图论试卷及参考答案A-13级数学本科
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**学院2013—2014学年第二学期期末考试 数学与应用数学专业2013级《图论》试卷A
(本试卷满分100分,考试时间110分钟)
一、填空题 (每小题2分,共20分) 1.5阶完全图G 的边的个数是___________.
2.如果图G 的每个顶点的度数都相同,则称图G 为________图. 3.当且仅当无向连通图G 的顶点个数比边的个数多1时,图 G 是___. 4.无向图G 为欧拉图当且仅当G 连通,并且所有顶点的度都是 . 5.(p ,q ) 图G 的向量空间的维数是_________.
6.图G 的任意一个顶点的关联集都是其余各顶点关联集的____. 7.5阶完全图的边连通度是 .
8.已知M 是图G 的一个 ,若从G 中一个顶点到另一个顶点存
在一条道路,此路径由属于M 和不属于M 的边交替出现组成的,则称此路径为M -交错道路.
9.图G 是2-色的当且仅当G 是 . 10.极大平面图所有面的次数均为 . 二、判断题(每小题2分,共20分) 1.图的所有顶点的度数之和是边数的2倍.
2.连通图的一个生成树是边数最少的连通生成子图. 3.若一个图是欧拉图,那它也一定是哈密顿图.
专业:__________ 班级:______ 学号:_______________________ 姓名:_____________________
——————————————密——————————————封————————————————线———————————
专业:________ 班级:___________ 学号:_______________________ 姓名:_____________________ ——————————————密——————————————封————————————————线———————————
V .. . .. 4.图的秩等于图的完全关联矩阵的秩,也等于其关联矩阵的秩.5.r一定是r—正则图的一个特征值.
6.图的点连通度小于等于图的边连通度.
7.若一个图G存在完美匹配,则该匹配必定是最大匹配.8.图G的一个M—可增广道路未必是一个M—交错道路.9.图的边着色问题可以转化成图的点着色问题.
10.设G为p阶、q条边、f个面的连通平面图,则p q+f=2.
三、解答题(每小题5分,共30分) 1.试判断下列两个图是否同构.
2.写出下图G 的一个生成树T 并写出图G 关于T 的基本圈组.
3.求下图的完全关联矩阵并以v 2为参考点写出关联矩阵和一个可逆大子阵.
A
B C
D
G
F
4v
5v 6v 1v
2v 3v
15 u u
43 u u
26 u u
4.简述图的点连通度、边连通度、最小顶点的度数三者之间的关系,并举例说明.
5.下面的图中加粗的边构成最大匹配吗?如果不是请说明理由.
6.试写出下图的一个着色方案,并回答该图的色数.
四、应用题(每小题5分,共10分)
1.下图是一个公园的平面图,能不能使游人走遍每一条路不重复?入口和出口又应设在哪儿?
v 1
v 4
3 v e 2 e 3
4 e f 1
f 2
m 1 f 3
f 4
f 5
m 2 m 3 m 4 m
5
v 2
v 3
v 15
2.试建立下列问题的数学模型:有两组化学药品X 和Y ,每组各三类,设
{}123,,x x x 和{}123,,y y y ,已知不同组的化学药品不能放在一起,否则会发生爆
炸.现在将这些物品存放在三个仓库1,2,3中,但由于物品的特性及仓库自身的物理条件(如有无空调、通风条件等),1x 和1y 只允许放在1号和2号仓库,2x 和2y 只允许放在2号和3号仓库,3x 和3y 只允许放在1号和3号仓库,问:满足要求的存放方案是否存在?若存在,如何存放? 五、证明题(每小题10分,共20分)
1.设T 是一个无向(p ,q )图,证明T 是树则T 无圈且q =p -1.
2.设G 为p 阶连通平面图, 有q 条边, 且每个面的次数不小于l (l ≥3), 证明
()≤
l
q p -2l -2
.
**学院2013—2014学年第二学期期末考试 数学与应用数学专业2013级《图论》
参考答案与评分标准A
命题教师:***
二、填空题 (每小题2分,共20分)
参考答案:
1.120;2.正则图;3.树;4.偶数;5.q ;6.环和;7.4;8.匹配;9.二部图;10.3 评分标准:
本部分每小题2分.凡与答案一致或意义相同的得2分,不一致(含空白)的不得分.
三、判断题(每小题2分,共20分) 参考答案:1-5.√√×√√ 6-10.√√×√√ 评分标准:
本部分每小题2分.凡与答案一致的得2分,不一致(含未做判断)的不得分.
三、解答题(每小题5分,共30分)
参考答案:
1.解:建立一一映射,1,2,3,4,5,6i
i v u i =,可知两图同构. ……(5分)
2.解:因为图的生成树即其连通无圈的生成子图,因此,去掉图的一些边使其保持连通无圈即得其生成树.下图是其中的一种做法. …………(2分)
关于这棵树的基本圈有6个:AEG ,ABG ,EFG ,BCE ,DEF ,CDF .(5分)
3.解:
10011⎛⎫
⎛⎫ ⎪2完全关联矩阵关联矩阵(v 为参考点)
10011E
A
B C
D
G
F