九年级数学上数学待定系数法求二次函数表达式专题复习一(含答案)
【初中数学】第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式 [人教版九年级上册] (练习题)
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第2课时用待定系数法求二次函数的解析式[人教版九年级上册] (2912)1.已知二次函数的图象经过(1,0)，(2,0)和(0,2)三点，则该函数的解析式是（）A.y=2x2+x+2B.y=x2+3x+2C.y=x2−2x+3D.y=x2−3x+22.已知二次函数y=ax2+bx的图象过点(6，0)，(−2，8).(1)求此二次函数的解析式；(2)写出该函数图象的对称轴和顶点坐标3.顶点为M(−2，1)，且经过原点的抛物线的解析式是（）A.y=(x−2)2+1B.y=−14(x+2)2+1C.y=(x+2)2+1D.y=14(x−2)2+14.已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为(0，−1)，那么这个二次函数的解析式可以是．5.已知抛物线的顶点坐标是(3，−1)，与y轴的交点坐标是(0，−4)，则这个抛物线的函数解析式为6.已知二次函数的图象经过点(4，−3)，并且当x=3时，函数有最大值4，求出对应的二次函数解析式．7.已知一抛物线与x轴交于点A(−2,0)，B(1,0)，且经过点C(2，8)，则该抛物线的解析式为.8.已知抛物线y=ax2+bx+c过点A(−1，0)，且经过直线y=x−3与坐标轴的两个交点.(1)求抛物线的解析式；(2)求抛物线的顶点M的坐标9.某抛物线的形状、开口方向与抛物线y=12x2−4x+3相同，顶点坐标为(−2，1)，则该抛物线的函数解析式为（）A.y=12(x−2)2+1 B.y=12(x+2)2−1C.y=12(x+2)2+1 D.y=−12(x+2)2+110.二次函数y=−x2+bx+c的图象的最高点是(−1,−3)，则b、c的值为（）A.b=2，c=4B.b=2，c=−4C.b=−2，c=4D.b=−2，c=−411.抛物线经过点A(2,0)，B(−1,0)，且与y轴交于点C．若OC=2，则该抛物线解析式为（）A.y=x2−x−2B.y=−x2−x−2或y=x2+x+2C. −y=−x2+x+2D.y=x2−x−2或y=−x2+x+212.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过原点及点(−2，−2)，且图象与x轴的另一个交点到原点的距离为4，那么该二次函数的解析式为．13.已知二次函数y=12x2+bx+c的图象经过点A(c，−2)，求证：这个二次函数图象的对称轴是直线x=3.题目中矩形方框部分是一段被墨水污损了无法辨认的字.(1)根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中二次函数的解析式？若能，请写出求解过程；若不能，请说明理由.(2)请你根据已有的信息，在原题中的矩形方框中添加一个适当的条件，把原题补充完整14.如图，已知抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)和点B(3,0)，与y轴交于点C，连接BC交抛物线的对称轴于点E，D是抛物线的顶点．(1)求此抛物线的解析式；(2)直接写出点C和点D的坐标；(3)若点P在第一象限内的抛物线上，且S△ABP=4S△COE，求P点坐标．注：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点坐标为(−b2a ,4ac−b24a)．参考答案1.【答案】:D【解析】:设函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，则{a+b+c=0,4a+2b+c=0,c=2,解得{a=1,b=−3,c=2,∴该函数的解析式为y=x2−3x+22(1)【答案】解：因为二次函数y=ax2+bx的图象过点(6，0)，(−2，8)，所以{36a+6b=0，4a−2b=8，解得{a=12，b=−3，所以此二次函数的解析式为y=12x2−3x.(2)【答案】因为y=12x2−3x=12(x−3)2−92，所以该函数图象的对称轴为直线x=3，顶点坐标为(3，−92).3.【答案】:B4.【答案】:y=2x2−1(答案不唯一)【解析】:因为抛物线的顶点坐标为(0，−1)，所以可设该抛物线的解析式为y=ax2−1.又因为二次函数的图象开口向上，所以a>0，所以这个二次函数的解析式可以是y=2x2−1(答案不唯一).5.【答案】:y=−13(x−3)2−1【解析】:因为抛物线的顶点坐标是(3，−1)所以设抛物线的函数解析式为y=a(x−3)2−1.又因为抛物线过点(0，−4)所以−4=a(0−3)2−1，解得a=−1.3(x−3)2−1.所以这个抛物线的函数解析式为y=−136.【答案】:∵当x=3时，函数有最大值4，∴函数的顶点坐标为(3,4)，设此函数的解析式是y=a(x−3)2+4.