范数及误差分析

合集下载

数值分析误差限的计算公式

数值分析误差限的计算公式1、误差x∗为 x 一个近似值绝对误差：e∗=x∗−x相对误差：e∗r=e∗x=x∗−xx，由于真值 x 总是不知道的，通常取e∗r=e∗x∗=x∗−xx∗误差限：|x∗−x|≤ε∗相对误差限：ε∗r=ε∗|x∗|ε(f(x∗))≈|f′(x∗)|ε(x∗)2、插值法记ωn+1(x)=(x−x0)(x−x1)⋯(x−xn)Lagrange 插值多项式系数：lk(xk)=(x−x0)⋯(x−xk−1)(x−xk+1)⋯(x−xn)(xk−x0)⋯(xk−xk−1)(x −xk+1)⋯(x−xn)Lagrange 插值多项式：Ln(x)=∑k=0nlk(x)yk=∑k=0nykωn+1(x)ω′n+1(xk)(x−xk) 余项：记 Mn+1=maxa≤x≤b|fn+1(x)|R(x)=fn+1(ξ)ωn+1(x)(n+1)!≤Mn+1(n+1)!|ωn+1(x)|均差与 NewTon 插值多项式一阶均差：f[x0,xk]=f(xk)−f(x0)xk−x0k 阶均差：f[x0,x1,⋯,xk]=f[x0,⋯,xk−2,xk]−f[x0,⋯,xk−2,xk−1]xk−xk−1f[x0,x1,⋯,xn]=f(n)(ξ)n!(x0,x1,⋯,xn,ξ∈[a,b])f[x0,x1,⋯,xk]=∑j=0kf(xj)ω′k+1(xj)NewTon 插值多项式：Pn(x)=f(x0)+f[x0,x1](x−x0)+f[x0,x1,x2](x−x0)(x−x1)+⋯+f[x0,x1,⋯,xn](x−x0)(x−x1)⋯(x−xn−1)余项：R(x)=f[x0,x1,⋯,xn]ωn+1(x)Hermite 插值Taylor 多项式：Pn(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n余项：R(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1若已知 f(x0),f′(x1),f(x1),f(x2)：P(x)=f(x0)+f[x0,x1](x−x0)+f[x0,x1,x2](x−x0)(x−x1)+A(x−x0)(x−x1)(x−x2)其中 A 由 P′(x1)=f′(x1) 可得余项：R(x)=14!f(4)(ξ)(x−x0)(x−x1)2(x−x2)两点三次 Hermite 插值多项式：H3(x)=αk(x)yk+αk+1(x)yk+1+βk(x)mk+βk+1(x)mk+1其中 mk=f′(xk),mk+1=f′(xk+1)⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧αk(x)=(1+2x−xkxk+1−xk)(x−xk+1xk−xk+1)2αk+1(x)=(1+2x−xk+1xk−xk+1)(x−xkxk+1−xk)2⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧βk(x)=(x−xk)(x−xk+1xk−xk+1)2βk+1(x)=(x−xk+1)(x−xkxk+1−xk)2余项：R(x)=f(4)(ξ)4!(x−xk)2(x−xk+1)2分段低次插值h=b−an对每个小区间使用对应插值公式求 Ih(x)余项对分段线性插值函数：maxa≤x≤b|f(x)−Ih(x)|≤M28h2对分段三次埃尔米特插值：maxa≤x≤b|f(x)−Ih(x)|≤M4384h43、数值积分代数精度定义：如果某个求积公式对于次数不超过 m 的多项式均能够准确成立，但对于 m+1 次多项式就不准确成立，则称该公式具有 m 次代数精度梯形公式公式与中矩形公式梯形公式：∫baf(x)dx≈b−a2f(a)+b−a2f(b)余项：R[f]=−(b−a)312f′′(η)(η∈(a,b))矩形公式：∫baf(x)dx≈(b−a)f(a+b2)余项：R[f]=(b−a)324f′′(η)(η∈(a,b))Newton-Cotes 公式将积分区间 [a,b] 分成 n 等分Simpson 公式（n=2）：∫baf(x)dx≈b−a6f(a)+b−a6f(b)+2(b−a)3f(a+b2)余项：R[f]=−(b−a)5180∗24f(4)(η)(η∈(a,b))Cotes 公式（n=4）：C=b−a90[7f(x0)+32f(x1)+12f(x2)+32f(x3)+7f(x4)]余项：R[f]=−2(b−a)7945∗46f(6)(η)(η∈(a,b))复合求积公式积分区间 [a,b] 分成 n 等分，步长 h=b−an复合梯形公式：Tn=h2[f(a)+2∑k=0n−1f(xk)+f(b)]余项：Rn(f)=−b−a12h2f′′(η)复合 Simpson 求积公式：Sn=h6[f(a)+2∑k=0n−1f(xk)+4∑k=1n−2f(x(k+1)/2)+f(b)] 其中 x(k+1)/2=xk+h2Rn(f)=−b−a180(h2)4f(4)(η)龙贝格求积算法T(0)0=h2[f(a)+f(b)]求梯形值 T0(b−a2k)，利用递推公式求 T(k)0，递推公式：T2n=12Tn+h2∑k=0n−1f(xk+12)求加速值：T(k)m=4m4m−1Tk+1m−1−14m−1T(k)m−1k=1,2,⋯高斯-勒让德求积公式积分区间为 [−1,1]∫1−1f(x)dx≈∑k=0nAkf(xk)余项：n=1 时，R1[f]=1135f(4)(η)4、解线性方程组的直接方法列主元高斯消去法在每次消元时，选取列主元在最前面，列主元为该列最大值矩阵三角分解法如果 n 阶矩阵 A 的各阶顺序主子式 Dk(k=1,2,⋯,n−1) 均不为零，则必有单位下三角矩阵 L 和上三角矩阵 U，使得 A=LU，并且 L 和 U 是唯一的。

