数学分析期末模拟试题[1]

姓 名 学 院 专 业 班 级 学 号

。

第I 部分：客观题（共20分）

一、选择题：本大题共10个小题，每小题2分，共20 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。

1、{n a }、{n b }和{n c }是三个数列，且存在N,∀ n>N 时，有≤n a ≤n b n

c ，则 ）

A. {n a }和{n b }都收敛时，{n c }收敛

B. {n a }和{n b }都发散时，{n c }发散

C. {n a }和{n b }都有界时，{n c }有界

D. {n b }有界时，{n a }和{n c }都有界

2、设函数)(x f 在闭区间[b a ,]上连续，在开区间（b a ,）内可微，但≠)(a f )(b f . 则 （ ）

A. ∈∃ξ（b a ,），使0)('=ξf

B. ∈∃ξ（b a ,），使0)('≠ξf

C. ∈∀x （b a ,），使0)('≠x f

D. 当)(b f >)(a f 时，对∈∀x （b a ,）有 )('x f >0

3、设 =)(x f ⎪⎩⎪

⎨⎧

=≠-0

, 0 , )1(1

x k x x x 在0=x 处连续，则=k （ ）

A. 1

B. e

C. e

1 D. －1

4、函数)(x f 在点0x 连续的充要条件是（ ）

A. )0(0-x f 和)0(0+x f 中至少有一个存在

B. )0(0-x f 和)0(0+x f 存在且相等

C. )0(0-x f =)0(0+x f =)(0x f

D. )(x f 在点0x 可导 5、=)(x f ⎩⎨⎧<+≥

3 , 3

, 2x b ax x x 为使f 在点3=x 可导，应取（ ）

A.3=a ，0=b

B. 0=a ，3=b

C.6=a ，9-=b

D. 9-=a ，6=b 6、设函数f 定义在区间Ⅰ上，且满足Lipschitz 条件：0>∃L ，使对∈∀21,x x Ⅰ，有2121)()(x x L x f x f -≤-，则)(x f 在区间Ⅰ上（ ）

A. 连续但未必一致连续

B. 一致连续但未必连续

C. 必一致连续

D. 必不一致连续

7、当x 很小时，下列近似公式正确的是（ ）

A. x e x ≈

B.x x ≈ln

C. x x n +≈+11

D. x x ≈sin 8、若)(x f 和)(x g 对于区间（b a ,）内每一点都有)()(''x g x f =，在（b a ,） 内有（ ）

A.)()(x g x f =

B.为常数）（2121 , c )( , )(c c x g c x f == D. )()(x cg x f =（c 为任意常数） D. c x g x f +=)()( （c 为任意常数） 9、'

'f （0x ）在点00=x 必（ ） A. x x f x x f x ∆-∆+→∆)

()(lim

02

020

B. '

000)()(lim ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∆-∆+→∆x x f x x f x C. '

000)()(lim ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∆-∆+→∆x x f x x f x D. x x f x x f x ∆-∆+→∆)

()(lim 0'

0'0 10、=)(x f ⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧>+=<,0 ,2.( ,0 ,0, ,sin x x k x k x x kx

为常数）函数 )(x f 在 点00=x 必

（ ）

A.左连续

B. 右连续

C. 连续

D. 不连续

第II 部分：主观题（共80分）

二、 填空题：本大题共5个小题，每小题2分，共10分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上。

11、1

21323lim -+∞→⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+x x x x ＝

12、已知)sgn(cos )(x x f =，则)(x f 在区间[ππ,-]上的全部间断点为 13、已知)(x f ＝x 2

sin

, 则=)6

(

)

11(π

f

14、已知函数)(x f 在R 内可导，且在（1,∞-）内递增，在（+∞,1）内递减, 如果设

)()(x

xe f x F =，则)(x F 的单调递减区间为

15、10

2

8

62)

12()12()2(lim

+-+∞

→n n n n ＝

三、 判断题： 本大题共5个小题，每小题2分，共10分.请在正确说法相应的括号中画“√ ”，在错误的说法相应的括号中画“×”.

16、设{}{}n n y x ,为两个数列，若n n y x > （ 2 1、、=n ），则n n n n y x ∞

→∞

→>lim lim . （ ）

17、若函数)(x f 以A 为极限，则)(x f 可表为)1()(o A x f +=. （ ） 18、若)(x f 在[)+∞,a 连续，且)(lim x f x +∞

→存在，则)(x f 在[)+∞,a 有界. （ ）

19、当0→x 时，0)n (m )()()(>>=++n m n m x o x o x o . （ ） 20、若)(x f 和)(x g 在0x 点都不可导，则)()(x g x f +在0x 点也不可导. （ ） 四、 计算题： 本大题共5个小题，每小题6分，共30分.请将答案写在规定的答题区域.

21、求函数极限：⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x 220sin 11

lim . 22、已知求 ,3)( ,0)(0'

0==x f x f x

x x f x ∆∆-→∆)

2(lim

00

.

23、求 )

sin(b ax e

y +=的微分.

24、设函数)(x y y =的参量方程为： ⎩

⎨⎧==t b y t a x sin cos （π<

25、求数列极限：)122(lim n n n n +

+-+∞

→ .

五、 证明题： 本大题共3个小题，每小题10分，共30分.请将证明过程写在规定的答题

区域.

26、证明：方程033

=+-c x x （c 为常数）在[]1,0内不可能有两个不同的实根.

27、证明：设函数f 和g 在[]b a ,内连续，若对任何有理数),(b a r ∈，有)()(r g r f =，则在[]b a ,内)()(x g x f =.

28、证明：设函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，在开区间（b a ,）内二阶可导，且0)(=b f ，

)()()(2

x f a x x F -=，试证明：∈∃ξ（b a ,），使0)('

'=ξF .