ）＝S 0e rT

可解得，

--==+0V []{qU 1q D}rT

rT

q T e

E V e

（-）

结果同博奕论方法和资产组合复制方法一样。

博弈法：构造无风险组合

概率法：风险中性概率

资产组合复制：构造资产组合复制衍生产品

定价桥梁：无套利机会

第三章股票与期权二叉树模型

§3-1 股票价格模型

§3-2 欧式看涨期权定价

§3-3 美式和奇异期权定价

§3-4 实证数据二叉树模型分析

E[S k]＝(pu+qd)k S0

连锁法（向后推导法）

(节点股票价格)×(pu+qd)剩余列数

§3-2 欧式看涨期权定价 已知S 0，u ，X ，d ，r 1、求风险中性概率

-

=

-0q rT d u d

e S S S S

2、期望折现

--==+0V []{qU 1q D}rT rT q T e E V e （-）

§3-3 美式和奇异期权定价

提前执行法则＝max （连锁法值，立即执行值） 向下敲出期权的定价（奇异期权）

步骤：

1、构造股票二叉树和期权二叉树

2、在敲出价以外的期权二叉树的节点设为0

3、用连锁值法求期权。

回望期权定价

回望期权：期权的买方有权按过去时间段中最高标的资产的价格来计算的到期支付。

只能按路径法计算

缺点：计算速度很慢，是2N(N是期数)

§3-4 实证数据二叉树模型分析 怎样根据市场数据选择u ，d 和p ？

在短时间⊿t 内，股票的预期收益为μ⊿t ， 方差为σ2⊿t 。 预期收益

E(S)=puS ＋（1－p ）dS ＝Se μ⊿t p ＝（e μ⊿t －d ）/（u －d ） 方差

pu 2＋（1－p ）d 2－[ pu ＋（1－p ）d]2= σ2⊿t

t

u e

σ

∆=和

t

d e σ

-∆=

μ和σ的估计

首先得到股票数据的统计值：

因此

和

风险对冲

卖出一份衍生产品，并买入a 份股票进行对冲 对冲比：-∆=

=-∆a u d U D V

S S S