几何概型典型例题

几何概型
1．(2009年高考福建卷)点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧
的长度小于1的概率为________．答案：2
3
解析：设事件M 为“劣弧
的长度小于1”，则满足事件M 的点B 可以在定点A 的两侧与
定点A 构成的弧长小于1的弧上随机取一点，由几何概型的概率公式得：P (M )＝2
3.
2．(2010年苏、锡、常、镇四市调研)已知如图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1000粒黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为600粒，则可以估计出阴影部分的面积约为________．答案：36
解析：设所求的面积为S ，由题意得6001000＝S
5×12
，
∴S ＝36.
3．在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内任取一点P ，则点P 到点A 的距离小于等于a 的概率为________．
解析：P ＝18×43πa 3a 3
＝π
6
.
答案：π6
4．(2010年扬州调研)已知集合A {x |－1<x <5}，B ＝{x |x －2
3－x
>0}，在集合A 中任取一个元
素x ，则事件“x ∈A ∩B ”的概率是________．
解析：由题意得A ＝{x |－1<x <5}，B ＝{x |2<x <3}，由几何概型知：在集合A 中任取一个
元素x ，则x ∈A ∩B 的概率为P ＝1
6
.
答案：16
5．某公共汽车站每隔10分钟就有一趟车经过，小王随机赶到车站，则小王等车时间不超过4分钟的概率是________．
答案：25
6．如图，M 是半径为R 的圆周上一个定点，在圆周上等可能地任取一点N ，连结MN ，则弦MN 的长度超过2R
的概率是________．答案：1
2
解析：连结圆心O 与M 点，作弦MN 使∠MON ＝90°，这样的点有两个，分别记为N 1，N 2，仅当点N 在不包含点M 的半圆弧上取
值时，满足MN >2R ，此时∠N 1ON 2＝180°，故所求的概率为
180°
360°
＝12. 7．已知Ω＝{(x ，y )|x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0}，E ＝{(x ，y )|x －2y ≥0，x ≤4，y ≥0}，若向区域Ω内随机投一点P ，则点P 落入区域E 的概率为________．
解析：如图，区域Ω表示的平面区域为△AOB 边界及其内部的部分，区域E 表示的平面区域为△COD 边界
及其内部的部分，所以点P 落入区域E 的概率为S △COD
S △AOB
＝
1
2×2×412
×6×6＝2
9.
答案：29
8．已知函数f (x )＝－x 2＋ax －b .若a 、b 都是从区间[0,4]任取的一个数，则f (1)＞0成立的概率是________．
解析：f (1)＝－1＋a －b ＞0，即a －b ＞1，如图：
A (1,0)，
B (4,0)，
C (4,3)，S △ABC ＝92，P ＝S △ABC S 矩＝924×4＝9
32
.
答案：9
32
9．在区间[0,1]上任意取两个实数a ，b ，则函数f (x )＝1
2
x 3
＋ax －b 在区间[－1,1]上有且仅有一个零点的概率为________．
解析：f ′(x )＝32x 2＋a ，故f (x )在x ∈[－1,1]上单调递增，又因为函数f (x )＝1
2
x 3＋ax －b 在
[－1,1]上有且仅有一个零点，即有f (－1)·f (1)<0成立，即(－12－a －b )(12＋a －b )<0，则(1
2
＋a
＋b )(1
2＋a －b )>0，可化为⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤a ≤1
0≤b ≤1
12
＋a －b >0
12＋a ＋b >0
或⎩⎪⎨⎪⎧
0≤a ≤1
≤b ≤1
12＋a －b <0，
12＋a ＋b <0
由线性规划知识在平面直
角坐标系aOb 中画出这两个不等式组所表示的可行域，再由几何概型可以知道，函数f (x )＝
1
2
x 3
＋ax －b 在[－1,1]上有且仅有一个零点的概率为可行域的面积除以直线a ＝0，a ＝1，b ＝0，
b ＝1围成的正方形的面积，计算可得面积之比为7
8
.
答案：78
10．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤60≤y ≤6表示的区域为A ，不等式组⎩
⎪⎨⎪
⎧
0≤x ≤6x －y ≥0表示的区域为B .
(1)在区域A 中任取一点(x ，y )，求点(x ，y )∈B 的概率；
(2)若x ，y 分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数，求点(x ，y )在区域B 中的概率． 解：(1)设集合A 中的点(x ，y )∈B 为事件M ，区域A 的面积为S 1＝36，区域B 的面积为S 2＝18，
∴P (M )＝S 2S 1＝1836＝1
2
.
(2)设点(x ，y )在区域B 为事件N ，甲、乙两人各掷一次骰子所得的点(x ，y )的个数为36
个，其中在区域B 中的点(x ，y )有21个，故P (N )＝2136＝7
12
.
11．(2010年江苏南通模拟)已知集合A ＝{x |－1≤x ≤0}，集合B ＝{x |ax ＋b ·2x －1＜0,0≤a ≤2,1≤b ≤3}．
(1)若a ，b ∈N ，求A ∩B ≠∅的概率； (2)若a ，b ∈R ，求A ∩B ＝∅的概率．
解：(1)因为a ，b ∈N ，(a ，b )可取(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)共9组．
令函数f (x )＝ax ＋b ·2x －1，x ∈[－1,0]， 则f ′(x )＝a ＋b ln2·2x .
因为a ∈[0,2]，b ∈[1,3]，所以f ′(x )＞0， 即f (x )在[－1,0]上是单调递增函数．
f (x )在[－1,0]上的最小值为－a ＋b
2－1.
要使A ∩B ≠∅，只需－a ＋b
2
－1＜0，
即2a －b ＋2＞0.
所以(a ，b )只能取(0,1)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)7组．
所以A ∩B ≠∅的概率为7
9
.
(2)因为a ∈[0,2]，b ∈[1,3]，
所以(a ，b )对应的区域为边长为2的正方形(如图)，面积为4.
由(1)可知，要使A ∩B ＝∅，
只需f (x )min ＝－a ＋b
2
－1≥0⇒2a －b ＋2≤0，所以满足
A ∩
B ＝∅的(a ，b )对应的区域是如图阴影部分．
所以S 阴影＝12×1×12＝1
4
，
所以A ∩B ＝∅的概率为P ＝144＝1
16
.
12．将长为1的棒任意地折成三段，求：三段的长度都不超过a (1
3
≤a ≤1)的概率．
解：设第一段的长度为x ，第二段的长度为y ， 第三段的长度为1－x －y ，
则基本事件组所对应的几何区域可表示为Ω＝{(x ，y )|0＜x ＜1,0＜y ＜1,0＜x ＋y ＜1}，此
区域面积为1
2
.
事件“三段的长度都不超过a (1
3
≤a ≤1)”所对应的几何区域可表示为A ＝{(x ，y )|(x ，
y )∈Ω，x ＜a ，y ＜a,1－x －y ＜a }．
即图中六边形区域，此区域面积：当13≤a ≤1
2时，为(3a －
1)2/2，此时事件“三段的长度都不超过a (1
3
≤a ≤1)”的概率为P
＝(3a －1)2
/21/2
＝(3a －1)2；
当12≤a ≤1时，为12－3(1－a )2
2.此时事件“三段的长度都不超过a (1
3≤a ≤1)”的概率为P ＝1－3(1－a )2.。