函数四大基本性质
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函数的基本性质
一、函数的单调性
作用:比较大小,解不等式,求最值。
定义:略
定理1:[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么
[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]1212()()
0(),f x f x f x a b x x ->⇔-在上是增函数;
[]1212()()()0x x f x f x --<⇔
[]1212
()()
0(),f x f x f x a b x x -<⇔-在上是减函数.
定理2:(导数法确定单调区间) 若[]b a x ,∈,那么
()[]b a x f x f ,)(0在⇔>'上是增函数; ()[]b a x f x f ,)(0在⇔<'上是减函数.
1.函数单调性的判断(证明)
(1)作差法(定义法) (2)作商法 (3)导数法 2.复合函数的单调性的判定
对于函数()y f u =和()u g x =,如果函数()u g x =在区间(,)a b 上具有单调性,当(),x a b ∈时
(),u m n ∈,且函数()y f u =在区间(,)m n 上也具有单调性,则复合函数(())y f g x =在区间(),a b 具
有单调性。
3.由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断
对于两个单调函数()f x 和()g x ,若它们的定义域分别为I 和J ,且I J ⋂≠∅: (1)当()f x 和()g x 具有相同的增减性时, ①1()()()F x f x g x =+的增减性与()f x 相同, ②2()()()F x f x g x =⋅、3()()()F x f x g x =-、4()
()(()0)()
f x F x
g x g x =
≠的增减性不能确定; (2)当()f x 和()g x 具有相异的增减性时,我们假设()f x 为增函数,()g x 为减函数,那么: ①1()()()F x f x g x =+的增减性不能确定;
②2()()()F x f x g x =⋅、3()()()F x f x g x =-、4()()(()0)()f x F x g x g x =
≠为增函数,5()
()(()0)()
g x F x f x f x =≠为减函数。
4.奇偶函数的单调性
奇函数在其定义域内的对称区间上的单调性相同,偶函数在其定义域内的对称区间上的单调性相反。
二、函数的对称性
函数的对称性是函数的一个基本性质, 对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能够更简捷的使问题得到解决,对称关系同时还充分体现数学之美。 1.函数()y f x =的图象的对称性(自身):
定理1: 函数()y f x =的图象关于直2
a b
x +=
对称 ()()f a x f b x ⇔+=-()()f a b x f x ⇔+-=
特殊的有:
①函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=。 ②函数()y f x =的图象关于y 轴对称(奇函数))()(x f x f =-⇔。 ③函数)(a x f y +=是偶函数)(x f ⇔关于a x =对称。
定理2:函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称
()2(2)f x b f a x ⇔=--⇔b x a f x a f 2)()(=-++
特殊的有:
① 函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称()(2)f x f a x ⇔
=--。
② 函数()y f x =的图象关于原点对称(奇函数))()(x f x f -=-⇔。 ③ 函数)(a x f y +=是奇函数)(x f ⇔关于点()0,a 对称。
定理3:(性质)
①若函数y=f (x)的图像有两条铅直对称轴x=a 和x=b(a 不等于b),那么f(x)为周期函数且2|a-b|是它的一个周期。
②若函数y=f (x)的图像有一个对称中心M(m.n)和一条铅直对称轴x=a,那么f(x)为周期函数且4|a-m|
为它的一个周期。
③若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称(a ≠b ),则y = f (x)是周期函数,且2| a -b|是其一个周期。
④若一个函数的反函数是它本身,那么它的图像关于直线y=x 对称。
2.两个函数图象的对称性:
①函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. ②函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b
x m
+=
对称. 特殊地: ()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称 ③函数()y f x =的图象关于直线x a =对称的解析式为(2)y f a x =- ④函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称的解析式为(2)y f a x =-- ⑤函数y = f (x)与a -x = f (a -y)的图像关于直线x +y = a 成轴对称。 函数y = f (x)与x -a = f (y + a)的图像关于直线x -y = a 成轴对称。 函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直线x = y 成轴对称。
3.奇偶函数性质
对于两个具有奇偶性的函数()f x 和()g x ,若它们的定义域分别为I 和J ,且I J ⋂≠∅: (1)满足定义式子)()(x f x f =-(偶)0)()(=-+x f x f (奇) (2)在原点有定义的奇函数有0)0(=f
(3)当()f x 和()g x 具有相同的奇偶性时,假设为奇函数,那么: ①函数1()()()F x f x g x =+、3()()()F x f x g x =-也为奇函数; ②2()()()F x f x g x =⋅、4()
()(()0)()
f x F x
g x g x =
≠为偶函数; ③两个偶函数之和、差、积、商为偶函数
(4)当()f x 和()g x 具有相异的奇偶性时,那么:
①1()()()F x f x g x =+、3()()()F x f x g x =-的奇偶性不能确定;
简单地说:
奇函数±奇函数=奇函数, 偶函数±偶函数=偶函数,
奇函数×奇函数=偶函数, 偶函数×偶函数=偶函数,
奇函数×偶函数=奇函数.