第1部分 专题六 第二讲 排列、组合与二项式定理(选择、填空题型)
第二部分专题六第二讲排列、组合与二项式定理(选择、填空题型)PPT课件
(2)要确保 5 号与 14 号入选并被分配到同一组，应再从其余的 18 人 中任选 2 人，但必须保证 5 号与 14 号是选出的 4 人中编号较小的 2 个或编号较大的 2 个，若 5 号与 14 号是编号较小的 2 人，则应从 15 号～20 号这 6 个人中任选 2 人，共有 C26种选取方法；若 5 号与 14 号是编号较大的 2 个人，则应再从 1 号～4 号这 4 个人中任选 2 人，共有 C24种选取方法，故一共有 C26＋C24＝15＋6＝21 种选取 种数． 答案：(1)D (2)21
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例 3：解析：(1)二项式x12－15 展开式的通项为： Tr＋1＝Cr5x125－r·(－1)r＝Cr5·x2r－10·(－1)r. 当 2r－10＝－2，即 r＝4 时， 有 x2·C45x－2·(－1)4＝C45×(－1)4＝5； 当 2r－10＝0，即 r＝5 时，有 2·C55x0·(－1)5＝－2. 所以展开式中的常数项为 5－2＝3.
他的数位上的数字只能是 0,1,2,3，因此集合 A＝{0,1,2,3}，于是
由集合 A 中的数字可组成无重复数字的四位偶数的个数是
A33＋2×2＝10(注：A33表示的是个位上的数字是 0 的满足题意的
四位数的个数；2×2 表示的是个位上的数字不是 0 的满足题意
的四位数的个数)．
答案：10
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4．选 C ∵(1－2x)2 013＝a0＋a1x＋…＋a2 013x2 013(x∈R)，
有 A33种排法；第二步排列每个家庭中的三个成员，共有 A33A33A33 种排法．由乘法原理可得不同的坐法种数有 A33A33A33A33.
3．选 B 若选 0，则 0 只能在十位，此时组成的奇数的个数是 A32；
第二部分 专题六 第二讲 排列、组合与二项式定理(选择、填空题型)
(5)对二项式(a－b)n展开式的通项公式要特别注意符号问题. 返回
4．若(1－2x)
2 013
＝a0＋a1x＋„＋a2 013x
2 013
a1 a2 (x∈R)，则 2 ＋22＋ ( )
a2 013 „＋22 013的值为 A． 2 B． 0
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2．在2012年某大学的小语种提前招生考试中，某中学共获得
了5名推荐名额，其中俄语2名，日语2名，西班牙语1名，并 且日语和俄语都要求必须有男生参加考试．学校通过选拔定 下3男2女五个推荐对象，则不同的推荐方案共有 A．48种 B．36种 ( )
C．24种
解析：选 C
3 3
D．12种
分两类：第一类，参加西班牙语考试的是男
a5为实数，则a3＝____________.
[思路点拨]
(1)(2)利用二项展开式的通项求解；
(3)可将x转化为(1＋x)－1.
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[规范解答]
x
1 5 (1)二项式x2－1 展开式的通项为：
r 1 5－r r 2r－10 r Tr＋1＝C5 2 · (－1) ＝C5· x · (－1)r.
解析：选 C 完成这件事可以分两步，第一步排列三个家庭
3 的相对位置，有A3种排法；第二步排列每个家庭中的三
3 3 3 个成员，共有A 3 A 3 A 3 种排法．由乘法原理可得不同的坐法
3 3 3 3 种数有A3A3A3A3.
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3．(2012· 北京高考)从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字， 组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为 A．24 B．18 ( )
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(2)要确保5号与14号入选并被分配到5号与14号是选出的4人中
高考数学二轮复习 第一部分 送分专题 第6讲 排列、组合、二项式定理课件 理
(3)(2018·高考全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技
比法赛一，：且按至参少加有的1女位生女人生数入可选分，两则类不：同只的有选1法位共女有生_参__加1_6_有__C_
1 2
种C24．种(，用有数2字位填女写生答参案加) 有C22C14种．故共有C21C24＋C22C14 ＝2× 6
＋4＝16(种)．
法二：间接法．从2位女生，4位男生中选3人，共有C
3 6
种情
况，没有女生参加的情况有C
3 4
种，故共有C
3 6
－C
3 4
＝20－4＝
16(种)．
(若4)四(20位17数·高都考不天是津偶卷数)用，数其字四位 1,2数,3为,4,5A,456＝,7,182,90组，成没有重复数 字若，其且中至有多一有位一为个偶数数字为是C53偶C14数A44的＝四96位0. 数，这样的四位数一共
2 5
×23－C
3 5
C×．242＝0 10×(8－4)＝40D. ．80
(A3x．)2(＋21002x185的·高展考开全式国的卷通Ⅲ项B)x．公2＋2式02x为5的Tr展＋1＝开式Cr5中 ·(xx2)45的－r系·2x数r＝为( C ) CC．r5·24r0·x10－3r，令10－3r＝D．4，80 得r＝2.故展开式中x4的系数为C52·22＝40.
