同济大学数据库关系模型和关系运算理论概要
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第6章关系数据模型及其运算.
广义笛卡尔积 (续)
R
ABC a1 b1 c1 a1 b2 c2 a2 b2 c1
S
ABC a1 b2 c2 a1 b3 c2 a2 b2 c1
R×S
A B CA BC
a1 b1 c1 a1 b2 c2 a1 b1 c1 a1 b3 c2 a1 b1 c1 a2 b2 c1 a1 b2 c2 a1 b2 c2 a1 b2 c2 a1 b3 c2 a1 b2 c2 a2 b2 c1 a2 b2 c1 a1 b2 c2 a2 b2 c1 a1 b3 c2 a2 b2 c1 a2 b2 c1
关系是笛卡尔积的有限子集。无限关系在数据库 系统中是无意义的。
由于笛卡尔积不满足交换律，即
(d1，d2，…，dn )≠(d2，d1，…，dn )
但关系满足交换律，即
(d1，d2 ，…，di ，dj ，…，dn）=（d1，d2 ，…，dj，di ，…， dn） （i，j = 1，2，…，n）
解决方法：为关系的每个列附加一个属性名以取 消关系元组的有序性
R
S = { tr ts | tr R∧ts S∧tr[A]θts[B] }
RS
• 进行交运算的两个关系，必须是相容的 • 交运算可以通过差运算来重写
RS = R (R S)=S (S R)
交 (续)
ABC R a1 b1 c1
a1 b2 c2 a2 b2 c1
ABC S a1 b2 c2
a1 b3 c2 a2 b2 c1
R∩S
ABC a1 b2 c2 a2 b2 c1
• 1) 笛卡尔积
给定一组域D1，D2，…，Dn，这些域中可以 有相同的。D1，D2，…，Dn的笛卡尔积为： D1d×iDD2i，×i…＝×1，Dn2＝，｛…，（nd｝1 ， d2 ， … ， dn ） ｜
同济大学_数据库基础_第五版
程玲
程玲 黎敏艳 邓倩梅 杨梦逸 杨梦逸
计算机导论
高等数学 计算机导论 英语 计算机导论 高等数学
87
67 53 71 66 75
大学英语
计算机导论 高等数学 计算机导论 英语
56
87 67 53 71
990204
990204 990204
计算机导论
高等数学 英语
66
75 82
28
1.术语
–关系：一个关系一张二维表 –关系模式：
Students(学号，姓名，性别，党员，专业，出生年月，助学金，照片) Scores(学号，课程，成绩)
–数据结构化 –数据共享性高，冗余小 –数据独立性高 –数据由DBMS统一管理控制 –为用户提供了友好的接口
• 特征图
13
数据库系统阶段数据管理示例
• 解决了数据的独立性问题，实现数据的统一管理， 达到数据共享的目的
求和： SELECT Max(Num) FROM Data 求最大值：SELECT Avg(Num) FROM Data
– – – – –
记录：表中的一行 属性(字段)：表中的一列 关键字：某个属性可以惟一地确定记录 主键：在实际的应用中只能选择一个 值域：属性的取值范围
29
2. 关系必须规范化：表中不能再包含表
工资表（满足关系模型要求）
工号 91026 97045 姓名 王建春 杨建兵 应发工资 1656 1832 实发工资 1488 1764
14
数据库系统的特点
(1) 采用一定的数据模型，最大限度地减少数据的冗余 (2) 最低的冗余度 (3) 有较高的数据独立性 用户面对的是简单的逻辑结构操作而不涉及数据具体的
物理存储结构
第二章 关系模型及关系运算(简略)
