数学贵州省贵阳市花溪二中6.7《回顾与思考》教案(北师大版八年级下)

第八课时 ●课 题 回顾与思考 ●教学目标 （一）教学知识点 1.证明的必要性，了解证明的书写格式. 2.了解定义、命题、公理和定理的含义. 3.平行线的性质定理和判定定理. 4.三角形的内角和定理及推论. （二）能力训练要求 1.理解证明的含义. 2.通过具体例子，进一步了解定义、命题，定理、公理的含义，并会区分命题的条件和结论. 3.掌握用综合法证明的格式.体会证明的过程要步步有依据. 4.通过回顾与思考，进一步理解掌握平行线的性质定理和判定定理，并会灵活应用. 5.通过回顾与思考，进一步理解掌握三角形内角和定理及推论，并会灵活应用. （三）情感与价值观要求 通过学生回顾与思考，使他们进一步体会直观是重要的，但有时也会欺骗人，这时就需要通过逻辑推理来判断，培养学生的推理论证能力，进而发展他们的空间观念. ●教学重点 1.平行线的性质定理和判定定理的应用. 2.三角形内角和定理及其推论的应用. 3.证明的步骤及书写格式. ●教学难点 证明过程的书写. ●教学方法 自学，小组讨论法. ●教具准备 投影片三张 第一张：问题（记作投影片“回顾与思考” A） 第二张：平行线的判定与性质的关系图（记作投影片“回顾与思考” B） 第三张：知识结构图（记作投影片“回顾与思考” C） ●教学过程 Ⅰ.巧设问题情境，引入课题 ［师］前面几节课我们探讨了第六章“证明”，在教学中为什么要证明？如何证明呢？今天我们就来对此进行回顾与思考. Ⅱ.回顾与思考 ［师］同学们先独立思考下列问题，然后以小组为单位进行讨论，共同回顾本章的内容.（出示投影片“回顾与思考” A） 1.直观是重要的，但它有时也会欺骗人，你还能找到这样的例子吗？ 2.请你用自己的语言说一说什么叫定义、命题、公理和定理. 3.什么条件下两条直线平行？两条直线平行又会怎样？这两类命题的条件和结论有什么关系？你会证明它们吗？ 4.三角形内角和定理怎样证明？三角形的外角与内角有什么关系？ 5.请你用自己的语言说一说证明的基本步骤. （学生通过讨论、归纳、举例、一个一个问题解决） ［生甲］如：两棵一样高的树，但相距很远，当你站在其中一棵树旁边时，显得它很高，而另一棵较低.

图6－69 又如图6－69： 直观看，图6－69（1）长，图6－69（2）短，实际上是一样长的. …… （学生举出了许多生活中的实例，说明直观有时也会发生错误） ［生乙］定义就是对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定. 命题呢，就是判断一件事情的句子. 公理：是人们在长期的实践中总结出来的，正确的命题.即公认的真命题. 定理是经过推理的过程得到的真命题. ［生丙］在同位角相等的情况下，两直线平行；在内错角相等或同旁内角互补的情况下，两直线平行. 如果两条直线平行时，则同位角相等，内错角也相等，同旁内角是互补的. 这两类命题的条件和结论正好相反. ［生丁］两条直线平行的判定定理的条件是两条直线平行的性质定理的结论，它的结论又正好是两直线平行的性质定理的条件. ［生戊］公理也是. ［师］同学们讨论得很好，这两类命题的关系如下图（出示投影片“回顾与思考” B）

［师］你们会证明它们吗？ ［生］会.主要利用平行线的性质公理证明其性质.利用平行线的判定公理证明判定定理. ［师］很好.接下来看问题4、5. ［生甲］证明三角形内角和定理的思路是将原三角形中的三个角“凑”到一起组成一个平角.一般需要作辅助线.既可以作平行线，也可以作一个角等于三角形中的一个角. ［生乙］三角形的外角与它相邻的内角是互为补角. 与它不相邻的内角关系是： （1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. （2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. ［生丙］证明一个命题是真命题的基本步骤是： （1）根据题意，画出图形. （2）根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证. （3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程. ［生丁］在证明时需注意： （1）在一般情况下，分析的过程不要求写出来. （2）证明中的每一步推理都要有根据. ［师］同学们讨论得真棒，通过分组活动，解决了具有能反映本章内容的一串问题.现在来梳理一下本章的知识结构图.（出示投影片“回顾与思考” C） ［师］好，下面我们通过练习来进一步熟悉掌握本章内容. Ⅲ.课堂练习 （一）课本P203复习题 A组 1~7

图6－70 1.将正方形的四个顶点用线段连接，什么样的连法最短？研究发现，并非对角线最短.而是如图6－70的连法最短（即用线段AE、DE、EF、CF、BF把四个顶点连接起来），已知图中∠DAE=∠ADE=30°,∠AEF=∠BFE=120°,你能证明此时AB∥EF吗？ 答案：能. 证明：∵四边形ABCD是正方形（已知） ∴∠DAB=90°（正方形的性质） ∵∠DAE=30°（已知） ∴∠EAB=60°（等式性质） ∵∠AEF=120°（已知） ∴∠AEF+∠EAB=120°+60°=180°（等式的性质） ∴AB∥EF（同旁内角互补，两直线平行） 图6－71 2.已知，如图6－71，直线a,b被直线c所截，a∥b. 求证：∠1+∠2=180° 证明：∵a∥b（已知） ∴∠1+∠3=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵∠3=∠2（对顶角相等） ∴∠1+∠2=180°（等量代换）