1 2
[f(1)＋f(－1)]，偶数项系数和为
1 2
[f(1)－
f(－1)]．
命题点：1.有关人员的分组分配的排列与组合.2.有关数字
型因的为排安列排与3名组志合愿.3者.与完其成他4知项识工结作合，的每排人列至与少组完合成．1项，每项 工作由1人完成，所以必有1人完成2项工作．先把4项工作分 (1)(2017·高考全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至 少成完3组成，1项即，2,1每,1项，工有作C24由AC22121C人11＝完6成种，，则再不分同配的给安3个排人方，式有共A有33＝6
第六章排列、组合、二项式定理知识点+基础练习
第六章排列、组合与二项式定理【第一节计数原理及排列】P57【知识清单】1.计数的基本原理分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+m n种不同的方法.分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×m n种不同的方法.2.加法原理与乘法原理的区分做一件事，任务没有完成用乘法，任务完成用加法.3.排列的定义从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列.如果m<n，这样的排列叫做选排列；如果m=n，这样的排列叫做全排列.4.排列数从n个不同的元素中，取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排列数，用A m n表示.5.计算公式（1）A m n=n（n－1）（n－2）…（n－m+1）=!; ()! nn m（2）A n n=n！，规定：0！=1.特征：①根据位置选元素或根据元素选位置；②特殊位置（元素）“优先法”；③相邻问题“捆绑法”；④不相邻问题“插空法”；⑤前后问题“折半法”.【白皮作业本练习】16.某机械厂生产一个零件要经三道工序，能操作第一道工序的人有6人，能操作第二道工序的人有4人，能操作第三道工序的人有7人，问完成这一个零件有多少种安排方法？17.用1,2,3,4,5这五个数字组成无重复数字的自然数，问：（1）可以组成多少个自然数？（2）可以组成多少个大于3000的偶数？18.现有5名男生和4名女生排成一排.（1）若男生甲站在女生乙的左边，男生丙站在乙的右边（甲、乙、丙可以不相邻），有多少种不同的站法？（2）若男生甲站在中间，女生乙站在排头或排尾，有多少种不同的站法？（3）若男生必须在一起，女生也必须在一起，有多少种不同的站法？（4）若男女生必须相间排列，则有多少种不同的站法？【第二节组合】P59【知识清单】1.定义从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同的元素中取出m 个元素的一个组合.2.组合数从n个不同的元素中，取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的组合数，用C m n表示.3.有关公式110A C ==A C =C C =C +C .C =1.m m n nm m m n m n n m m m-n+n n n n m n m --！（1）；！（）！（2）；（3）规定：【白皮作业本练习】16.某校高三年级为丰富同学们的文体生活，决定举行年级拔河比赛，每班参赛人数为15人，其中男生10人，高三（1）班有男生35人，女生15人，现要组队参赛，根据班级同学身体素质分析，男生,,,,A B C D E 五人必须参赛，另有10名男生只适合做后勤不参赛，女生甲和乙也一定要参赛，还有三名女生因另有任务不参赛，求高三（1）班共有多少种组队方法？17.现有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下各有多少种分法.（1）甲得4本，乙得3本，丙得2本；（2）一人得4本，一人得3本，一人得2本；（3）甲、乙、丙各得3本.18.某旅游团要从8个风景点中选3个作为五一假期三日游的目的地.（1）共有多少种不同的选法？（2）其中甲、乙两个风景点必须且只能选一个，则不同的选法有多少种？（3）其中甲、乙两个风景点至多选一个，则不同的选法有多少种？【第三节排列、组合的应用】P61【知识清单】1.排列问题大致分为两类（1）不含限制条件的简单排列问题，可依题意利用公式求得结果；（2）带限制条件的排列问题，一般可采取两种途径计算：直接法、间接法.2.两种典型的排列问题及其处理方法（1）元素相邻问题，一般用捆绑法；（2）元素不相邻问题，一般用插空法.3.组合问题（1）不含限制条件的组合问题，可直接利用公式求解；（2）含有限制条件的组合问题.4.典型的组合应用问题（1）“含”与“不含”问题；（2）至多（至少）含某类元素中r个元素的组合问题.5.排列与组合的区分排列与顺序有关，组合与顺序无关.【白皮作业本练习】16.