10
2.2 关系的完整性
参照完整性规则：基本关系R的外码F的值要么为空， 要么等于基本关系S的主码K的值。即不能引用不存 在的记录。 3）用户定义的完整性：是针对某一具体关系数据 库的约束条件，反映某一具体应用所涉及的数据必 须满足的语义要求，例如某一列值满足具体的数据 类型如整数、不能为空值、必须取唯一值、取值范 围等等。 早期的DBMS没有提供定义和检验完整性的机制， 只能由应用开发人员在应用程序中开发编写此类检 查，既繁琐又难以统一。
18
2.3关系运算
8）除法运算：关系R（X，Y），关系S（Y， Z），其中X，Y，Z为属性组，R的Y和S的Y属 性名可以不同，但必须出自相同的域集，则 R/S=关系P（X）。 9）外连接运算：连接运算中如果把舍弃的元 组也保存在结果中，无值的属性上填空值 （NULL）。左外连接和右外连接。 注意：与乘积运算的区别。 10）外部并运算：关系R和S不相容，外部并 是由R或S的所有属性组成，没有具体值的属 性为NULL。
13
2.3关系运算
2）差difference运算：关系R和S相容，两者差 是由属于R但不属于S的元组构成的集合： R-S={t|t∈R∧t∈S} 差运算=集合论中的差运算。 3）乘积product运算：R为r元（目）关系，S 为s元关系，两者乘积是一个(r+s)元的元组集 合： RXS={t|t=<tr, ts> ∧ tr ∈R ∧ ts∈S} 积的每个元组<tr, ts> 均由原来的两个元组组 成，前r个分量来自R，后s个分量来自S。
6
2.1 关系的定义和性质
4）同一实体集内各实体间1:N联系：在该实体关系 中增加一个属性，用来标识相联的另一实体的主键。 5）同一实体集内各实体间M:N联系：单独建立联系 表，其属性包含双方实体的主键及其他联系属性。 6）多个实体集间的M:N联系：单独建立联系表，其 属性包含各个实体的主键及其他联系属性。
2.2 关系的完整性
参照完整性规则：基本关系R的外码F的值要么为空， 要么等于基本关系S的主码K的值。即不能引用不存 在的记录。 3）用户定义的完整性：是针对某一具体关系数据 库的约束条件，反映某一具体应用所涉及的数据必 须满足的语义要求，例如某一列值满足具体的数据 类型如整数、不能为空值、必须取唯一值、取值范 围等等。 早期的DBMS没有提供定义和检验完整性的机制， 只能由应用开发人员在应用程序中开发编写此类检 查，既繁琐又难以统一。
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2.3关系运算
8）除法运算：关系R（X，Y），关系S（Y， Z），其中X，Y，Z为属性组，R的Y和S的Y属 性名可以不同，但必须出自相同的域集，则 R/S=关系P（X）。 9）外连接运算：连接运算中如果把舍弃的元 组也保存在结果中，无值的属性上填空值 （NULL）。左外连接和右外连接。 注意：与乘积运算的区别。 10）外部并运算：关系R和S不相容，外部并 是由R或S的所有属性组成，没有具体值的属 性为NULL。
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2.3关系运算
2）差difference运算：关系R和S相容，两者差 是由属于R但不属于S的元组构成的集合： R-S={t|t∈R∧t∈S} 差运算=集合论中的差运算。 3）乘积product运算：R为r元（目）关系，S 为s元关系，两者乘积是一个(r+s)元的元组集 合： RXS={t|t=<tr, ts> ∧ tr ∈R ∧ ts∈S} 积的每个元组<tr, ts> 均由原来的两个元组组 成，前r个分量来自R，后s个分量来自S。
