勾股定理的应用教学设计张丹
北师大版八年级数学上册：1.3《勾股定理的应用》教案
北师大版八年级数学上册：1.3《勾股定理的应用》教案一. 教材分析《勾股定理的应用》是北师大版八年级数学上册第一章第三节的内容。
本节课主要让学生掌握勾股定理在实际问题中的应用，培养学生的解决问题的能力。
教材通过引入古希腊数学家毕达哥拉斯的故事，引导学生探索直角三角形斜边与两直角边的关系，从而引入勾股定理。
学生通过观察、实验、猜想、验证等过程，体验数学的探索乐趣，提高解决问题的能力。
二. 学情分析学生在七年级已经学习了直角三角形的性质，对直角三角形的边长关系有一定了解。
但勾股定理的应用涉及实际问题，对学生来说是一个新的挑战。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高解决问题的能力。
三. 教学目标1.理解勾股定理的含义，掌握勾股定理在直角三角形中的应用。
2.能够运用勾股定理解决实际问题，提高解决问题的能力。
3.培养学生的合作、交流、探究能力，体验数学探索的乐趣。
四. 教学重难点1.重难点：勾股定理的应用。
2.难点：如何将实际问题转化为勾股定理的形式，求解问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生探究勾股定理的应用。
2.运用合作学习法，让学生在小组内讨论、交流，共同解决问题。
3.采用启发式教学法，教师提问、学生回答，激发学生的思维。
4.利用多媒体辅助教学，展示勾股定理的应用实例。
六. 教学准备1.准备相关课件、教学素材。
2.设计好教学问题，准备好答案。
3.安排好教学过程中的各个环节。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示勾股定理的动画故事，引导学生了解勾股定理的背景。
同时，提问学生：“你们认为直角三角形的斜边与两直角边有什么关系？”2.呈现（10分钟）教师提出一组实际问题，如：“一个直角三角形的两条直角边分别为3cm和4cm，求斜边的长度。
”让学生尝试解决。
学生在解决过程中，发现无法直接运用已知的直角三角形性质解决问题，从而引出勾股定理。
3.操练（10分钟）教师提出多个关于勾股定理的应用问题，让学生在小组内讨论、交流，共同解决。
勾股定理的应用教学设计5篇
勾股定理的应用教学设计5篇第一篇：《勾股定理的应用》教学设计《勾股定理的应用》教学设计——解决立体图形外表上最短路线的问题__县第_中学李政法一、内容及内容解析1、内容勾股定理的应用——解决立体图形外表上最短路线的问题。
2、内容解析本节课是勾股定理在立体图形中的一个拓展，在初中阶段，勾股定理在求两点间的距离时，沟通了几何图形和数量关系，发挥了重要的作用，在中考中有席之地。
启发学生对空间的认知，为将来学习空间几何奠定根底。
二、教学目标1、能把立体图形依据需要局部展开成平面图形，再建立直角三角形，利用两点间线段最短勾股定理求最短路径径问题。
2、学会观看图形，勇于探究图形间的关系，培养学生的空间观念;在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想。
3、通过有趣的问题提高学习数学的兴趣;在解决实际问题的过程中，培养学生的合作交流能力，体验数学学习的有用性，增强自信心，呈现成功感。
三、教学重难点【重点】：探究、发觉立体图形展开成平面图形，利用两点间线段最短勾股定理求最短路径径问题。
【难点】：查找长方体中最短路线。
四、教学方法本课采纳学生自主探究归纳教学法。
教学中，学生充分运用多媒体资源及大量的实物教具和学具，通过观看、思考、操作，归纳。
五、教学过程【复习回忆】右图是湿地公园长方形草坪一角，有人避开拐角在草坪内走出了一条小路，问这么走的理论依据是什么？若两步为1m，他们仅仅少走了几步？目的：1、复习两点之间线段最短及勾股定理，为新课做预备；2、激起学生爱护环境意识和对核心价值观“文明、友善”的践行。
思考：如图，立体图形中从点A到点B处，怎样找到最短路线呢？目的：引出课题。