再把(4，−3)代入函数解析式中，得a×(4−3)2+4=−3，解得a=−7，故二次函数的解析式是y=−7(x−3)2+4，即y=−7x2+42x−59【解析】:根据二次函数的图象与性质，得出函数的顶点坐标为(3,4)，利用顶点式设出二次函数解析式，再将(4，−3)代入，计算出二次函数的解析式7.【答案】:y=2x2+2x−48(1)【答案】解：直线y=x−3与x轴，y轴的交点坐标分别是(3,0)，(0，−3)，∵抛物线过点(−1，0)，(3，0)，∴可设抛物线的解析式为y=a(x−3)(x+1).把(0，−3)代入，得−3=−3a，解得a=1,∴抛物线的解析式为y=(x−3)(x+1)，即y=x2−2x−3.(2)【答案】∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4,∴抛物线的顶点M的坐标为(1,−4).9.【答案】:C【解析】:已知抛物线的顶点坐标，可以设顶点式y=a(x−ℎ)2+k，x2−4x+3相同，又因为该抛物线的形状、开口方向与抛物线y=12所以a=1，2所以该抛物线的函数解析式是y=12(x+2)2+110.【答案】:D【解析】:因为二次函数y=−x2+bx+c的二次项系数−1<0，所以该函数图象的开口方向向下，所以二次函数y=−x2+bx+c的图象的最高点坐标(−1，−3)就是该函数图象的顶点坐标.又因为二次项系数为−1，所以二次函数的解析式为y=−(x+1)2−3.化为一般形式，得y=−x2−2x−4，所以b=−2，c=−4.故选D.11.【答案】:D【解析】:设抛物线的解析式为y=a(x−2)(x+1)(a≠0)∵OC=2∴抛物线和y轴交点的为（0,2）或（0，−2）①当抛物线和y轴交点的为（0,2）时，得2=a(0−2)(0+1)解得a=−1∴抛物线解析式为y=−1(x−2)(x+1)，即y=−x2+x+2②当抛物线和y轴交点的为（0，−2）时，−2=a(0−2)(0+1)解得a=1∴抛物线解析式为y=(x−2)(x+1)，即y=x2−x−2.故选：D．12.【答案】:y=12x2+2x或y=−16x2+23x【解析】:∵二次函数图象与x轴的另一个交点到原点的距离为4，∴这个交点坐标为(−4，0)或(4，0)，①当这个交点坐标为(−4，0)时，{c=0,4a−2b+c=−2,16a−4b+c=0,解得{a=12,b=2,c=0,∴该二次函数的解析式为y=12x2+2x；②当这个交点坐标为(4，0)时，{c=0,4a−2b+c=−2,16a+4b+c=0,解得{a=−16,b=23,c=0,∴该二次函数的解析式为y=−16x2+23x．故这个二次函数的解析式为y=12x2+2x或y=−16x2+23x13(1)【答案】解：能.由结论中的对称轴是直线x=3，得−b2×12=3，则b=−3.因为图象经过点A(c，−2)，所以12c2−3c+c=−2，c2−4c+4=0，(c−2)2=0，所以c=2，所以二次函数的解析式为y=12x2−3x+2.(2)【答案】可添加条件：B(0，2).(答案不唯一)14(1)【答案】解：∵抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)和点B(3,0)，∴{−1−b+c=0,−9+3b+c=0，解得{b=2, c=3，∴抛物线的解析式为y=−x2+2x+3【解析】:∵抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)和点B(3,0)，∴{−1−b+c=0,−9+3b+c=0，解得{b=2, c=3，∴抛物线的解析式为y=−x2+2x+3 (2)【答案】∵x=0时，y=3∴点C的坐标为(0，3)．y=−x2+2x+3=−(x2−2x+1)+4 =−(x−1)2+4，∴点D的坐标为(1，4)【解析】:∵x=0时，y=3∴点C的坐标为(0，3)．y=−x2+2x+3=−(x2−2x+1)+4=−(x−1)2+4，∴点D的坐标为(1，4)(3)【答案】设点P(x，y)，其中x>0，y>0，S△COE=12×3×1=32,S△ABP=12×4y=2y,S△ABP=4S△COE,∴2y=4×32,∴y=3.∴−x2+2x+3=3，解得x=2(x=0舍去)．∴点P的坐标为(2，3)【解析】:设点P(x，y)，其中x>0，y>0，\(S_{\triangle COE}={\dfrac{1}{2}}\times 3\times 1={\dfrac{3}{2}}, S_{\triangle ABP}={\dfrac{1}{2}}\times 4y=2y\),S△ABP=4S△COE, ∴2y=4×32,∴y=3.∴−x2+2x+3=3，解得x=2(x=0舍去)．∴点P的坐标为(2，3)。
数学人教版九年级上册用待定系数法解析式求二次函数解析式
Байду номын сангаас
且过点C(0,-3) . 求抛物线的解析式.
巩固练习
2 4 已知抛物线 y x bx c 经过点A(1,0)，B(3,0)，求抛 物线的解析式. 2
y x 4x 3
拓展提升 5 已知二次函数的图象经过A(-1,0)、B(3,0),函数有最小值-8， 求它的解析式.
y 2( x 1) 2 8
y x2 4x 3
例 2 一个二次函数的顶点坐标为(1，-4)，图象经过点(2，-3)，
求这个二次函数的解析式.