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2.1 关系的定义和性质
4）同一实体集内各实体间1:N联系：在该实体关系 中增加一个属性，用来标识相联的另一实体的主键。 5）同一实体集内各实体间M:N联系：单独建立联系 表，其属性包含双方实体的主键及其他联系属性。 6）多个实体集间的M:N联系：单独建立联系表，其 属性包含各个实体的主键及其他联系属性。
数据库中的关系模型与关系操作
数据库中的关系模型与关系操作在计算机科学和信息技术领域，数据库是用于存储、管理和检索有组织数据的集合。
在数据库中，关系模型是一种常见的数据模型，它使用表格来表示实体和实体之间的关系。
关系操作则是对这些表格进行的各种操作，用于查询、插入、更新和删除数据。
本文将探讨数据库中的关系模型以及常见的关系操作。
关系模型是由埃德加·科德（Edgar F. Codd）于20世纪70年代提出的，它是一种用数学方法来描述和处理关系型数据的模型。
在关系模型中，数据被组织成表格，每个表格被称为关系。
表格中的每一行表示一个实体，而表格中每一列代表不同的属性。
表格中的每个单元格包含一个值，这些值必须满足给定的数据类型和约束。
关系模型中，表格之间的关系由关系键（primary key）和外键（foreign key）来建立。
关系键是唯一标识表格中每一行的一列或一组列，它用于确保数据的唯一性。
外键是一个列或一组列，它用于在一个表格中建立对另一个表格中数据的引用关系。
关系操作主要包括查询操作和更新操作。
查询操作用于从关系中检索特定的数据，而更新操作用于对关系中的数据进行插入、修改和删除。
最常见的查询操作包括选择（select），投影（project），连接（join），并（union）和差（difference）等。
选择操作指定一个条件，从关系中选取满足该条件的行；投影操作用于从关系中选择指定列的数据；连接操作用于将两个或多个关系的数据合并为一个关系；并操作用于将两个关系的数据合并为一个包含两个关系的数据；差操作用于从一个关系中删除与另一个关系中相同的数据。
关系模型的优点之一是数据的一致性和完整性。
通过使用关系模型，我们可以定义各种数据约束，例如主键约束、唯一约束、外键约束等，以确保数据的一致性和完整性。
在插入、更新和删除数据时，关系模型可以自动执行这些约束，并返回错误信息。
关系操作是对关系模型进行数据处理的重要方式。
数据库关系模型中的运算
=（SNO，SNAME， STATUS， CITY， PNO，QTY） Smith Smith Smith 20 20 20
2
解决方案： COURSE(Cno, Cname, Pcno)
c1 c2 c3 c4 c5 math prog ds os db
COURSE(Cno, Cname, Pcno) c1 c2 c3 c4 c5 math prog ds os db c1 c2 c3 c3
Ｒ∪Ｓ（Ａ，Ｂ，Ｃ） ａ 1 ｃ b 2 a ｃ 3 ｄ d 4 f
Ｒ－Ｓ（Ａ，Ｂ，Ｃ） a 1 c ｃ 3 ｄ Ｒ∩Ｓ（Ａ，Ｂ，Ｃ） ｄ 4 f
(5)笛卡尔乘积运算 两个属性个数分别是m 、n，元组个数分别为 k1，k2的关系R和S，它们的笛卡尔乘积是一个关 系，该关系属性个数(度/元)为m + n、元组个数 为k1×k2，记为R × S
R1
LCCD ) )
R2 )
(3) 找出:9905班、“数据库”上机所使用的实验 室位置?