某班作文课外兴趣小组共有15人，9名男生，6名女生，其中1名为组长，现要选3人参加作文竞赛，分别求出满足下列各条件的不同选法数.（1）要求组长必须参加；（2）要求选出的3人中至少有1名女生；（3）要求选出的3人中至少有1名女生和1名男生.17.分别求出符合下列要求的不同排法的种数：（1）6名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；米接力赛，甲不跑第一棒，乙不跑第四棒；（2）从6名运动员中选出4人参加4100（3）6人排成一排，甲、乙不相邻.18.某企业科室有8名工作人员，其中男生5名，女生3名，现要选3名工作人员元旦值班.（1）恰好有1名男工作人员，有多少种不同的选法？（2）至少有1名男工作人员，有多少种不同的选法？（3）至少有1名男工作人员和1名女工作人员，有多少种不同的选法？【第四节二项式定理】P63【知识清单】【白皮作业本练习】16.求281(2x x +的展开式中第4项的二项式系数和系数.17.已知1(2nx x -的展开式中的第4项为常数项，求展开式中的第3项.18.已知()n x y -的展开式共有10项，且第4项与第6项的值相等，0xy ≠，求x y的值.【第五节二项式系数的性质】P65【知识清单】1.二项式系数的性质（1）与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C m n =C n-m n；（2）+1C m n =C m n +-1C m n ，可结合杨辉三角形，除两端外，都等于它肩上两数之和；（3）奇“双”偶“单”：当n 为奇数时，中间两项T +12n ，T +32n 的二项式系数最大；当n 为偶数时，中间一项T +12n 的二项式系数最大.（4）012C +C +C ++C =2n n n n n n ；02131C +C +=C +C +=2.n-n n n n 2.区分（1）求二项展开式中所有二项式系数之和：012C +C +C ++C =2n n n n n n ；（2）求二项展开式中所有系数之和：用赋值法，令未知数等于1代入原式.【白皮作业本练习】16.求81)+的展开式中二项式系数最大的项.17.若2)nx +的展开式中只有第5项的二项式系数最大，求：（1）n 的值；（2）展开式中含x 的项.18.已知6260126(21)x a a x a x a x +=++++ ，求：（1）0a 的值；（2）123456a a a a a a +++++的值;（3）展开式中的二项式系数最大的项.。
高中数学知识点清单第六章排列、组合与二项式定理
3.排列的定义
从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的
顺序排成一列，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一
个排列.如果m<n，这样的排列叫做选排列；如果m=n，这样
的排列叫做全排列.
4.排列数
从n个不同的元素中，取出m（m≤n）个元素的所有排列的
个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排列数，用
A
m n
表示.
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5.计算公式
（1）A
m n
=n（n－1）（n－2）…（n－m+1）=
(n n!m)!;
（2）A
n n
=n！，规定：0！=1.
特征：①根Байду номын сангаас位置选元素或根据元素选位置；
②特殊位置（元素）“优先法”；
③相邻问题“捆绑法”；
④不相邻问题“插空法”；
⑤前后问题“折半法”.
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第二节 组合 1.理解组合的意义，掌握组合数的计算公式. 2.理解组合数的两个性质，能运用组合的知识解决一些简单 的应用问题.
（2）Cmn =Cnnm；
（3）Cmn+1 =Cmn +Cmn -1.
规定：C0n =1.
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第三节 排列、组合的应用 1.能正确区分排列问题与组合问题. 2.能运用排列组合知识解决一些简单的应用问题.
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1.排列问题大致分为两类 （1）不含限制条件的简单排列问题，可依题意利用公式求 得结果； （2）带限制条件的排列问题，一般可采取两种途径计算： 直接法、间接法. 2.两种典型的排列问题及其处理方法 （1）元素相邻问题，一般用捆绑法； （2）元素不相邻问题，一般用插空法. 3.组合问题 （1）不含限制条件的组合问题，可直接利用公式求解； （2）含有限制条件的组合问题.