矩阵范数的意义范文

矩阵范数的意义范文矩阵范数（Matrix Norm）是矩阵理论中的一个重要概念，它对矩阵的性质、收敛性和稳定性分析都起到了重要的作用。

矩阵范数是向量范数的推广，用于衡量矩阵的"大小"。

本文将从矩阵范数的定义、性质和应用等方面进行详细介绍。

首先，我们来定义一下矩阵范数。

设A是一个m×n的矩阵，它的矩阵范数记为‖A‖。

矩阵范数应满足以下条件：1.非负性：‖A‖≥0，并且当且仅当A=0时，等号成立。

2.齐次性：对于任意标量λ，有‖λA‖=，λ，‖A‖。

3.三角不等式：对于任意的矩阵A和B，有‖A+B‖≤‖A‖+‖B‖。

常见的矩阵范数有多种，常用的有以下几种：1. 1-范数（1-Norm）：也称为列和范数，定义为矩阵的每一列元素绝对值之和的最大值，即‖A‖₁=max{∑，aᵢⱼ，}，其中i=1,2,...,m，j=1,2,...,n。

2. ∞-范数（Infinity Norm）：也称为行和范数，定义为矩阵的每一行元素绝对值之和的最大值，即‖A‖∞=max{∑，aᵢⱼ，}，其中i=1,2,...,m，j=1,2,...,n。