巩固练习
3 已知一个二次函数图象的顶点是(-1,0)，且过点(2,18)， 求二次函数的解析式.
y 2( x 1) 2
例 3 如图，已知抛物线
y ax 2 bx c 与x 轴交于点A(1,0)，B(3,0)，
22.1.4 用待定系数法求二次函数解析式
明德天心中学 肖 毛
复习回顾
1 我们学过二次函数的哪些形式？
2 之前学过待定系数法吗？ 求一次函数解析式
3 对于二次函数一般形式而言，用待定系数法需要求出哪些量？ 将坐标代入之后会得到一个什么样的方程组？
知识预备
a b c 10 ① 解三元一次方程组 a b c 4 ② 4a 2b c 7 ③
例 1 如果一个二次函数的图像经过(-1,0)，(1,4)，(2,7)三点 ，试求这个二次函数的解析式。
巩固练习
1 一个二次函数的图象经过点(0,0)，(-1,-1)，(1,9)三点.
求这个二次函数的解析式.
y 4 x 5x
2
2 y x bx c 经过点A(1,0)，B(3,0)，求抛物线的解析式. 2 抛物线
数学人教版九年级上册用待定系数法求二次函数的解析式
∴函数关系式为 y＝－x2＋x＋3.
(2)图象经过点 A(－1,0)，B(3,0)，函数有最小值为－8； 解：（方法一）∵图象经过点 A(－1,0)，B(3,0)，
则对称轴为直线 x＝1，顶点坐标为(1，－8)．
∴可设关系式为 y＝a(x－1)2－8. 将点 A(－1,0)代入，得 a＝2.
∴函数关系式为 y＝2(x－1)2－8＝2x2－4x－6.【典型例题ຫໍສະໝຸດ 求满足下列条件的二次函数的关系式：
(1)图象经过点 A(0,3)，B(1,3)，C(－1,1)；
解：(1)设所求函数关系式为 y＝ax2＋bx＋c， ∵图象经过点 A(0,3)，B(1,3)，C(－1,1)，
c＝3， ∴a＋b＋c＝3， a－b＋c＝1. a＝－1， 解得b＝1， c＝3.
A．(1,2)
2 B.1，3 14 D.2， 3
C．(－1,5)
2．抛物线 y＝－x2＋bx＋c 的图象如图 22-1-7 所示，则此
y＝－x2＋2x＋3． 抛物线的解析式为______________
图 22-1-7
3．已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 中的 x，y 满足下表：
二次函数解析式的求法
1.会用待定系数法求二次函数的解析式； 2.根据条件恰当的设二次函数的解析式形式。
求二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的解析式
a，b，c 的值． (1)关键是求出待定系数____________
(2)设解析式的三种形式： y＝ax2＋bx＋c ①一般式：________________________________ ，当已知
规律总结：若 x1，x2 分别是抛物线与 x 轴的两个交点的横 x1＋x2 就是对称轴． 坐标，则直线 x＝ 2
初中数学人教版九年级上册用待定系数法求二次函数的解析式
第三关
我来当家做主！！！
请各位小老师编一道题目源自题设：结论：二次函数关系式 y x2 2x 3
小结
二次函数关系式的确定 1.分析题意，选择合适的形式（一般式，顶点
式，交点式） 2.找出已知点，代入求值 3.写出二次函数关系式
作业
我是小小命题家
每位同学自己编3道形式不同而所求二次
函数关系式为 y x2 2x 3 的习题，
二次函数的综合问题 （一）求二次函数的关系式
王村中学 何炬
方法回顾
8
6
用待定系数法求二次函数关系式的方法
1.一般式：已知三个点的坐标
4
y ax2 bx c
2.顶点式：已知顶点坐标或对称轴或最值 ● 2
y a(x -15 h)2 k
-10
-5
3.交点式：已知抛物线与X轴的两个交点 -2
y a(x x1)( x x2 )
-4
-6
-8
●
5
●
第一关
1.根据条件，求二次函数关系式 （1）已知抛物线经过点（2,6），（-1,0）
（3,0） ； （2）已知抛物线的顶点为（1,-2）且过点
（3,2）.