第1讲 排列与组合、二项式定理
第三类，没有任教的老师来自于只能任教《矩阵与变换》 的 3 位老师中的一位，则需从三门课都能任教的 2 位老 师中选 1 位来补充，共有 3×2 种选法； 第四类，没有任教的老师来自于只能任教《开关电路与 布尔代数》的 3 位老师中的一位，则需从三门课都能任 教的 2 位老师中选 1 位来补充，共有 3×2 种选法，故 共有 2＋2＋3×2＋3×2＝16（种）选法．
主干知识梳理
1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理 如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类 加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干 步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原 理将各步的方法种数相乘．
2．排列与组合 (1)排列：从 n 个不同元素中，任取 m(m≤n)个元素， 按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中 取出 m 个元素的一个排列．从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数公式是 Amn ＝n(n－1)(n－2)…(n－ m＋1)或写成 Amn ＝(n－n！m)！. (2)组合：从 n 个不同元素中，任取 m(m≤n)个元素 组成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的 一个组合．从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合 数公式是
当 n＝14 时，展开式中二项式系数最大的项是 T8.
所以 T8 的系数＝C71412727＝3 432. (2)因为 C0n＋C1n＋C2n＝79，所以 n＝12 或 n＝－13(舍去)． 设 Tk＋1 项的系数最大．
因为12＋2x12＝1212(1＋4x)12， 所以CCk1k12244kk≥≥CCk1k1－＋22 1144kk－＋11 ，所以 9.4≤k≤10.4.
D．48 种
解析 由于 3×3 方格中，每行、每列均没
有重复数字，因此可从中间斜对角线填起．
高中数学高考数学学习资料：专题6 第1讲 排列、组合、二项式定理
意图或列出表格，使问题形象化、直观化.
[联知识 1．排列数公式： Am n ＝n(n－1)„(n－m＋1)＝ 2．组合数公式：
串点成面]
n！ . n－m！
m nn－1„n－m＋1 n！ A n m Cn ＝ m＝ ＝ . Am m！ m！n－m！
3．组合数的性质：
m n－m m－1 m ①Cn ＝Cn ；②Cm n ＋Cn ＝Cn＋1.
[做考题
查漏补缺]
(2010· 四川高考)由1、2、3、4、5、6组成没有重复 数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是 A．72 C．108 B．96 D．144 ( )
[解析] 从 2,4,6 三个偶数中选一个数放在个位，有 C1 3种方法，将 其余两个偶数全排列，有 A2 2种排法，当 1,3 不相邻且不与 5 相邻
2 2 时有 A3 种方法， 当 1,3 相邻且不与 5 相邻时有 A A3种方法， 故满 3 2· 2 2 2 足题意的偶数个数有 C1 A2 (A3 A3)＝108 个． 3· 3＋A2·
[答案]
C
4．(2011· 临沂模拟)将5位志愿者分成3组，其中两组各2人， 另一组1人，分赴2011年深圳世界大学生运动会的三个 不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字
解析：依题意，就所剩余的一本画册进行分类计数：第一类，剩 余的是一本画册，此时满足题意的赠送方法共有 4 种；第二类，
2 剩余的是一本集邮册， 此时满足题意的赠送方法共有 C4 ＝6(种)． 因
此，满足题意的赠送方法共有 4＋6＝10(种)．
答案：B
[悟方法
触类旁通]
1．在应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步．每一 步当中又可能用到分类计数原理． 2．对于较复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当地列出示
高考数学二轮复习 第一部分 送分专题 第6讲 排列、组合、二项式定理练习 理-人教版高三全册数学试题
第6讲 排列、组合、二项式定理一、选择题1．设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( ) A ．－15x 4B ．15x 4C ．－20i x 4D ．20i x 4解析：(x ＋i)6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6x 6－r i r(r ＝0,1,2，…，6)，令r ＝2，得含x 4的项为C 26x 4i 2＝－15x 4，故选A. 答案：A2．用0,1，…，9这十个数字可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A ．243 B ．252 C ．261D ．279解析：0,1,2，…，9共能组成9×10×10＝900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648(个)，所以有重复数字的三位数有900－648＝252(个)． 答案：B3．甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则有多少种坐法( ) A ．