【台阶中的最值问题】三级台阶示意图如图，每级台阶的长、宽、高分别为5dm、3dm和1dm，请你想一想，一只蚂蚁从点A动身，沿着台阶面爬行到点B，爬行的最短路线是多少？老师活动：假如A、B两点在同一个平面上，直接连接两点即可求出最短路。
苏科版数学八年级上册《3.3 勾股定理的简单应用》教学设计2
苏科版数学八年级上册《3.3 勾股定理的简单应用》教学设计2一. 教材分析《苏科版数学八年级上册》第三单元《勾股定理的简单应用》是学生在学习了勾股定理之后的一个应用部分。
这部分内容主要让学生通过实际问题，运用勾股定理解决生活中的问题，培养学生的数学应用能力。
教材通过丰富的例题和练习题，让学生在解决实际问题的过程中，加深对勾股定理的理解和记忆。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了勾股定理，对勾股定理的基本概念和运用有一定的了解。
但是，对于一些生活中的实际问题，如何运用勾股定理来解决，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生的数学应用能力。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握勾股定理的基本概念，能够运用勾股定理解决实际问题。
2.过程与方法：通过解决实际问题，培养学生运用数学知识解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：让学生体验数学在生活中的应用，提高学生学习数学的兴趣。
四. 教学重难点1.重点：让学生能够运用勾股定理解决实际问题。
2.难点：如何引导学生将实际问题与勾股定理相结合，提高学生的数学应用能力。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过引导学生解决实际问题，让学生在解决问题的过程中，运用勾股定理，提高学生的数学应用能力。
同时，采用小组合作的学习方式，让学生在讨论和交流中，共同解决问题，培养学生的合作意识。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于课堂上引导学生解决。
2.准备PPT，用于展示问题和引导学生思考。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引发学生的思考，引出本节课的主题。
例题：一块直角三角形的木板，两条直角边的长度分别是3分米和4分米，那么这块木板的最大面积是多少？2.呈现（10分钟）呈现PPT，展示问题，引导学生思考如何解决这个问题。
3.操练（10分钟）学生独立思考，尝试解决PPT上的问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
《17.3.2勾股定理的应用》教案设计
八年级的部分学生，能够掌握勾股定理，并能熟练理解和掌握，部分学生还要多加已练习，简单的已知直角三角形任意两边求第三边都能解决，但在一些实际生活中的题目，还要多加以练习，我计划采用优生带差生的方法，来鼓励学生共同学习。本课贴近生活，学生的学习兴趣浓厚。
教学目标：
知识与技能：
1.理解勾股定理，并能用多种方法证明勾股定理.认识勾股定理是直角三角形特有的三边关系定理.
（运用勾股定理来计算电视机对角线长度）
从而引出课题“勾股定义的应用”
贴近生活，帮老师想办法，引发学生思考，提高学习兴趣。
二
、
明
目
标
学生领会。
运用勾股定理去解决生活中的问题。
帮助学生明确学习目标，使学生对本节课的学习任务和努力的方向更明确。
三
由浅至深，步步深入，提高勾股定理的运用能力
阅读题目，解决问题。（抢答形式）
从简单入手，为引入下一题做准备。
从笑话入手，来给学生一个做题思路，来解决问题，合作学习。
小组合作完成，同学黑板板演解题过程。
各小组公共完成一个完成的解题过程
小组提出板演的书写问题。
学生自己完成
（点名学生讲解）
完成后帮助同座，前后桌同学
例二：“梯子滑到了”
幻灯演示
讲解这道题的解题过程，强化书写。
练习：“测量旗杆高度”
教学重点、难点：
重点：勾股定理的应用
难点：在应用中勾股定理与其它三角形知识的有机结合.