第二关
2.如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交 C点，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为 （0，3）它的对称轴是直线x= 1 求抛物线所对应的函数关系式 2
并写出解答过程。
沪科版-数学-九年级上册-利用待定系数法求二次函数解析式
初中-数学-打印版
利用待定系数法求二次函数解析式
难易度：★★★★
关键词：二次函数解析式的求法
答案：
二次函数的解析式有以下几种形式：一般式：（用法：给出三
点坐标可利用此式来求）顶点式：（用法：给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求）交点式：
（用法给出三点，其中两点为与x轴的两个交点、
时可利用此式来求：）在求解析式时一般都是考虑待定系数法，先设出解析式，再将满足题意的条件代入解出待定系数。
在设解析式时根据给定的条件选择解析式的形式。
【举一反三】
根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．
（1）已知二次函数的图象经过点（0，2）、（1，1）、（3，5）；
（2）已知抛物线的顶点为（-1，2），且过点（2，1）；
（3）已知抛物线与x轴交于点M（-1，0）、（2，0），且经过点（1，2）
典题：二次函数图象的对称轴是x= -1，与y轴交点的纵坐标是–6，且经过点（2，10），求此二次函数的关系式．
思路导引：此题给出的已知条件既无顶点坐标，又无与x轴的交点坐标,所以设二次函数的解析式为，然后把满足题意的条件代入解之得。
标准答案：由题得：a=2
c=-6解之得b=4
10=4a+2b+c c=-6
所以二次函数的解析式为
初中-数学-打印版。
数学人教版九年级上册22.1.4 用待定系数法 求二次函数的解析式.1.4用待定系数法求二次函数的解析_A 2532
已知二次函数 2 y=x +px+q的图象的顶 点坐标是（5，-2）， 求二次函数的关系式。
课堂小结：
1.求二次函数的关系式，常见的有
几种类型？
（1）一般式：y=ax +bx+c 2 (2)顶点式：y=a(x-h) +k,其顶点坐标是 (h,k)
2
2.如何确定二次函数的关系式？
作业：
教材第42页第10、11题
谢谢！
2
归纳2：
如已知顶点坐标（h,k), 可 2 设函数为y=a(x-h) +k, 只需 要再找一个条件求出a的值。
练习1. 2 已知抛物线y=ax +bx+c的 对称轴是直线x=2,抛物线 与x轴相交于点A（1，0） 与y轴相交于点B(0, 3)， 求抛物线对应的函数关系 式。
练习2
22.1.4 用待定系数法 求二次函数的解析式
廉江市第五中学 陈海华
教学目标
1.、通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究 掌握求解析式的方法。 2、能灵活的根据条件恰当地选取选择解析式，体 会二次函数解析式之间的转化。 3、从学习过程中体会学习数学知识的价值，从而 提高学习数学知识的兴趣。
例1
如果一个二次函数的图 象经过（-1，10）、（1，4）、 （2，7）三点，能求出这个二 次函数的解析式吗？如果能， 求出这个二次函数的解析式。
解：设所求二次函数的解析式为y=ax
+bx+c, ∵函数图象经过（-1，10）、（1，4）、 (2, 7)三点 a-b+c=10
2
例2. 已知抛物线的顶点为（1，2）， 且过点（2，3），求此抛物线的解析 式。
数学人教版九年级上册用待定系数法求二次函数解析式
新知探索
例1．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式（1）已知二次函数的图象经过点A（2，-3），B（5，3），C（-2，4）。
（设为三点式可解）
（2）已知抛物线的顶点为（2，-4），且与y轴交于点（0，3）；（设为顶点式可解）
3、练一练
根据下列条件求二次函数解析式
（1）已知二次函数的图象过A(0，－6)，B(4，0)两点，它的对称轴为直线x＝2；
（2）已知二次函数的图象经过点（2，－1），并且当x=5时有最大值4；
（3）已知抛物线顶点（2，8），且抛物线经过点（1,–2）
4、归纳总结
二次函数解析式常用的形式：
（1）、一般式：_______________ (a≠0)
（2）顶点式：_______________ (a≠0)
2、用待定系数法求函数解析式，应注意根据不同的条件选择合适的
解析式形式，
（1）当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式的形式。
（2）当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时，通常设为顶点式的形式。
九年级上-待定系数法求二次函数的解析式
待定系数法求二次函数的解析式知识集结知识元利用一般式求二次函数的解析式知识讲解已知三个点求二次函数的解析式，一般选择一般式，基本的作法是：（1）设出二次函数的一般式；（2）将三个点的值分别代入到解析式中，得到一个三元一次方程组；（3）解方程组得出三个字母的值，即可得到为此函数的解析式.例题精讲利用一般式求二次函数的解析式例1.'二次函数y=ax2+bx+c的变量x与变量y的部分对应值如下表：求此二次函数的解析式．'例2.'y=ax2+b与y=x+2交于A、B两点，A点横坐标为﹣1，B点横坐标为2，求二次函数解析式．'例3.'已知：抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，8）、B（3，0）、C（0，3）三点（1）求抛物线的表达式；（2）写出该抛物线的顶点坐标．'利用顶点式求二次函数的解析式知识讲解当已知条件中出现二次函数的顶点或者顶点的横、纵坐标之一等顶点相关的内容时，会考虑用顶点式来求解二次函数的解析式.例题精讲利用顶点式求二次函数的解析式例1.一抛物线和抛物线y=﹣2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是（﹣1，3），则该抛物线的解析式为（）A．y=﹣2（x﹣1）2+3 B．y=﹣2（x+1）2+3C．y=﹣（2x+1）2+3 D．y=﹣（2x﹣1）2+3例2.二次函数y=x2﹣2x+4化为y=a（x﹣h）2+k的形式，下列正确的是（）A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x﹣1）2+3C．