ρR1 (ΠCS_NO(бCS_NAME ρR2 (ΠL_NO, ρR3 (ΠCS_NO,
熟练掌握：关系代数运算，并能够用关系代数表 达查询要求。 重点：用关系代数表达查询要求。
= ‘数据库’(COURSE) ))
LOCATION( LAB ) ) L_NO (бCL_NO = ’9905’ (LCCD)) )
ρR4(ΠLOCATION( R1
R3
R2 ) )
思考：五个关系模式所对应的E-R图是什么？
4
2把笛卡尔积和随后的选择操作合并成连接运算3同时计算一连串的选择和投影操作同时算4保留同一子表达式的结果5适当对关系文件进行预处理如索引连接法排序合并连接法6计算表达式之前先估计一下怎么计算合算
精品课件-数据库技术与设计-第2章 关系数据模型
NINGBO University of Technology
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思考题：联接运算和自然联接运算有何异同点？ 1、相同点
联接运算和自然联接运算的基础均是笛卡尔积，他 们均属于联接运算。 2、不同点 （1）联接运算中的二个关系不需要公共属性，而自然联接 运算则需要公共属性； （2）联接运算中的联接条件 可以取6中关系运算符，而 自然联接运算则只能取等号； （3）联接运算后属性个数是二个关系属性个数之和，而自 然联接运算后属性个数应该去掉重复的一份属性。
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2.2.3 关系代数表达式
在关系代数中,把由上述关系代数运算经过有 限次复合而成的式子称作关系代数表达式,它的 运算结果仍是一个关系。
设有学生-课程关系数据库实例，其中S 、C 和SC分别代表学生关系、课程关系和学生选课关 系。
S(S#,SN,SD,SA) SC(S#,C#,G) C (C#,CN,CT)
表2.1 学生选课 登记表
NINGBO University of Technology
下面结合该表介绍关系模型中的基本概念。 1．表(Table)，也称关系，由表名、列名及
若干行组成。表的结构也称关系模式，如表2.l 的关系模式为：学生选课登记表(学号，姓名， 专业，选修课程，任课教师)。
2．列(Field)，也称属性。表中的每个列都 包含同一类的信息。表中的列是无序的。
1．并运算(Union) 两个关系R和S的并记为 R∪S，它是一个新的 关系，由属于R或属于S的元组组成，可形式地定 义成：
R∪S＝{t∣t∈R∨t∈S } 其中t是元组变量，表示关系中的元组。
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思考题：联接运算和自然联接运算有何异同点？ 1、相同点
联接运算和自然联接运算的基础均是笛卡尔积，他 们均属于联接运算。 2、不同点 （1）联接运算中的二个关系不需要公共属性，而自然联接 运算则需要公共属性； （2）联接运算中的联接条件 可以取6中关系运算符，而 自然联接运算则只能取等号； （3）联接运算后属性个数是二个关系属性个数之和，而自 然联接运算后属性个数应该去掉重复的一份属性。
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2.2.3 关系代数表达式
在关系代数中,把由上述关系代数运算经过有 限次复合而成的式子称作关系代数表达式,它的 运算结果仍是一个关系。
设有学生-课程关系数据库实例，其中S 、C 和SC分别代表学生关系、课程关系和学生选课关 系。
S(S#,SN,SD,SA) SC(S#,C#,G) C (C#,CN,CT)
表2.1 学生选课 登记表
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下面结合该表介绍关系模型中的基本概念。 1．表(Table)，也称关系，由表名、列名及
若干行组成。表的结构也称关系模式，如表2.l 的关系模式为：学生选课登记表(学号，姓名， 专业，选修课程，任课教师)。
2．列(Field)，也称属性。表中的每个列都 包含同一类的信息。表中的列是无序的。
1．并运算(Union) 两个关系R和S的并记为 R∪S，它是一个新的 关系，由属于R或属于S的元组组成，可形式地定 义成：
R∪S＝{t∣t∈R∨t∈S } 其中t是元组变量，表示关系中的元组。