课前媒体：多媒体
课时安排：1课时
教学过程：
教学环节
学生活动
教师活动Байду номын сангаас
设计意图
一
、
入
新
勾股定理的应用教学设计
《勾股定理的应用》教学设计一、教学设计理念随着社会的发展，新课程改革的不断深入，数学课已不仅是一些数学知识的学习，更重要的是体现知识的认知发展过程。
教育的目的是培养具有独立思考能力、具有实践精神和创新能力的人。
一堂好课应该是学生最大限度参与的课。
《数学课程标准》中指出学生的数学学习应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，内容要有利与学生主动进行观察、实验、猜想、验证、推理与交流。
内容的呈现应采取不同的表达方式，以满足多样化的学习需求。
数学活动不能单纯的依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。
教学中通过发现学生问题，用温故知新的方式解决问题。
尤其是在知识点上通过设置追问，落实每个同学对知识的盲点，弥补对知识点掌握的不足，对学生合情推理、逻辑论证进行全方位思维训练。
二、教学目标知识与技能1、能运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题。
2、通过例题的分析与解决，让学生感受勾股定理在实际生活中的应用。
过程与方法1、通过从实际问题中抽象出直角三角形这一模型，强化转化思想，培养学生解决现实问题的意识和应用能力。
2、经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，进一步体会勾股定理的应用方法。
情感、态度与价值观在数学活动中发展了学生的探究意识和合作交流的习惯；体会勾股定理的应用价值。
三、教学重点、难点重点：运用勾股定理解决实际问题。
难点：勾股定理的灵活运用。
四、学生学习情况分析：本节课是在学生已经学会运用勾股定理解决简单的实际问题的基础上，进一步解决应用问题。
学生将实际问题转化为数学问题，抽象出直角三角形这一数学模型比较困难。
五、教法、学法及教学手段自主探索、合作交流、引导点拨六、媒体设计思路复习、引入新课：多媒体呈现“勾股定理内容”；自主探索：（一）、勾股定理在实际生活中的应用：多媒体呈现问题、直角三角形数学模型、解题步骤；（二）、用勾股定理解决最值问题：多媒体呈现问题及圆柱展开图、直角三角形数学模型；（三）勾股定理在几何中的活用：多媒本呈现问题、辅助线；课堂小结：多媒体呈现对本节课规律方法的总结；巩固练习：多媒体呈现问题、直角三角形数学模型。
北师大初中数学八上《13勾股定理的应用》word教案(5)
《勾股定理的应用》一、本节课的教学目标是：1.通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念．2.在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想．3.在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性．利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题是本节课的重点也是难点．二．课前准备教具：教材、电脑、多媒体课件．学具：用矩形纸片做成的圆柱、剪刀、教材、笔记本、课堂练习本、文具．三、教学过程本节课设计了七个环节．第一环节：情境引入；第二环节：合作探究；第三环节：做一做；第四环节：小试牛刀；第五环节：举一反三；第六环节：交流小结；第七环节：布置作业．第一环节：情境引入内容：情景1：多媒体展示：情景2：意图：通过情景1复习公理：两点之间线段最短；情景２的创设引入新课，激发学生探究热情．第二环节：合作探究内容：学生分为４人活动小组，合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论后，汇总各小组的方案，在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法，通过具体计算，总结出最短路线．让学生发现：沿圆柱体母线剪开后展开得到矩形，研究“蚂蚁怎么走最近”就是研究两点连线最短问题，引导学生体会利用数学解决实际问题的方法．意图：通过学生的合作探究，找到解决“蚂蚁怎么走最近”的方法，将曲面最短距离问题转化为平面最短距离问题并利用勾股定理求解．在活动中体验数学建摸，培养学生与人合作交流的能力，增强学生探究能力，操作能力，分析能力，发展空间观念． 效果：学生汇总了四种方案：（1） （2） （3） （4） 学生很容易算出：情形（1）中A →B 的路线长为：'AA d +，情形（2）中A →B 的路线长为：'2d AA π+所以情形（1）的路线比情形（2）要短．学生在情形（3）和（4）的比较中出现困难，但还是有学生提出用剪刀沿母线AA ’剪开圆柱得到矩形，情形（3）A →B 是折线，而情形（4）是线段，故根据两点之间线段最短可判断（4）较短，最后通过计算比较（1）和（4）即可．如图：（1）中A →B 的路线长为：'AA d +．（2）中A →B 的路线长为：''AA A B +>AB ．（3）中A →B 的路线长为：AO +OB >AB ．（4）中A →B 的路线长为：AB ．在Rt △AA′B 中，利用勾股定理可得222'B A A A AB +'=，若已知圆柱体高为12cm ，底面半径为3cm ，π取3，则22212(33),15AB AB =+⨯∴=．