10 B ．16 C ．20D ．24解析：一排共有8个座位，现有两人就坐，故有6个空座．因为要求每人左右均有空座，所以在6个空座的中间5个空中插入2个座位让两人就坐，即有A 25＝20种坐法． 答案：C4．二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫9x －133x 9的展开式中x 的系数等于( ) A ．84 B ．24 C ．6D ．－24解析：根据二项式定理可知，T r ＋1＝C r 9⎝ ⎛⎭⎪⎫－13r 99－＝令9－43r ＝1，得r ＝6，所以x 的系数为C 69⎝ ⎛⎭⎪⎫－136×93＝84，故选A.5．小明试图将一箱中的24瓶啤酒全部取出，每次小明在取出啤酒时只能取出3瓶或4瓶啤酒，那么小明取出啤酒的方式共有( )A．18种B．27种C．37种D．212种解析：由题可知，取出酒瓶的方式有3类，第一类：取6次，每次取出4瓶，只有1种方式；第二类：取8次，每次取出3瓶，只有1种方式；第三类：取7次，3次4瓶和4次3瓶，取法为C37，为35种．共计37种取法．故选C.答案：C6．已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝( )A．－4 B．－3C．－2 D．－1解析：(1＋x)5中含有x与x2的项为T2＝C15x＝5x，T3＝C25x2＝10x2，所以x2的系数为10＋5a ＝5，所以a＝－1，故选D.答案：D7．在二项式(1－2x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为( )A．－960 B．960C．1 120 D．1 680解析：根据题意，奇数项的二项式系数之和也应为128，所以在(1－2x)n的展开式中，二项式系数之和为256，即2n＝256，n＝8，则(1－2x)8的展开式的中间项为第5项，且T5＝C48(－2)4x4＝1 120x4，即展开式的中间项的系数为1 120，故选C.答案：C8．若x4(x＋3)8＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a12(x＋2)12，则log2(a1＋a3＋a5＋…＋a11)等于( )A．27B．28C．7 D．8解析：取x＝－1得(－1)4(－1＋3)8＝a0＋a1＋a2＋…＋a11＋a12，①取x＝－3得(－3)4(－3＋3)8＝a0－a1＋a2－…－a11＋a12，②①与②两式左、右两边分别相减得28＝2(a1＋a3＋a5＋…＋a11)，所以a1＋a3＋a5＋…＋a11＝27，所以log2(a1＋a3＋a5＋…＋a11)＝7.9．从8名网络歌手中选派4名同时去4个地区演出(每地1人)，其中甲和乙只能同去或同不去，甲和丙不同去，则不同的选派方案共有( ) A ．240种 B ．360种 C ．480种D ．600种解析：分两步，第一步，先选4名网络歌手，又分两类，第一类，甲去，则乙一定去，丙一定不去，有C 25＝10种不同选法，第二类，甲不去，则乙一定不去，丙可能去也可能不去，有C 46＝15种不同选法，所以不同的选法有10＋15＝25(种)．第二步，4名网络歌手同时去4个地区演出，有A 44＝24种方案．由分步乘法计数原理知不同的选派方案共有25×24＝600(种)． 答案：D10．若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9·(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为( ) A ．1或－3 B ．－1或3 C ．1D ．－3解析：令x ＝0，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2＋m )9，令x ＝－2，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＝m 9，所以(2＋m )9m 9＝39，即m 2＋2m ＝3，解得m ＝1或－3.答案：A11．某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有( ) A ．80种 B ．90种 C ．120种D ．150种解析：有两类情况：①其中一所学校3名教师，另两所学校各一名教师的分法有C 35A 33＝60种；②其中一所学校1名教师，另两所学校各两名教师的分法有C 15×C 242×A 33＝90种．所以共有60＋90＝150种．故选D. 答案：D12．两对夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为( ) A ．48 B ．36 C ．24D ．12解析：分三步：①先分派两位爸爸，必须一首一尾，有A 22＝2种排法；②两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有A 22＝2种排法；③将两个小孩与两位妈妈进行全排列，有A 33＝6种排法．则共有2×2×6＝24种排法．故选C. 答案：C 二、填空题13．若⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a x 4展开式的常数项为54，且a >0，则a ＝__________. 解析：依题意，二项式⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a x 4的展开式的通项T r ＋1＝C r 4·(x )4－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x r ＝C r 4·a r ·x 2－r .令2－r ＝0得r ＝2.因此，二项式⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a x 4的展开式中的常数项是T 3＝C 24·a 2＝6a 2＝54，a 2＝9.