数据库原理 第三章 关系运算
若关系中某一属性组的值能唯一地表示一个元组，则称该属 性组为候选键。例如：教师编号、身份证号
在候选键中选中一个作为主键，主键带有主属性。 例如：可选教师号、身份证号均可。 由多个属性组成的候选键。
3、主键（Primary Key）
4、合成键（Composite Key）
5、外键（Foreign Key）
3.2 关系运算
关系运算就是指研究关系操作的问题 关系查询语言和关系运算 关系代数运算符及其分类 传统的集合运算 专门的关系运算 关系代数表达式应用实例 扩充的关系代数操作
关系代数
关系代数是一种抽象的查询语言。 用对关系的运算来表达关系操作，关系代数是研 究关系数据操作语言的一种较好的数学工具。 关系代数是E.F.Codd 1970年首次提出的，后面一 节的关系演算是E.F.Codd 1972年首次提出的， 1979年E.F.Codd对关系模型作了扩展，讨论了关 系代数中加入空值和外连接的问题。 关系代数以一个或两个关系为输入（或称为操作 对象），产生一个新的关系作为其操作结果。即其 运算对象是关系，运算结果亦为关系。关系代数用 到的运算符包括四类：集合运算符、专门的关系运 算符、算术比较符和逻辑运算符，如表3.6所示。
(3) 若Di（i＝1，2，…，n）为有限集， 其基数（Cardinal number）为mi（i＝1，2，…，n）， 则D1×D2×…×Dn的基数为n个域的基数累乘之积 (4)笛卡尔积可表示为一个二维表。表中的每行对应一个元 组，表中的每列对应一个域。 如上面例子中D1与D2的笛卡尔积： D1×D2 ={(张三,男),(张三,女),(李四,男),(李四,女)} 可以表示成二维表，如下表2.1所示： 姓名 性别 张三 张三 李四 李四 男 女 男 女
关系数据库的基本运算
于笛卡尔积上的一个选择运算，称之为
运算
1. 若R（有属性A)和S(有属性B)， 他们之间可以以A,B的某一运算 作为连接条件，实现连接运算
2. R ❖S=σAθB（R×S） 二．自然连接：在条件连接的基础上删除重复的属性
1. 怎么获得姓名、学号、成绩呢？ 2. 获得不及格同学的姓名、学号、成绩
范例
分量的一个组合 三．不同的属性可以来自同一个域；同一列的数据必须来自同一域 四．列和行的顺序可以任意交换，但不能出现相同的行 五．关系中，可以实现插入，删除，更新操作，所以关系是可以随时发生变化的 六．判定关系是否相同，只在乎数据是否都出现，和列和行的次序无关。
○ 其实，在平时的操作中，这些东西自然会清晰起来的，不需要去太多的记忆
交
单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了演示发布的良好效果，请言简意赅地阐述您的观点。您的内容已经简明扼 要，字字珠玑，但信息却千丝万缕、错综复杂，需要用更多的文字来表述；但请您尽可能提炼思想的精髓，否则容易造成 观者的阅读压力，适得其反。正如我们都希望改变世界，希望给别人带去光明，但更多时候我们只需要播下一颗种子，自 然有微风吹拂，雨露滋养。恰如其分地表达观点，往往事半功倍。当您的内容到达这个限度时，或许已经不纯粹作用于演 示，极大可能运用于阅读领域；无论是传播观点、知识分享还是汇报工作，内容的详尽固然重要，但请一定注意信息框架 的清晰，这样才能使内容层次分明，页面简洁易读。如果您的内容确实非常重要又难以精简，也请使用分段处理，对内容 进行简单的梳理和提炼，这样会使逻辑框架相对清晰。
202X
关系数据库的 基本运算
点击此处添加副标题
计算机基础教研室何进
内容概述
CONTENTS
01 关系模型的定义 02 关系的性质 03 关系代数 04 关系的基本运算
数据库原理课件：关系模型
1
一些屬性的域
1
等效術語
關係、屬性、元組 表、列、記錄 檔、字段、行 相關組合
1
關係表的屬性
資料庫中每個表都有區別於其他表的名稱 表中的每個單元恰好只包含一個值 每個列都有不同的名字 一個列的值來自相同的域 列的順序不重要。給定列名，可以交換整列 每個記錄都是不同的，沒有重複記錄 理論上，記錄的順序不重要
整性和參照完整性
1
關係數據結構
關係（Relation）：具有行和列的表 屬性（Attribute）：關係中被命名的列 域（Domain）：一個或多個屬性的取值範圍 元祖（Tuple）：關係中的一行記錄 關係資料庫（Relational Database） - 規範化
的表集合
1
