勾股定理经典例题详解A

勾股定理经典例题详解熟悉下列勾股数，对解题是会有帮助的：

①3、4、5②5、12、13;③8、15、17;④7、24、25;⑤ 10、24、26;⑥9、

40、41.

类型二：勾股定理的构造应用

1、如图，已知：在亠1日「中,一£ - C ,亠*二，丄匸-2:.求：BC的长.

2. 如图，已知：于p 求证：二一「卜二「.

c M A

3. 已知：如图，/ B二/ D=90°，/ A=60°, AB=4 CD=2 求：四边形ABCD勺面积。

类型三：勾股定理的实际应用

（一）用勾股定理求两点之间的距离问题

4、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了-八亠到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。

5、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且/ QPN= 30°，点A处有一所中学，AP= 160m假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？

（二）用勾股定理求最短问题

6、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A B、C D,且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分.请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线.

7. 如图，一圆柱体的底面周长为20cm高AE为4cm, EC是上底面的直径. 只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程.

（1）求A C两点之间的距离

向。

（2）确定目的地C在营地A的什么方

类型四：利用勾股定理作长为而的线段

8作长为，、-、小'丿的线段。

9、如果△ ABC勺三边分别为a、b、c,且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c判断△ ABC勺形状。

10. 四边形ABCD K/ B=90O, AB=3 BC=4 CD=12 AD=13 求四边形ABCD勺面积。

11. 已知:△ ABC的三边分别为m i—n2 , 2mn ,m 2+n2

（m,n 为正整数，且m> n）,判断△ ABC是否为直角三角

形.

12. 如图正方形ABCD E为BC中点，F为AB上一点，且BF -AB。请问FE与DE 是否垂直？请说明。

4

13、如图所示，△ ABC是等腰直角三角形，AB=AC D是斜边BC的

中点，E F分别是AB AC边上的点，且DEIDF,若BE=12 CF=5求线

段EF的长。

14、如图所示，已知△ ABC中，/ C=90，/ A=60°,」•：•「，求二、上、

19. 如图（8）,水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部

分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.

20、一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7 米，（1）这个梯

子的顶端距地面有多高？（2）如

果梯子的顶端下滑了4米，那么梯

子的底端在水平方向滑动了

几米?

21、如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6c m, BC=8c m。现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上,

22、如图所示，已知在ABC中, AB=AC

任一点，求证：BD2CD22AD2。

答案:

1. 思路点拨：由条件--，想到构造含丁「角的直角三角形，为此作」二_汀于D,则有

N谢QMQ。， 2 ，再由勾股定理计算出AD DC的长，进而求出BC的长.

解析：作以匹一n于D,则因- J » - L,

（己一的两个锐角互余）

. [ （在门一中，如果一个锐角等于

30°

那么它所对的直角边等于斜边的一半）.

根据勾股定理，在中，

I..' I J I ■-.-

根据勾股定理，在亘一二匚中，

CD = Q A L -少 n 忖灯=65 .

SFD + DC=65*15 = 30 .

总结升华：利用勾股定理计算线段的长，是勾股定理的一个重要应用.当

题目中没有垂直条件时，也经常作垂线构造直角三角形以便应用勾股定理.

2. 思路点拨：图中已有两个直角三角形，但是还没有以BP为边的直角三角形.因此，我们考虑构造一个以BP为一边的直角三角形.所以连结BM这样,

实际上就得到了4个直角三角形.那么根据勾股定理，可证明这几条线段的平方之间的关系.

解析：连结BM根据勾股定理，在毗吕中，

2-血.

胡=W

而在亠皿中，则根据勾股定理有

MP2二AM2- AP2.

■- .：■ - .■-]——：.「!

.■: -■ I 2

又J」7丄（已知），

在:丄上…中，根据勾股定理有刼严_u炉二肿

.•厶一「丨匸

3. 分析：如何构造直角

三角形是解本题的关键，可以连结AC或延长AB DC交于F,或延长AD BC交于点E,根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。

解析：延长AD BC交于E

vZ A二/ 60°,/ B=90°,.Z E=30°

.AE=2AB=8 CE=2CD=4

.BE二AE-AB2=82-4 2=48, BE俪=加。

v DE二CE2-CD2=42-22=12,. DE= 二："

2 丄

.S 四边形ABC=S M BE"S△ CD=I AB • BE-- CD* DE=

4. 思路点拨：把实际问题中的角度转化为图形中的角度，利用勾股定理求解。

解析：(1)过 B 点作BE//AD

.Z DAB Z ABE=60