3. 2-范数（2-Norm）：也称为谱范数，定义为矩阵A的最大奇异值，即‖A‖₂=√(矩阵A的最大特征值)。

4. F-范数（Frobenius Norm）：也称为Euclidean范数，定义为矩阵元素绝对值的平方和的开平方，即‖A‖F=√∑(，aᵢⱼ，²)，其中i=1,2,...,m，j=1,2,...,n。

接下来，我们来探讨一下矩阵范数的意义和性质。

首先，矩阵范数可以度量矩阵的大小。

和向量范数类似，矩阵范数被用来度量矩阵的"大小"，反映矩阵与零矩阵之间的距离。

矩阵范数越大，代表矩阵越"大"。

例如，对于1-范数，它表示矩阵的每一列元素绝对值之和的最大值，因此可以表示一个矩阵中最大的列向量的长度。

对于2-范数，它表示矩阵最大奇异值的平方根，可以用来度量矩阵的条件数，即矩阵有多么病态，是否容易受到舍入误差的影响。

数值分析笔记

第一章1.设x 为准确值，x*为x 的一个近似值.称e*=x*-x 为近似值的绝对误差，简称误差。

ε*=|e*|叫做近似值的误差限，e ∗x=x ∗−x x为相对误差，εr∗=ε∗|x ∗| 为相对误差限。

2.采用四舍五入原则时，值的误差不超过末位数字的半个单位(对π估计值取3.14时，误差|π-3.14|≤0.5 * 10-2). 3.ε(x 1∗±x 2∗)≤ ε(x 1∗)+ε(x 2∗) ε(x 1∗·x 2∗)≤|x 1∗|ε(x 2∗)+|x 2∗|ε(x 1∗) ε(x 1∗/x 2∗)≤|x 1∗|ε(x 2∗)+|x 2∗|ε(x 1∗)|x 2∗|24.相近数相减、大数吃小数等问题会加大误差。

T1. 已测得某场地长Ɩ的值为Ɩ*=110m ，宽d 的值为d*=80m ，已知 |Ɩ - Ɩ*| ≤ 0.2m ，|d – d*| ≤ 0.1m.试求面积s=Ɩd 的绝对误差限与相对误差限。

解：由分部积分可得I n =e −1∫x n d (e x )=e −1(x n e x |01−∫e x d (x n )1)1=1−e −1n ∫x n−11e xdx =1−nI n−1 I 0=e−1∫e x10dx =1−e −1得到通式{I n =1−nI n−1 (n =1,2,…)I 0=1−e −1(1)为计算出I 0须先计算e -1,采用泰勒展开式，取k=7，使用四位小数计算。

函数的二范数

函数的二范数函数的二范数，也称为欧几里德范数，是一种衡量函数在空间中的大小的方法。

它是一种非常有用的数学工具，广泛应用于各个领域，包括信号处理、统计学、机器学习等。

首先，我们来解释一下什么是函数的二范数。

函数的二范数是指将函数看作是一个向量，然后计算向量的长度。

具体而言，对于定义在一个区间上的函数f(x)，其二范数可以通过求解积分来计算。

数学上，函数f(x)的二范数可以表示为 ||f||₂ = √(∫[a,b] |f(x)|² dx)，其中a和b是函数f(x)定义的区间。

直观上讲，二范数可以理解为函数f(x)的幅度的平方和的平方根。

函数的二范数在各个领域中具有广泛的应用。

首先，在信号处理中，二范数可以用来评估信号的能量。

通过计算信号函数的二范数，我们可以得到信号的总能量大小。

这对于信号的压缩、滤波和降噪等处理非常有帮助。

其次，在统计学中，函数的二范数可以用来衡量数据的均方根误差。

通过计算数据拟合函数与实际数据之间的二范数，我们可以评估拟合函数的质量和拟合程度。

这对于分析数据的一致性和预测模型的准确性非常重要。

此外，在机器学习中，函数的二范数可以用来衡量学习算法的复杂度并进行正则化。

通过将学习算法的目标函数中的参数函数的二范数加入到损失函数中，我们可以避免过拟合和提高模型的泛化能力。

这在模型选择和参数调优中非常有用。

总结起来，函数的二范数是一种衡量函数大小的指标，具有广泛的应用领域。

它在信号处理、统计学和机器学习等领域中发挥着重要的作用。

通过计算函数的二范数，我们可以评估函数的能量、数据拟合程度和学习算法的复杂度。

因此，深入理解函数的二范数对于理解和应用这些领域中的相关理论和方法具有指导意义。

列向量的范数

列向量的范数
对于一个n维列向量x=(x1,x2,...,xn)，它的范数(norm)定义为：
||x||= (x1^2+x2^2+...+xn^2)^(1/2)
其中，x1,x2,...,xn均为实数。