图6－72 3.已知，如图6－72，∠1+∠2=180°, 求证：∠3=∠4. 证明：∵∠2=∠5（对顶角相等） ∠1+∠2=180°（已知） ∴∠1+∠5=180°（等量代换） ∴CD∥EF（同旁内角互补，两直线平行） ∴∠3=∠4（两直线平行，同位角相等） 4.回答下列问题 （1）三角形的一个内角一定小于180°吗？一定小于90°吗？ （2）一个三角形中最多有几个直角？最多有几个钝角？ （3）一个三角形的最大角不会小于60°，为什么？最小角不会大于多少度？ 答案：（1）是 不一定 （2）一个 一个 （3）如果一个三角形的最大角小于60°，则这个三角形的三个内角的和将小于180°，所以一个三角形的最大角不会小于60°. 最小角不会大于60°.

图6－73 5.“作一个立方体使它的体积等于已知立方体的2倍”，这是数学史上三个著名问题之一.今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出这样的立方体的.在探索这一问题的过程中，有人曾利用过如图6－73所示的图形. 其中AB⊥BC，BC⊥CD，AC⊥BD，2PD=PA.如果∠A=α，那么∠ABP和∠PCD等于多少？ 解：∵AC⊥BD（已知） ∴∠APB=90°（垂直的定义） ∵∠A+∠APB+∠ABP=180°（三角形的内角和定理） ∠A=α ∴∠ABP=90°－α（等式的性质） ∵AB⊥BC，BC⊥CD（已知） ∴∠ABC=∠BCD=90°（垂直的定义） ∴∠ABC+∠BCD=180°（等式的性质） ∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） ∴∠A=∠ACD（两直线平行，内错角相等） ∵∠A=α（已知） ∴∠PCD=α（等量代换）

图6－74 6.已知，如图6－74，在△ABC中，DE∥BC，F是AB上一点，FE的延长线交BC的延长线于点G，求证：∠EGH>∠ADE. 证明：∵DE∥BC（已知） ∴∠ADE=∠B（两直线平行，同位角相等） ∵∠EGH是△FBG的一个外角（已知） ∴∠EGH>∠B（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角） ∴∠EGH>∠ADE（等量代换） 7.已知，如图6－75，直线AB∥ED. 求证：∠ABC+∠CDE=∠BCD.

（1） （2） 图6－75 本题有多种证法. 证法一：（如图6－75（1））过点C作CF∥AB. ∴∠ABC=∠BCF（两直线平行，内错角相等） ∵AB∥ED（已知） ∴ED∥CF（两直线都和第三条直线平行，则这两条直线平行） ∴∠EDC=∠FCD（两直线平行，内错角相等） ∴∠BCF+∠FCD=∠EDC+∠ABC（等式性质） 即：∠BCD=∠ABC+∠CDE 证法二：（如图6－75（2）），延长BC交DE于F点 ∵AB∥DE（已知） ∴∠ABC=∠CFD（两直线平行，内错角相等） ∵∠BCD是△CDF的一个外角（已知） ∴∠BCD=∠CFD+∠CDE（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和） ∴∠BCD=∠ABC+∠CDE（等量代换） Ⅳ.课时小结 本节课我们复习了第六章“证明（一）”的主要内容.大家要掌握证明的基本步骤，要会灵活添加辅助线，把条件和结论联系起来.还要会应用平行线的性质，判定及三角形的内角和定理、推论来解决一些证明、计算问题. Ⅴ.课后作业 （一）课本P205复习题 B组 1~5 （二）写一份小结，总结自己在本章学习中的收获、困难和需要改进的地方. Ⅵ.活动与探究

图6－76 1.已知，如图6－76，∠B=32°,∠D=38°,AM、CM分别平分∠BAD、∠BCD，求∠M的度数. 你能把它一般化吗？你会证明如下结论吗？ AM、CM分别平分∠BAD和∠BCD.

求证：∠M=21（∠B+∠D） ［过程］让学生在探索的活动过程中，体会由特殊到一般的过程.培养他们分析、综合、归纳的能力. ［结果］解：∵AM、CM分别平分∠BAD和∠BCD. ∴∠BAM=21∠BAD，∠MCB=21∠BCD. ∵∠B+∠BAD+∠AFB=180° ∠D+∠BCD+∠DFC=180° ∠AFB=∠DFC ∴∠B+∠DAB=∠D+∠BCD ∴∠DAB－∠BCD=∠D－∠B ∵∠BEM=∠M+∠BCM， ∠BEM=∠B+∠BAM ∴∠M+∠BCM=∠B+∠BAM ∴∠M=∠B+∠BAM－∠BCM =∠B+21（∠DAB－∠BCD）