y=（x﹣2）2+2 D．y=（x﹣2）2+4例3.将y=2x2﹣12x﹣12变为y=a（x﹣m）2+n的形式，则m•n=．例4.'已知抛物线y1=﹣x2+mx+n，直线y2=kx+b，y1的对称轴与y2交于点A（﹣1，5），点A与y1的顶点B的距离是4．（1）求y1的解析式；（2）若y2随着x的增大而增大，且y1与y2都经过x轴上的同一点，求y2的解析式．'利用两点式（也叫交点式、双根式）求二次函数的解析式知识讲解当已知的点中出现与x轴的交点时，常会考虑设成两点式求二次函数的解析式，此类问题已知点的坐标的形式比较多，除了可以直接已知与x轴的两个交点坐标外，还可以已知其中一个与x轴的交点的坐标及对称轴等其他形式.例题精讲利用两点式（也叫交点式、双根式）求二次函数的解析式例1.若抛物线经过（0，1）、（-1，0）、（1，0）三点，则此抛物线的解析式为（）A．B．C．D．例2.抛物线与轴的两个交点为（-1，0），（3，0），其形状与抛物线相同，则的函数关系式为（）B．C．D．A．例3.过（﹣1，0），（3，0），（1，2）三点的抛物线的顶点坐标是（）A．（1，2）B．（1，）C．（﹣1，5）D．（2，）例4.'已知抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣5，0）、（﹣1，0）、（1，12），求这个抛物线的表达式及其顶点坐标．'顶点在原点的二次函数解析式的求法知识讲解2（a≠0）的形式，其中一次项系数和顶点在原点的二次函数的解析式的结构一定是形如y=ax常数项都为0，所以顶点在原点是一个非常强大的已知条件，接下来再找到一个等量关系即可.例题精讲顶点在原点的二次函数解析式的求法例1.若二次函数函数的图象是顶点在原点，则的值为（）A．-2 B．2C．±2 D．4例2.'抛物线的顶点在原点，且经过点（﹣2，8），求该抛物线的解析式．'例3.'一个函数的图象是以原点为顶点，y轴为对称轴的抛物线，且经过点M（﹣2，4），（1）求出这个抛物线的函数表达式，并画出函数图象；（2）写出抛物线上点M关于y轴对称的点N的坐标，并求出△MON的面积．'顶点在 y 轴上的二次函数的解析式的求法知识讲解顶点在y轴上的抛物线的解析式的形式是b=0，即一次项系数为0.例题精讲顶点在 y 轴上的二次函数的解析式的求法与抛物线顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线对应的函数是（）.A．B．C．D．例2.已知一抛物线的顶点在y轴上，且过二点（1，2）、（2，5），则此抛物线的解析式为．例3.对称轴是y轴且过点A（1，3）、点B（﹣2，﹣6）的抛物线的解析式为．顶点在 x 轴上的二次函数的解析式的求法知识讲解顶点在x轴上的二次函数可以有多种表述方法：（1）与x轴只有唯一的交点；（2）判别式等于0；（3）图象不在x轴上方（或下方）；（4）对应的一元二次方程有两个相等的实根等.例题精讲顶点在 x 轴上的二次函数的解析式的求法已知抛物线的顶点在轴上，则等于（）A．4B．8C．-4D．16例2.若函数的图象顶点在轴上，则的值为（）A．B．-1C．D．或例3.'如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点在x轴上，且OA=1，与一次函数y=﹣x﹣1的图象交于y轴上一点B和另一交点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点D为线段BC上一点，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，交抛物线于点F，请求出线段DF的最大值．'过原点的二次函数的解析式的求法知识讲解2（a≠0）的形式，其中一次项系数和顶点在原点的二次函数的解析式的结构一定是形如y=ax常数项都为0，所以顶点在原点是一个非常强大的已知条件，接下来再找到一个等量关系即可.例题精讲过原点的二次函数的解析式的求法例1.如图所示的抛物线是二次函数的图象，那么的值是（）D．±2A．2B．-2C．例2.'二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣2，0）．求此二次函数的解析式．'例3.'已知抛物线经过原点，点（1，﹣4）和（﹣1，2），求抛物线解析式．'例4.'如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为B，求△OAB的面积S．'与长度相关的解析式的求法知识讲解在利用线段的长度或者线段之间的等量关系求二次函数解析式时，可以先通过已知条件求出所需的点的坐标，再将点的坐标代入到设出的二次函数的解析式中求出字母的值即可.例题精讲与长度相关的解析式的求法例1.'已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（1，﹣6），对称轴是直线x=3，与x轴交于A、B 两点，且AB=8．求函数解析式．'例2.'如图，已知Rt△ABC的斜边AB在x轴上，斜边上的高CO在y轴的正半轴上，且OA=1，OC=2，求经过A、B、C三点的二次函数解析式．'例3.'在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数y=x2+bx+c的图象与y轴的负半轴相交于点C （如图），点C的坐标为（0，﹣3），且BO=CO．（1）求出B点坐标和这个二次函数的解析式；（2）若顶点为D，求四边形ABDC的面积．'与面积相关的解析式的求法知识讲解在利用几何图形的面积求二次函数解析式时，可以先通过已知条件求出所需的点的坐标，再将点的坐标代入到设出的二次函数的解析式中求出字母的值即可.例题精讲与面积相关的解析式的求法例1.'已知二次函数y=ax2+2ax﹣4（a≠0）的图象与x轴交于点A，B（A点在B点的左侧），与y 轴交于点C，△ABC的面积为12，求此二次函数的解析式．'例2.'在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=﹣x2+kx+4与y轴交于A，与x轴的负半轴交于B，且△ABO的面积是8．（1）求点B的坐标和此二次函数的解析式；（2）当y≤4时，直接写出x的取值范围．'例3.'已知抛物线y=ax2﹣2x+c的对称轴为直线x=﹣1，顶点为A，与y轴正半轴交点为B，且△ABO的面积为1．（1）求抛物线的表达式；（2）若点P在x轴上，且PA=PB，求点P的坐标．'