范数是一个向量的长度或大小，它满足以下性质：
1. ||x||≥0，当且仅当x=0时，||x||=0；
2. 对于任意实数α，有||αx||=|α| ||x||；
3. 对于任意两个列向量x和y，有||x+y||≤||x||+||y||（三角不等式）。

范数在很多领域都有应用，比如在机器学习中，范数可以用来表示特征向量的正则化，以防止过拟合。

在数值分析中，范数可以用来衡量矩阵的条件数和误差，以评估数值算法的精度。

常见的范数有L1范数、L2范数、无穷范数等，它们在具体问题中的应用有所不同。

- 1 -。

各种向量和矩阵的范数的意义

正则化项可以约束模型的特性。这样就可以将人对这个模型的先验知识融入到模型的学习当中。
范数是正则化的常用方法
12
Outline
1.相关概念——误差和目标函数 2.范数概念 3.向量的范数及含义 4.矩阵的范数及含义
13
范数的概念
范数的目的：对向量及矩阵的“大小”进行度量
14
向量的范数
X∈Rn 为一实向量，X的范式定义如下： L0范数：指向量中非0的元素的个数
8
相关概念——学习
Basis knowledge
x(1) x(2) x(3)
线性模型y=wTx+b
插值法
备注：表来自周老师西瓜书课件
9
相关概念——学习
Basis knowledge
x
=
Y
备注：表来自周老师西瓜书课件
10
相关概念——误差
假定数据集D
Basis knowledge
I(a): 1 if a=true 0 else
39
应用举例—核范数
鲁棒PCA:
低秩结构信息稀疏噪声
40
矩阵范数的含义
|| A || p || vec( A) ||P (| aij | p )1/ p
i 1 j 1 m n
p=1时，为矩阵的1-范数，最小化||A||1范数能让
矩阵A元素稀疏
稀疏矩阵的优点：计算速度更快存储成本低可解释性强（例如：文本分类中，可知哪些词对类别起重要作用）
矩阵范数的含义
文本分类中的应用：
Lasso 找出关键词 Group Lasso 找出关键句子
Hierarchical Lasso 找出关键段
43

《应用数值分析》课件数值分析1.3.1范数

1i n
lim x k x *
k

来证明.
(k )
*
即
max
x

x
0.
i
i 0
1i n
j 1,2,
当k 时，有 x (jk ) x*j 0
即

,n
j 1,2,
,n
向量范数
定理3
lim x
k
k
有
必要性
x *的充分必要条件是对任意一种范数，

x
x
n
C2
设x R ,x 0，则
S , 那么C1 f

x
x

x
即C1
C2 , 故C x x C x , x Rn .
1
2

t

x
t
向量范数
例3： (1)
x

x1n x

1
x1 x 2 x1
n
1
x2 x x2
n
(2)
何一种范数意义下研究。
向量范数
小结
向量范数的定义
向量范数的性质
定理：Rn上的任意两个向量范数等价.
范数的等价性保证了运用具体范数研
究收敛性在理论上的合法性和一般性
矩阵范数
1: 矩阵范数的定义
定义1
如果A∈Rn×n的某个非负实值函数 N( A) A 满足：
(1) 正定性： A 0, 且 A 0 A 0
x 2 xi 14
i 1

n
x

max xi 3
1 i n

误差知识与算法知识

9 x 10 , x2 1. 精确解为 1
b b 2 4ac 算法1：利用求根公式 x 2a 在计算机内，109存为0.11010，1存为0.1101。做加法时，两加数的指数先向大指数对齐，再将浮点部分相加。即1 的指数部分须变为1010，则：1 = 0.0000000001 1010，取单精度时就成为： 109+1=0.100000001010+0.00000000 1010=0.10000000 1010
f ( n 1) ( ) n1 Rn ( x ) f ( x ) Pn ( x ) x 在 ( n 1)!
x
与0之间。
机器字长有限
—— 舍入误差 /* Roundoff Error */ 用计算机、计算器和笔算，都只能用有限位小数来代替无穷小数或用位数较少的小数来代替位数较多的有限小数，如：
注意此公式精确成立
( n 1, 2, , 8)
按公式就可以逐步算出
I1 1 5 I 0 0.09
I2 1 5 I1 0.05 2
What happened ?!
1 I 3 5 I 2 0.083 不稳定的算法！ 3 1 I 4 5 I 3 0.165 4 1 I 5 5 I 4 1.025 这就是误差传播所引起的危害 ! 5 1 I 6 5 I 5 4.952 6
x1 , x2 ,, xn 的近似值为 a1 , a2 ,, an ,则 u 的近似值为
A f a1 , a2 , , an
于是函数值 u 的误差 e( A) 由Taylor展开,
得：
e( A) u A f x1 , x2 , , xn f a1 , a2 , , an

向量的lp范数

向量的lp范数在数学和物理学的广阔领域中，向量是一个极其重要的概念。

而与之密切相关的“向量的 lp 范数”，则为我们理解和处理向量提供了有力的工具。

首先，让我们来理解一下什么是向量。

简单来说，向量就是既有大小又有方向的量。

比如说，在物理中，力就是一个向量，它不仅有大小（比如 10 牛顿），还有方向（比如朝东）。

那么，什么是向量的范数呢？范数其实就是一种对向量长度或者大小的度量方式。

而 lp 范数就是其中的一类。

对于一个 n 维向量 x ＝（x₁, x₂, …， xₙ)，它的 p 范数（记为｜｜x|｜ₙ）定义为：｜｜x|｜ₙ＝（∑｜xᵢ|ᵖ) ⁽¹⁾ᵖ，其中p ≥ 1 。

当 p ＝ 1 时，这就是 1 范数，也称为“曼哈顿范数”。

它的计算方式就是将向量各个元素的绝对值相加。

比如对于向量（1, －2, 3)，它的 1 范数就是｜1| ＋｜－2| ＋｜3| ＝ 6 。

当 p ＝ 2 时，这就是我们最常见的 2 范数，也称为“欧几里得范数”。

它的计算方式就类似于我们在平面直角坐标系或者空间直角坐标系中计算两点之间的距离。

比如对于向量（3, 4)，它的 2 范数就是√（3²＋ 4²) ＝ 5 。

当 p 趋向于无穷大时，这就是无穷范数。

此时，向量的无穷范数等于向量元素绝对值中的最大值。

比如对于向量（1, －5, 2)，它的无穷范数就是 max(｜1|，｜－5|，｜2|）＝ 5 。

那么向量的 lp 范数有什么用呢？在优化问题中，经常会用到向量的范数。

比如，我们想要找到一个向量，使得它在满足某些条件的情况下，其某个范数最小。

这在机器学习、信号处理、控制理论等领域都有广泛的应用。

在机器学习中，范数常常被用来作为正则化项，以防止模型过拟合。

比如，L1 正则化使用 1 范数，L2 正则化使用 2 范数。

在信号处理中，范数可以用来衡量信号的能量或者强度。

在控制理论中，范数可以用来描述系统的稳定性和性能。

算子范数定义

算子范数定义及其应用一、算子范数的概念算子范数是一种衡量线性算子大小的范数，它是线性算子空间到实数集合的映射。

在数学中，算子范数是一种对于线性算子的度量，它可以用来衡量线性算子的大小，类似于向量的范数。

算子范数在数学分析、函数论、微积分等领域都有着广泛的应用。

二、算子范数的定义算子范数的定义可以分为以下三种：1、向量范数的推广算子范数可以看作是向量范数的推广，它将向量范数推广到了线性算子空间中。

在向量范数中，向量的范数是一个实数，它衡量向量的大小。

类比地，在线性算子空间中，算子的范数也是一个实数，它衡量线性算子的大小。

2、矩阵范数的定义算子范数还可以通过矩阵范数的定义来定义。

在矩阵范数中，矩阵的范数是一个实数，它衡量矩阵的大小。

类比地，在线性算子空间中，算子的范数也是一个实数，它衡量线性算子的大小。

3、极限定义算子范数还可以通过极限定义来定义。

设X是一个线性算子空间，f是X上的线性算子，p是一个实数，p≥1。

则f的p-范数定义为：‖f‖p = (sup{‖f(x)‖p | x∈X, ‖x‖=1})1/p其中，sup表示上确界，‖x‖表示向量范数。

三、算子范数的应用算子范数在数学分析、函数论、微积分等领域都有着广泛的应用。

以下是算子范数的一些应用：1、矩阵分析算子范数在矩阵分析中有着广泛的应用。

在矩阵范数中，算子范数可以用来衡量矩阵的大小。

例如，矩阵的谱范数就是矩阵的最大奇异值，它是一种非常重要的矩阵范数。

2、误差分析算子范数可以用来进行误差分析。

在数值计算中，误差是无法避免的，但是我们可以通过算子范数来衡量误差的大小。

例如，我们可以将误差向量的p-范数作为误差的度量。

3、优化问题算子范数在优化问题中也有着广泛的应用。

例如，在最小二乘问题中，我们可以通过算子范数来衡量误差的大小，从而得到最优解。

四、总结算子范数是一种衡量线性算子大小的范数，它是线性算子空间到实数集合的映射。

算子范数可以通过向量范数、矩阵范数和极限定义来定义。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2021/4/18
性质较好使用最广泛
A F
较少使用
10
定义6. 显然
设A Rnn的特征值为 1 , 2 ,, n , 称
( A) max{ 1 , 2 ,, n }
--------(9)
为矩阵A的谱半径
A 2 max( AT A) ( AT A)
定理21.
若B满足 B 1,则I B非奇异,且
若常数项b存在误差b,则解也应存在误差x
即有
A(x x) b b
--------(11)
2021/4/18
13
Ax b
x A1b
所以
x A1b A1 b
--------(12)
又因为
b Ax A x
可得
1 A
xb
(12)和(13)两式相乘,得
2021/4/18
x A A1 b
§ 5.6 向量和矩阵的范数
定义1. 对于n维向量空间 Rn中任意一个向量 x, 若存在唯一一个实数 x R与x对应，且满足
(1) (正定性 ) x 0,且x Rn , x 0 x 0;
(2) (齐次性) x x ，x Rn , R;
(3) (三角不等式 ) x y x y ，x, y Rn.
--------(7)
称A的行范数
(3)
A 2
max( AT A)
--------(8)
称A的
( 202m1/4a/x18 AT A)为AT A的特征值的绝对值的最大值 2 范数7
例3.
求矩阵A的各种常用范数
A
1 1 0
2 2 1
0 1 1
n
解:
A
1
max
1 jn
i1
aij
max{2,5,2} 5 1 jn
2021/4/18
15
( A A) A(I A1A)
如果假设
A1A 1
--------(16)
则由定理21,可知
I A1A非奇异
且
(I A1A)1
1
1
A1A
(15)式化为
A(I A1A)x A x
x (I A1A)1 A1A x --------(17)
2021/4/18
n
A
max
1in
j1
aij
max{3,4,2} 4 1in
由于
A 2 max( AT A)
2021/4/18
8
因此先求AT A的特征值
1 1 0 1 2 0 2 0 1
AT A
2 0
2 1
1 1
1 0
2 1
11
0 1
9 1
1 2
特征方程为
2
det( I AT A)
因此 A F 是一种矩阵范数
称为Frobenius范数,简称F-范数
2021/4/18
6
根据向量的常用范数可以得到常用的矩阵范数
n
(1)
A 1
max 1 jn
i1
aij
A的每列绝对值之和的最大值,
n
(2)
A
max
1in
j1
aij
A的每行绝对值之和的最大值,
--------(6)
称A的列范数
x
b
相对误差
--------(13)
--------(14)
14
(14)式表明,由常数项产生的误差,最多可将解的
相对误差放大
倍
A
A1
若系数矩阵A存在误差A,则解也应存在误差x ( A A)( x x) b
A x Ax Ax 0
( A A)x A x
--------(15)
在上式能直接使用范数吗？
x 2 ( x1 2 x2 2 x4 2 )12 27 3 3
x max 1i4
xi
4
2021/4/18
4
定义2. 对于空间 Rnn中任意一个矩阵 A, 若存在唯一一个实数 A R与A对应，且满足
(1) (正定性 ) A 0,且A Rnn , A 0 A 0;
(2) (齐次性) A A ，A Rnn , R;
(3) (三角不等式 ) A B A B ，A, B Rnn.
(4) AB A B ，A, B Rnn.
则称 A 为矩阵A的范数.
2021/4/18
5
设n阶方阵 A (aij )nn 类似向量的 2-范数
设
A F
n
n ai2j 12
i1 j1
--------(5)
不难验证其满足定义2的4个条件
x的 1 范数
--------(2)
x
max 1in
xi
2021/4/18
--------(3)
x的范数或最大范数
2
x
p(
x1
p
x2
p
xn
p
1
)p
--------(4)
x的p 范数, p 1
显然
x
和
1
x2
是
x
p在p 1和p 2时的特例
并且由于
max
1in
xi
(
x1 p
x2 p
xn
p
1
)p
(n max 1in
xi p ) 1 p
1
n
p max 1in
xi
max 1in
xi
( p )
x p x ( p 时),
所以
x
也是
x
的特例
p
2021/4/18
且 x x2 x1
3
例1.求下列向量的各种常用范数
x (1,4,3,1)T 解: x 1 x1 x2 x4 9
则称 x 为向量x的范数. 对于复线性空间 Cn中的向量范数可以类似定义
2021/4/18设x ( x1 , x2 ,, xn )T 常用的向量x的范数有
x 2 ( x1 2 x2 2 xn 2 )12
--------(1)
x的2 范数或欧氏范数
x 1 x1 x2 xn
16
x (I A1A)1 A1 A x
x A1 A
x
1
A1A
A1 A
1
A1
A
A A1 A
A
1
A
A1
A
A
--------(18)
定义8.
2021/4/18
设A为非奇异矩阵, 称
cond( A)v
A v
A1 v
(v 1,2或) --------(19)
0 1
0
9
1
1 1
2
0
可得AT A的特征值为
2021/4/18
1 9.1428,2 2.9211,3 0.9361
9
max( AT A) 9.1428
A 2 max( AT A) 3.0237
1
A
F
n i 1
n
ai2j
j 1
2
3.6056
A1
A
A2
容易计算
计算较复杂
对矩阵元素的变化比较敏感
(I B)1 1 1 B
--------(10)
2021/4/18
11
§ 5.7 误差分析简介
2021/4/18
12
对于线性方程组Ax b,如果系数矩阵A或常数项b的元素的微小变化, 就会引起方程组解的巨大变化,则称该方程组是"病态"的, A为"病态"矩阵.否则称为"良态"的.
设Ax b为一线性方程组, A为非奇异矩阵, x为其精确解