又a >0，因此a ＝3.答案：314．若直线x ＋ay －1＝0与2x －y ＋5＝0垂直，则二项式⎝⎛⎭⎪⎫ax 2－1x 5的展开式中x 4的系数为__________．解析：由两条直线垂直，得1×2＋a ×(－1)＝0，得a ＝2，所以二项式为⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 5，其通项T r ＋1＝C r 5(2x 2)5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r 25－r C r 5x 10－3r，令10－3r ＝4，解得r ＝2，所以二项式的展开式中x 4的系数为23C 25＝80. 答案：8015．现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有__________种．(用数字作答)解析：第一类，把甲、乙看作一个复合元素，另外3人分成两组，再分配到3个小组中，有C 23A 33＝18种；第二类，先把另外的3人分配到3个小组，再把甲、乙分配到其中2个小组，有A 33A 23＝36种，根据分类加法计数原理可得，共有36＋18＝54种． 答案：5416．从1,3,5,7,9中任取2个数，从0,2,4,6中任取2个数组成没有重复数字的四位数，若将所有个位是5的四位数从小到大排成一列，则第100个数是__________． 解析：①形如“1××5”，中间所缺的两数只能从0,2,4,6中选取，有A 24＝12个． ②形如“2××5”，中间所缺的两数是奇偶各一个，有C 14C 13A 22＝24个．③形如“3××5”，同①有A24＝12个．④形如“4××5”，同②，也有C14C13A22＝24个，⑤形如“6××5”，也有C14C13A22＝24个，以上5类小于7 000的数共有96个．故第97个数是7 025，第98个数是7 045，第99个数是7 065，第100个数是7 205. 答案：7 205。
高考数学二轮复习课件专题6-排列、组合与二项式定理、概率与统计(大纲版文科)
专题六│ 近年高考纵览
第18讲
排列、组合与二项式定理
第18讲
排列、组合与 二项式定理
第18讲 │ 主干知识整合
主干知识整合
1．排列、组合 (1)对排列与组合定义的理解：排列的定义包含两个基本内容， 一是“取出不同元素”；二是“按照一定顺序”，其中“一定顺序” 表示与位置有关，这里的位置应该由具体问题的性质和条件来决 定． 组合的定义也包含两个基本内容， 一是“取出元素”； 二是“并 成一组”，其中“并成一组”表示与顺序无关． (2) 求解排列、组合的应用题，要善于“分析”“分辨”“分 类”“分步”，从多角度考虑． ①“分析”就是找出题目的条件、结论，找准解决问题的切入 点：是从位置考虑还是从元素考虑；是从正面考虑还是从问题的对 立面考虑．
第18讲 │ 要点热点探究
要点热点探究
►
探究点一
有限制条件的排列、组合问题
例 1[2011· 全国卷] 4 位同学每人从甲、乙、丙 3 门课程中选修 1 门，
则恰有 2 人选修课程甲的不同选法共有( ) A．12 种 B．24 种 C．30 种 D．36 种
【分析】 先选出 2 人，再按要求选定课程．
排列、组合与二 项式定理、概率与统计
专题六
第18讲 第19讲
排列、组合与二项式定理 概率
第20讲 统计
专题六 排列、组合与二 项式定理、概率与统计
专题六 │ 知识网络构建
知识网络构建
专题六│ 考情分析预测
考情分析预测
考向预测
排列、 组合与二项式定理在高中数学所占的比重不大， 但它们是高 等数学的基础， 能够很好地考查学生分析问题的能力， 因此一直是高考 的必考内容，一般在高考中以选择、填空题的形式出现，概率与统计主 要考查的内容有：等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、 相互独立事件同时发生的概率、 n 次独立重复试验恰好发生 k 次的概率 及离散型随机变量的分布列、 期望与方差等； 统计知识则主要考查抽样 方法、 频率分布直方图、 正态分布等， 主要以选择、 填空题的形式出现， 在高考中所占的比重大于 10%，一般会有一道选择题或填空题与一道 解答题．预计 2012 年高考对本部分知识的考查仍会延续往年的命题风 格，主要考查以下几点：
【高中数学】排列组合与二项式定理(附解析)
专题17 排列组合与二项式定理基础巩固一、选择题1．已知7270127(1)x a a x a x a x -=++++则127a a a ++⋯+=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．22．在(61的展开式中，x 的系数等于（ ）A ．6B ．10C ．15D ．203．某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有5位同学只会用综合法证明，有3位同学只会用分析法证明，现任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数有（ ）种．A ．8B ．15C ．18D ．304．两人进行乒乓球比赛，先赢三局着获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（ ）A ．10种B ．15种C ．20种D ．30种5．在1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，如果第32项的系数与第72项的系数相等，则展开式的中间一项可用组合数表示为（ ）A ．52104CB ．52103CC ．52102CD ．51102C6．若532m m A A =，则m 的值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8二、填空题7．若()()202022020012202012x b b x b x b x x R -=++++∈，则20201222020222b b b +++的值为______. 8．用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有_______个．（用数字作答）9．已知()6x a +的展开式中所有项系数和为64，其中实数a 为常数且0a <，则a =________.10．某班同学准备参加学校在假期里组织的“社区服务”、“进敬老院”、“参观工厂”、“民俗调查”、“环保宣传”五个项目的社会实践活动，每天只安排一项活动，并要求在周一至周五内完成．其中“参观工厂”与“环保宣讲”两项活动必须安排在相邻两天，“民俗调查”活动不能安排在周一．则不同安排方法的种数是________．知能提升一、选择题11．若2020220200122020(12)x a a x a x a x -=+++⋯+，则下列结果不正确的是（ ）A ．01220201a a a a +++⋯+=B ．20201352019132a a a a -++++⋯+=C ．20200242020132a a a a ++++⋯+=D ．202012220201222a a a ++⋯+=- 12．式子22223459C C C C ++++=（ ）A ．83B ．84C ．119D ．12013．我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律，去掉所有为1的项，依次构成2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，6…，则此数列的前50项和为（ ）A ．2025B ．3052C ．3053D ．3049二、填空题14．2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足和医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援若将4名医生志愿者分配到两家医院（每人去一家医院，每家医院至少去1人），则共有__________种分配方案.15．若6(1)2xx ⎛+- ⎝展开式中的常数项是60，则实数a 的值为_____． 专题17 排列组合与二项式定理基础巩固一、选择题1．已知7270127(1)x a a x a x a x -=++++则127a a a ++⋯+=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】C【解析】由7270127(1)x a a x a x a x -=++++令0x =得：70(01)a -=，则01a =-令1x =得：70127(11)a a a a -=++++所以01270a a a a ++++=，则12701a a a a ++=-+=故选C2．在(61的展开式中，x 的系数等于（ ）A ．6B ．10C ．15D ．20【答案】D【解析】(61的展开式通项为3166rrr r r T C Cx+=⋅=⋅，令13r=，得3r =.因此，在(61的展开式中，x 的系数等于3620C =.故选D.3．某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有5位同学只会用综合法证明，有3位同学只会用分析法证明，现任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数有（ ）种．A ．8B ．15C ．18D ．30【答案】A【解析】由题意知本题是一个分类计数问题，解决问题分成两个种类，一是可以用综合法证明，有5种方法， 一是可以用分析法来证明，有3种方法， 根据分类计数原理知共有3+5＝8种结果， 故选A ．4．两人进行乒乓球比赛，先赢三局着获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（ ）A ．10种B ．15种C ．20种D ．30种【答案】C【解析】某一个队获胜可以分成3中情况，得分3:0,4:1,5:2；方法数为2213421+)20.C C C +⋅=（故选C5．在1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，如果第32项的系数与第72项的系数相等，则展开式的中间一项可用组合数表示为（ ）A ．52104CB ．52103CC ．52102CD ．51102C【答案】D【解析】二项式1n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的通项公式为211rr n r r n rr n n T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为第32项的系数与第72项的系数相等，所以3171n n T T =，所以3171102n =+=，所以展开式的中间一项可用组合数表示为51102C 故选D6．若532m m A A =，则m 的值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】A【解析】由532m m A A =，得(1)(2)(3)(4)2(1)(2)m m m m m m m m ----=--，且5m ≥所以(3)(4)2m m --=即27100,5m m m -+=∴=或2(5m m =≥舍去）. 故选A二、填空题7．若()()202022020012202012x b b x b x b x x R -=++++∈，则20201222020222b b b +++的值为______. 