利用几何综合性质求函数解析式知识讲解利用几何性质求函数解析式是求解析式中的较难问题，其难点在于对几何性质的探究，并通过几何性质找到所需的点或列出所需的等式.例题精讲利用几何综合性质求函数解析式例1.'如图，抛物线的顶点M在x轴上，抛物线与y轴交于点N，且OM=ON=4，矩形ABCD的顶点A、B在抛物线上，C、D在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）设点A的横坐标为t（t＞4），矩形ABCD的周长为l，求l与t之间函数关系式．'例2.'如图，已知点A的坐标为（﹣2，2），点B的坐标为（﹣1，﹣），菱形ABCD的对角线交于坐标原点O．（1）求C、D两点的坐标；（2）求菱形ABCD的面积；（3）求经过A、B、D三点的抛物线解析式，并写出其对称轴方程与顶点坐标．'例3.'已知抛物线y=a（x﹣h）2﹣2（a，h，是常数，a≠0），x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点M为抛物线顶点．（Ⅰ）若点A（﹣1，0），B（5，0），求抛物线的解析式；（Ⅱ）若点A（﹣1，0），且△ABM是直角三角形，求抛物线的解析式；（Ⅲ）若抛物线与直线y1=x﹣6相交于M、D两点①用含a的式子表示点D的坐标；②当CD∥x轴时，求抛物线的解析式．'当堂练习单选题练习1.顶点为（6，0），开口向下，开口的大小与函数y=x2的图象相同的抛物线所对应的函数是（）A．y=（x+6）2B．y=（x﹣6）2C．y=﹣（x+6）2D．y=﹣（x﹣6）2练习2.若抛物线经过（0，1）、（-1，0）、（1，0）三点，则此抛物线的解析式为（）A．B．C．D．练习3.与抛物线顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线对应的函数是（）.A．B．C．D．练习4.如图所示的抛物线是二次函数的图象，那么的值是（）D．±2A．2B．-2C．练习5.二次函数y=x2﹣2x+4化为y=a（x﹣h）2+k的形式，下列正确的是（）A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x﹣1）2+3C．y=（x﹣2）2+2 D．y=（x﹣2）2+4练习1.已知一抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，且经过点（3，﹣3），则该抛物线的函数解析式为．练习2.对称轴是y轴且过点A（1，3）、点B（﹣2，﹣6）的抛物线的解析式为．练习3.若抛物线y=x2﹣bx+9的顶点在x轴上，则b的值为．练习4.将y=2x2﹣12x﹣12变为y=a（x﹣m）2+n的形式，则m•n=．解答题练习1.'如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）求此抛物线顶点坐标及对称轴；（3）若抛物线上有一点B，且S△OAB=1，求点B的坐标．'练习2.'一个函数的图象是以原点为顶点，y轴为对称轴的抛物线，且经过点M（﹣2，4），（1）求出这个抛物线的函数表达式，并画出函数图象；（2）写出抛物线上点M关于y轴对称的点N的坐标，并求出△MON的面积．'练习3.'如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为B，求△OAB的面积S．'练习4.'如图，二次函数y=﹣x2+mx+3的图象与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，且△AOB的面积为6．（1）求该二次函数的表达式；（2）如果点P在x轴上，且△ABP是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．'练习5.'已知，抛物线的顶点为P（3，﹣2），且在x轴上截得的线段AB=4．求抛物线的解析式．'练习6.'如图，一个二次函数的图象经过点A、C、B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点C在y轴的正半轴上，且AB=OC．求这个二次函数的解析式．'练习7.'直线l过点A（4，0）和B（0，4）两点，它与二次函数y=ax2的图象在第一象限内交于点P，若S△AOP=，求二次函数关系式．'练习8.'如图，二次函数y=﹣x2+mx+3的图象与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，且△AOB的面积为6．求该二次函数的表达式．'练习9.'如图，已知点A的坐标为（﹣2，2），点B的坐标为（﹣1，﹣），菱形ABCD的对角线交于坐标原点O．（1）求C、D两点的坐标；（2）求菱形ABCD的面积；（3）求经过A、B、D三点的抛物线解析式，并写出其对称轴方程与顶点坐标．'练习10.'y=ax2+b与y=x+2交于A、B两点，A点横坐标为﹣1，B点横坐标为2，求二次函数解析式．'练习11.'已知：抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，8）、B（3，0）、C（0，3）三点（1）求抛物线的表达式；（2）写出该抛物线的顶点坐标．'。
九年级数学待定系数法求二次函数的解析式
y -27 -13 -3 3 5 3
则当x=1时，y的值为 A.5 B.-3 C.-13 D.-27
5. 已知二次函数中，其函数与自变量之间 的部分对应值如下表所示：
．
x …0 1 2 3 4 …
y …4 1 0 1 4 …
点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，
部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程
x2 2x k 0 的一个解x1 3，另一个
解 x2 ；
y
O1 3
x
(第15题图)
22.1.4二次函数 y=ax2+bx+c的图象
8 6 4 2
－4 －2
24
1.完成下列表格:
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2(x+3)2+5
向上 直线x=－3 (－3,5)
y 1 (x 4)2 4 2
x
如何平移：
y 3 (x 1)2 4
y 3 (x 1)2 2 4
y 3 (x 3)2 3 4
y 3 (x 5)2 2 4
发展性训练
1.由y=3(x+2)2+4的图像经过怎样的平移 变换，可以得到y=3x2的图像.