Branch and Staff 關係的部 分示例
1
StayHome資料庫描述
Branch(branchNo,street,city,state,zipCode,mgrStaffNo)
Staff(staffNo,name,position,salary,branchNo)
Video(catalogNo,title,category,dailyRental,price,directorNo)
1
關係鍵
超鍵（Superkey）
一個列或者列集，唯一的標識了表中的一個記錄
候選鍵（Candidate Key）
僅包含唯一標識實體所必需的最小數量的屬性/列的 超鍵
唯一性：在每條記錄中，候選鍵的值唯一標識該記 錄
最小性：最小的超鍵 一個表中可能有多於一個候選鍵。
1
Branch表的候選鍵有哪些？
Video
Director
Actor
Role
一些屬性的域
1
等效術語
關係、屬性、元組 表、列、記錄 檔、字段、行 相關組合
1
關係表的屬性
資料庫中每個表都有區別於其他表的名稱 表中的每個單元恰好只包含一個值 每個列都有不同的名字 一個列的值來自相同的域 列的順序不重要。給定列名，可以交換整列 每個記錄都是不同的，沒有重複記錄 理論上，記錄的順序不重要
整性和參照完整性
1
關係數據結構
關係（Relation）：具有行和列的表 屬性（Attribute）：關係中被命名的列 域（Domain）：一個或多個屬性的取值範圍 元祖（Tuple）：關係中的一行記錄 關係資料庫（Relational Database） - 規範化
的表集合
1
Branch and Staff 關係的部 分示例
1
StayHome資料庫描述
Branch(branchNo,street,city,state,zipCode,mgrStaffNo)
Staff(staffNo,name,position,salary,branchNo)
Video(catalogNo,title,category,dailyRental,price,directorNo)
1
關係鍵
超鍵（Superkey）
一個列或者列集，唯一的標識了表中的一個記錄
候選鍵（Candidate Key）
僅包含唯一標識實體所必需的最小數量的屬性/列的 超鍵
唯一性：在每條記錄中，候選鍵的值唯一標識該記 錄
最小性：最小的超鍵 一個表中可能有多於一個候選鍵。
1
Branch表的候選鍵有哪些？
Video
Director
Actor
Role
同济数据库·chap3
数据库技术与应用
本书目录
22
设计的E-R图的步骤
1.设计实体及其属性和键码。 2.设计两两实体之间的联系，比如电影和明星之间的扮演 （Act）联系，明星和影片公司之间的聘用联系等。 3.在所有实体之间的联系设计完后，在将这些E-R图合并 为一个总的E-R图。在这个过程中要去掉多个实体和属性 间的命名冲突和联系冲突，生成一个完整的、满足应用需 求的全局E-R图。
数据库技术与应用
本书目录
23
片名
出品年份
影片长度
影片类型
设计平台
电影 出品
isa
卡通片
角色
扮演 明星
聘用
影片公司
姓名
联系地址
公司名称
地址
图3.2.16 影展信息数据库的E/R图
数据库技术与应用
本书目录
24
思考题
Title
Length
Year
Movie
Type Act
Name
Actor
ID
isa Weapon Murder
17
3．三个或三个以上实体间的一个联系
规则：三个或三个以上实体间个联系转换成 一个关系模式，其属性为三端实体或多端 实体的键加上联系自身的属性，而键为三 端实体或多端实体键的组合。
数据库技术与应用
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18
4．E/R图中“属于”联系到关系的转 换
• 假若A类实体和B类实体之间是“属于”关系，这 里假定为B属于A，为了表示出A和B之间的关系， 用一种称为“属于”（“isa”）的特殊联系将实体 集A和B相连。 “isa“联系用三角形表示，尖端指 向A类实体集，底边指向B类实体集，三角形中还 要写上”isa”的字样。A类实体和B类实体也称为超 类和子类。 • 子类与超类有两个性质: ① 子类与超类之间具有继承性特点，即子类实体 继承超类实体的所有属性。但子类实体本身还可以 包含比超类实体更多的属性。 ② 这种继承性是通过子类实体和超类实体有相同 的实体标识符实现的。