【答案】1-【解析】令0x =得，1=0b ； 令()()202022020012202012x b b x b x b x x R -=++++∈中12x =得， 20202020122202011212222b b b ⎛⎫-⨯=++++⎪⎝⎭， 所以202012220201222b b b +++=-. 故填1-8．用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有_______个．（用数字作答）【答案】14【解析】由题意知本题是一个分类计数问题， 首先确定数字中2和3 的个数，当数字中有1个2，3个3时，共有14C 4=种结果，当数字中有2个2，2个3时，共有246C =种结果， 当数字中有3个2，1个3时，共有有14C 4=种结果，根据分类加法原理知共有4+6+4=14种结果. 故填149．已知()6x a +的展开式中所有项系数和为64，其中实数a 为常数且0a <，则a =________.【答案】3-【解析】因为()6x a +的展开式中所有项系数和为64，所以()661=642,12,1a a a +=∴+=±∴=（舍去）或3a=-.所以3a =-.故填3-.10．某班同学准备参加学校在假期里组织的“社区服务”、“进敬老院”、“参观工厂”、“民俗调查”、“环保宣传”五个项目的社会实践活动，每天只安排一项活动，并要求在周一至周五内完成．其中“参观工厂”与“环保宣讲”两项活动必须安排在相邻两天，“民俗调查”活动不能安排在周一．则不同安排方法的种数是________．【答案】36【解析】把“参观工厂”与“环保宣讲”当做一个整体，共有4242A A 48=种，把“民俗调查”安排在周一，有3232A A 12⋅=， ∴满足条件的不同安排方法的种数为481236-=， 故填36．知能提升一、选择题11．若2020220200122020(12)x a a x a x a x -=+++⋯+，则下列结果不正确的是（ ）A ．01220201a a a a +++⋯+=B ．20201352019132a a a a -++++⋯+=C ．2020024*******a a a a ++++⋯+=D ．202012220201222a a a ++⋯+=- 【答案】B【解析】由题意，二项展开式2020220200122020(12)x a a x a x a x -=+++⋯+，令1x =，可得01220202020(12)1a a a a +++⋯+-==，①令1x =-，可得2020012202020203(123)a a a a a -=+-++⋯+=，②令0x =，可得20020(10)1a =-=，③由①-②，可得20201352019132a a a a -+++⋯+=， 由①+②，可得2020024*******a a a a ++++⋯+=， 令12x =，可得20202020120220201(12)12222a a a a +++⋯+=-⨯=， 所以202012220201222a a a ++⋯+=-. 综上可得，A 、C 、D 是正确的，B 是错误的. 故选B.12．式子22223459C C C C ++++=（ ）A ．83B ．84C ．119D ．120【答案】C【解析】由题意，根据组合数的计算公式111rr r n n n C C C ++++=，可得22223459C C C C ++++=32222334591C C C C C +++++-322244591C C C C =++++-32235591011119C C C C =+++-==-=.故选C .13．我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律，去掉所有为1的项，依次构成2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，6…，则此数列的前50项和为（ ）A ．2025B ．3052C ．3053D ．3049【答案】D【解析】去除所有为1的项后,由图可知前n 行共有(1)2n n +个数, 当n =10时,10(101)552⨯+=,即前10行共有55个数.因为第n -1行的和为12122n n n n n C C C -+++=-,所以前10行的和为231112(22)(22)(22)2244072-+-++-=-=.因为第10行最后5个数为1011C ,911C ,811C ,711C ,611C ,所以此数列的前50项的和为4072-11-55-165-330-462=3049. 故选D.二、填空题14．2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足和医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援若将4名医生志愿者分配到两家医院（每人去一家医院，每家医院至少去1人），则共有__________种分配方案.【答案】14【解析】由题先将4名医生分成2组，有22142422C C C A +437=+=种， 再分配的两家医院有22714A =种.故填1415．若6(1)2xx ⎛+- ⎝展开式中的常数项是60，则实数a 的值为_____． 【答案】2±【解析】因为62x ⎛- ⎝的通项公式为： 16(1)r rr T C +=-⨯⨯636626(1)22rrr r r r r x C a x ---+⎛⎫⨯=-⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭， 若得到常数项，当(1)x +取1时，令3602r -=，当(1)x +取x 时，令3612r -=-， 解得4r =或143r =（舍），所以4r =，因为6(1)2x x ⎛+⋅- ⎝展开式的常数项为60，所以446446(1)260C a -+-⨯⨯⨯=， 解得2a =±．故填2±。