右移2单位，下移4单位
2.把函数y=x2-2x的图像向右平移２个单 位，再向下平移３个单位所得图像对应 的函数解析式为
（1）请直接写出抛物线y=2x2-4x+1的伴随抛物线和伴随直线的解析 式：
伴随抛物线的解析式： y=-2x2+1 。
伴随直线的解析式： y=-2x+1 。
（2）若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y= -x2-3和y= -
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专题复习一 待定系数法求二次函数表达式 二次函数表达式的三种形式：①一般式y=ax2+bx+c(a≠0);②顶点式y=a(x-m)2+k(a≠0);③交点式(分解式)y=a(x-x1)(x-x2),求函数表达式时要根据已知条件合理选择表达式形式.
1.一抛物线和抛物线y=-2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是(-1，3)，则该抛物线的函数表达式为(B). A.y=-2(x-1)2+3 B.y=-2(x+1)2+3 C.y=-(2x+1)2+3 D.y=-(2x-1)2+3 2.如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为点A(-2，-2)，且过点B(0，2)，则y关于x的函数表达式为(D). A.y=x2+2 B.y=(x-2)2+2 C.y=(x-2)2-2 D.y=(x+2)2-2
(第2题) (第3题) （第4题） (第8题) 3.如图所示为抛物线的图象，根据图象可知，抛物线的函数表达式可能为(A). A.y=-x2+x+2 B.y=-21x2-21x+2 C.y=-21x2-21x+1 D.y=x2-x-2
4.如图所示，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B(0，-2).该二次函数的图象与反比例函数y=-x8 的图象交于点A(m，4)，则这个二次函数的表达式为(A). A.y=x2-x-2 B.y=x2-x+2 C.y=x2+x-2 D.y=x2+x+2 5.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过(1，2)和(-1，-6)两点，则a+c= -2 ． 6.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，3)，则二次函数的表达式为 y=x2-4x+3 ． 7.老师给出一个函数，四位同学各指出了这个函数的一个性质：①函数的图象不经过第三象限；②函数的图象经过第一象限；③当x＜2时，y随x的增大而减小；④当x＜2时，y＞0． 已知这四位同学的叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数： y=（x-2）2（不唯一） ． 8.如图所示，将Rt△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△A1OB1，若点A的坐标为(2，1)，过点A，
O，A1的抛物线的函数表达式为 y=65x2-67x ． 9.根据下列条件求二次函数的表达式. (1)二次函数y=ax2+bx+c与x轴的两个交点的横坐标是-21,23,与y轴交点的纵坐标是-5，求这个二次函数的表达式． (2)二次函数图象的顶点在x轴上，且图象过点(2，-2)，(-1，-8)，求此函数的表达式．
【答案】(1)设抛物线的函数表达式为y=a（x+21）（x-23）.把点（0，-5）代入，得a×21×（-23）
=-5，解得a=320.∴抛物线的函数表达式为y=320（x+21）（x-23）=320x2-320x-5.
(2)设抛物线的函数表达式为y=a（x-k）2.把点（2，-2）,（-1，-8）代入，得812222kaka, 解得592ka,或12ka.∴抛物线的函数表达式为y=-92（x-5）2或y=-2（x-1）2. （第10题） 10.在平面直角坐标系中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A(0，-2)，B(3，4). (1)求抛物线的函数表达式及对称轴. (2)设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，且点D的纵坐标为t，记抛物线在A，B两点之间的部分为图象G(包含A，B两点).若直线CD与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围.
【答案】(1)把点A(0，-2)，B(3，4)代入抛物线y=2x2+mx+n，得43182nmn,解得24nm.∴抛物线的函数表达式为y=2x2-4x-2，对称轴为直线x=1.