注意事项：本环节的探究把圆柱侧面寻最短路径拓展到了圆柱表面，目的仅仅是让学生感知最短路径的不同存在可能．但这一拓展使学生无法去论证最短路径究竟是哪条．因此教A ’ A ’ A ’学时因该在学生在圆柱表面感知后，把探究集中到对圆柱侧面最短路径的探究上．方法提炼：解决实际问题的关键是根据实际问题建立相应的数学模型，解决这一类几何型问题的具体步骤大致可以归纳如下：1．审题——分析实际问题；2．建模——建立相应的数学模型；3．求解——运用勾股定理计算；4．检验——是否符合实际问题的真实性．第三环节：做一做内容：李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD 边和BC 边是否分别垂直于底边AB ，但他随身只带了卷尺，解答：（2）222230402500AD AB +=+=22500BD =222AD AB BD ∴+=∴AD 和AB 垂直．意图：运用勾股定理逆定理来解决实际问题，让学生学会分析问题，利用允许的工具灵活处理问题．效果：先鼓励学生自己寻找办法，再让学生说明李叔叔的办法的合理性．当刻度尺较短时，学生可能会在上面解决问题的基础上，想出多种办法，如利用分段相加的方法量出AB ，AD 和BD 的长度，或在AB ，AD 边上各量一段较小长度，再去量以它们为边的三角形的第三边，从而得到结论．第四环节：小试牛刀内容：解答：如图:已知A 是甲、乙的出发点，10:00甲到达B 点，乙到达C 点．则:北东CB AAB =2×6=12（km ）AC =1×5=5（km ） 在Rt △ABC 中: 22222251216913BC AC AB =+=+==．∴BC =13（km ）． 即甲乙两人相距13 km ．解答：2222152062525AB ∴=+==.解答：设伸入油桶中的长度为x m ．则最长时: 2221.522.5x x =+=．．∴最长是2.5+0.5=3（m ）．最短时: 1.5x =．∴最短是1.5+0.5=2（m ）．答:这根铁棒的长应在2～3m 之间．第五环节：举一反三内容：解：如图，在Rt △ABC 中: 222221020AB AC BC =+=+=500．∵500＞202 .∴不能在20 s 内从A 爬到B .解答：设水池的水深AC 为x 尺，则这根芦苇长为 B ABA BCAD=AB=（x+1）尺，在直角三角形ABC中，BC=5尺.由勾股定理得:BC2+AC2=AB2.即 52+ x2=（x+1）2.25+x2= x2+2x+1.2x=24.∴x=12，x+1=13．答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺．意图：第1题旨在对“蚂蚁怎样走最近”进行拓展，从圆柱侧面到棱柱侧面，都是将空间问题平面化；第2题，学生可以进一步了解勾股定理的悠久历史和广泛应用，了解我国古代人民的聪明才智；运用方程的思想并利用勾股定理建立方程．学生能画出示意图，找等量关系，设适当的未知数建立方程．注意事项：对于普通班级而言，学生完成“小试牛刀”，已经基本完成课堂教学任务．因此本环节可以作为教学中的一个备选环节，共老师们根据学生状况选用．第六环节：交流小结内容：师生相互交流总结：1．解决实际问题的方法是建立数学模型求解．2．在寻求最短路径时，往往把空间问题平面化，利用勾股定理及其逆定理解决实际问题．意图：鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获和感想，体会到勾股定理及其逆定理的广泛应用及它们的悠久历史．第七环节：布置作业1．课本习题1．4第1，2，3题．注意事项：作业2作为学有余力的学生的思考题．附：板书设计。
3.3.勾股定理的简单应用教案
3.3勾股定理的简单应用【学习目标】：1.能运用勾股定理及其勾股定理逆定理解决实际问题。
2.在运用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学的“转化”思想（把解斜三角形问题转化为解直角三角形的问题），体会勾股定理的文化价值，增强应用意识。
【重点】利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题。
【难点】在运用勾股定理解决问题的过程中，感受数学的“转化”思想：把解斜三角形问题转化为解直角三角形。
【教学过程】一、知识回味：1.一个直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边长的平方为 ________ .2.一个三角形三边分别是6cm、8cm、IOenb这个三角形的面积为_______ cm2二、生活中的数学：问题1：已知桥面以上索塔AB的高，怎样计算AC、AD、AE、AF、AG的长.若AB=300m,BF=400m,贝UAF=m；问题2：看着冉冉升起的五星红旗,你们是否想过旗杆到底有多高呢？儿位同学想利用学过的数学知识来计算学校旗杆的高度。
方案1：旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他们把旗杆的高度计算出来吗？方案2：若同学们将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，同学们将绳子末端拉到距旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m.则旗杆的高度是多少？问题3：王老先生有两块地，通过测量数据如图，你能帮忙求出面积吗？三、总结提升四、古题赏析《九章算术》中的“折竹”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，巩固练习：1、轮船在大海中航行，它从点A 出发，向正北方向航行20km,遇到冰山后，又折向正东方向航行15km,则此时轮船距点A 的距离为km.2、有两棵树，一棵高IOnb 另一棵高4m,两树相距8m.一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，间小鸟至少飞行m.3、如图，圆柱体的高为6,底面圆周长是8,如果用一根细线从点力开始经过圆柱侧面缠绕一圈到达点8.那么所用细线最短需要cm ；4、如图，在BC 中，JB=15,JD=12,BD=9,∕C=13,求448C 的周长和面积.堪作如而而一儿肖瑞」文鹏殿强升八Z此得以液竹高而-T.H:八侏即折片之工变之地¾⅛退而也变可划上初今商，一曩去水门乘角龙郭渡之栋第^信¾∙m5、如图,今年的台风灾害中,一棵高16米大树折断,树的顶端落在离树杆底部8米处,你能知道这棵树剩下的高度吗？6、“引葭赴岸”是《九章算术》中一道题“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭.长各几何？”题意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？7、一张长方形纸片宽AB=8cm,长BC=IOcm.现将纸片折叠,使顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）,求EC的长.。
初中数学_勾股定理的应用教学设计学情分析教材分析课后反思
《勾股定理的应用》教学设计执教者指导教师学情分析本节将利用勾股定理及其逆定理解决一些具体的实际问题，其中需要学生了解空间图形、对一些空间图形进行展开、折叠等活动．学生在学习七年级上第一章时对生活中的立体图形已经有了一定的认识，并从事过相应的实践活动，因而学生已经具备解决本课问题所需的知识基础和活动经验基础．本节课的教学对象是八年级学生，他们的参与意识强，思维活跃，对于真实情境及现实生活中的数学问题具有极大的学习兴趣，而且在前面的学习中，学生已经历了探索和验证勾股定理的过程，又通过观察、操作、思考，充分认识了勾股定理的本质特征，并在此过程中，获得了初步的数学活动经验和体验，具备了一定的动手操作、合作交流和观察、分析的能力。
初步具备了有条理地思考与表达的能力。
效果分析本节课自认为成功之处：实现了学习方式的转变。
以“学案”为载体，充分利用“课前预习案”、“课上导学案”、“课后巩固案”的引导作用，调动学生学习的积极性和主动性，使学生爱学、乐学。
充分体现了“教师角色向利于学生主动、自主、探究学习方向转变，让学生实现地位、尊严、个性、兴趣解放，促成师生之间民主和谐、平等合作关系”新课改精神。
数学来源于生活，数学服务于生活。
从生活实际中得出数学知识，再回到实际生活中加以运用也是本节课的一个教学“亮点”。
在本节课预习案中的“一条路”问题有着学生非常熟悉的生活背景，使数学教学在生活情境中得以创新。
充分地调动学生学习积极性，给学生留有思考和探索的余地，让学生能在独立思考与合作交流中解决学习中的问题。
在学习中，我注意到了学生的个体差异，要求不同的学生达到不同的学习水平。
以小组为单位的合作学习解决了后进生学习难的问题，帮助他们克服了学习上的自卑心理。
同时，对于一些学有余力的学生，教师也为他们提供了发展的机会，以小老师的身份去教学困者，这样既防止他们产生自满情绪，又让他们始终保持着强烈的求知欲望，使他们在完成这种任务的过程中获得更大的发展。
八年级数学上：16.3勾股定理的应用教案(冀教版)
16.3勾股定理的应用〖教学目标〗（－）知识目标初步运用勾股定理及直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理）解决简单的实际问题. （二）能力目标1.能在实际问题中构造直角三角形，提高建模能力，进一步深化对构造法和代数计算法和理解.2. 在解决实际问题的过程中，体验空间图形展开成平面图形时，对应的点，线的位置关系，从中培养空间观念（三）情感目标通过对实际问题的有目的的探索和研究，体验勾股定理的探索活动充满创造性和可操作性，并敢于面对数学活动中的困难，运用已有知识和经验解决问题，激发学好数学的自信心．培养用数学的意识.〖教学重点〗运用勾股定理进行计算，解决实际问题.〖教学难点〗运用勾股定理进行计算，解决实际问题.〖教学过程〗一、课前布置自学：阅读课本P86~P87，试着做一做本节练习，提出在自学中发现的问题（鼓励提问）.二、师生互动（一）［师］勾股定理是数学中最重要的定理之一。
也许在数学中还找不到这样一个定理，其证明方法之多能够超过勾股定理。
卢米斯（Loomis）在他的《毕达哥拉斯定理》一书的第二版中，收集了这个定理的37O种证明并对它们进行了分类。
勾股定理同时也是数学中应用最广泛的定理之一。
至今在建筑工地上，还在用它来放线，进行“归方”，即放“成直角”的线。
正因为这样，人们对这个定理的备加推崇便不足为奇了。
尼加拉瓜在1971年发行了一套十枚的纪念邮票，主题是世界上“十个最重要的数学公式”，其中之一便是勾股定理。
现在让我们一起走进“勾股定理的应用”.［师生共析］一起交流课本P86的例1、2和P87 的“一起探究”.（让学生主动提出问题，鼓励学生自己解决课本例题，可以用课本的练习作为例题）例一艘轮船以16海里/时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以12海里/时的速度向西南方向航行，它们离开港口一个半小时后相距多远？提示：此题关键是要弄明白方位角，能据题意画出图形．方位角，上北下南，左西右东．东南方向是东、南的夹角平分线；西南方向是西、南的夹角平分线；东北方向是东、北的夹角平分线；西北方向是西、北的夹角平分线.解：由题意画草图如下．因为△ABC为直角三角形．1个半小时以后，AC＝12×1.5＝18（海里）AB＝16×1. 5＝24（海里）所以由勾股定理得AC2＋BA2＝BC2所以BC2＝182＋242 BC2＝900所以BC＝30（海里）答：它们离开港口1个半小时后相距30海里．（二）小结［师生共析］用数学知识解决实际问题，首先要把实际问题转化到一个相应的数学模型中.在这里，就是转化到直角三角形中用“勾股定理”解决，或转化到由三角形边的数量关系去识别它是不是直角三角形.在解决问题中，要将图形与数字有机地结合起来，善于发现和总结，抓住问题的本质特征. 例如：“南北向MN 为我国领海线，即MN 以西为我国领海，以东为公海，我反走私艇在A 发现一走私艇C 偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN 线上巡逻的反走私艇B 注意，经测A 、C 距离13，A 、B 距离5，B 、C 距离12．”利用画图可以帮助理解题意，发现AC ＝13，AB ＝5，BC ＝12，正好是勾股数，所以三艇构成直角三角形．（三）鼓励学生讲解教师提供的例题.（例题的设置是分层的，安排不同基础的学生尝试讲解，教师予以补充）例1 如图是一只圆柱形的封闭易拉罐，它的底面半径为4cm ， 高为15cm ，问易拉罐内可放的搅拌棒(直线型)最长可以是多长? 分析：搅拌棒在易拉罐中的位置可以有多种情形，如图中的1A B 、2A B ，但它们都不是最长的，根据实际经验，当搅拌棒的一个端点在B 点，另一个端点在A 点时最长，此时可以把 线段AB 放在Rt△ABC 中，其中BC 为底面直径．解：如图，当搅拌棒在AB 位置时最长，过B 画底面直径BC ，则在Rt△ABC 中，AC ＝15cm ， BC ＝4×2＝8cm根据勾股定理得22222215817AB AC BC =+=+=所以 AB=17答：易拉罐内可放的搅拌棒(直线型)最长为17cm ．例3 小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了lm ，当他把绳子的下端拉开5m 后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．分析： 由题意可知绳子比旗杆多lm ，把下端拉开5m 后，下端刚好接触地面，这时，旗杆AB 、绳子AC 、旗杆底点B 与绳接触地面的点C 所连结的线段BC 构成直角三角形．如图19—13如果设旗杆AB ＝x m ，则绳长AC ＝(x ＋1)m .解：设旗杆高为x m ，则绳子长(x ＋1)m 在Rt△ABC 中，AB ＝x ，AC ＝x ＋l ，BC ＝5根据勾股定理得222BC AB AC +=即()22251+=+x xm x 12=所以旗杆的高度为12m ．三、补充练习作业：P87~88习题〖分层练习〗基础知识1. （1）如图，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm ）计算两圆孔中心A 和B 的距离为.（2） 一棵大树被风刮断后折倒在地面上，如图,如果量得AC ＝6m ，CB ＝8m ．则树在刮断之前有________高（3） 如图：有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树 相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树 梢，至少飞了 米.2. 要从电线杆离地面5米处向地面拉一条13米的拉线，求地面拉线固定点A 到电线杆底部B 的距离．3．有两根木棒，它们的长度分别是40cm 和50cm ，若要钉成一个三角形木架，其中必须有一个角是直角，则所需最短的木棒长度是多少?8米 8 米2 米60 120140B 60AC74．一段长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面6m，现将梯顶沿墙面下滑1m，则梯子底端与墙面距离是否也增长1m？说明理由.综合运用5．小明把一根长为160 cm的细铁丝剪成三段，作成一个等腰三角形风筝的边框ABC(如图)，已知风筝的高AD=40 cm，你知道小明是怎样弯折铁丝的吗？6. 如图，南北向MN为我国的领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海．上午9时50分，我国反走私艇A发现正东方有一走私艇C以每小时13海里的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在线上巡逻的我国反走私艇B密切注意．反走私艇A通知反走私艇B：A和C两艇的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里．反走私艇B测得距离C艇是12海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？7. 李叔叔想要检测固定像底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但它只随身带了卷尺（只有底座ABCD）如图．（1）你能帮他解决吗？（2）要是李叔叔已经给量好：AD＝30 cm，AB＝40 cm，BD＝50 cm，AD边垂直AB边吗？（3）要是身边只有一把20 cm的刻度尺怎样解决这个问题呢？〖答案提示〗1. （1） 100mm （2） 16m （3） 10.2. 解：由勾股定理得：AB2＋BC2＝AC2AB 2＝AC 2－BC 2＝132－52＝144，所以AB ＝12．答：固定点A 到杆底的距离为12．3．30cm(提示：最短的是直角边，利用勾股定理可求得.) 4．不是lm （提示：根据题意可知AB=A B ''=10,AO=6,在Rt △ABO 中利用勾股定理可求BO=8. 在Rt △A B ''O 中可知B O '=7，利用勾股定理可求2A O '=51>49，所以梯子底端与墙面距离增长超过1m ）5．解：AB +BD =12×160=80．设AB =x cm ，则BD =(80－x )cm ，由勾股定理知AD 2+BD 2=AB 2，即402+(80－x )2=x 2，解得x =50所以AB =AC =50 cm ，BC =60 cm ．答：小明把一根长为160 cm 的细铁丝剪成50、50、60三段即可. 6. 解：设MN 与AC 相交于E ，则∠BEC＝90°，又222222AC 13125BC AB ==+=+，所以△ABC 为直角三角形，∠ABC＝90°， 因为MN⊥CE，所以走私艇进入我领海的最近距离是CE ，（认真审题是解决本题的关键）两式相减得：14413CE =， 51分钟小时）0.85小时=≈=÷（85.01691441313144，9时50分＋51分＝10小时41分． 答：走私艇C 最早在10时41分进入我国领海． 7.（1）（由于方法很多，在此列出一种供参考：） 是用卷尺测量一下AB 、BD 、AD 的长度，看看是否满足：B B'OAA'AD2＋AB2＝BD2．如果满足，则DA⊥AB于A，否则就不垂直，同理可检测CB是否垂直于AB．（2）一定垂直，因为李叔叔测得的三边正好是勾股数，所以△ABD一定是直角三角形．（3）方法很多，例如可以在AB上一段一段的测量AB，同样的办法量出BC、BD即可，从而得到结论．。
勾股定理的应用教案
勾股定理的应用教案教案标题：勾股定理的应用教案教案目标：1. 使学生了解勾股定理的基本概念和公式。
2. 培养学生运用勾股定理解决实际问题的能力。
3. 提高学生的逻辑思维和问题解决能力。
教案步骤：引入（5分钟）：1. 向学生介绍勾股定理的概念和公式，解释直角三角形的构成。
2. 引导学生思考直角三角形的特点和勾股定理的应用场景。
探究（15分钟）：1. 分发给学生一份有关勾股定理应用的练习题，要求学生自行解决问题。
2. 引导学生思考如何运用勾股定理解决问题，鼓励他们在小组内合作讨论并互相交流思路。
3. 监督学生的解题过程，及时给予指导和帮助。
总结（10分钟）：1. 邀请学生上台展示他们解决问题的方法和答案，鼓励他们分享自己的思考过程。
2. 引导学生总结勾股定理的应用场景，并与实际生活中的问题进行联系。
3. 提醒学生勾股定理只是解决实际问题的一种方法，鼓励他们探索其他解决问题的途径。
拓展（15分钟）：1. 分发给学生一份拓展练习题，要求他们独立解决并思考不同的解题方法。
2. 鼓励学生在解题过程中思考如何应用勾股定理解决更复杂的问题。
3. 邀请学生分享他们的解题思路和答案，引导他们相互学习和交流。
作业（5分钟）：1. 布置一道与勾股定理相关的作业题，要求学生独立完成并书写解题过程。
2. 强调作业的重要性，鼓励学生在家继续思考和应用勾股定理解决实际问题。
评估：1. 在探究和拓展环节中观察学生的参与度和解题能力，及时给予指导和帮助。
2. 收集学生的练习题和作业，评估他们对勾股定理的理解和应用能力。
3. 根据学生的表现，给予针对性的反馈和指导，帮助他们提高问题解决能力。
教学资源：1. 勾股定理的相关教材和练习题。
2. 黑板/白板、彩色粉笔/白板笔。
3. 学生练习纸和作业纸。
教学反思：通过本节课的教学，学生能够了解勾股定理的基本概念和公式，并能够运用勾股定理解决实际问题。
在教学过程中，我注重培养学生的合作学习和思维能力，鼓励他们思考和分享解题思路。
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16.3勾股定理的应用教学设计
教学设计思想：
勾股定理及其逆定理的应用是很广泛的，本节课除了教科书提供的例子外，还补充一个九章算术中的有趣问题，使学生进一步认识勾股定理的悠久历史和广泛应用，了解我国古代人民的聪明才智。
教学目标：
知识与技能：
能运用勾股定理及直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理）解决简单的实际问题。
过程与方法：
在解决实际问题的过程中，进一步培养从“形”到“数”和从“数”到“形”的转化，发展转化、推理能力。
情感态度价值观：
通过研究勾股定理的历史，了解中华民族文化的发展对数学发展的贡献，激发爱国热情和学习数学的兴趣。
教学重难点：
重点：利用勾股定理及逆定理，解决实际问题.
难点：利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题.
教学方法：
探究学习、合作学习
课时安排
1课时
教学用具
多媒体
教学过程：
一、创设问题情境，引入新课
师：我们学习了勾股定理和直角三角形的判别条件（即勾股定理逆定理）.一起回忆一下.
生：勾股定理：如果直角三角形两直角边是a，b，斜边为c，则a2+b2=c2.
直角三角形判别条件（即勾股定理逆定理）：a，b，c是一个三角形的三条边，如果a2+b2=c2，则这个三角形是直角三角形.
师：我们知道这两个定理非常重要.而之所以重要是因为它们是联系数学中最基本也是最原始的两个对象——数和形.由直角三角形的“形”，可得到三边关系的“数”；反过来，由三角形三边关系这个“数”，也可得到直角三角形这个“形”.更为重要的是，用它们能解决生活中的实际问题.
例如：欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需多长
的梯子？
所以至少需13米长的梯子.
师：显而易见，勾股定理及其逆定理，应用十分广泛.下面我们再来看一个例子.
二、讲授新课
例1 如图所示，为了测得湖两岸点A和点C间的距离，一个观测者在点B设立了一根标杆，使∠ACB=90°。
测得AB=200m，BC=160m。
根据测量结果，求点A、C间的距离。
分析：它对应的数学问题是什么？
例2 登山运动员在山顶一平坦处竖立起一面会旗，旗杆被系在A处的三条等长的铁索拉近紧，并分别固定在地面的C，D，E处，如图所示。
如果∠ABC=∠ABD=∠ABE=90°，那么BC，BD，BE这三条线段的长度有怎样的关系？
分析：（1）线段BC，BD，BE分别在哪些三角形中？这些三角形是直角三角形吗？
（2）这些直角三角形的边之间有怎样的关系？
（3）能由已知推出BC，BD，BE长度之间的关系吗？
三、一起探究
工人在制作铝合金窗框时，为保证窗框的四个角都是直角，有时采用如下的方法：
如图，先亮出框AB，BC的长，再量出两点A，C的距离，由此判断∠B是否直角。
1．判断∠B是否直角的依据是什么？
2．如果AB=1.2m，BC=0.9m，那么，只有当点A，C的距离为多少时，∠B才是直角呢？
引导学生思考：（1）这个实际问题可以归结为一个什么样的数学问题？
（2）你想怎样解决这个数学问题？
（3）由数学问题的解决如何解释实际问题？
四、试一试
在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？
（这是一道我国古代数学著作中记载的一个有趣的问题，让学生在全班对这个问题进行讨论，从中进一步认识勾股定理的悠久历史和广泛应用，了解我国古代人民的聪明才智）
师生共析：我们可以将这个实际问题转化成数学模型.
解：如图，
设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，由勾股定理可求得
（x+1）2=x2+52，x2+2x+1=x2+25
解得x=12
则水池的深度为12尺，芦苇长13尺。
五、小结
这节课我们利用勾股定理和它的逆定理解决了生活中的几个实际问题.我们从中可以发现用数学知识解决这些实际问题，更为重要的是将它们转化成数学模型。
六、练习
1．课后习题
2．举出生活中的一些实例，并用勾股定理解决它.
3．收集勾股定理的历史.
七、作业
习题16.3 1，2，3
八、板书设计。