（第10题答图） (2)如答图所示，作出抛物线在A，B两点之间的图象G.由题意得C(-3，-4)，二次函数y=2x2-4x-2的最小值为-4，由函数图象得出点D纵坐标的最小值为-4.设直线BC的表达式为y=kx+b，将点B，C的
坐标代入得4343bkbk,解得034bk.∴直线BC的表达式y=34
x.当x=1时，y=34，∴t的取值范围是-4≤t≤34. 11.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点A(1，0)，B(0，-3)，且对称轴为直线x=2，则这条抛物线的顶点坐标为(B). A.(2，3) B.(2，1) C.(-2，1) D.(2，-1) 12.若一次函数y=x+m2与y=2x+4的图象交于x轴上同一点，则m的值为(D). A.2 B.±2 C. 2 D.±2 13.若所求的二次函数图象与抛物线y=2x2-4x-1有相同的顶点，且在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，则所求二次函数的表达式为(D). A.y=-x2+2x-5 B.y=ax2-2ax+a-3(a＞0) C.y=-2x2-4x-5 D.y=ax2-2ax+a-3(a＜0) 14.如图所示，已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(-1，0)，(1，-2)，该图象与x轴的另一个交点为点C，则AC长为 3 ．
(第14题) (第16题) 15.已知二次函数的图象经过原点及点(-2，-2)，且图象与x轴的另一个交点到原点的距离为4，那么
该二次函数的表达式为 y=21x2+2x或y=-61x2+32x ． 16.如图所示，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，AB⊥BC，且点C在x轴上.若抛物线y=ax2+bx+c以点C为顶点，且经过点B，则这条抛物线的函数表达式为 y=21x2-2x+2 ．
（第17题） 17.如图所示，Rt△AOB的直角边OA在x轴上，OA=2，AB=1，将Rt△AOB绕点O逆时针旋转90°
得到Rt△COD，抛物线y=-65x2+bx+c经过B，D两点. (1)求二次函数的表达式. (2)连结BD，点P是抛物线上一点，直线OP把△BOD的周长分成相等的两部分，求点P的坐标. 【答案】(1)∵Rt△AOB绕点O逆时针旋转90°得到Rt△COD，∴CD=AB=1，OC=OA=2.
则点B(2，1)，D(-1，2)，代入y=-65x2+bx+c，得26512310cbcb,解得31021cb. ∴二次函数的表达式为y=-65x2+21x+310.
（第17题答图） (2)如答图所示，∵OA=2，AB=1，∴B(2，1).∵直线OP把△BOD的周长分成相等的两部分，且OB=OD， ∴DQ=BQ，即点Q为BD的中点，D(-1，2).∴点Q坐标为（21，23）.设直线OP的表达式为y=kx，将点Q坐标代入，得21k=23，解得k=3.∴直线OP的表达式为y=3x.由310216532xxyxy得
3111yx,12422yx
.∴点P的坐标为(1，3)或(-4，-12).
（第18题） 18.在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2过B(-2，6)，C(2，2)两点. (1)试求抛物线的函数表达式. (2)记抛物线的顶点为D，求△BCD的面积.
(3)若直线y=-21x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B，C)部分有两个交点，求b的取值范围.
【答案】(1)由题意22246224baba,解得121ba.∴抛物线的函数表达式为y=21x2-x+2.
(2)如答图所示，∵y=21x2-x+2=21 (x-1)2+23.∴顶点D的坐标为（1，23），对称轴为直线x=1.设直线BC的函数表达式为y=kx+b.将B（-2，6），C（2，2）代入，得2262bkbk,解得41bk.∴直线BC的函数表达式为y=-x+4，∴对称轴与BC的交点H(1，3).∴S△BDC=S△BDH+S△DHC=21×23×3+21×23×1=3.
(3)由221212xxybxy消去y得x2-x+4-2b=0，当Δ=0时，直线与抛物线相切，1-4(4-2b)=0，解得b=815.当直线y=-21x+b经过点C时，b=3，当直线y=-21x+b经过点B时，b=5.∵直线y=-21x向上 平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B，C)部分有两个交点，∴815＜b≤3. （第19题） 19.【贵港】将如图所示的抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线的函数表达式为(A). A.y=(x-1)2+1 B.y=(x+1)2+1 C.y=2(x-1)2+1 D.y=2(x+1)2+1 20.【广州】已知抛物线y1=-x2+mx+n，直线y2=kx+b，y1的对称轴与y2交于点A(-1，5)，点A与y1
的顶点B的距离是4.
(1)求y1的函数表达式. (2)若y2随着x的增大而增大，且y1与y2都经过x轴上的同一点，求y2的函数表达式. 【答案】(1)∵抛物线y1=-x2+mx+n，直线y2=kx+b，y1的对称轴与y2交于点A(-1，5)，点A与y1的
顶点B的距离是4.∴B(-1，1)或(-1，9).∴-12m=-1，14142mn=1或9， 解得m=-2，n=0或8.∴y1=-x2-2x或y1=-x2-2x+8. (2)①当y1=-x2-2x时，抛物线与x轴的交点是(0，0)和(-2，0).∵y1的对称轴与y2交于点A(-1，5)，
∴y1与y2都经过x轴上的同一点(-2，0).把(-1，5)，(-2，0)代入得025bkbk,解得
105bk
.∴y2=5x+10.②当y1=-x2-2x+8时，令-x2-2x+8=0，解得x=-4或2.∵y2随着x的增大而增大，
且过点A(-1，5)，∴y1与y2都经过x轴上的同一点(-4，0).把(-1，5)，(-4，0)代入得045bkbk,
解得32035bk.∴y2=35x+320.综上可得y2=5x+10或y2=35x+320.
21.如图所示，直线y=-21x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B，C和点A(-1，0)． (1)求B，C两点的坐标． (2)求该二次函数的表达式． (3)若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD